EXERCÍCIOS_SUPERFICIES_REVOLUÇÃO_HIPERBOLÓIDE_2018

Prévia do material em texto



UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
FACULDADE DE ARQUITETURA
NÚCLEO DE EXPRESSÃO GRÁFICA, SIMULAÇÃO, PROJETO E PLANEJAMENTO

D

HIPERBOLÓIDE











D



















D

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
FACULDADE DE ARQUITETURA
NÚCLEO DE EXPRESSÃO GRÁFICA, SIMULAÇÃO, PROJETO E PLANEJAMENTO
São chamadas SUPERFÍCIES
DE REVOLUÇÃO aquelas originadas
pelo giro de uma linha, reta ou
curva, em torno de uma reta fixa, o
eixo da superfície, os quais estão
sempre no mesmo plano.











D



















D

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
FACULDADE DE ARQUITETURA
NÚCLEO DE EXPRESSÃO GRÁFICA, SIMULAÇÃO, PROJETO E PLANEJAMENTO
SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO
Classificação:
- SUPERFÍCIES DESENVOLVÍVEIS
. CÔNICAS
. CILÍNDRICAS
- SUPERFÍCIES NÃO DESENVOLVÍVEIS
. ESFERA
. ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO
. PARABOLÓIDE DE REVOLUÇÃO
. HIPERBOLÓIDE DE REVOLUÇÃO
- SUPERFÍCIES DE CIRCUNVOLUNÇÃO
. TORO CIRCULAR










D

HIPERBOLÓIDE 
DE REVOLUÇÃO
D
1. DDD
2. NT
.NT
4.
5.
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
FACULDADE DE ARQUITETURA
NÚCLEO DE EXPRESSÃO GRÁFICA, SIMULAÇÃO, PROJETO E PLANEJAMENTO


1. O USO DA HIPERBOLÓIDE
ig_01- i








D



2. CONCEITO
As superfícies de
revolução que serão
mostradas a seguir, inclusive
a HIPERBOLÓIDE, possuem
alguns elementos cujas
definições devem ser
conhecidas antes de se
iniciar seu estudo
propriamente dito:
- MERIDIANO – curva resultante da seção feita por um
plano que passa pelo eixo da superfície de revolução.
- PARALELO – curva resultante da seção feita por um
plano perpendicular ao eixo da superfície de revolução.
- EQUADOR – paralelo de maior tamanho possível obtido
numa superfície de revolução.
paralelo








D



2. CONCEITO
É obtido pelo giro de uma
hipérbole em torno de um de
seus eixos.
Se o giro for em torno de seu
eixo real (eixo transverso)
tem-se uma HIPÉRBOLE DE
2 FOLHAS.
Se o giro for em torno de seu
eixo imaginário, tem-se a
HIPÉRBOLE DE UMA FOLHA.








D



2. CONCEITO (ELEMENTOS)
• CÍRCULO DE GOLA – paralelo de menor
tamanho possível obtido numa superfície de
revolução.
• CONE ASSINTÓTICO – cone de revolução
gerado pelas assíntotas da hipérbole geratriz
de um hipérbole geratriz de um hiperbolóide
de uma folha. 







D



2. CONCEITO 
HIPERBOLÓIDE DE REVOLUÇÃO DE UMA FOLHA
É gerado em torno de um eixo vertical.
Tem como Projeção Horizontal – o círculo de
gola e os paralelos limites duas circunferências
que são os paralelos obtidos através da seção
feita pelos planos limites, perpendiculares ao
eixo.
Sua Projeção Vertical corresponde a hipérbole
geratriz, em verdadeira grandeza.








D



2. CONCEITO 
HIPERBOLÓIDE DE REVOLUÇÃO DE UMA FOLHA
As projeções do CONE ASSINTÓTICO são
obtidas através da seção feita por um plano
paralelo ao eixo e tangente ao círculo de gola,
que determina as assíntotas da hipérbole e que,
por sua vez, correspondem às projeções frontais
da geratriz do cone. Estas assíntotas cortam-se
no centro da projeção vertical do círculo de gola. 







D



2. CONCEITO (SEÇÕES) 
Dependendo do ângulo do plano secante em
relação ao eixo da superfície e o semi-ângulo do vértice do
cone assintótico as seções em um hiperbolóide podem
ser:
•PARABÓLICA – igualdade entre esses ângulos.
•HIPERBÓLICA – se o ângulo do plano secante em relação
ao eixo for menor que o semi-ângulo do vértice do cone
assintótico.
•ELÍPTICA - se o ângulo do plano secante em relação ao
eixo for maior que o semi-ângulo do vértice do cone
assintótico.
•Uma CIRCUNFERÊNCIA – se o plano secante for
perpendicular ao eixo de geração da superfície.








D



2. CONCEITO (ELEMENTOS) 








D

FF’ – Distância Focal
A e A’ – Vértices da Hipérbole
AA’ – Eixo Real ou Eixo Transverso. AA’ + 2a onde a = OA = OA’
BB’ – Eixo Imaginário ou Eixo Conjugado. BB’ = 2b onde b é definido pela relação de Pitágoras c2 = a2 + b2
θ – Abertura da Hipérbole
Assíntotas ou Cone Assintótico – Retas r e s. A tendência da hipérbole é tangenciar suas assíntotas no
infinito.
Hipérbole Equilátera a = b. As assíntotas são perpendiculares entre si e a abertura da hipérbole igual a 45°.


3. REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA 








D



3. REPRESENTAÇÃO EM ÉPURA 
Paralelo Limite 
Superior
Paralelo 
Limite 
Inferior
Círculo de 
Gola
Assíntotas 
(cone 
assintótico)
Meridiano de 
Frente 
(geratriz) Meridiano de 
Frente 
(geratriz)
Meridiano de 
Frente 
(geratriz)
Paralelo 
Limite 
Inferior
Paralelo 
Limite 
Superior 







D



4. EXERCÍCIOS
i01








D

01 - Determinar a curva da seção feita por um plano dado
por seus traços, no hiperbolóide de revolução de uma
folha. Dados:
Hiperbolóide –
Raio do círculo de gola = 1,5 cm
Centro da gola (O) (6 ; 4,5 ; 4,5)
Distância Focal = 5,0 cm
Cota do Eixo Transverso = 4,5 cm
Cota do plano limite superior da superfície = 7,5 cm
Plano Secante –
Ponto de encontro dos traços = 1,0 cm
Traço Vertical: 45 graus
Traço Horizontal: - 60 graus


4. EXERCÍCIOSi01
Representar o 
hiperbolóide, tendo 
como projeção vertical 
a hipérbole geratriz e 
como projeção 
horizontal três 
paralelos – o paralelo 
resultante da 
interseção da geratriz 
com o PHp, o círculo 
de gola e o paralelo de 
interseção da geratriz 
com o plano limite da 
superfície. 








D



4. EXERCÍCIOS i01








D
Com a medida de A 
ate o primeiro 
segmento e com 
centro em F traçar 
arcos. Estes farão 
interseção com os 
arcos formados pelo 
traçado da medida de 
B ate o primeiro 
segmento com cento 
em F’. Fazer isso 
para ambos os lados.


4. EXERCÍCIOS i01








D



4. EXERCÍCIOS i01








D











D

4. EXERCÍCIOS i01


4. EXERCÍCIOS i01








D



4. EXERCÍCIOS i01








D

Traçar o plano 
qualquer


4. EXERCÍCIOS i01








D

Fazer mudança 
de plano vertical, 
transformando o 
plano qualquer 
em topo.
Traçar a nova
projeção
vertical.


Utilizar planos 
auxiliares paralelos a 
parábola e suas 
projeções horizontais 
para achar a projeção 
horizontal da seção.








D



4. EXERCÍCIOS i01








D
Traçar a VG


4. EXERCÍCIOS
i01








D

Traçar a 
projeção 
vertical da 
seção.


4. EXERCÍCIOS
T
fn








D

Visibilidade
Traçar a reta frontal 
que pertence ao plano 
secante, para encontrar 
os limites da seção na 
projeção vertical


4. EXERCÍCIOS i02
02 - Determinar a curva da seção e a VG feita por um
plano dado por seus traços, no hiperbolóide de
revolução de uma folha, de eixo não transverso
vertical. Dados:
Hiperbolóide:
Eixo Transverso: (A) (4,5 ; ? ; 4) e (B) ( 7,5 ; ? ; 4)
Centro da gola (O) (6 ; 3,5 ; 4)
Eixo não Transverso (C) (6 ; ? ; 6,5) e (D) ( 6 ; ? ; 1,5)
Cota do plano limite superior da superfície = 7 cm
Plano Secante:
Ponto de encontro dos traços = 0
Traço Vertical: 45 graus
Traço Horizontal:- 45 graus


4. EXERCÍCIOS i004


5. BIBLIOGRAFIA / FONTE DAS IMAGENS
N, n ngi pi ; , nni  v ;
D, hiin i; D, ib  nz. pfi.
v; Q//  qi/Dpn 
i  pn, 1999. g. 67  106.


DT:
b:
f. n n hini 
f. in i ig h
T DZD    D DN Q051 -
 , D  D D 
QTT  N N DD D QTT
D .
i iz: b  2018