Limites_05

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Escola de Ciências e Tecnologia (EC&T) Cálculo I 2014.2 1 
1. Limites e continuidade 
 
1.1 Definição informal de Limites de uma função 
 
1.2 Limites de uma função e leis do limite 
 
1.3 Limites laterais. 
 
1.4 Limites que envolvem infinidade: assíntotas 
de gráficos 
 
1.5 Continuidade 
 
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Continuidade 
• Pontos conectados por uma curva não interrompida a partir dos 
dados experimentais Q1, Q2, Q3,... de um objeto em queda. 
Objetivos: 
 
 
1) Investigar (precisamente) o significado do fato de uma função ser contínua; 
 
2) Estudar as propriedades das funções contínuas. 
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Continuidade na linguagem 
cotidiana 
O TEMPO é contínuo, umas vez que ele decorre de maneira 
ininterrupta. 
 
O movimento de um objeto em queda livre encarado como 
contínuo. 
Continuidade na linguagem 
matemática 
Em matemática, intuitivamente usa-se a expressão função 
contínua para caracterizar uma função cujo gráfico não 
apresenta interrupções. 
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Definição de Continuidade 
em um ponto 
 
• Continuidade nos pontos a, b e c. 
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EXEMPLO Determine os pontos em que a função 𝑓 (figura abaixo) é contínua 
e os pontos em que 𝑓 não é contínua (descontínua). 
• Pontos em que f é contínua: 
 
Em 𝑥 = −1 lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = 𝑓(−1) 
 
Em −1 < 𝑐 < 3 lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 
 
• Pontos em que f não é contínua: 
 
Em 𝑥 = 3 lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 1, mas 1 ≠ 𝑓 3 
 
Em 𝑐 < −1 e 𝑐 > 3 Esses pontos não estão no 
 domínio de 𝑓 . 
 
Ref. Thomas, seção 2.6, questão 2 
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EXEMPLO Determine os pontos em que a função 𝑓 (figura abaixo) é contínua 
e os pontos em que 𝑓 não é contínua (descontínua). 
• Pontos em que f é contínua: 
 
Em 𝑥 = −1 lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = 𝑓(−1) 
 
Em 𝑥 = 3 lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = 𝑓(3) 
 
Em −1 < 𝑐 < 3 e 𝑐 ≠ 1 lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 
 
• Pontos em que f não é contínua: 
 
Em 𝑥 = 1 lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) 
 e portanto, lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 
 
Em 𝑐 < −1 e 𝑐 > 3 Esses pontos não estão no 
 domínio de 𝑓 . 
 
Ref. Thomas, seção 2.6, questão 4 
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Função é descontínua em 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, 𝑥 = 2 e 𝑥 = 3. 
Segue análise no slide seguinte 
EXEMPLO Determine os pontos em que a função 𝑓 (figura abaixo) é contínua 
e os pontos em que 𝑓 é descontínua. 
Ref. Thomas, seção 2.6, questões 5-10 
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 𝑓(−1) existe? Sim, pois 𝑓 −1 = 0 
 
 lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) existe? Sim, pois lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = 0 
 
 lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = 𝑓(−1)? Sim 
 
 A função 𝑓 é contínua em 𝑥 = −1? Sim, pois 𝑓(−1) existe e 
 lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) = 𝑓(−1) 
Análise da continuidade no ponto 𝒙 = −𝟏 
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 𝑓(0) existe? Não. A função não é 
 definida em 𝑥 = 0 . 
 
 A função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 0? Não. 
Análise da continuidade no ponto 𝒙 = 𝟎 
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 𝑓(1) existe? Sim, pois 𝑓 1 = 1 
 
 lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) existe? Sim, pois lim
𝑥→1+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→1−
𝑓(𝑥) = 2, 
 ou seja, lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2 
 
 lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 𝑓(1)? Não 
 
 A função 𝑓 é contínua Não. Embora lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) exista, 
em 𝑥 = 1? lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(1) 
Análise da continuidade no ponto 𝒙 = 𝟏 
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 𝑓(2) existe? Não. A função não é 
 definida em 𝑥 = 2 . 
 
 A função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 2? Não. 
Análise da continuidade no ponto 𝒙 = 𝟐 
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 𝑓(3) existe? Não. A função não é 
 definida em 𝑥 = 3 . 
 
 A função 𝑓 é contínua em 𝑥 = 3? Não. 
Análise da continuidade no ponto 𝒙 = 𝟑 
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Funções contínuas 
 
• Uma função é contínua em um intervalo se, e somente se, for 
contínua em cada ponto do intervalo. 
 
• Uma função contínua é aquela que é contínua em cada ponto de 
seu domínio. 
Definição de Continuidade 
de uma função 
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EXEMPLO Se 𝑓 𝑥 = 9 − 𝑥2, esboce o gráfico de 𝑓 e prove que 𝑓 é 
contínua no intervalo fechado [−3,3]. 
SOLUÇÃO 
 O gráfico de 𝑥2 + 𝑦2 = 9 é uma circunferência com centro 
na origem e raio 3. 
 
 Em relação a 𝑦, temos que 𝑦 = ± 9 − 𝑥2 e, assim, o gráfico 
de 𝑦 = 9 − 𝑥2, é o semicírculo superior mostrado na figura abaixo. 
𝒚 = 𝟗 − 𝒙𝟐 
Similar: Exemplo 2, pg.119 , Thomas. 
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Se −3 < 𝑐 < 3, então 
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑐
9 − 𝑥2 = 9 − 𝑐2 = 𝑓(𝑐) 
Desse modo, 
 
1. 𝑓(𝑐) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 (ou seja, 𝑐 está no domínio de 𝑓); 
2. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) existe (ou seja, 𝑓 possui um limite quando 𝑥 → 𝑐); 
3. lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) (ou seja, o limite é igual ao valor da função). 
Verificação da continuidade 
em um ponto interior 𝒙 = 𝒄 do domínio da função 
Logo, 𝒇 é contínua em 𝒄. 
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Verificação da continuidade 
nos pontos extremos da função 
Logo, 𝒇 é contínua à direita em −𝟑 e contínua à esquerda 
em 𝟑. 
Verificamos os extremos do intervalo [-3,3] utilizando limites 
laterais, como se segue: 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟑+
𝒇(𝒙) = lim
𝑥→−3+
9 − 𝑥2 = 9 − 9 = 0 = 𝒇(−𝟑) 
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟑−
𝒇(𝒙) = lim
𝑥→3−
9 − 𝑥2 = 9 − 9 = 0 = 𝒇(𝟑) 
Lembrando que: 
CONCLUSÃO: A função 𝑓 é contínua no intervalo [−3,3] . 
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Tipos de descontinuidade 
função 
contínua 
𝑓(0) não é 
definida 
𝑓(0) é definida, mas 
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(0) 
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 não 
existe 
𝑓(0) nãe é definida e, além 
disso, lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = ∞ 
𝑓(0) nãe é definida e, além 
disso, lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 não existe 
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Descontinuidade REMOVÍVEL 
𝑓(0) não é 
definida 
Característica 
 
A função é indefinida em um ponto, 
mas seu gráfico continua após a 
descontinuidade como se fosse uma 
continuação da própria curva. 
 
Remoção da descontinuidade 
 
A função possui limite quando 𝑥 → 0, 
de modo que a descontinuidade pode 
ser removida ao definirmos 𝑓(0) igual 
a esse limite. 
 
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Descontinuidade REMOVÍVEL 
Característica 
 
A função é indefinida em um ponto, 
mas seu gráfico continua após a 
descontinuidade como se fosse uma 
continuação da própria curva. 
 
Remoção da descontinuidadeA função possui limite quando 𝑥 → 0, 
de modo que a descontinuidade pode 
ser removida ao definirmos 𝑓(0) igual 
a esse limite. 
 
𝑓(0) é definida, mas 
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(0) 
IMPORTANTE: o comportamento da função 𝑓 com descontinuidade removível para 
valores de 𝑥 próximos a qualquer número real 𝑎, não assegura que os valores 𝑓 (𝑥) 
estarão próximos a 𝑓 (𝑎). 
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Descontinuidade TIPO SALTO 
Característica 
 
Existe um salto nos valores da função no 
ponto onde ela é descontínua. 
 
 
É possível remover a descontinuidade? 
 
O limite lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 não existe, e desse 
modo, não é possível removermos a 
descontinuidade, mesmo redefinindo a 
função. 
lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 não 
existe 
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Descontinuidade INFINITA 
Característica 
 
Uma função possui uma descontinuidade 
infinita em 𝑥 = 𝑐 se, nesse ponto, o 
valor da função vai para +∞ ou para 
− ∞. 
 
𝑓(0) nãe é definida e, além 
disso, lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 = ∞ 
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Descontinuidade OSCILANTE 
Característica 
 
A função oscilar demais para ter um limite quando 𝑥 → 𝑐 . 
 
𝑓(0) nãe é definida e, além 
disso, lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 não existe 
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EXEMPLO O gráfico abaixo mostra que lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = 0. 
Porém, a função oscilar demais para ter um limite quando 
𝑥 → 0 pela direita. Portanto, lim
𝑥→0
𝑓 𝑥 não existe, e temos 
uma Descontinuidade OSCILANTE em 𝒙 = 𝟎. 
 
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Continuidade de 
Funções polinomiais e funções racionais 
O teorema abaixo afirma que as funções polinomiais e as funções 
racionais são contínuas em todos os pontos de suas domínios. 
(i) Uma função polinomial 𝑓 é contínua ∀𝒄 ∈ ℝ ; 
 
(ii) Uma função racional 𝑞 = 𝑓/𝑔 é contínua ∀𝒄 ∈ ℝ , exceto nos 
números c tais que 𝑔(𝑐) = 0 . 
DEMONSTRAÇÃO 
 
(i) Se 𝑓 é uma função polinomial e 𝒄 ∈ ℝ , então lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑐) 
(Teorema 1.11); Logo 𝑓 é contínua em todo ponto real. 
 
(ii) Se 𝑔(𝑐) ≠ 0, então 𝑐 está no domínio de 𝑞 = 𝑓/𝑔 e, pelo Teorema 
1.12, lim
𝑥→𝑐
𝑞(𝑥) = 𝑞(𝑐); isto é, 𝑞 é contínua em 𝑐 . 
TEOREMA 1.21 
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EXEMPLO Se 𝑓(𝑥) = |𝑥|, mostre que 𝑓 é contínua em todo 
 número real 𝑐. 
Para 𝒙 ≠ 𝟎, 
Como 𝑥 e – 𝑥 são polinômios, decorre do Teorema 1.21 que 𝑓 é contínua para 
todo real diferente de zero. 
Para 𝒙 = 𝟎, temos que os limites laterais são 
lim
𝑥→0+
|𝑥| = lim
𝑥→0+
𝑥 = 0 e lim
𝑥→0−
|𝑥| = lim
𝑥→0−
(−𝑥) = 0 
Como os limites laterais são iguais, decorre do Teorema 1.3, que 
lim
𝑥→0
|𝑥| = 0 = 0 = 𝑓 0 . 
Logo, 𝑓 é contínua em 0. 
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• Se 𝑔 é contínua em 𝑐 e 𝑓 é contínua em 𝑏 = 𝑓(𝑐), então 
 
(i) lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 lim
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) = 𝑓 𝑔(𝑐) 
 
 
(ii) A função composta 𝑓 ∘ 𝑔 é contínua em 𝑐 . 
 
 
Continuidade 
do Funções compostas 
Podemos, também, enunciar o Teorema 10 como: 
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EXEMPLO Determine os limites e verifique se as funções são 
contínuas no ponto sendo aproximado. 
30. lim
𝑡→0
sen 
𝜋
2
𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑔 𝑡 
34. lim
𝑥→1
𝑐𝑜𝑠−1 ln 𝑥 
Resp.: 1 e contínua. 
Resp.: 
𝜋
2
 e contínua. 
Exercícios 30 e 34, seção 2.6 ...Thomas 11 ed 
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Sugestão de exercícios 
 
Thomas, Seção 2.6 
 
Questões 29-34. 
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DERIVADAS