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<p>Caro aluno</p><p>Ao elaborar o seu material inovador, completo e moderno, o Hexag considerou como principal diferencial sua exclusiva metodologia em período integral,</p><p>com aulas e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado. O material didático é composto por 6 cadernos de aula e 107 livros, totali-</p><p>zando uma coleção com 113 exemplares. O conteúdo dos livros é organizado por aulas temáticas. Cada assunto contém uma rica teoria que contempla,</p><p>de forma objetiva e transversal, as reais necessidades dos alunos, dispensando qualquer tipo de material alternativo complementar. Para melhorar a</p><p>aprendizagem, as aulas possuem seções específicas com determinadas finalidades. A seguir, apresentamos cada seção:</p><p>De forma simples, resumida e dinâmica, essa seção foi desen-</p><p>volvida para sinalizar os assuntos mais abordados no Enem e</p><p>nos principais vestibulares voltados para o curso de Medicina</p><p>em todo o território nacional.</p><p>INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS</p><p>Todo o desenvolvimento dos conteúdos teóricos de cada co-</p><p>leção tem como principal objetivo apoiar o aluno na resolu-</p><p>ção das questões propostas. Os textos dos livros são de fácil</p><p>compreensão, completos e organizados. Além disso, contam</p><p>com imagens ilustrativas que complementam as explicações</p><p>dadas em sala de aula. Quadros, mapas e organogramas, em</p><p>cores nítidas, também são usados e compõem um conjunto</p><p>abrangente de informações para o aluno que vai se dedicar</p><p>à rotina intensa de estudos.</p><p>TEORIA</p><p>No decorrer das teorias apresentadas, oferecemos uma cui-</p><p>dadosa seleção de conteúdos multimídia para complementar</p><p>o repertório do aluno, apresentada em boxes para facilitar a</p><p>compreensão, com indicação de vídeos, sites, filmes, músicas,</p><p>livros, etc. Tudo isso é encontrado em subcategorias que fa-</p><p>cilitam o aprofundamento nos temas estudados – há obras</p><p>de arte, poemas, imagens, artigos e até sugestões de aplicati-</p><p>vos que facilitam os estudos, com conteúdos essenciais para</p><p>ampliar as habilidades de análise e reflexão crítica, em uma</p><p>seleção realizada com finos critérios para apurar ainda mais</p><p>o conhecimento do nosso aluno.</p><p>MULTIMÍDIA</p><p>Atento às constantes mudanças dos grandes vestibulares, é</p><p>elaborada, a cada aula e sempre que possível, uma seção que</p><p>trata de interdisciplinaridade. As questões dos vestibulares</p><p>atuais não exigem mais dos candidatos apenas o puro co-</p><p>nhecimento dos conteúdos de cada área, de cada disciplina.</p><p>Atualmente há muitas perguntas interdisciplinares que abran-</p><p>gem conteúdos de diferentes áreas em uma mesma questão,</p><p>como Biologia e Química, História e Geografia, Biologia e Ma-</p><p>temática, entre outras. Nesse espaço, o aluno inicia o contato</p><p>com essa realidade por meio de explicações que relacionam</p><p>a aula do dia com aulas de outras disciplinas e conteúdos de</p><p>outros livros, sempre utilizando temas da atualidade. Assim,</p><p>o aluno consegue entender que cada disciplina não existe de</p><p>forma isolada, mas faz parte de uma grande engrenagem no</p><p>mundo em que ele vive.</p><p>CONEXÃO ENTRE DISCIPLINAS</p><p>Um dos grandes problemas do conhecimento acadêmico</p><p>é o seu distanciamento da realidade cotidiana, o que difi-</p><p>culta a compreensão de determinados conceitos e impede</p><p>o aprofundamento nos temas para além da superficial me-</p><p>morização de fórmulas ou regras. Para evitar bloqueios na</p><p>aprendizagem dos conteúdos, foi desenvolvida a seção “Vi-</p><p>venciando“. Como o próprio nome já aponta, há uma preo-</p><p>cupação em levar aos nossos alunos a clareza das relações</p><p>entre aquilo que eles aprendem e aquilo com que eles têm</p><p>contato em seu dia a dia.</p><p>VIVENCIANDO</p><p>Essa seção foi desenvolvida com foco nas disciplinas que fa-</p><p>zem parte das Ciências da Natureza e da Matemática. Nos</p><p>compilados, deparamos-nos com modelos de exercícios re-</p><p>solvidos e comentados, fazendo com que aquilo que pareça</p><p>abstrato e de difícil compreensão torne-se mais acessível e</p><p>de bom entendimento aos olhos do aluno. Por meio dessas</p><p>resoluções, é possível rever, a qualquer momento, as explica-</p><p>ções dadas em sala de aula.</p><p>APLICAÇÃO DO CONTEÚDO</p><p>Sabendo que o Enem tem o objetivo de avaliar o desem-</p><p>penho ao fim da escolaridade básica, organizamos essa</p><p>seção para que o aluno conheça as diversas habilidades e</p><p>competências abordadas na prova. Os livros da “Coleção</p><p>Vestibulares de Medicina” contêm, a cada aula, algumas</p><p>dessas habilidades. No compilado “Áreas de Conhecimento</p><p>do Enem” há modelos de exercícios que não são apenas</p><p>resolvidos, mas também analisados de maneira expositiva e</p><p>descritos passo a passo à luz das habilidades estudadas no</p><p>dia. Esse recurso constrói para o estudante um roteiro para</p><p>ajudá-lo a apurar as questões na prática, a identificá-las na</p><p>prova e a resolvê-las com tranquilidade.</p><p>ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM</p><p>Cada pessoa tem sua própria forma de aprendizado. Por isso,</p><p>criamos para os nossos alunos o máximo de recursos para</p><p>orientá-los em suas trajetórias. Um deles é o ”Diagrama de</p><p>Ideias”, para aqueles que aprendem visualmente os conte-</p><p>údos e processos por meio de esquemas cognitivos, mapas</p><p>mentais e fluxogramas.</p><p>Além disso, esse compilado é um resumo de todo o conteúdo</p><p>da aula. Por meio dele, pode-se fazer uma rápida consulta</p><p>aos principais conteúdos ensinados no dia, o que facilita a</p><p>organização dos estudos e até a resolução dos exercícios.</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>© Hexag SiStema de enSino, 2018</p><p>Direitos desta edição: Hexag Sistema de Ensino, São Paulo, 2023</p><p>Todos os direitos reservados.</p><p>Coordenador-geral</p><p>Murilo de Almeida Gonçalves</p><p>reSponSabilidade editorial, programação viSual, reviSão e peSquiSa iConográfiCa</p><p>Hexag Editora</p><p>editoração eletrôniCa</p><p>Letícia de Brito</p><p>Matheus Franco da Silveira</p><p>projeto gráfiCo e Capa</p><p>Raphael de Souza Motta</p><p>imagenS</p><p>Freepik (https://www.freepik.com)</p><p>Shutterstock (https://www.shutterstock.com)</p><p>Pixabay (https://www.pixabay.com)</p><p>iSbn</p><p>978-85-9542-283-4</p><p>Todas as citações de textos contidas neste livro didático estão de acordo com a legislação, tendo</p><p>por fim único e exclusivo o ensino. Caso exista algum texto a respeito do qual seja necessária a in-</p><p>clusão de informação adicional, ficamos à disposição para o contato pertinente. Do mesmo modo,</p><p>fizemos todos os esforços para identificar e localizar os titulares dos direitos sobre as imagens pub-</p><p>licadas e estamos à disposição para suprir eventual omissão de crédito em futuras edições.</p><p>O material de publicidade e propaganda reproduzido nesta obra é usado apenas para fins didáticos, não rep-</p><p>resentando qualquer tipo de recomendação de produtos ou empresas por parte do(s) autor(es) e da editora.</p><p>2023</p><p>Todos os direitos reservados para Hexag Sistema de Ensino.</p><p>Rua Luís Góis, 853 – Mirandópolis – São Paulo – SP</p><p>CEP: 04043-300</p><p>Telefone: (11) 3259-5005</p><p>www.hexag.com.br</p><p>contato@hexag.com.br</p><p>MATEMÁTICA</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS 5</p><p>AULAS 45 E 46: NÚMEROS COMPLEXOS: REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA E MÓDULO 007</p><p>AULAS 47 E 48: NÚMEROS COMPLEXOS: FORMA TRIGONOMÉTRICA 012</p><p>AULAS 49 E 50: POLINÔMIOS 019</p><p>AULAS 51 E 52: OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS 030</p><p>MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 35</p><p>AULAS 45 E 46: MATRIZES E OPERAÇÕES 037</p><p>AULAS 47 E 48: MATRIZ INVERSA E EQUAÇÕES MATRICIAIS 051</p><p>AULAS 49 E 50: DETERMINANTES 055</p><p>AULAS 51 E 52: SISTEMAS LINEARES 068</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA 87</p><p>AULAS 45 E 46: DISTÂNCIA DE PONTO A RETA, ÂNGULOS E ÁREAS 089</p><p>AULAS 47 E 48: CIRCUNFERÊNCIA: EQUAÇÕES REDUZIDA E NORMAL 093</p><p>AULAS 49 E 50: CIRCUNFERÊNCIA: POSIÇÕES RELATIVAS 099</p><p>AULAS 51 E 52: SECÇÕES CÔNICAS: ELIPSE 106</p><p>SUMÁRIO</p><p>Co</p><p>m</p><p>pe</p><p>tê</p><p>n</p><p>Ci</p><p>a</p><p>1</p><p>Construir significados para os números naturais, inteiros, racionais e reais</p><p>H1 Reconhecer, no contexto social, diferentes significados e representações dos números e operações - naturais, inteiros, racionais ou reais.</p><p>H2 Identificar padrões numéricos ou princípios de contagem.</p><p>H3 Resolver situação-problema envolvendo conhecimentos numéricos.</p><p>H4 Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de argumentos sobre afirmações quantitativas.</p><p>H5 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando</p><p>de Briot-Ruffini.</p><p>3.1. Roteiro desse dispositivo</p><p>prático na divisão de</p><p>p(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por h(x) = x – 2</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3. Deve-se repetir (ou “baixar”) o primeiro coeficiente</p><p>do dividendo:</p><p>3 · 2 = 6 e 6 + (–5) = 1</p><p>4. Multiplica-se o termo repetido pelo divisor e soma-se</p><p>o produto com o próximo termo do dividendo:</p><p>1 · 2 = 2 e 2 + 1 = 3</p><p>5. Deve-se repetir o processo para se obter o novo ter-</p><p>mo do quociente:</p><p>3 · 2 = 6 e 6 + (–2) = 4</p><p>De acordo com o quadro, obtém-se:</p><p>q(x) = 3x2 + x + 3</p><p>r(x) = 4</p><p>que é o mesmo resultado obtido pelo método da chave.</p><p>Assim:</p><p>3x3 – 5x2 + x – 2 = (x – 2)(3x2 + x + 3) + 4</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Divida p(x) = 2x4 + 7x3 – 4x + 5 por h(x) = x + 3.</p><p>Resolução:</p><p>Quociente: q(x) = 2x3 + x2 – 3x + 5</p><p>Resto: r(x) = –10</p><p>Assim, 2x4 + 7x3 – 4x + 5 = (x + 3)(2x3 + x2 – 3x + 5) – 10.</p><p>2. Determine o quociente e o resto da divisão de</p><p>p(x) = 2x2 – 5x + 2 por h(x) = 2x – 1.</p><p>Resolução:</p><p>Observe que, nesse caso, o coeficiente de x no binômio não é</p><p>igual a 1. Para que sejam obtidos o quociente e o resto pedidos,</p><p>deve-se dividir todos os coeficientes de p(x) e de h(x) por 2. O</p><p>quociente procurado será q(x), e o resto também ficará dividido</p><p>por 2 · ( r(x)</p><p>___</p><p>2</p><p>) .</p><p>p(x)</p><p>___</p><p>2</p><p>= x2 – 5 __</p><p>2</p><p>x + 1</p><p>h(x)</p><p>___</p><p>2</p><p>= x – 1 __</p><p>2</p><p>Ao aplicar o dispositivo prático, obtém-se:</p><p>Quociente: q(x) = x – 2</p><p>Resto:</p><p>r(x)</p><p>___</p><p>2</p><p>= 0 ⇒ r(x) = 0</p><p>Assim, 2x2 – 5x + 2 = (x – 2)(2x – 1).</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  33</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>3. Calcule o valor de m de modo que o polinômio</p><p>p(x) = 2x3 + 5x2 + mx + 12 seja divisível por h(x) = x + 3.</p><p>Resolução:</p><p>Para que p(x) seja divisível por h(x), o resto deve ser nulo, ou seja:</p><p>–3m + 3 = 0 ⇒ 3m = 3 ⇒ m = 1</p><p>Assim, m = 1.</p><p>4. Efetue a divisão de p(x) por q(x) para</p><p>p(x) = x3 – (4 + 2i)x2 + 9ix + 2 e q(x) = x – 2i.</p><p>Resolução:</p><p>Assim, p(x)= q(x) . (x² – 4x + i).</p><p>4. Teorema de D’Alembert</p><p>De acordo com o teorema de D’Alembert, o resto da divi-</p><p>são de um polinômio p(x) por x – a é p(a).</p><p>Antes da demonstração, o teorema será verificado median-</p><p>te um exercício.</p><p>O resto da divisão de p(x) = x3 – x2 – 2x + 3 por x + 2 será</p><p>determinado e comparado com p(–2).</p><p>§ Pelo método da chave:</p><p>+</p><p>-x3 - 2x2</p><p>§ Pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini:</p><p>Ao verificar o teorema de D’Alembert:</p><p>p(–2) = (–2)3 – (–2)2 – 2(–2) + 3 = –8 – 4 + 4 + 3 = –5</p><p>Observe a demonstração:</p><p>Considere que a divisão de p(x) por x – a resulta um quo-</p><p>ciente q(x) e um resto r:</p><p>p(x) = (x – a) . q(x) + r</p><p>Se x = a, obtém-se:</p><p>p(a) = (a – a) . q(a) + r = 0 · q(a) + r = 0 ⇒ r = p(a)</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Calcule o resto da divisão de p(x) = 2x3 – x2 + 5x – 3</p><p>por h(x) = x – 4.</p><p>Resolução:</p><p>De acordo com o teorema de D’Alembert, o resto é igual a:</p><p>p(4) = 2(4)3 – (4)2 + 5(4) – 3 = 128 – 16 + 20 – 3 = 129</p><p>Assim, o resto dessa divisão é 129.</p><p>2. Determine o valor de a, de modo que o polinômio</p><p>p(x) = 2x3 + 5x2 – ax + 2</p><p>seja divisível por h(x) = x – 2.</p><p>Resolução:</p><p>Se p(x) é divisível por h(x), o resto da divisão é 0. De acordo com</p><p>o teorema de D’Alembert:</p><p>p(2) = 0 ⇒ 2(2)3 + 5(2)2 – a(2) + 2 = 0 ⇒</p><p>⇒ 16 + 20 – 2a + 2 = 0 ⇒ 2a = 38 ⇒ a = 19</p><p>Assim, a = 19.</p><p>5. Teorema do fator</p><p>Se c é uma raiz de um polinômio p(x) de grau n > 0, x – c</p><p>é um fator de p(x).</p><p>De acordo com o teorema de D’Alembert, a divisão de p(x)</p><p>por x – c resulta um quociente q(x) e um resto p(c) tal que:</p><p>p(x) = (x – c)q(x) + p(c)</p><p>Se c é uma raiz de p(x), p(c) = 0, obtém-se:</p><p>p(x) = (x – c)q(x)</p><p>Assim, x – c é um fator de p(x).</p><p>Consequentemente, p(x) é divisível por (x – a) e por (x – b),</p><p>com a ≠ b, se, e somente se, p(x) for divisível por (x – a)</p><p>(x – b).</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Dados p(x) = x3 + x2 – 10x + 8, determine p(x) para x = 3,</p><p>x = 2 e x = 0. Em seguida, escreva p(x) como produto</p><p>de dois fatores.</p><p>Resolução:</p><p>p(3) = (3)3 + (3)2 – 10(3) + 8 = 27 + 9 – 30 + 8 = 14</p><p>p(2) = (2)3 + (2)2 – 10(2) + 8 = 8 + 4 – 20 + 8 = 0</p><p>p(0) = (0)3 + (0)2 – 10(0) + 8 = 8</p><p>Como p(2) = 0, x – 2 é um fator de p(x).</p><p>34  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>De acordo com Briot-Ruffini:</p><p>Assim, q(x) = x2 + 3x – 4.</p><p>p(x) = (x – 2)(x2 + 3x – 4)</p><p>2. Determine os valores de a e b para que o polinômio</p><p>p(x) = x3 + ax2 + bx + 20</p><p>seja divisível por (x + 1)(x – 4).</p><p>Resolução:</p><p>Se p(x) é divisível por (x + 1)(x – 4), ele deve ser divisível por</p><p>(x + 1) e por (x – 4).</p><p>Se p(x) é divisível por x + 1, obtém-se:</p><p>p(–1) = 0 ⇒ (–1)3 + a(–1)2 + b(–1) + 20 = 0 ⇒</p><p>⇒ – 1 + a – b + 20 = 0 ⇒ a – b = – 19</p><p>Se p(x) é divisível por x – 4, obtém-se:</p><p>p(4) = 0 ⇒ (4)3 + a(4)2 + b(4) + 20 = 0 ⇒</p><p>⇒ 64 + 16a + 4b + 20 = 0 ⇒ 4a + b = –21</p><p>Portanto:</p><p>a – b = –19</p><p>4a + b = –21</p><p>Ao resolver o sistema, obtém-se a = –8 e b = 11.</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>OPERAÇÕES COM</p><p>POLINÔMIOS</p><p>SOMA, SUBTRAÇÃO</p><p>E MULTIPLICAÇÃO</p><p>DIVISÃO</p><p>MÉTODO</p><p>DA CHAVE</p><p>BRIOT-RUFFINI</p><p>Considerando</p><p>p(x) = 3x – 4</p><p>q(x) = –2x2 – 4x + 2</p><p>p(x) = h(x) ⋅ q(x) + r(x) D’ Alembert</p><p>O resto da divisão</p><p>de um polinômio p(x)</p><p>por x – a é p(a).</p><p>Do fator</p><p>Se c é raiz de um</p><p>polinômio p(x)</p><p>de grau n > 0, x – c</p><p>é um fator de p(x).</p><p>Teoremas</p><p>Adição → somam-se os termos de mesmo grau</p><p>p(x) + q(x) = (3x – 4) + (–2x2 – 4x + 2) =</p><p>p(x) + q(x) = –2x2 – x – 2</p><p>Subtração → subtraem-se os termos de mesmo grau</p><p>p(x) – q(x) = (3x – 4) – (–2x2 – 4x + 2) =</p><p>p(x) – q(x) = 3x – 4 + 2x2 + 4x – 2 =</p><p>p(x) – q(x) = 2x2 + 7x – 6</p><p>Multiplicação → multiplicam-se todos os termos</p><p>p(x) · q(x) = (3x – 4) · (–2x2 – 4x + 2) =</p><p>p(x) · q(x) = 3x · (–2x2 – 4x + 2) + (–4)(–2x2 – 4x + 2) =</p><p>p(x) · q(x) = –6x3 – 12x2 + 6x + 8x2 + 16x – 8 =</p><p>p(x) · q(x) = –6x3 – 4x2 + 22x – 8</p><p>p(x) → dividendo</p><p>h(x) → divisor</p><p>q(x) → quociente</p><p>r(x) → resto</p><p>II x2 – 5x + 6</p><p>–x2 + 3x _____________</p><p>–2x + 6</p><p>+2x – 6_____________</p><p>0</p><p>I</p><p>III</p><p>x – 3</p><p>x – 2</p><p>Resto</p><p>Terá SEMPRE</p><p>o grau menor</p><p>que o divisor</p><p>1.º passo</p><p>Escolher o termo que,</p><p>multiplicado por , tem</p><p>como resultado</p><p>I</p><p>II</p><p>2.º passo</p><p>Multiplicar pelo</p><p>divisor. Não se</p><p>esquecer de trocar o</p><p>sinal quando passar</p><p>para o dividendo</p><p>III</p><p>x2 – 5x + 6 ÷ x – 3</p><p>3+ –6</p><p>3 1 –5 6</p><p>1 –2 0</p><p>- Repete-se o 1.º coeficiente</p><p>- Multiplica-se pela raiz</p><p>- Soma-se com o próximo coeficiente</p><p>Repetir até o final!</p><p>Termo constante</p><p>do divisor com</p><p>sinal trocado</p><p>Coeficientes de</p><p>x do dividendo</p><p>p(x)</p><p>Coeficientes do</p><p>quociente</p><p>Resto</p><p>Termo constante</p><p>do dividendo</p><p>p(x)</p><p>MATRIZES,</p><p>DETERMINANTES</p><p>E SISTEMAS</p><p>LINEARES</p><p>MATEMÁTICA</p><p>LIVRO</p><p>TEÓRICO</p><p>INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS</p><p>O Enem tem uma boa incidência para sis-</p><p>temas lineares e baixa para matrizes e de-</p><p>terminantes. Para todos os temas, sempre</p><p>teremos questões aplicadas ao cotidiano</p><p>do candidato.</p><p>A prova abordará um ou até mesmo dois</p><p>assuntos deste livro em sua primeira ou</p><p>segunda fase. Apresenta questões muito</p><p>bem elaboradas, nas quais podem aparecer</p><p>outras áreas da Matemática, como logarit-</p><p>mos e trigonometria.</p><p>Para ingressar na Unicamp, o candidato</p><p>pode se deparar com questões de matrizes</p><p>e determinantes na prova da primeira fase.</p><p>Já na segunda fase, podemos encontrar</p><p>questões muito bem elaboradas sobre sis-</p><p>temas lineares.</p><p>A prova apresentará questões muito bem</p><p>elaboradas e difíceis sobre os temas deste</p><p>livro.</p><p>A prova apresenta questões medianas</p><p>sobre números complexos e matrizes.</p><p>Polinômios são cobrados assuntos de um</p><p>grau de dificuldade maior, como Relações</p><p>de Girard, divisibilidade de polinômios e</p><p>teorema de resto.</p><p>A prova apresenta matrizes associadas a</p><p>problemas do dia a dia. Os sistemas line-</p><p>ares podem ser menos abordados nessa</p><p>prova.</p><p>Os temas abordados neste livro têm baixa</p><p>incidência na prova.</p><p>A prova não deixará de lado os temas</p><p>deste livro.</p><p>O candidato deve atentar-se aos conceitos</p><p>abordados nas aulas de determinantes e</p><p>levá-los com clareza para a prova.</p><p>A prova pode trazer questões sobre matri-</p><p>zes e determinantes, considerando diversas</p><p>propriedades. Para sistemas lineares, é</p><p>comum aparecer alguma questão contex-</p><p>tualizada.</p><p>Podemos</p><p>encontrar nessa prova questões</p><p>muito bem elaboradas, de elevado grau</p><p>de dificuldade, com os temas deste livro e</p><p>envolvendo outras áreas da Matemática.</p><p>Questões difíceis apareceram nessa prova.</p><p>O candidato deve estar atento à multipli-</p><p>cação de matrizes e ao cálculo de deter-</p><p>minantes.</p><p>A prova poderá trazer questões de mul-</p><p>tiplicação de matrizes e propriedades de</p><p>determinantes, todas com elevado grau de</p><p>dificuldade.</p><p>Para essa prova, podemos esperar uma</p><p>questão sobre os temas deste livro, de for-</p><p>ma direta e sem contextualização.</p><p>Por meio de uma prova muito bem elabo-</p><p>rada e contextualizada, o candidato deve</p><p>ficar atento às diversas propriedades dos</p><p>determinantes – sistemas lineares também</p><p>deverão aparecer.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  37</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>1. Introdução</p><p>Numa editora, a venda de livros de Matemática, Física e</p><p>Química, no primeiro trimestre de um ano, pode ser indicada</p><p>por esta tabela:</p><p>Janeiro Fevereiro Março</p><p>Matemática 20 000 32 000 45 000</p><p>Física 15 000 18 000 25 000</p><p>Química 16 000 16 000 23 000</p><p>Se quisermos saber:</p><p>§ Quantos livros de Matemática foram vendidos em fevereiro?</p><p>Basta olhar o número na primeira linha e na segunda coluna.</p><p>§ Quantos livros de Física foram vendidos em janeiro?</p><p>Basta olhar o número na segunda linha e na primeira coluna.</p><p>§ Quantos livros de Química foram vendidos em março?</p><p>Basta olhar o número na terceira linha e na terceira coluna.</p><p>Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos</p><p>em 3 linhas e em 3 colunas, denomina-se matriz 3 x 3 (lê-</p><p>-se três por três) e pode ser representada por:</p><p>ou</p><p>ou</p><p>2. Definição</p><p>Sejam m e n dois números naturais não nulos.</p><p>Denomina-se matriz m x n (lê-se m por n) uma tabela re-</p><p>tangular formada por m · n números reais ou qualquer lista</p><p>ordenada, disposta em m linhas e n colunas.</p><p>Modelos:</p><p>§ 2 3</p><p>5 1</p><p>é uma matriz do tipo 2 × 2 (dois por dois).</p><p>§</p><p>1 __</p><p>2</p><p>–5 1</p><p>2 dXX 3 0</p><p>é uma matriz do tipo 2 × 3 (dois por três).</p><p>§ Se n = 1, a matriz é chamada matriz coluna. Por exemplo,</p><p>(</p><p>dXX 5 ___</p><p>2</p><p>___</p><p>–1 ___</p><p>0</p><p>) é uma matriz coluna do tipo 4 × 1.</p><p>Se as matrizes forem linha ou coluna, também são chama-</p><p>das de vetores. Embora essa não seja uma denominação</p><p>comum no Ensino Médio, é bastante utilizada no Ensino</p><p>Superior, principalmente em Computação e Álgebra linear.</p><p>É muito comum uma matriz linha como [2 0 5] ser escrita</p><p>como (2, 0, 5), em se tratando de vetores.</p><p>3. Representação genérica</p><p>de uma matriz</p><p>Os números da matriz são chamados elementos ou termos</p><p>da matriz.</p><p>Vamos analisar esta matriz:</p><p>3 2 5 –1</p><p>–5 4 10 0</p><p>6 –2 1 dXX 2</p><p>Observe:</p><p>§ O elemento 3 na primeira linha e na primeira coluna é</p><p>indicado:</p><p>a1,1 (lê-se a um, um) = 3.</p><p>§ O elemento –5 na segunda linha e na primeira coluna</p><p>é indicado:</p><p>a2,1 (lê-se a dois, um) = –5.</p><p>MATRIZES E</p><p>OPERAÇÕES</p><p>COMPETÊNCIA(s)</p><p>6</p><p>HABILIDADE(s)</p><p>24, 25 e 26</p><p>MT</p><p>AULAS</p><p>45 E 46</p><p>38  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>§ O elemento 6 na terceira linha e na primeira coluna é</p><p>indicado:</p><p>a3,1 (lê-se a três, um) = 6.</p><p>§ O elemento 2 na primeira linha e na segunda coluna</p><p>é indicado:</p><p>a1, 2 (lê-se a um, dois) = 2.</p><p>§ O elemento dXX 2 na terceira linha e na quarta coluna é</p><p>indicado:</p><p>a3, 4 (lê-se a três, quatro) = dXX 2 .</p><p>Portanto,</p><p>§ para representar o elemento de uma matriz, usa-se</p><p>uma letra com dois índices: o primeiro indica em que</p><p>linha o elemento encontra-se, e o segundo, em que</p><p>coluna; por exemplo, a2, 3 é o elemento que está na</p><p>segunda linha e na terceira coluna;</p><p>§ o elemento genérico de uma matriz A será indicado</p><p>por ai,j , do qual i representa a linha e j representa a</p><p>coluna na qual o elemento encontra-se; ele é chamado</p><p>de ij-ésimo elemento da matriz; e</p><p>§ a matriz A, do tipo m × n, será escrita, genericamente,</p><p>deste modo:</p><p>a1,1 a1,2 a1,3 ... a1,n</p><p>a2,1 a2,2 a2,3 ... a2,n</p><p>a3,1 a3,2 a3,3 ... a3,n</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>am,1 am,2 am,3 ... am,n</p><p>ou</p><p>a1,1 a1,2 a1,3 ... a1,n</p><p>a2,1 a2,2 a2,3 ... a2,n</p><p>a3,1 a3,2 a3,3 ... a3,n</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>am,1 am,2 am,3 ... am,n</p><p>ou</p><p>a1,1 a1,2 a1,3 ... a1,n</p><p>a2,1 a2,2 a2,3 ... a2,n</p><p>a3,1 a3,2 a3,3 ... a3,n</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>.</p><p>am,1 am,2 am,3 ... am,n</p><p>A lista ordenada (ai1, ai2, ..., ain) chama-se a i-ésima linha ou</p><p>o i-ésimo vetor linha da matriz; e (a1j, a2j, ..., amj); a j-ésima</p><p>coluna ou j-ésimo vetor coluna da matriz.</p><p>Pode-se escrever abreviadamente a matriz A na forma:</p><p>A = (aij)m × n com 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n e i, j [ N</p><p>Lê-se matriz A, dos elementos aij, do tipo m × n.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Escreva a matriz A = (aij)3 X 2, tal que aij = 3i – 2j + 4.</p><p>Resolução:</p><p>Pelos dados do problema, a matriz deve ter 3 linhas e 2 colunas:</p><p>A =</p><p>a1,1 a1,2</p><p>a2,1 a2,2</p><p>a3,1 a3,2</p><p>aij = 3i – 2j + 4 é a “lei de formação” da matriz. Cada ter-</p><p>mo da matriz é definido substituindo-se i e j pelos valores</p><p>correspondentes.</p><p>a1,1 = 3 · 1 – 2 · 1 + 4 = 5</p><p>a1,2 = 3 · 1 – 2 · 2 + 4 = 3</p><p>a2,1 = 3 · 2 – 2 · 1 + 4 = 8</p><p>a2,2 = 3 · 2 – 2 · 2 + 4 = 6</p><p>a3,1 = 3 · 3 – 2 · 1 + 4 = 11</p><p>a3,2 = 3 · 3 – 2 · 2 + 4 = 9</p><p>Portanto, a matriz pedida é A =</p><p>5 3</p><p>8 6</p><p>11 9</p><p>.</p><p>2. Escreva a matriz X = (aij), com 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 3, tal</p><p>que</p><p>aij = 1 para i = j</p><p>aij = 0 para i ≠ j</p><p>.</p><p>Resolução:</p><p>A matriz deve ter três colunas, tal que:</p><p>a11 = a22 = a33 = 1</p><p>a12 = a13 = a21 = a23 = a31 = a32 = 0</p><p>Assim, X =</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>.</p><p>Dependendo de certas características, algumas matrizes</p><p>recebem nomes especiais, como a matriz linha e a matriz</p><p>coluna, já vistas.</p><p>A seguir, vamos conhecer mais algumas matrizes.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  39</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>4. Matriz quadrada</p><p>Consideremos uma matriz m × n.</p><p>Se m = n (o número de linhas é igual aos números de colunas),</p><p>diz-se que a matriz é quadrada de ordem n.</p><p>Modelos:</p><p>§ 3 5</p><p>2 6</p><p>é uma matriz quadrada de ordem 2 (m = n = 2).</p><p>§</p><p>5 3 10</p><p>–1 –4 6</p><p>dXX 2 0 – 1 __</p><p>2</p><p>é uma matriz quadrada de ordem 3</p><p>(m = n = 3).</p><p>Numa matriz quadrada de ordem n, os elementos a11, a22,</p><p>a33, ..., ann formam a diagonal principal da matriz (são os</p><p>elementos aij com i = j).</p><p>3 2</p><p>–1 6</p><p>1 3 10</p><p>–3 0 8</p><p>5 –1 6</p><p>diagonal principal diagonal principal</p><p>A outra diagonal da matriz quadrada nomeia-se de dia-</p><p>gonal secundária (são os elementos aij com i + j = n + 1).</p><p>3 2</p><p>–1 6</p><p>1 3 10</p><p>–3 0 8</p><p>5 –1 6</p><p>diagonal secundária diagonal secundária</p><p>5. Matriz triangular</p><p>Consideremos uma matriz quadrada de ordem r.</p><p>Se os elementos acima ou abaixo da diagonal principal</p><p>forem todos nulos, diz-se que a matriz é triangular.</p><p>Modelos:</p><p>2 0 0</p><p>8 3 0</p><p>7 9 –5</p><p>1 5 7 –9</p><p>0 3 8 – 2 __</p><p>3</p><p>0 0 0 –1</p><p>0 0 0 4</p><p>3 0</p><p>2 5</p><p>matriz triangular</p><p>inferior</p><p>matriz triangular</p><p>superior</p><p>matriz triangular</p><p>inferior</p><p>Numa matriz triangular, aij = 0 para i > j ou aij = 0 para i</p><p>aos polinômios |</p><p>Algebra 1 | Khan Academy</p><p>multimídia: vídeo</p><p>9. Igualdade de matrizes</p><p>Consideremos duas matrizes A e B, de mesmo tipo m × n,</p><p>no caso 3 × 2:</p><p>A = B =</p><p>Em matrizes de mesmo tipo, os elementos que ocupam a</p><p>mesma posição são denominados elementos correspon-</p><p>dentes.</p><p>Portanto, nas matrizes A e B, são considerados elementos</p><p>correspondentes:</p><p>Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, tiverem o</p><p>mesmo tipo e seus elementos correspondentes forem iguais.</p><p>Dada as matrizes A = (aij)m x n e B = (bij)m x n, simbolicamente há:</p><p>A = B à aij = bij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n</p><p>Modelos:</p><p>§ as matrizes são quadradas</p><p>de ordem 2 e os elementos correspondentes são iguais.</p><p>§ ∫ as matrizes são do</p><p>mesmo tipo 3 × 2 e os elementos correspondentes são iguais.</p><p>§ Se A = e B = , A ≠ B, uma vez que</p><p>A e B não têm o mesmo tipo.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Determinar x e y para que sejam iguais as matrizes</p><p>e .</p><p>Resolução:</p><p>As duas matrizes têm a mesma ordem (2).</p><p>Para que as matrizes sejam iguais, é necessário que haja:</p><p>Resolvido esse sistema de equação do primeiro grau:</p><p>3x + 2y = 7 ä 3x + 2(2) = 7 ä 3x + 4 = 7 ä 3x = 3</p><p>ä x = 1</p><p>Logo, x = 1 e y = 2</p><p>10. Adição de matrizes</p><p>Consideremos duas matrizes A e B do tipo 2 x 3.</p><p>A = B =</p><p>Vamos determinar uma matriz C, tal que cij = aij + bij:</p><p>c11 = a11 + b11 = 3 + 1 = 4</p><p>c22 = a22 + b22 = 8 + 0 = 8</p><p>c21 = a21 + b21 = 2 + 7 = 9</p><p>c13 = a13 + b13 = (–2) + (–1) = –3</p><p>c12 = a12 + b12 = 5 + (–4) = 1</p><p>c23 = a23 + b23 = (–6) + 2 = –4</p><p>ou seja:</p><p>A + B = C</p><p>+ =</p><p>=</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  41</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>A matriz C assim obtida denomina-se soma da matriz A com a matriz B ou soma das matrizes A e B.</p><p>Portanto, dadas duas matrizes A e B do mesmo tipo m X n, denomina-se soma da matriz A com a matriz B, que são repre-</p><p>sentadas por A + B, a matriz C do tipo m x n na qual cada elemento é obtido adicionando-se os elementos correspondentes</p><p>de A e B.</p><p>Se A = (aij) e B = (bij), são matrizes do tipo m x n, a soma A + B é a matriz C = (Cij) do tipo m x n tal que:</p><p>cij = aij + bij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n</p><p>10.1. Propriedades da adição de matrizes</p><p>Já foram estudadas no Ensino Fundamental as propriedades da adição de números reais. Com a definição dada para adição</p><p>de matrizes, é possível confirmar que essas propriedades são válidas para a adição de matrizes.</p><p>Nota</p><p>Se A = (aij) m x n, logo –A = (–aij)m x n.</p><p>Números reais Matrizes m × n</p><p>Comutativa a + b = b + a A + B = B + A</p><p>Associativa (a + b) + c = a + (b + c) (A + B) + C = A + (B + C)</p><p>Elemento neutro a + 0 = 0 + a = a A + 0 = 0 + A = A</p><p>Elemento oposto a + (–a) = (–a) + a = 0 A + (–A) = (–A) + A = 0</p><p>Cancelamento a = b à a + c = b + c A = B à A + C = B + C</p><p>10.2. Matriz oposta de uma matriz A</p><p>Denomina-se matriz oposta de uma matriz A (representada por –A) a matriz que, somada com A, resulta uma matriz nula.</p><p>Modelos:</p><p>§ Se A = , a matriz oposta de A é , uma vez que + = .</p><p>§ Se B = , a matriz oposta de B é , uma vez que + = .</p><p>11. Subtração de matrizes</p><p>Se A e B forem duas matrizes do tipo m x n, denomina-se diferença entre A e B (representada por A – B) a soma da matriz</p><p>A com a matriz oposta de B.</p><p>A – B = A + (–B)</p><p>42  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Por exemplo:</p><p>Pode-se também definir A – B assim:</p><p>Dadas as matrizes A = (aij)m × n e B = (bij)m × n, A – B = C tal</p><p>que cij = aij – bij para 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.</p><p>12. Multiplicação de um</p><p>número real por uma matriz</p><p>Dada a matriz A = , determinar A + A.</p><p>A + A = + =</p><p>Considerando que A + A = 2A:</p><p>2A = 2 = =</p><p>2A =</p><p>O produto de um número real pela matriz A é uma matriz</p><p>obtida da multiplicação do número real pelos elementos</p><p>de A.</p><p>Portanto, se A é uma matriz m × n, de elementos aij, e a é</p><p>um número real, aA é uma matriz m × n cujos elementos</p><p>são bij = a · aij.</p><p>Modelos:</p><p>§ Se A = , então:</p><p>3A = =</p><p>§ Se A = :</p><p>12.1. Propriedades</p><p>Se a e b forem números reais e A e B, matrizes de mesmo</p><p>tipo, a demonstração é esta:</p><p>(a + b) A = a · A + b · A a (b · A) = (a · b)A</p><p>a(A + B) = a · A + a · B 1 · A = A</p><p>13. Matriz transposta</p><p>de uma matriz dada</p><p>Seja A uma matriz m × n.</p><p>Denomina-se matriz transposta de A (indicada por At) a</p><p>matriz n × m cujas linhas são, ordenadas, as colunas de A.</p><p>Modelos:</p><p>§ A =</p><p>§ A =</p><p>§ A =</p><p>Se A = (aij) é do tipo m × n, logo At = (bij) é do tipo n × m</p><p>e bji = aij.</p><p>13.1. Propriedades da matriz transposta</p><p>Observe as propriedades com matriz transposta:</p><p>(At)t = A (aA)t = aAt (A + B)t = At + Bt</p><p>14. Matriz simétrica</p><p>Observe esta matriz A e sua transposta At.</p><p>A = At =</p><p>Se comparadas, observa-se que A = At, fato que permite</p><p>dizer que A é matriz simétrica.</p><p>Dada uma matriz quadrada A = (aij), diz-se que A é</p><p>matriz simétrica se, e somente se, aji = aij, para todo</p><p>1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n.</p><p>Observe que os elementos da matriz simétrica A e At são</p><p>simétricos em relação à diagonal principal.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  43</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>15. Matriz antissimétrica</p><p>Observe estas matrizes quadradas:</p><p>A = At =</p><p>Se comparadas, observa-se que A = –At, fato que permite</p><p>dizer que A é matriz antissimétrica. Note que cada elemen-</p><p>to aij é o oposto de aji.</p><p>Por definição, dada a matriz quadrada A = (aij)n, diz-se que A</p><p>é matriz antissimétrica se, e somente se, aij = –aji, para todo</p><p>1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n.</p><p>16. Multiplicação de matrizes</p><p>A multiplicação de matrizes não é uma operação tão sim-</p><p>ples como as já estudadas. No caso delas, não basta multi-</p><p>plicar os elementos correspondentes.</p><p>Considere a seguinte situação: durante a primeira fase da</p><p>Copa do Mundo de Futebol realizada na Alemanha, em</p><p>2006, o grupo F era formado por quatro países: Brasil, Cro-</p><p>ácia, Austrália e Japão. Esta tabela registra os resultados</p><p>(números de vitórias, empates e derrotas) de cada um. Tra-</p><p>ta-se de uma tabela e uma matriz A, do tipo 4 × 3.</p><p>Vitória Empate Derrota</p><p>Brasil 3 0 0</p><p>Croácia 0 2 1</p><p>Austrália 1 1 1</p><p>Japão 0 1 2</p><p>A =</p><p>3 0 0</p><p>0 2 1</p><p>1 1 1</p><p>0 1 2</p><p>Pelo regulamento da Copa, cada resultado (vitória, empate</p><p>ou derrota) tinha pontuação correspondente a 3 pontos, 1</p><p>ponto ou 0 ponto, fato registrado nesta tabela e em uma</p><p>matriz B, do tipo 3 × 1.</p><p>Número de pontos</p><p>Vitória 3</p><p>Empate 1</p><p>Derrota 0</p><p>B =</p><p>3</p><p>1</p><p>0</p><p>Terminada a primeira fase, verificou-se o total de pontos</p><p>feitos pelos países participantes, pontuação que pode ser</p><p>registrada numa matriz representada por AB (produto de A</p><p>por B). Como foi obtida a matriz da pontuação de cada país?</p><p>Brasil: 3 ⋅ 3 + 0 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 = 9</p><p>Croácia: 0 ⋅ 3 + 2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 = 2</p><p>Austrália: 1 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 = 4</p><p>Japão: 0 ⋅ 3 + 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 = 1</p><p>AB =</p><p>9</p><p>2</p><p>4</p><p>1</p><p>Esse exemplo sugere como deve ser feita a multiplicação de</p><p>matrizes. Observe a relação entre as ordens das matrizes:</p><p>A4 × 3 ⋅ B3 × 1 = AB4 × 1</p><p>16.1. Definição matemática da</p><p>multiplicação de matrizes</p><p>Dada uma matriz A = (aij) do tipo m × n e uma matriz</p><p>B = (bij) do tipo n × p, o produto da matriz A pela matriz</p><p>B é a matriz C = (cij) do tipo m × p, tal que o elemento cij</p><p>é calculado pela multiplicação ordenada dos elementos da</p><p>linha i, da matriz A, pelos elementos da coluna j, da matriz</p><p>B, e pela soma dos produtos obtidos.</p><p>Para dizer que a matriz C é o produto de A por B, ela será</p><p>indicada por AB.</p><p>Observe que só definimos o produto AB de duas matrizes</p><p>se o número de colunas de A for igual ao número de linhas</p><p>de B; além disso, observe que o produto AB tem o mesmo</p><p>número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.</p><p>Am × n ⋅ Bn × p = ABm × p</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Dados A =</p><p>3 2</p><p>5 0</p><p>1 4</p><p>e B =</p><p>3 1</p><p>6 2</p><p>, determine AB.</p><p>44  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Resolução:</p><p>Uma vez que A é uma matriz 3 × 2 e B é uma matriz 2 × 2, o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.</p><p>Portanto, está definido o produto AB, que será matriz 3 × 2:</p><p>AB =</p><p>c11 c12</p><p>c21 c22</p><p>c31 c32</p><p>=</p><p>3 2</p><p>5 0</p><p>1 4</p><p>3 1</p><p>6 2</p><p>=</p><p>3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 6 3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2</p><p>5 ⋅ 3 + 0 ⋅ 6 5 ⋅ 1 + 0 ⋅ 2</p><p>1 ⋅ 3</p><p>+ 4 ⋅ 6 1 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2</p><p>=</p><p>21 7</p><p>15 5</p><p>27 9</p><p>2. Dados A =</p><p>1 3 2</p><p>0 5 –1</p><p>e B =</p><p>3 0</p><p>4 –2</p><p>1 6</p><p>, determine o elemento c21 da matriz C = AB.</p><p>3 × 2 2 × 2 3 × 2</p><p>Resolução:</p><p>A é uma matriz 2 × 3</p><p>B é uma matriz 3 × 2</p><p>AB será uma matriz 2 × 2</p><p>AB =</p><p>C11 C12</p><p>C21 C22</p><p>C21: usa-se a segunda linha de A e a primeira coluna de B:</p><p>0 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4 + (–1) ⋅ 1 = 19</p><p>Portanto, c21 = 19.</p><p>3. Seja a matriz A =</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>.</p><p>A soma dos elementos da matriz A100 é:</p><p>a) 102. b) 118. c) 150.</p><p>d) 175. e) 300.</p><p>Resolução:</p><p>Ao calcular algumas potências de A, percebe-se um padrão:</p><p>A2 =</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>⋅</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>=</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>A3 =</p><p>1 2</p><p>0 1</p><p>⋅</p><p>1 1</p><p>0 1</p><p>=</p><p>1 3</p><p>0 1</p><p>A100 =</p><p>1 100</p><p>0 1</p><p>Logo, a soma de seus elementos é: 1 + 100 + 0 + 1 = 102.</p><p>16.2. Propriedades da multiplicação de matrizes</p><p>As propriedades da multiplicação dos números reais já são</p><p>conhecidas. Vamos estudar agora que apenas algumas de-</p><p>las são válidas para a multiplicação de matrizes.</p><p>A multiplicação de matrizes não é comutativa.</p><p>Modelos:</p><p>§ Dadas as matrizes A =</p><p>2 5</p><p>–1 3</p><p>e B =</p><p>–3 2</p><p>4 6</p><p>,</p><p>calculemos AB e BA.</p><p>A é uma matriz 2 × 2</p><p>B é uma matriz 2 × 2</p><p>AB existe e será uma matriz 2 × 2</p><p>AB =</p><p>2 5</p><p>–1 3</p><p>–3 2</p><p>4 6</p><p>=</p><p>14 34</p><p>15 16</p><p>B é uma matriz 2 × 2</p><p>A é uma matriz 2 × 2</p><p>BA existe e será uma matriz 2 × 2</p><p>BA =</p><p>–3 2</p><p>4 6</p><p>2 5</p><p>–1 3</p><p>=</p><p>–8 –9</p><p>2 38</p><p>Notamos que AB ≠ BA.</p><p>§ Se A é uma matriz do tipo 2 × 3 e B uma matriz do tipo</p><p>3 × 4, pode-se calcular AB, mas não se pode calcular BA.</p><p>Trata-se de mais um caso em que AB ≠ BA.</p><p>§ A =</p><p>1 0</p><p>–1 1</p><p>e B =</p><p>2 0</p><p>1 2</p><p>.</p><p>A é de ordem 2 e B é de ordem 2. Logo, pode-se calcular</p><p>AB, bem como BA.</p><p>AB =</p><p>1 0</p><p>–1 1</p><p>2 0</p><p>1 2</p><p>=</p><p>2 0</p><p>–1 2</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  45</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>BA =</p><p>2 0</p><p>1 2</p><p>1 0</p><p>–1 1</p><p>=</p><p>2 0</p><p>–1 2</p><p>Nesse caso, AB = BA. Se isso ocorrer, diz-se que as ma-</p><p>trizes A e B comutam, ou A comuta com B, ou A e B</p><p>são comutáveis.</p><p>Conclusão: num produto de duas matrizes A e B, é essen-</p><p>cial a ordem em que os fatores aparecem, uma vez que a</p><p>multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, AB</p><p>nem sempre é igual a BA.</p><p>Nota</p><p>Sempre que forem possíveis as multiplicações en-</p><p>volvidas, são válidas estas deduções:</p><p>§ A = B ⇒ AC = BC (multiplicar a mesma matriz</p><p>à direita)</p><p>§ A = B ⇒ CA = CB (multiplicar a mesma matriz à</p><p>esquerda)</p><p>Atenção</p><p>Não é valida a dedução A = B ⇒ AC = CB, uma vez</p><p>que a multiplicação de matrizes não é comutativa.</p><p>Na multiplicação de matrizes não vale a propriedade</p><p>do cancelamento.</p><p>§ Dadas as matrizes A =</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>, B =</p><p>3 0</p><p>4 7</p><p>e C =</p><p>11 2</p><p>0 6</p><p>, calculemos AB e AC.</p><p>AB =</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>3 0</p><p>4 7</p><p>=</p><p>11 14</p><p>11 14</p><p>AC =</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>11 2</p><p>0 6</p><p>=</p><p>11 14</p><p>11 14</p><p>Note que é possível ter AB = AC, com B ≠ C.</p><p>Se A, B e C são matrizes, tal que AB = AC, não se pode</p><p>garantir que B e C sejam iguais.</p><p>Na multiplicação de matrizes não vale</p><p>a propriedade do anulamento.</p><p>§ Dadas as matrizes A =</p><p>1 –1</p><p>–2 2</p><p>e B =</p><p>5 5</p><p>5 5</p><p>,</p><p>não nulas, calculemos AB.</p><p>AB =</p><p>1 –1</p><p>–2 2</p><p>5 5</p><p>5 5</p><p>=</p><p>0 0</p><p>0 0</p><p>Se A e B são matrizes, tal que AB = 0 (matriz nula), não se</p><p>pode garantir que uma delas seja nula.</p><p>Nota</p><p>A definição de multiplicação de matrizes e o fato de</p><p>ela não ser comutativa exigem a análise cuidadosa</p><p>da propriedade do elemento neutro.</p><p>Por exemplo, seja A uma matriz quadrada de ordem 3:</p><p>A =</p><p>2 –1 0</p><p>3 4 2</p><p>–1 –2 5</p><p>O que ocorre se for feito Al3 e l3A?</p><p>Al3=</p><p>2 –1 0</p><p>3 4 2</p><p>–1 –2 5</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>=</p><p>2 –1 0</p><p>3 4 2</p><p>–1 –2 5</p><p>= A</p><p>l3A =</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>2 –1 0</p><p>3 4 2</p><p>–1 –2 5</p><p>=</p><p>2 –1 0</p><p>3 4 2</p><p>–1 –2 5</p><p>= A</p><p>Seja A uma matriz não quadrada, por exemplo, do tipo</p><p>2 × 3: A =</p><p>5 3 1</p><p>–1 0 2</p><p>.</p><p>Pode-se fazer:</p><p>A2×3· I3 =</p><p>5 3 1</p><p>–1 0 2</p><p>1 0 0</p><p>0 1 0</p><p>0 0 1</p><p>=</p><p>5 3 1</p><p>–1 0 2</p><p>= A</p><p>I2 · A2×3 =</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>5 3 1</p><p>–1 0 2</p><p>=</p><p>5 3 1</p><p>–1 0 2</p><p>= A</p><p>Pode-se escrever:</p><p>§ se A é uma matriz quadrada de ordem n, logo</p><p>Aln = lnA = A; e</p><p>46  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>§ se A é uma matriz do tipo m × n, com m ≠ n, logo</p><p>Aln = lmA = A.</p><p>As propriedades associativa e distributiva</p><p>valem para a multiplicação de matrizes.</p><p>Na multiplicação de matrizes, pode-se demonstrar que</p><p>sempre é possível efetuar as multiplicações envolvidas:</p><p>A (BC) = (AB)C</p><p>(A + B)C = AC + BC</p><p>A(B + C) = AB + AC</p><p>Escolha três matrizes A, B e C e verifique essas propriedades.</p><p>17. Uma propriedade envolvendo</p><p>transposta de matriz produto</p><p>Caso haja produtos envolvidos, haverá mais uma proprie-</p><p>dade da multiplicação de matrizes:</p><p>(AB)t = BtAt</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Dadas as matrizes A =</p><p>1 0 0</p><p>0 –1 2</p><p>2 0 1</p><p>e B =</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>,</p><p>determine a matriz X na equação matricial AX = B.</p><p>Resolução:</p><p>Pela definição de multiplicação de matrizes, a matriz X</p><p>deve ter:</p><p>§ número de linhas = número de colunas de A; e</p><p>§ número de colunas = número de colunas de B.</p><p>Logo, X é uma matriz 3 × 1, ou seja, X =</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>.</p><p>Portanto:</p><p>1 0 0</p><p>0 –1 2</p><p>2 0 1</p><p>x</p><p>y</p><p>z</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>⇒</p><p>⇒</p><p>x</p><p>–y + 2z</p><p>2x + z</p><p>=</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>Com a igualdade de matrizes:</p><p>x = 2</p><p>–y + 2z = 3</p><p>2x + z = 1</p><p>§ x = 2</p><p>§ 2x + z = 1 ⇒ 2(2) + z = 1 ⇒ 4 + z = 1 ⇒ z = –3</p><p>§ –y + 2z = 3 ⇒ –y + 2(– 3) = 3 ⇒ –y – 6 = 3 ⇒</p><p>⇒ –y = 9 ⇒ y = –9</p><p>Logo, a matriz procurada é X =</p><p>2</p><p>–9</p><p>–3</p><p>.</p><p>2. Se A =</p><p>2 1</p><p>0 3</p><p>, determine a matriz X tal que AX = I2.</p><p>Resolução:</p><p>X é uma matriz quadrada de ordem 2, ou seja, X =</p><p>a b</p><p>c d</p><p>.</p><p>Portanto:</p><p>2 1</p><p>0 3</p><p>a b</p><p>c d</p><p>=</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>2a + c 2b + d</p><p>0a + 3c 0b + 3d</p><p>=</p><p>1 0</p><p>0 1</p><p>Com a igualdade de matrizes:</p><p>2a + c = 1</p><p>2b + d = 0</p><p>3c = 0</p><p>3d = 1</p><p>Que resulta em a = 1 __</p><p>2</p><p>, b = – 1 __</p><p>6</p><p>, c = 0 e d = 1 __</p><p>3</p><p>.</p><p>Logo, a matriz pedida é X =</p><p>1 __</p><p>2</p><p>– 1 __</p><p>6</p><p>0 1 __</p><p>3</p><p>.</p><p>https://pt.khanacademy.org/math/precalculus/precalc-</p><p>-matrices</p><p>multimídia: site</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  47</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>VIVENCIANDO</p><p>Matriz é um assunto que, no Ensino Médio, pode ser entediante, mas que, no Ensino Superior, é visto como funda-</p><p>mental. Podemos entender que as matrizes são vários sistemas lineares perfeitamente enfileirados, sendo que cada</p><p>linha traz uma informação.</p><p>No ramo das ciências tecnológicas, podemos destacar dois impressionantes usos:</p><p>1. Codificação e compressão de imagens e vídeos. Os algoritmos utilizados pelas máquinas são formados por matriz-</p><p>es, sendo que cada linha e cada coluna da matriz simboliza um pixel da imagem a ser comprimida e descomprimida.</p><p>2. Google Pagerank. O Google, através de algoritmos também em forma de matrizes, ordena a “relevância” de cada</p><p>site e os deixa em forma de ranking, em que o site mais importante ocupa o topo da página de resultados da busca.</p><p>48  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM</p><p>HABILIDADE 25</p><p>Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.</p><p>A habilidade 25 exige do aluno a capacidade de resolver uma situação proposta a partir da análise de</p><p>gráficos e tabelas.</p><p>MODELO 1</p><p>(Enem) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que</p><p>as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4×4, e que poderia calcular as médias anuais dessas</p><p>disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu</p><p>é mostrada a seguir.</p><p>1.º bimestre 2.º bimestre 3.º bimestre 4.º bimestre</p><p>Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5</p><p>Português 6,6 7,1 6,5 8,4</p><p>Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0</p><p>História 6,2 5,6 5,9 7,7</p><p>Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por:</p><p>a) b) c) d) e)</p><p>ANÁLISE EXPOSITIVA</p><p>O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conhe-</p><p>cimentos sobre operações com matrizes e aplicações para a sua resolução.</p><p>A média de cada matéria é a soma das notas dividida por 4, e a única matriz que possibilita essa condição é a</p><p>da alternativa [E]. Então para determinar a média devemos ter:</p><p>. =</p><p>RESPOSTA Alternativa E</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  49</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>MATRIZES</p><p>IGUALDADE DE MATRIZESDEFINIÇÕES</p><p>CLASSIFICAÇÃO</p><p>MATRIZ QUADRADA MATRIZ DIAGONAL MATRIZ TRIANGULAR</p><p>MATRIZ IDENTIDADE (IN)</p><p>MATRIZ NULA</p><p>Tabela retangular</p><p>formada por m linhas</p><p>e n colunas</p><p>n.º de colunas = n.º de linhas</p><p>Diagonal principal:</p><p>Elementos aij com i = j</p><p>Todos os elementos da matriz são iguais a zero</p><p>SUPERIOR</p><p>INFERIOR</p><p>aij = 0 para i > j ou</p><p>aij = 0 para i</p><p>Y</p><p>Y = 8 __</p><p>3</p><p>1 –2</p><p>0 4</p><p>– 1 __</p><p>3</p><p>3 0</p><p>–1 2</p><p>=</p><p>Y =</p><p>8 __</p><p>3</p><p>– 16 ___</p><p>3</p><p>0 32 ___</p><p>3</p><p>–</p><p>1 0</p><p>– 1 __</p><p>3</p><p>2 __</p><p>3</p><p>=</p><p>5 __</p><p>3</p><p>– 16 ___</p><p>3</p><p>1 __</p><p>3</p><p>10</p><p>4. Dadas as matrizes A =</p><p>2 3</p><p>–1 0</p><p>e B =</p><p>4 3</p><p>–7 –3</p><p>,</p><p>resolva a equação matricial XA = B.</p><p>Resolução:</p><p>A ordem de X é 2 × 2, pois X2 × 2 ⋅ A2 × 2 = B2 × 2.</p><p>Se X for representado por</p><p>a b</p><p>c d</p><p>:</p><p>a b</p><p>c d</p><p>⋅</p><p>2 3</p><p>–1 0</p><p>=</p><p>4 3</p><p>–7 –3</p><p>⇒</p><p>⇒</p><p>2a – b = 4</p><p>3a = 3</p><p>e</p><p>2c – d= –7</p><p>3c = –3</p><p>⇒</p><p>⇒ a = 1, b = –2, c = –1, d = 5</p><p>Logo, X = ( 1 ___</p><p>–1</p><p>–2 ___</p><p>5</p><p>)</p><p>54  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>MATRIZ INVERSA FORMA DE EQUAÇÃO</p><p>X será matriz inversa (A–1).</p><p>A será uma matriz inversível</p><p>ou não singular.</p><p>Resoluções de equações cujas</p><p>incógnitas são matrizes.</p><p>Utilizamos as operações de</p><p>adição, subtração e multi-</p><p>plicação (por número real</p><p>ou por outra matriz).</p><p>A obtenção da matriz inversa</p><p>é dada a partir da resolução</p><p>de sistemas lineares.</p><p>AX = In</p><p>XA = In</p><p>A → matriz quadrada</p><p>X = A–1 → matriz inversa</p><p>In → matriz identidade</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  55</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>1. Introdução</p><p>Toda matriz quadrada possui, associada a ela, um número de-</p><p>nominado determinante da matriz, obtido por meio de opera-</p><p>ções que envolvem todos os elementos da matriz. Os determi-</p><p>nantes surgiram há cerca de 300 anos (apesar de já existirem</p><p>“esboços” do que seriam determinantes na Matemática chine-</p><p>sa, há dois mil anos), associados à resolução de equações linea-</p><p>res. Atualmente, matrizes e determinantes são uma importante</p><p>ferramenta matemática, com aplicações em diversas áreas.</p><p>Um detalhe importante sobre esse tema deve ser sempre</p><p>lembrado: não existe determinante de matriz que não</p><p>seja quadrada.</p><p>2. Determinante de matriz</p><p>quadrada de ordem 1</p><p>Considere a matriz quadrada de ordem 1, indicada por A = [a11].</p><p>Por definição, o determinante de A é igual ao número a11,</p><p>que é indicado assim: det A = a11.</p><p>Dadas as matrizes A = [4] e B = [–2], escreve-se det A = 4;</p><p>det B = –2;</p><p>det A + det B = 4 + (–2) = 2.</p><p>3. Determinante de matriz</p><p>quadrada de ordem 2</p><p>Se A for uma matriz quadrada de ordem 2, deve-se cal-</p><p>cular seu determinante fazendo o produto dos elementos</p><p>da diagonal principal menos o produto dos elementos da</p><p>diagonal secundária.</p><p>Dada a matriz A =</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>, seu determinante é indi-</p><p>cado assim:</p><p>det A = a11 ⋅ a22 – a12 ⋅ a21</p><p>ou</p><p>det A =</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>= a11 ⋅ a22 – a12 ⋅ a21</p><p>Por exemplo, o determinante da matriz A (det A), do qual</p><p>A =</p><p>6 3</p><p>2 –4</p><p>é dado por:</p><p>det A =</p><p>6 3</p><p>2 –4</p><p>= 6 ⋅ (–4) – 3 ⋅ 2 = –24 – 6 = – 30</p><p>4. Determinante de matriz</p><p>quadrada de ordem 3</p><p>Considere a matriz genérica de ordem 3:</p><p>A =</p><p>a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>a31 a32 a33</p><p>Define-se o determinante da matriz de ordem 3 ao número:</p><p>det A =</p><p>a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>a31 a32 a33</p><p>=</p><p>=a11a22a33 + a12a23a31 + a13a32a21 – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a32a23</p><p>Esses seis produtos podem ser obtidos de uma forma</p><p>prática, conhecida como regra de Sarrus, que consiste</p><p>no seguinte:</p><p>§ Repetem-se as duas primeiras colunas à direita na matriz</p><p>e efetuam-se as seis multiplicações como indicado:</p><p>a11 a12 a13</p><p>a21 a22 a23</p><p>a31 a32 a33</p><p>a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>a31 a32</p><p>a11 ⋅ a22 ⋅ a33–(a12 ⋅ a21 ⋅ a33)–(a11⋅ a23 ⋅ a32)–(a13 ⋅ a22 ⋅ a31) a12 ⋅ a23 ⋅ a31 a13 ⋅ a21 ⋅ a32</p><p>DETERMINANTES</p><p>COMPETÊNCIA(s)</p><p>6</p><p>HABILIDADE(s)</p><p>24, 25 e 26</p><p>MT</p><p>AULAS</p><p>49 E 50</p><p>56  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>§ Os produtos obtidos na direção da diagonal principal</p><p>permanecem com o mesmo sinal.</p><p>§ Os produtos obtidos na direção da diagonal secundária</p><p>mudam de sinal.</p><p>§ O determinante é a soma desses valores obtidos.</p><p>Modelo:</p><p>A =</p><p>3 1 5</p><p>1 0 –2</p><p>–1 4 –3</p><p>3 1 5</p><p>1 0 –2</p><p>–1 4 –3</p><p>3 1</p><p>1 0</p><p>–1 4</p><p>0+3+240 +2 +20</p><p>det A = 49</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Calcule o determinante</p><p>dXX 2 –1</p><p>3 5 dXX 2</p><p>.</p><p>Resolução:</p><p>dXX 2 –1</p><p>3 5 dXX 2</p><p>= dXX 2 ⋅ 5 dXX 2 – 3 ⋅ (–1) = 10 + 3 = 13</p><p>2. Resolva a equação</p><p>5 2</p><p>x – 1 x + 3</p><p>= – 1.</p><p>Resolução:</p><p>Cálculo do determinante:</p><p>5 2</p><p>x – 1 x + 3</p><p>= 5(x + 3) – 2(x – 1) = 5x + 15 – 2x + 2 = − 1</p><p>Equação a ser resolvida:</p><p>3x + 17 = – 1 ⇒ 3x = – 1 – 17 ⇒ 3x = –18 ⇒ x = –6</p><p>S = {–6}</p><p>3. Dadas as matrizes A =</p><p>3 1</p><p>–1 2</p><p>e B =</p><p>–1 5</p><p>0 –1</p><p>,</p><p>calcule:</p><p>a) det (A + B)</p><p>b) det (AB)</p><p>c) (det A)B</p><p>Resolução:</p><p>a) Inicialmente, obtém-se a matriz A + B =</p><p>2 6</p><p>–1 1</p><p>,</p><p>para depois calcular:</p><p>det(A + B) =</p><p>2 6</p><p>–1 1</p><p>= 2 + 6 = 8</p><p>b) Obtenção de AB =</p><p>–3 14</p><p>1 –7</p><p>e, em seguida,</p><p>det(AB) = 21 – 14 = 7.</p><p>c) Cálculo do det A = 6 + 1 = 7 e depois do</p><p>(det A)B = 7</p><p>–1 5</p><p>0 –1</p><p>=</p><p>–7 35</p><p>0 –7</p><p>.</p><p>4. De acordo com a regra de Sarrus, calcule o determinante</p><p>da matriz A =</p><p>2 3 –1</p><p>5 2 0</p><p>1 4 –3</p><p>.</p><p>Resolução:</p><p>det A = 2 ⋅ 2 ⋅ (–3) + 3 ⋅ 0 ⋅ 1 + 5 ⋅ 4 ⋅ (–1)</p><p>– (–1) ⋅ 2 ⋅ 1 – 3 ⋅ 5 ⋅ (–3) – 0 ⋅ 4 ⋅ 2 ⇒</p><p>det A = –12 – 20 + 2 + 45 = 15</p><p>5. Resolva a equação</p><p>x 3 5</p><p>x+1 2 1</p><p>3 2 4</p><p>= 0.</p><p>Resolução:</p><p>Pela regra de Sarrus:</p><p>x · 2 · 4 + 3 · 1 · 3 + (x + 1) · 2 · 5 – 5 · 2 · 3 – 3(x + 1) · 4 – x · 2 · 1 = 0 ⇒</p><p>⇒ 8x + 9 + 10x + 10 – 30 – 12x – 12 – 2x = 0</p><p>⇒ 4x – 23 = 0 ⇒ 4x = 23 ⇒ x = 23 ___</p><p>4</p><p>S = { 23 ___</p><p>4</p><p>}</p><p>6. Dadas as matrizes A =</p><p>2 x</p><p>3 9</p><p>e B =</p><p>1 –1 0</p><p>2 3 x</p><p>–1 2 1</p><p>,</p><p>determine o valor de x para que se tenha det A = det B.</p><p>Resolução:</p><p>§ A é a matriz de ordem 2: det A = 2 ⋅ 9 – 3x = 18 – 3x</p><p>§ B é a matriz de ordem 3; de acordo com a regra de</p><p>Sarrus: det B = 3 + x + 0 – 0 – (–2) – 2x = –x + 5</p><p>det A = det B ⇒ 18 – 3x = –x + 5 ⇒ x = 13 ___</p><p>2</p><p>Assim, x = 13 ___</p><p>2</p><p>.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  57</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>5. Determinante de matriz</p><p>quadrada de ordem maior que 3</p><p>Apesar da definição geral para o cálculo de determinan-</p><p>tes de matrizes quadradas de qualquer ordem, foram</p><p>priorizadas aqui regras práticas, uma vez que esse assun-</p><p>to tem um forte caráter de aplicação, principalmente no</p><p>Ensino Médio.</p><p>Assim, a regra prática que será analisada a seguir tem o</p><p>objetivo de agilizar a resolução de um determinante, inde-</p><p>pendentemente de sua ordem, podendo até substituir as</p><p>regras já definidas para matrizes de ordens 2 ou 3.</p><p>Conhecida como regra de Chió, essa regra consiste no</p><p>“rebaixamento” da ordem da matriz, mantendo-se cons-</p><p>tante o valor de seu determinante. Ou seja, a partir de</p><p>determinadas operações, encontra-se uma nova matriz</p><p>de ordem um grau menor que a anterior, cujo valor do</p><p>determinante seja igual ao da matriz anterior. Aplicada</p><p>sucessivamente a regra, é possível encontrar outras ma-</p><p>trizes de ordens cada vez menores, mantendo o valor do</p><p>determinante, até que se chegue a uma matriz de ordem</p><p>3 ou 2, cujas regras práticas já são conhecidas. Se prefe-</p><p>rir, chega-se ao valor do determinante, uma vez que essa</p><p>regra aplica-se a matrizes quadradas de qualquer ordem.</p><p>A conveniência de continuar ou não o processo manifes-</p><p>ta-se ao longo dos exercícios.</p><p>A princípio, é necessário impor a condição de que o ele-</p><p>mento que fica na primeira linha e na primeira coluna, isto</p><p>é, a11, seja igual a 1.</p><p>Assim:</p><p>§ Se a11 = 1, a primeira linha e a segunda coluna da ma-</p><p>triz devem ser “isoladas”.</p><p>§ Subtrai-se de cada elemento restante o produto dos</p><p>dois elementos isolados, pertencentes à linha e à colu-</p><p>na desse elemento restante.</p><p>§ Com o resultado dessas subtrações, obtém-se uma</p><p>matriz de ordem menor que a anterior, mas com</p><p>mesmo determinante.</p><p>Observe a aplicação da regra a uma matriz de ordem 3,</p><p>uma vez que, mediante a regra de Sarrus, pode-se verificar</p><p>o resultado obtido.</p><p>Seja M =</p><p>1 6 10</p><p>–7 2 4</p><p>6 3 –6</p><p>.</p><p>§ Calcule det M de acordo com a regra de Chió:</p><p>1 6 10</p><p>–7 2 4</p><p>6 3 –6</p><p>=</p><p>2 – (–7) ⋅ 6 4 – (–7) ⋅ 10</p><p>3 – 6 ⋅ 6 –6 – 6 ⋅ 10</p><p>=</p><p>44 74</p><p>–33 –66</p><p>= 44 (–66) – 74 (–33) =</p><p>= –2904 + 2442 = –462</p><p>§ De acordo com a regra de Sarrus:</p><p>1 6 10</p><p>–7 2 4</p><p>6 3 –6</p><p>= –12 + 144 – 210 – 120 – 252 – 12 = –462</p><p>Considere a seguinte matriz de ordem 4:</p><p>1 2 0 –1</p><p>1 3 6 9</p><p>4 1 2 0</p><p>–2 2 3 –4</p><p>.</p><p>Aplique a regra de Chió.</p><p>1 2 0 –1</p><p>1 3 6 9</p><p>4 1 2 0</p><p>–2 2 3</p><p>–4</p><p>=</p><p>=</p><p>3 – 2 ⋅ 1 6 – 0 ⋅ 1 9 – (–1) ⋅ 1</p><p>1 – 2 ⋅ 4 2 – 0 ⋅ 4 0 – (–1) ⋅ 4</p><p>2 – (–2) ⋅ 2 3 – 0 ⋅ (–2) –4 – (–1)(–2)</p><p>=</p><p>1 6 10</p><p>–7 2 4</p><p>6 3 –6</p><p>O valor desse determinante é –462, uma vez que a matriz</p><p>associada a ele é a própria matriz M, dada anteriormente.</p><p>O que ocorre com o cálculo do determinante de uma ma-</p><p>triz de ordem 2 se o seu elemento a11 for igual a 1?</p><p>§ Pela regra de Chió:</p><p>1 3</p><p>4 2</p><p>= | 2 – 12 | = |–10| = –10</p><p>Obs.: não confunda as barras laterais com o símbolo de</p><p>módulo, estamos trabalhando determinantes.</p><p>58  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>§ Pela regra prática:</p><p>1 3</p><p>4 2</p><p>= 1 ⋅ 2 – 3 ⋅ 4 = 2 – 12 = –10</p><p>As regras determinam o mesmo resultado.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Encontre o valor do determinante</p><p>1 3 2 1</p><p>0 1 2 3</p><p>3 4 –1 –2</p><p>–1 0 4 5</p><p>.</p><p>Resolução:</p><p>Como o elemento a11 é igual a 1, aplica-se a regra de Chió:</p><p>1 3 2 1</p><p>0 1 2 3</p><p>3 4 –1 –2</p><p>–1 0 4 5</p><p>=</p><p>=</p><p>1 – 0 ⋅ 3 2 – 0 ⋅ 2 3 – 0 ⋅ 1</p><p>4 – 3 ⋅ 3 –1 – 3 ⋅ 2 –2 – 3 ⋅ 1</p><p>0 – (–1) ⋅ 3 4 – (–1) ⋅ 2 5 – (–1) ⋅ 1</p><p>=</p><p>1 2 3</p><p>–5 –7 –5</p><p>3 6 6</p><p>Ainda de acordo com a regra de Chió:</p><p>1 2 3</p><p>–5 –7 –5</p><p>3 6 6</p><p>=</p><p>–7 – (–5) ⋅ 2 –5 – (–5) ⋅ 3</p><p>6 – 3 ⋅ 2 6 – 3 ⋅ 3</p><p>=</p><p>3 10</p><p>0 –3</p><p>= –9</p><p>Ou, a partir desse ponto, pela regra de Sarrus:</p><p>1 2 3 1 2</p><p>–5 –7 –5 –5</p><p>3 6 6 3 6</p><p>     </p><p>troca o sinal mantém o sinal</p><p>=</p><p>= – 42 – 30 – 90 + 63 + 30 + 60 = – 9</p><p>6. Teorema de Laplace</p><p>Outro método que permite calcular determinantes de ma-</p><p>trizes é o teorema de Laplace, sendo útil para o cálculo de</p><p>determinantes de ordem maior que 3. Em primeiro lugar,</p><p>será definido o conceito de cofator de um elemento de</p><p>uma matriz.</p><p>Dada uma matriz A, o cofator de um elemento aij é dado</p><p>por Aij = (-1)i+j . Dij , em que Dij é o determinante da matriz</p><p>restante ao eliminar a linha i e a coluna j da matriz A.</p><p>Exemplo: Dada a matriz A = ( 1</p><p>2</p><p>0</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>) , calcule o cofator do</p><p>elemento a12.</p><p>Eliminando a primeira linha e a segunda coluna, obtém-se:</p><p>1 2 3</p><p>2 3 1</p><p>0 2 1</p><p>→</p><p>2 1</p><p>0 1</p><p>Em que o determinante é 2 · 1 – 1 · 0 = 2. Assim:</p><p>A12 = (–1)1+2 .</p><p>2 1</p><p>0 1</p><p>= –1 · 2 = –2</p><p>Definido o conceito de cofator, é possível então enunciar o</p><p>teorema de Laplace:</p><p>Dada uma matriz A, seu determinante pode ser obtido</p><p>escolhendo-se uma fila (linha ou coluna) qualquer e so-</p><p>mando seus elementos multiplicados pelos seus respec-</p><p>tivos cofatores.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Calcule o determinante da matriz A =</p><p>1 0 3 1</p><p>1 1 2 0</p><p>3 2 1 1</p><p>–1 0 2 1</p><p>.</p><p>Resolução:</p><p>Para que o teorema de Laplace seja aplicado, deve-se</p><p>escolher uma fila qualquer, dando preferência a filas que</p><p>contenham maior quantidade de termos nulos. Assim, foi</p><p>escolhida a segunda coluna:</p><p>1 0 3 1</p><p>1 1 2 0</p><p>3 2 1 1</p><p>–1 0 2 1</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  59</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Portanto, o determinante de A é dado por:</p><p>det(A) = a12 · A12 + a22 · A22 + a32 · A32 + a42 · A42</p><p>det(A) = 0 · A12 + 1 · A22 + 2 · A32 + 0 · A42</p><p>det(A) = 0 · (–1)1+2</p><p>1 2 0</p><p>3 1 1</p><p>–1 2 1</p><p>+ 1 · (-1)2+2 ·</p><p>1 3 1</p><p>3 1 1</p><p>–1 2 1</p><p>+ 2 · (–1)3+2 ·</p><p>1 3 1</p><p>1 2 0</p><p>–1 2 1</p><p>+ 0 · (–1)4+2 ·</p><p>1 3 1</p><p>1 2 0</p><p>3 1 1</p><p>cofator do elemento 0 cofator do elemento 1 cofator do elemento 2 cofator do elemento 0</p><p>Repare que nem precisamos calcular o primeiro e o último determinantes, pois serão multiplicados por zero, eis o motivo da</p><p>escolha da segunda coluna. Logo, calculando o segundo e o terceiro determinantes apenas, temos:</p><p>det(A) = 1</p><p>1 3 1</p><p>3 1 1</p><p>–1 2 1</p><p>– 2</p><p>1 3 1</p><p>1 2 0</p><p>–1 2 1</p><p>= 1 · (–6) - 2 · (3) = –6 – 6 = –12</p><p>7. Propriedades dos determinantes</p><p>Ao longo da história, o estudo dos determinantes despertou o interesse de vários matemáticos, o que fez com que muitas</p><p>propriedades fossem descobertas.</p><p>Algumas são facilmente justificadas, pois são quase intuitivas durante a resolução dos exercícios. Outras, um pouco mais</p><p>complexas, requerem justificativas específicas. Mais uma vez, priorizando a aplicação prática do conceito, serão utilizados</p><p>exemplos; em alguns casos, sempre que necessário, serão utilizadas matrizes de ordens 2 ou 3, genéricas, para justificar as</p><p>propriedades. O objetivo é oferecer condições para que se obtenha 1 na posição a11, para que seja possível aplicar a regra</p><p>de Chió e resolver determinantes de qualquer ordem. As</p><p>propriedades serão apresentadas numa ordem considera-</p><p>da conveniente.</p><p>7.1. Primeira propriedade: fila de zeros</p><p>Se todos os elementos de uma linha ou coluna de</p><p>uma matriz quadrada M forem iguais a zero, seu de-</p><p>terminante será nulo, ou seja, detM = 0.</p><p>Essa propriedade é facilmente reconhecida nos exemplos,</p><p>uma vez que todas as parcelas, resultantes da aplicação de</p><p>qualquer regra de resolução de determinantes, contêm sem-</p><p>pre um elemento de cada linha e de cada coluna da matriz.</p><p>Por esse motivo, se uma linha (ou coluna) for formada por</p><p>zeros, cada parcela conterá pelo menos um fator igual a zero.</p><p>Assim, o determinante será nulo. Observe o exemplo:</p><p>–1 –4 9 –1 –4</p><p>2 8 3 2 8</p><p>0 0 0 0 0</p><p>0 0 0 0 0</p><p>= 0</p><p>0</p><p>7.2. Segunda propriedade: filas</p><p>paralelas proporcionais</p><p>Se uma matriz quadrada M tiver duas linhas ou duas</p><p>colunas proporcionais, seu determinante será nulo, ou</p><p>seja, detM = 0.</p><p>Considere A = .</p><p>Portanto:</p><p>det A = = kab – kab = 0</p><p>60  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Ou, por exemplo (observe que os elementos da segunda coluna são o triplo dos elementos correspondentes na primeira coluna):</p><p>= = 0</p><p>7.3. Terceira propriedade: troca de filas paralelas</p><p>Se as posições de duas linhas ou duas colunas de uma matriz quadrada M forem trocadas entre si, o determinante da nova</p><p>matriz obtida será o oposto do determinante da matriz anterior.</p><p>Modelo:</p><p>§ A = e B =</p><p>A matriz B foi obtida a partir de A, trocando a primeira e a segunda colunas.</p><p>Nota</p><p>Ao aplicar a regra de Chió, sem que o elemento a11 seja 1, mas desde que haja um elemento igual a 1 em algum lugar</p><p>da matriz, é possível obter uma matriz com determinante equivalente, desde que se empregue no máximo duas vezes a</p><p>terceira propriedade, isto é, desde que se troque a posição de linhas e colunas.</p><p>Modelo:</p><p>1 4 2 0</p><p>3 2 6 9</p><p>2 3 0 –1</p><p>2 –2 3 4</p><p>3 2 0 –1</p><p>2 3 6 9</p><p>4 1 2 0</p><p>–2 2 3 –4</p><p>4 1 2 0</p><p>2 3 6 9</p><p>3 2 0 –1</p><p>–2 2 3 –4</p><p>A princípio, a primeira linha é trocada com a terceira linha; em seguida, a “nova” segunda coluna é trocada com a “nova”</p><p>primeira coluna.</p><p>7.4. Quarta propriedade: multiplicação de uma fila por uma constante</p><p>Se todos os elementos de uma linha (ou de uma coluna) de uma matriz quadrada forem multiplicados por um mesmo</p><p>número real k, seu determinante ficará multiplicado por k.</p><p>Modelos:</p><p>§ , pois = 189 + 140 = 329, e = 27 + 20 = 47 e 7 · 47 = 329.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  61</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>§ Se A = e B = , o detB = 1 __</p><p>2</p><p>det A ou det A = 2 detB, uma vez que a segunda coluna</p><p>de A é o dobro da segunda coluna de B.</p><p>Nota</p><p>Essa propriedade pode ser empregada para criar o</p><p>elemento “1” na matriz, que, em seguida, vai ocupar</p><p>a posição a11 para a aplicação da regra de Chió.</p><p>Exemplo:</p><p>=</p><p>2 3 1 0</p><p>3 –3 5 2</p><p>–4 5 –3 3</p><p>6 7 –2 4</p><p>4 6 2 0</p><p>3 –3 5 2</p><p>–4 5 –3 3</p><p>6 7 –2 4</p><p>= 2 · =</p><p>quarta propriedade</p><p>(–1) · 2 ·</p><p>terceira propriedade</p><p>1 3 2 0</p><p>5 –3 3 2</p><p>–3 5 –4 3</p><p>–2 7 6 4</p><p>7.5. Consequência: multiplicação</p><p>da matriz por uma constante</p><p>Se uma matriz quadrada M de ordem n for multipli-</p><p>cada por um número real k, seu determinante ficará</p><p>multiplicado por kn:</p><p>det (kMn) = kn · det Mn</p><p>Multiplicar uma matriz por um número real significa multi-</p><p>plicar todos os seus elementos por esse mesmo número. Por</p><p>isso, se uma matriz quadrada tiver todos os seus elementos</p><p>múltiplos de um certo número real k, ao calcular seu deter-</p><p>minante será possível aplicar a quarta propriedade para cada</p><p>uma de suas linhas (ou para cada uma de suas colunas).</p><p>Modelos:</p><p>§ A = ä det A = 15 – 8 = 7</p><p>5A = ä det (5A) = 375 – 200 = 175 = 52 · 7</p><p>Assim, det (5A) = 52 ⋅ det A.</p><p>§ B = ä det B = 15 + 0 + 10 + 6 – 50 + 0 = –19</p><p>2B = ä</p><p>det (2B) = 120 + 0 + 80 + 48 – 400 + 0 = –152 = 23 (–19)</p><p>Assim, det 2B = 23 ⋅ det B.</p><p>7.6. Quinta propriedade:</p><p>determinante da transposta</p><p>O determinante de uma matriz quadrada M é</p><p>igual ao determinante de sua transposta, ou seja,</p><p>det M = det (Mt).</p><p>Mais uma vez, existe a possibilidade de reordenar, por</p><p>conveniência, os elementos da matriz sem alterar o valor</p><p>do determinante.</p><p>Na ordem 2, essa propriedade é quase intuitiva. Observe:</p><p>= ad – bc</p><p>= ad – bc</p><p>Ou seja, se A = , também At = e det A = det At.</p><p>Observe que o emprego da regra de Chió é exatamente o</p><p>mesmo, seja considerando uma matriz ou sua transposta:</p><p>det A = =</p><p>= –48 – 90 = –138</p><p>det A = =</p><p>= –48 – 90 = –138</p><p>62  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>7.7. Sexta propriedade: determinante da matriz triangular</p><p>O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.</p><p>Modelos:</p><p>Como consequência dessa propriedade, pode-se ainda afirmar que:</p><p>§ o determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal; e</p><p>§ se In é a matriz identidade, det In = 1, para qualquer n.</p><p>Modelos:</p><p>§ = 2 · (–1) · 5 = –10</p><p>§ I3 = ä det I3 = = 1</p><p>7.8. Sétima propriedade: teorema de Binet</p><p>Se A e B são duas matrizes quadradas de mesma ordem, e AB é a matriz produto, det (AB) = (det A) (det B).</p><p>Considere:</p><p>A =</p><p>§ det A = ad – bc</p><p>§ det B = xw – yz</p><p>§ det A · det B = (ad – bc) (xw – yz) = adxw – adyz – bcxw + bcyz</p><p>§ det (AB) = (ax + bz)(cy + dw) – (cx + dz)(ay + bw) = acxy + adxw + bcyz + bdzw – acxy – bcxw – adyz – bdzw = adxw</p><p>+ bcyz – bcxw – adyz</p><p>Ao comparar, é possível observar que det (AB) = det A · det B.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  63</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>7.9. Oitava propriedade:</p><p>teorema de Jacobi</p><p>Seja A uma matriz quadrada. Se todos os elementos</p><p>de uma linha (ou coluna) forem multiplicados pelo</p><p>mesmo número e se forem somados os resultados</p><p>aos elementos correspondentes de outra linha (ou</p><p>coluna), será formada a matriz B; assim, det A = det B.</p><p>Modelos:</p><p>§ A = ä det A = 9 – 20 = –11</p><p>Ao multiplicar a primeira linha por –2 e ao somarem-se os</p><p>resultados à segunda linha, obtém-se:</p><p>B = ä det B = –1 – 10 = –11, ou seja, det A = det B.</p><p>O que pode ser indicado assim:</p><p>§ A =</p><p>Para obter a matriz B, multiplica-se a segunda coluna por 3</p><p>e somam-se os resultados à terceira coluna:</p><p>B =</p><p>Ao aplicar a regra de Sarrus, verifica-se:</p><p>O que pode ser indicado assim:</p><p>Notas</p><p>1. Pode-se empregar o teorema de Jacobi (oitava pro-</p><p>priedade) a fim de se permitir o emprego da regra de</p><p>Chió. Por exemplo: se o elemento a11 não for 1 e não</p><p>houver nenhum elemento igual a 1 na matriz, pode-se</p><p>empregar a oitava propriedade (teorema de Jacobi)</p><p>para criar elementos iguais a 1 na matriz:</p><p>1 –1 –6 –10</p><p>2 3 6 9</p><p>4 5 2 0</p><p>–2 2 3 –4</p><p>3 2 0 –1</p><p>2 3 6 9</p><p>4 5 2 0</p><p>–2 2 3 –4</p><p>=</p><p>–1</p><p>2. Pode-se também criar zeros na matriz, empregando</p><p>a regra de Jacobi, facilitando com isso os cálculos:</p><p>1 –1 –6 –10</p><p>2 3 6 9</p><p>4 5 2 0</p><p>–2 2 3 –4</p><p>5 18 29</p><p>9 26 40</p><p>0 –9 –24</p><p>5 18 29</p><p>9 26 40</p><p>0 –9 –24</p><p>5 18 29</p><p>9 26 40</p><p>0 –9 –24</p><p>1 0 –6 –10</p><p>2 5 6 9</p><p>4 9 2 0</p><p>–2 0 3 –4</p><p>1 0 –6 –10</p><p>3 5 0 –1</p><p>4 9 2 0</p><p>–2 0 3 –4</p><p>=</p><p>+</p><p>=</p><p>+</p><p>Chió Chió Chió</p><p>7.10. Nona propriedade:</p><p>determinante da inversa</p><p>Seja A uma matriz quadrada invertível e A-1 sua inversa.</p><p>Assim, det A–1 = 1 ____</p><p>det A</p><p>.</p><p>Essa propriedade é uma consequência do teorema de Binet.</p><p>Se A é invertível, por certo existe A–1, e, por definição,</p><p>A · A–1 = I.</p><p>Assim: det (A · A–1) = det I det A · det A–1 = 1</p><p>ä det A–1 = 1 ____</p><p>det A</p><p>.</p><p>Essa propriedade sugere o importante fato de que A é in-</p><p>vertível se, e somente se, det A ≠ 0.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Encontre o valor do determinante.</p><p>64  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Resolução:</p><p>De acordo com o teorema de Jacobi (oitava propriedade), de-</p><p>ve-se multiplicar a segunda coluna por 1 e somar o resultado</p><p>à primeira coluna. Em seguida, aplica-se a regra de Chió:</p><p>Ao trocar as posições da linha 1 com a linha 2 (terceira</p><p>propriedade), emprega-se novamente a regra de Chió:</p><p>2. Resolva a equação .</p><p>Resolução:</p><p>Ao empregar a quarta propriedade, coloca-se x em evidên-</p><p>cia na primeira linha e aplica-se a regra de Chió:</p><p>x .</p><p>Ao empregar novamente a quarta propriedade, coloca-se (3 – x)</p><p>em evidência na primeira linha e aplica-se a regra de Chió:</p><p>Portanto:</p><p>x(3 – x) = 0 ä x = 0 ou x = 3</p><p>Assim, S = {0, 3}.</p><p>8. Teorema de Laplace</p><p>O teorema de Laplace permite calcular determinantes de or-</p><p>dens quaisquer a partir de uma linha ou coluna da matriz. Para</p><p>enunciá-lo, são necessárias algumas definições preliminares.</p><p>8.1. Menor complementar</p><p>Se A é uma matriz quadrada de ordem n $ 2, ela é deno-</p><p>minada menor complementar de A pelo elemento aij, cujo</p><p>determinante é Dij, associado à matriz quadrada que se ob-</p><p>tém de A ao se suprimir a linha e a coluna que contêm o ele-</p><p>mento aij considerado. Esse determinante é indicado por Dij.</p><p>Observe:</p><p>O menor complementar de A pelo elemento a23 é um nú-</p><p>mero indicado assim:</p><p>Nota</p><p>A = (aij) é uma matriz.</p><p>aij é um elemento da matriz A.</p><p>Dij é um número, uma vez que é um determinante.</p><p>Modelo:</p><p>§ Se A = , tem-se:</p><p>§ menor complementar de A pelo elemento a21:</p><p>D21= = 50 + 3 = 53 (foram suprimidas a segunda</p><p>linha e a primeira coluna de A)</p><p>§ menor complementar de A pelo elemento a33:</p><p>D33 = = 12 – 5 = 7 (foram suprimidas a terceira</p><p>linha e a terceira coluna de A)</p><p>8.2. Cofator</p><p>Se A é uma matriz quadrada de ordem n $ 2, ela é deno-</p><p>minada cofator do elemento aij de A o número real:</p><p>Aij = (–1)i + j · Dij, do qual Dij é o menor complementar de A</p><p>pelo elemento aij.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  65</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Exemplo</p><p>§ Se A = , tem-se:</p><p>§ Cofator de a21:</p><p>A21 = (–1)2 + 1 · D21 = (–1)3 · = (–1)(–2) = 2</p><p>§ Cofator de a13:</p><p>A13 = (–1)1 + 3 · D13 = (–1)4 · = (+1)(+ 1) = 1</p><p>Nota</p><p>Observe que Aij = Dij, se i + j for par; e Aij = –Dij, se</p><p>i + j for ímpar.</p><p>Assim, o teorema de Laplace pode ser enunciado da</p><p>seguinte maneira:</p><p>O determinante associado a uma matriz quadrada</p><p>A de ordem n $ 2 é o número obtido da soma dos</p><p>produtos dos elementos de uma linha (ou de uma co-</p><p>luna) qualquer pelos respectivos cofatores.</p><p>Modelo:</p><p>§ Se A = é uma matriz de ordem 3, pode-se</p><p>calcular det A a partir de determinantes de ordem 2 e do</p><p>teorema de Laplace. Observe:</p><p>§ Ao escolher os elementos da primeira linha, obtém-se:</p><p>det A = a11 ⋅ A11 + a12 ⋅ A12 + a13 ⋅ A13 =</p><p>= 2(–1)1 + 1 ⋅ + 3 (–1)1 + 2 · + (–1) (–1)1 + 3 · =</p><p>= 2 (–6) –3 (–15) –1 (18) = –12 + 45 – 18 = 15</p><p>Assim, det A = .</p><p>O resultado será o mesmo se escolhida uma coluna.</p><p>§ Ao escolher os elementos da terceira coluna, obtém-se:</p><p>det A = a13 · A13 + a23 · A23 + a33 · A33 =</p><p>= (–1) (–1)1 + 3 · + 0 (–1)2 + 3 · + (–3) (–1)3 + 3 · =</p><p>= –18 + 33 = 15</p><p>Assim, det A = 15.</p><p>Nota</p><p>Se a linha escolhida para o cálculo do determinante tiver</p><p>elementos iguais a zero, não será necessário multiplicar</p><p>os cofatores pelos zeros, uma vez que o produto será nulo,</p><p>independentemente do valor do cofator. Por isso, ao em-</p><p>pregar o teorema de Laplace, as melhores linhas ou colu-</p><p>nas para o cálculo do determinante serão as que tiverem</p><p>maior quantidade de zeros. Se não houver termos iguais</p><p>a zero, eles podem ser criados mediante o emprego da oi-</p><p>tava propriedade dos determinantes (teorema de Jacobi).</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Calcule o determinante da matriz A empregando o</p><p>teorema de Laplace.</p><p>Resolução:</p><p>Ao aplicar o teorema de Laplace, serão obtidos determi-</p><p>nantes de terceira ordem, que podem ser calculados pela</p><p>regra de Sarrus. Ao escolher a primeira linha, obtém-se:</p><p>det A = a11 · A11 + a12 · A12 + a13 · A13 + a14 · A14</p><p>A11 = (–1)1 + 1 · 1(–24 + 3 + 30 – 18 + 30 – 4) = 17</p><p>A12 = (–1)1 + 2 ·</p><p>A13 = (–1)1 + 3 ·</p><p>Observe que não há necessidade de calcular A14, uma vez</p><p>que ele será multiplicado por zero. Portanto:</p><p>det A = 2(17) + 3(–44) + (–1)(–111) + 0 =</p><p>= 34 – 132 + 111 + 0 = 13</p><p>2. Calcule det A para A = .</p><p>66</p><p> MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>DETERMINANTES</p><p>MATRIZ QUADRADA</p><p>DE ORDEM...</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>Número obtido por meio de</p><p>operações e que está associado</p><p>a uma matriz.</p><p>maior que três</p><p>um</p><p>dois</p><p>três</p><p>quatro</p><p>det A = a11</p><p>det A = a11 a12</p><p>a21 a22</p><p>= a11 · a22 – a12 · a21</p><p>⇒ Regra de Sarrus</p><p>Regra de Chió</p><p>Para aplicação des-</p><p>sa regra, é necessário</p><p>que o elemento a11</p><p>seja igual a 1.</p><p>A ideia é fazer com</p><p>que a ordem seja redu-</p><p>zida para que se torne</p><p>mais simples a determi-</p><p>nação do determinante.</p><p>det B = a11 a12 a13 a11 a12</p><p>a21 a22 a23 a21 a22</p><p>a31 a32 a33 a31 a32</p><p>Produtos da diagonal</p><p>secundária mudam</p><p>de sinal</p><p>Repetir as duas</p><p>primeiras colunas</p><p>O determinante será a</p><p>soma desses valores</p><p>Produtos da diagonal</p><p>principal mantêm o sinal</p><p>-(a13 · a22 · a31) -(a12 · a21 · a33) (a12 · a23 · a31)</p><p>-(a11 · a23 · a32) (a11 · a22 · a33)</p><p>(a13 · a21 · a32)</p><p>passo a passo</p><p>1 2 0 –1</p><p>1 3 6 9</p><p>4 1 2 0</p><p>–2 2 3 –4</p><p>3 – 2 · 1 6 – 0 · 1 9 – (–1) · 1</p><p>1 – 2 · 4 2 – 0 · 4 0 – (–1) · 4</p><p>2 – (–(2) · 2 3 – 0(–2) 4 – (–1)(–2)</p><p>= =</p><p>1 6 10</p><p>–7 2 4</p><p>6 3 –6</p><p>1.º elemento = 1</p><p>Subtrair cada elemento restante da linha que deve</p><p>ser suprimida do produto dos dois elementos perten-</p><p>centes à linha e à coluna desse elemento.</p><p>Pronto!</p><p>Agora é só resolver o determinante</p><p>das formas anteriores.</p><p>Resolução:</p><p>Escolhendo a terceira coluna de A, pois o valor do determi-</p><p>nante fica restrito ao cálculo de a33 ⋅ A33:</p><p>det A = 2 (–1)3 + 3 ·</p><p>Escolhendo a primeira coluna:</p><p>det A = 2 · 3 (–1)1 + 1 . =</p><p>= 6 (–8 + 6 + 6 + 2 – 24 – 6) = 6(–24) = –144.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  67</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>DETERMINANTES PROPRIEDADES</p><p>TEOREMA DE</p><p>LAPLACE</p><p>Se uma linha ou coluna de uma matriz</p><p>quadrada tiver todos os elementos iguais</p><p>a 0, seu determinante será nulo.</p><p>det A = 0</p><p>Se uma matriz quadrada tiver duas linhas</p><p>ou colunas proporcionais, seu determi-</p><p>nante será nulo.</p><p>det A = 0</p><p>Permite calcular determinantes de</p><p>qualquer ordem a partir de uma linha ou</p><p>coluna da matriz.</p><p>Menor complementar</p><p>Se houver a troca de posição entre duas</p><p>linhas ou duas colunas, o</p><p>determinante da nova matriz será o oposto</p><p>da matriz anterior.</p><p>Se uma matriz quadrada for multiplicada por</p><p>um número k real, seu determinante ficará</p><p>multiplicado por k também.</p><p>O determinante de uma matriz triangular</p><p>é igual ao produto dos elementos da</p><p>diagonal principal.</p><p>Se A e B são matrizes quadradas de mes-</p><p>ma ordem,e AB é a matriz produto,</p><p>det (AB) = det A · det B (teorema de Binet).</p><p>Determinante da matriz inversa.</p><p>det A-1 = 1 ____</p><p>det A</p><p>Se todos os elementos de uma linha ou</p><p>coluna de uma matriz quadrada forem</p><p>multiplicados pelo mesmo número e se</p><p>forem somados os resultados aos elemen-</p><p>tos correspondentes de outra linha ou</p><p>coluna, torna-se uma nova matriz; assim:</p><p>det A = det B</p><p>Determinante da matriz transposta.</p><p>det A = det (At)</p><p>Cofator</p><p>Aij = (–1)i + j · Dij</p><p>Aij → cofator de elemento aij</p><p>Dij → menor complementar de A pelo</p><p>elemento aij</p><p>A = a11 a12 a13 ... a1n</p><p>a21 a22 a23 ... a2n</p><p>a31 a32 a33 ... a3n</p><p>an1 an2 an3 ... ann</p><p>O menor complementar de A pelo a23</p><p>(pode ser qualquer elemento) é um</p><p>número indicado assim:</p><p>D23 = a11 a12 a13 ... a1n</p><p>a31 a32 a33 ... a3n</p><p>an1 an2 an3 ... ann</p><p>A = (aij ) é uma matriz;</p><p>Aij é um elemento da matriz A;</p><p>Dij é um número determinante.</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>68  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>1. Introdução</p><p>Examinemos os seguintes problemas:</p><p>1. Em uma partida de basquete, dois jogadores marca-</p><p>ram juntos 42 pontos. Quantos pontos marcou cada um?</p><p>Se x e y, respectivamente, são o número de pontos que cada</p><p>jogador marcou, há uma equação com duas incógnitas:</p><p>x + y = 42</p><p>Nessa equação:</p><p>§ Se x = 21, 21 + y = 42 ä y = 21.</p><p>Assim, x = 21 e y = 21 constituem uma solução da equa-</p><p>ção, indicada por (21, 21).</p><p>§ Se x = 30 e 30 + y = 42 ä y =12.</p><p>Assim, x = 30 e y = 12 constituem outra solução da equa-</p><p>ção, indicada por (30, 12).</p><p>§ Se x = 16, 16 + y = 42 ä y = 26.</p><p>Assim, x = 16 e y = 26 constituem outra solução da equa-</p><p>ção, indicada por (16, 26).</p><p>De fato, essa equação admite diversas soluções: x pode</p><p>assumir um valor qualquer natural de 0 a 42, e y será igual</p><p>à diferença entre 42 e o valor atribuído a x.</p><p>Portanto, os dados do problema não são suficientes para</p><p>determinar o número de pontos marcados por jogador.</p><p>2. Um terreno de 8,0 mil m2 deve ser dividido em dois</p><p>lotes. O lote maior deverá ter 1,0 mil m2 a mais que o lote</p><p>menor. Calcule a área que cada um deverá ter.</p><p>Se x e y, respectivamente, são as áreas destinadas ao lote</p><p>maior e ao menor, tem-se um sistema de duas equações:</p><p>Ao resolver esse sistema por qualquer dos métodos já es-</p><p>tudados, obtém-se x = 4.500 e y = 3.500, que é a única</p><p>solução do sistema e que é indicada por (4.500, 3.500).</p><p>Assim, o maior lote terá uma área de 4.500 m2, e o menor,</p><p>uma área de 3.500 m2.</p><p>Esses dois problemas revelam que seus dados podem re-</p><p>sultar em mais de uma solução e uma única solução.</p><p>Entretanto, existem casos em que não há solução alguma.</p><p>2. Equações lineares</p><p>§ 3x + 2y = 7 é uma equação linear nas incógnitas x e y.</p><p>§ 2x + 3y – 2z = 10 é uma equação linear nas incógnitas</p><p>x, y e z.</p><p>§ x – 5y + z – 4t = 0 é uma equação linear nas incógni-</p><p>tas x, y, z e t.</p><p>§ 4x – 3y = x + y + 1 é uma equação linear nas incóg-</p><p>nitas x e y.</p><p>De modo geral, é denominada equação linear toda</p><p>equação que pode ser escrita da seguinte maneira:</p><p>a1x1 + a2x2 + a3x3 +...+anxn = b,</p><p>Em que:</p><p>§ x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas;</p><p>§ a1, a2, a3, ..., são números reais denominados coe-</p><p>ficientes das incógnitas; e</p><p>§ b é o termo independente.</p><p>Pela definição, não são equações lineares:</p><p>xy = 10</p><p>x2 + y = 8</p><p>x2 – xy – yz + 22 – 1</p><p>Observe as seguintes equações lineares:</p><p>1. 3x + 2y = 18</p><p>§ o par (4, 3) é uma solução da equação, uma vez que</p><p>3 · 4 + 2 · 3 = 18;</p><p>SISTEMAS</p><p>LINEARES</p><p>COMPETÊNCIA(s)</p><p>6</p><p>HABILIDADE(s)</p><p>21, 24, 25 e 26</p><p>MT</p><p>AULAS</p><p>49 E 50</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  69</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>§ o par (6, 0) é uma solução da equação, uma vez que</p><p>3 · 6 + 2 · 0 = 18; e</p><p>§ o par (5, 1) não é uma solução da equação, uma vez</p><p>que 3 · 5 + 2 · 1 ≠ 18.</p><p>2. 3x + y – 2z = 8</p><p>§ o terno (2, 4 ,1) é uma solução da equação, uma vez</p><p>que 3 · 2 + 4 – 2 · 1 = 8;</p><p>§ o terno (0, 6, –1) é uma solução da equação, uma vez</p><p>que 3 · 0 + 6 – 2 · (–1) = 8; e</p><p>§ o terno (5, –2, 3), não é uma solução da equação, uma</p><p>vez que 3 · 5 + (–2) –2 · 3 i 8.</p><p>Generalizando, dada a equação linear:</p><p>a1x1 + a2x2 + a3x3 +...+anxn = b,</p><p>a ênupla de números reais (α1, α2, α3,..., αn) é solução da</p><p>equação se, e somente se:</p><p>a1α1 + a2α2 + a3α3 +...+anαn = b</p><p>3. Sistemas de</p><p>equações lineares</p><p>Denomina-se sistema linear m · n o conjunto S de m</p><p>equações lineares em n incógnitas, que pode ser repre-</p><p>sentado assim:</p><p>Modelos:</p><p>1. é um sistema linear 2 × 2 nas incógnitas.</p><p>x e y</p><p>2. é um sistema linear 2 × 2 nas in-</p><p>cógnitas x e y, uma vez que equivale a</p><p>3. é um sistema linear 3 × 3 nas incóg-</p><p>nitas x, y e z.</p><p>4. um sistema linear 2 × 3 nas incógnitas</p><p>x, y, e z.</p><p>4. Solução de um sistema linear</p><p>Afirma-se que (α1, α2, α3,..., αn) é solução de um sistema</p><p>linear, se (α1, α2, α3, ..., αn) for solução de cada uma das</p><p>equações do sistema, isto é, se satisfizer, simultaneamente,</p><p>todas as equações do sistema.</p><p>Observe:</p><p>1. (5, 1) é solução do sistema , uma vez que</p><p>.</p><p>2. (2, 3) não é solução do sistema , uma vez</p><p>que .</p><p>3. (1, 3, –2), é solução do sistema .</p><p>4. (0, 2, 5) não é solução do sistema .</p><p>5. A igualdade ax = b, com</p><p>incógnita real x, a [ R e b [ R</p><p>Observe igualdades</p><p>desse tipo nos exemplos:</p><p>Em 2x = 6, x = 6 __</p><p>2</p><p>= 3, como o único valor real possível</p><p>para x.</p><p>Em 0x = 7, não há valor real para x, uma vez que não há</p><p>número real que, multiplicado por 0, resulte 7.</p><p>Em 0x = 0, x pode assumir qualquer valor real, uma vez</p><p>que todo número real multiplicado por 0 dá 0.</p><p>De modo geral:</p><p>§ ax = b, com a i 0 ä x = b __ a é o valor único de x;</p><p>§ ax = b, com a = 0 e b i 0 ä não existe valor real para x;</p><p>§ ax = b, com a = 0 e b = 0 ä x pode assumir qualquer</p><p>valor real.</p><p>Sua aplicação vai ser estudada nas resoluções de siste-</p><p>mas lineares.</p><p>6. Sistemas lineares 2 x 2</p><p>6.1. Resolução pelo método da adição</p><p>Resolver um sistema linear significa descobrir seu conjunto</p><p>solução S, formado por todas as soluções do sistema.</p><p>70  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>A resolução dos sistemas lineares 2 × 2, em R × R, já</p><p>foi vista no Ensino Fundamental mediante métodos como</p><p>adição, substituição, comparação e outros.</p><p>R x R é conjunto de todos os pares ordenados de</p><p>números reais.</p><p>Com os exemplos a seguir, será retomada a resolução pelo</p><p>método da adição:</p><p>1.</p><p>17x = 51 ä x = 51 ___</p><p>17</p><p>= 3 (valor único de x)</p><p>17y = –17 ⇒ y = –17 ____</p><p>17</p><p>= –1 (valor único de y)</p><p>Assim, (3, –1) é o único par de R × R que é solução do</p><p>sistema.</p><p>O sistema tem S = {(3, –1)} e é um sistema possível e de-</p><p>terminado (tem uma única solução, ou seja, o conjunto</p><p>solução é unitário).</p><p>2.</p><p>Se em 0y = –8, não há valor real para y; não há, portanto,</p><p>par de números reais que seja solução do sistema. O siste-</p><p>ma tem S = Ö e é um sistema impossível (não tem solução</p><p>alguma, ou seja, o conjunto solução é vazio).</p><p>3.</p><p>Se 0y = 0, a incógnita y pode assumir qualquer valor real.</p><p>Se y = α, com α, [ R, e se for substituída em uma das</p><p>equações do sistema, obtém-se:</p><p>2x – 6y = 8 ä 2x – 6α = 8 ä 2x = 8 + 6α ä</p><p>ä x = 8 + 6α ______</p><p>2</p><p>= 4 + 3α</p><p>O par (4 + 3α, α), com α [ R, é a solução geral do siste-</p><p>ma. Para cada valor de α, há uma solução para o sistema,</p><p>como (7, 1), (4, 0), (1, –1), conforme α seja respectivamen-</p><p>te 1, 0 ou –1.</p><p>O sistema tem S = {(4 + 3α, α) | α [ R} e é um sistema</p><p>possível e indeterminado (tem infinitas soluções, ou seja, o</p><p>conjunto solução é infinito).</p><p>7. Interação geométrica dos</p><p>sistemas lineares 2 x 2</p><p>Os pares de números reais que são soluções de uma equa-</p><p>ção linear com duas incógnitas determinam uma reta (grá-</p><p>fico). A intersecção das duas retas das equações do sistema</p><p>determina uma solução, se ela existir.</p><p>Representação gráfica dos três sistemas resolvidos por adição:</p><p>1.</p><p>2 x + 5y = 1</p><p>As retas concorrentes indicam que há um único par que</p><p>é solução do sistema (sistema possível e determinado).</p><p>2.</p><p>2x - 4y = 2</p><p>x - 2y = 5</p><p>As retas paralelas e distintas indicam que não há par que</p><p>seja solução do sistema (sistema impossível).</p><p>3.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  71</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>As retas coincidentes indicam que há infinitos pares que são</p><p>soluções do sistema (sistema possível e indeterminado).</p><p>8. Classificação de um</p><p>sistema linear 2 x 2</p><p>Os sistemas podem ser classificados de acordo com sua</p><p>solução da seguinte maneira:</p><p>Classificar um sistema linear 2 × 2 é simples. Basta obser-</p><p>var suas equações. Veja algumas condições para isso.</p><p>§ Caso exista proporcionalidade entre os coeficientes das</p><p>mesmas incógnitas e essa proporcionalidade se mante-</p><p>nha nos termos independentes, o sistema será possível</p><p>e indeterminado (SPI). Equações assim são denomina-</p><p>das equivalentes.</p><p>§ Caso exista proporcionalidade entre os coeficientes das</p><p>mesmas incógnitas e essa proporcionalidade não se man-</p><p>tenha nos termos independentes, o sistema será impossí-</p><p>vel (SI). Equações assim são denominadas incompatíveis.</p><p>§ Caso não exista proporcionalidade entre os coeficien-</p><p>tes das mesmas incógnitas, o sistema será possível e</p><p>determinado (SPD).</p><p>Resumindo:</p><p>8.1. Exemplos de classificação</p><p>de sistemas</p><p>1.</p><p>Os coeficientes das mesmas incógnitas nas duas equações</p><p>não são proporcionais: 3 é o triplo de 1 e –2 é metade de</p><p>–4. Portanto, o sistema é possível e determinado:</p><p>( 3 __</p><p>1</p><p>i –2 ___</p><p>–4</p><p>ou 3(–4) i 1(–2) )</p><p>2.</p><p>Nesse sistema, os coeficientes das mesmas incógnitas nas</p><p>duas equações são proporcionais. Contudo, essa propor-</p><p>cionalidade não se mantém nos termos independentes: 2</p><p>está para 3, assim como –6 está para –9, mas não como 5</p><p>está para 1. Assim, o sistema é impossível:</p><p>( 2 __</p><p>3</p><p>= –6 ___</p><p>–9</p><p>i 5 __</p><p>1</p><p>)</p><p>3.</p><p>Nesse caso, há proporcionalidade entre os coeficientes das</p><p>mesmas incógnitas, e essa proporcionalidade mantém-se</p><p>nos termos independentes: –6 está para 3, assim como –2</p><p>está para 1, assim como 4 está para –2 (ou, ainda, a se-</p><p>gunda equação é o oposto do dobro da primeira). Assim, o</p><p>sistema é possível e indeterminado:</p><p>( 3 ___</p><p>–6</p><p>= 1 ___</p><p>–2</p><p>= –2 ___</p><p>4</p><p>)</p><p>9. Discussão de um</p><p>sistema linear 2 x 2</p><p>Nota</p><p>O sistema linear pode ser escrito na</p><p>forma matricial .</p><p>A partir dessa forma matricial, pode-se aplicar o de-</p><p>terminante da matriz dos coeficientes para saber se o</p><p>sistema é determinado ou não.</p><p>No sistema , a matriz dos coeficientes</p><p>é , cujo determinante é D = a1b2 – a2b1.</p><p>É fácil observar que, se</p><p>a1 __ a2</p><p>i</p><p>b1 __</p><p>b2</p><p>, D = a1b2 – a2b1 i 0.</p><p>Por isso, basta o sistema determinante da matriz dos co-</p><p>eficientes não ser nulo para o sistema ser determinado.</p><p>No entanto, se o determinante for nulo, não se pode</p><p>fazer afirmação alguma, uma vez que restarão duas</p><p>possibilidades, SPI e SI. É possível saber que o sistema</p><p>não é determinado, mas não é possível classificá-lo</p><p>sem examinar os valores k1 e k2.</p><p>Observe o sistema</p><p>72  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Nesse sistema de incógnitas x e y, o coeficiente a e o ter-</p><p>mo independente b são chamados parâmetros, cujos valo-</p><p>res não estão estabelecidos.</p><p>Discutir um sistema significa descobrir para que valores dos</p><p>parâmetros ele é possível e determinado, possível e inde-</p><p>terminado ou impossível.</p><p>Para saber em que condições o sistema é SPD, pode-se cal-</p><p>cular o determinante da matriz dos coeficientes do sistema.</p><p>No sistema dado, tem-se:</p><p>Se a i 6, D i 0, com a garantia de que o sistema é pos-</p><p>sível e determinado, independentemente do valor de b.</p><p>Se a = 6, D = 0, sem que seja possível classificar o sistema se</p><p>as duas equações não forem observadas. Substituindo a = 6</p><p>no sistema, tem-se:</p><p>Nesse caso, haverá proporcionalidade entre os coeficientes das</p><p>mesmas incógnitas. Para que ela se mantenha nos termos inde-</p><p>pendentes, é necessário que haja b = 2. Nessas condições, as</p><p>equações serão equivalentes e o sistema será indeterminado. Se</p><p>b i 2, as equações serão incompatíveis e o sistema será possível.</p><p>§ para a i 6, o sistema é possível e determinado (SPD)</p><p>(para qualquer b [ R);</p><p>§ para a = 6 e b = 2, o sistema é possível e indetermi-</p><p>nado (SPI); e</p><p>§ para a = 6 e b i 2, o sistema é impossível (SI).</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Discuta o sistema linear .</p><p>Resolução:</p><p>Cálculo do determinante dos coeficientes das incógnitas</p><p>em função de k:</p><p>§ D i 0, ou seja, 2 – k i 0 ä k i 2: o sistema é pos-</p><p>sível e determinado.</p><p>§ D = 0, ou seja, 2 – k = 0 ä k = 2: k = 2 deve ser subs-</p><p>tituído no sistema e as equações, observadas:</p><p>Nessas condições, com k = 2, o sistema terá conjunto solu-</p><p>ção vazio, uma vez que as duas equações são incompatíveis.</p><p>Portanto:</p><p>para k i 2, o sistema é possível e determinado</p><p>para k = 2, o sistema é impossível</p><p>2. Para que valores de a e b o sistema é</p><p>possível e indeterminado?</p><p>Resolução:</p><p>Para que o sistema seja possível e indeterminado, deve ha-</p><p>ver inicialmente:</p><p>Entretanto, apenas D = 0 não garante que o sistema seja</p><p>possível e indeterminado; ele também poderia ser impossí-</p><p>vel (que não é o caso desejado).</p><p>Deve-se substituir a = 2 no sistema e observar as equações:</p><p>Para que as duas equações sejam equivalentes, é preciso</p><p>que b = 1 (desse modo, a primeira equação passa a valer</p><p>o dobro da segunda).</p><p>Assim, o sistema é possível e indeterminado</p><p>conhecimentos numéricos.</p><p>Co</p><p>m</p><p>pe</p><p>tê</p><p>n</p><p>Ci</p><p>a</p><p>2 Utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a representação da realidade e agir sobre ela.</p><p>H6 Interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço tridimensional e sua representação no espaço bidimensional.</p><p>H7 Identificar características de figuras planas ou espaciais.</p><p>H8 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de espaço e forma.</p><p>H9 Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.</p><p>Co</p><p>m</p><p>pe</p><p>tê</p><p>n</p><p>Ci</p><p>a</p><p>3</p><p>Construir noções de grandezas e medidas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.</p><p>H10 Identificar relações entre grandezas e unidades de medida.</p><p>H11 Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do cotidiano.</p><p>H12 Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.</p><p>H13 Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento consistente.</p><p>H14 Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos geométricos relacionados a grandezas e medidas.</p><p>Co</p><p>m</p><p>pe</p><p>tê</p><p>n</p><p>Ci</p><p>a</p><p>4 Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano.</p><p>H15 Identificar a relação de dependência entre grandezas.</p><p>H16 Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta ou inversamente proporcionais.</p><p>H17 Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso para a construção de argumentação.</p><p>H18 Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de grandezas.</p><p>Co</p><p>m</p><p>pe</p><p>tê</p><p>n</p><p>Ci</p><p>a</p><p>5</p><p>Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas.</p><p>H19 Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas.</p><p>H20 Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.</p><p>H21 Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.</p><p>H22 Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a construção de argumentação.</p><p>H23 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos algébricos.</p><p>Co</p><p>m</p><p>pe</p><p>tê</p><p>n</p><p>Ci</p><p>a</p><p>6 Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas, realizando previsão de tendência, extra-</p><p>polação, interpolação e interpretação.</p><p>H24 Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.</p><p>H25 Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.</p><p>H26 Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a construção de argumentos.</p><p>Co</p><p>m</p><p>pe</p><p>tê</p><p>n</p><p>Ci</p><p>a</p><p>7</p><p>Compreender o caráter aleatório e não-determinístico dos fenômenos naturais e sociais e utilizar instrumentos adequados para medidas, determi-</p><p>nação de amostras e cálculos de probabilidade para interpretar informações de variáveis apresentadas em uma distribuição estatística.</p><p>H27</p><p>Calcular medidas de tendência central ou de dispersão de um conjunto de dados expressos em uma tabela de frequências de dados agrupados (não</p><p>em classes) ou em gráficos.</p><p>H28 Resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade.</p><p>H29 Utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.</p><p>H30 Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos de estatística e probabilidade.</p><p>MATRIZ DE REFERÊNCIA DO ENEM</p><p>NÚMEROS</p><p>COMPLEXOS</p><p>E POLINÔMIOS</p><p>MATEMÁTICA</p><p>LIVRO</p><p>TEÓRICO</p><p>INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS</p><p>A prova do Enem não tem incidência de</p><p>questões de números complexos e poli-</p><p>nômios. Caso haja alguma questão, ela</p><p>será relacionada com outros assuntos da</p><p>Matemática e de baixo nível de dificuldade.</p><p>Por se tratar de um vestibular tradicional,</p><p>trará questões sobre números complexos</p><p>envolvendo polinômios. O candidato deve</p><p>estar atento ao realizar o mecanismo de</p><p>Briot-Ruffini.</p><p>Em sua primeira fase, a prova apresenta</p><p>questões diretas sobre polinômios e com</p><p>baixa incidência de números complexos.</p><p>A prova apresenta os conteúdos deste livro,</p><p>mesclando com geometria espacial e até</p><p>mesmo trigonometria.</p><p>A prova apresenta questões medianas so-</p><p>bre números complexos. Já os polinômios</p><p>podem aparecer na forma gráfica ou abor-</p><p>dando assuntos de fatoração.</p><p>O candidato deve esperar uma questão</p><p>contextualizada, com elevado grau, para</p><p>polinômios. Números complexos podem</p><p>aparecer de forma direta em suas questões,</p><p>porém com baixa incidência.</p><p>A prova pode apresentar questões de</p><p>polinômios, abordando outras áreas da</p><p>Matemática junto com alguma aplicação</p><p>científica.</p><p>A prova procura elaborar questões de alto</p><p>nível para seus candidatos. Ambos os te-</p><p>mas têm uma boa incidência.</p><p>A Santa Casa pode trazer questões diretas</p><p>e bem elaboradas sobre os dois grandes</p><p>temas deste livro. As questões possuirão</p><p>um grau mediano.</p><p>A prova não tem uma boa incidência para</p><p>números complexos, mas aproveita muitos</p><p>conceitos de polinômios em suas questões.</p><p>Números complexos e polinômios são te-</p><p>mas com elevado índice de aplicação nesse</p><p>vestibular.</p><p>Não há uma boa incidência dos temas des-</p><p>te livro, porém, quando há alguma questão,</p><p>observamos um alto nível de dificuldade e</p><p>boa elaboração.</p><p>A prova apresenta questões de polinômios</p><p>e números complexos, com dificuldades</p><p>baixa e mediana.</p><p>A prova apresenta questões objetivas que</p><p>serão diretas nas propriedades das opera-</p><p>ções polinomiais e dos números complexos.</p><p>A prova abordará os temas deste livro</p><p>com questões medianas e fáceis. O can-</p><p>didato deve atentar-se a problemas com</p><p>polinômios.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  7</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>1. Divisão de números complexos</p><p>O quociente</p><p>z1 __ z2</p><p>entre dois números complexos, com z2 ≠ 0,</p><p>é dado por</p><p>z1 __ z2</p><p>=</p><p>z1 ·</p><p>— z 2 ____</p><p>z2 ·</p><p>— z 2</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Escreva na forma a + bi o número complexo 1 ____</p><p>3 – i</p><p>.</p><p>Resolução:</p><p>1 ____</p><p>3 – i</p><p>= 1(3 + i) __________</p><p>(3 – i)(3 + i)</p><p>= 3 + i _____</p><p>9 + 1</p><p>= 3 ___</p><p>10</p><p>+ 1 ___</p><p>10</p><p>i</p><p>2. Efetue</p><p>z1 __ z2</p><p>, sabendo que z1 = 1 + 2i e z2 = 2 + 5i.</p><p>Resolução:</p><p>z1 __ z2</p><p>= 1 + 2i _____</p><p>2 + 5i</p><p>= (1 + 2i) (2 – 5i) ____________</p><p>(2 + 5i) (2 – 5i)</p><p>= 2 – 5i + 4i – 10i2 _____________</p><p>22 + 52 ä</p><p>z1 __ z2</p><p>= 12 – i _____</p><p>29</p><p>= 12 ___</p><p>29</p><p>– 1 ___</p><p>29</p><p>i</p><p>Logo,</p><p>z1 __ z2</p><p>= 12 ___</p><p>29</p><p>– 1 ___</p><p>29</p><p>i.</p><p>3. Calcule ( 1 ____</p><p>1 – i</p><p>)</p><p>10</p><p>.</p><p>Resolução:</p><p>Escrevendo a base da potência na forma a + bi:</p><p>1 ____</p><p>1 – i</p><p>= 1 ____</p><p>1 – i</p><p>· (1 + i) ____</p><p>(1 + i)</p><p>= 1 + i _____</p><p>1 + 1</p><p>= 1 + i ____</p><p>2</p><p>Logo:</p><p>( 1 ____</p><p>1 – i</p><p>)</p><p>10</p><p>= ( 1 + i _____</p><p>2</p><p>)</p><p>10</p><p>= ( 1 + i ) _____</p><p>210</p><p>10</p><p>Para calcular (1 + i)10, lembramos que:</p><p>(1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i</p><p>Logo:</p><p>(1 + i)10 = [(1 + i)2]5 = [2i]5 = 32i</p><p>Portanto, a potência é dada por:</p><p>( 1 + i ) _______</p><p>210</p><p>10</p><p>= 32i _____</p><p>1024</p><p>= i ___</p><p>32</p><p>2. Representação geométrica</p><p>dos números complexos</p><p>Como foi dito, os números complexos podem ser represen-</p><p>tados de várias formas. Até agora, foi vista a forma algé-</p><p>brica a + bi. Outra maneira de representar um complexo z</p><p>é com um par ordenado de números reais. Se z = a + bi,</p><p>pode-se escrever z = (a, b), notação usada por Gauss.</p><p>Por outro lado, a cada par de números reais (a, b) está as-</p><p>sociado um único ponto do plano. Logo, pode-se associar</p><p>a cada número complexo z = a + bi o ponto P do plano de</p><p>coordenadas a e b: P(a, b).</p><p>O plano cartesiano no qual estão representados os núme-</p><p>ros complexos é denominado plano complexo ou plano de</p><p>Argand-Gauss. Diz-se que o ponto P(a, b) é o afixo do nú-</p><p>mero complexo a + bi.</p><p>i</p><p>R</p><p>Modelos:</p><p>§ Representação geométrica dos números complexos:</p><p>z1 = 3 – 2i, z2 = 5, z3 = –2i, z4 = 2 + i e z5 = –2 + i</p><p>z1 = 3 – 2i ä (3, –2)</p><p>para a = 2 e</p><p>b = 1.</p><p>3. Determine os valores de a para que o sistema linear</p><p>seja possível e determinado.</p><p>Resolução:</p><p>Para que o sistema seja possível e determinado, deve haver:</p><p>Assim, o sistema será possível e determinado sempre que</p><p>a i 3 e a i – 3.</p><p>10. Sistemas lineares 3 x 3</p><p>Considere o sistema de três equações com três incógnitas:</p><p>Analisando geometricamente, cada uma das equações de-</p><p>fine os planos p1, p2 e p3, respectivamente. O termo (x, y,</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  73</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>z) é solução desse sistema, se o ponto P(x, y, z) pertencer à</p><p>intersecção p1 > p2 > p3, isto é, se P estiver simultanea-</p><p>mente nos três planos.</p><p>Associadas a esse sistema, há duas matrizes: a incompleta</p><p>(I) e a completa (II).</p><p>Os vetores linha da matriz incompleta são l1 = (a1, b1, c1),</p><p>l2 = (a2, b2, c2) e l3 = (a3, b3, c3), e os vetores linha da matriz</p><p>completa são L1 = (a1, b1, c1, d1), L2 (a2, b2, c2, d2) e L3 = (a3,</p><p>b3, c3, d3). Todos não nulos.</p><p>10.1. Possibilidades para as posições</p><p>relativas dos três planos no espaço</p><p>Existem oito possibilidades para as posições relativas dos</p><p>três planos, p1, p2 e p3, no espaço.</p><p>1. Primeira possibilidade: os três planos coincidem</p><p>Nesse caso, todos os pontos P(x, y, z) de p1 são soluções</p><p>do sistema. Há, portanto, infinitas soluções para o sistema:</p><p>O sistema é possível e indeterminado (SPI).</p><p>Prova de que isso ocorre: L1, L2 e L3 são múltiplos uns dos</p><p>outros.</p><p>Por exemplo:</p><p>Nesse caso, L2 = 2L1, L3 = 4L1 e L3 = 2L2.</p><p>Da primeira equação x + y – z = 1, resulta que z = x</p><p>+ y – 1. Com isso, as soluções do sistema são todos</p><p>os pontos da forma (x, y, x + y – 1), da qual x e y</p><p>são números reais arbitrários.</p><p>Por exemplo, são soluções (1, 1, 1); (1, 2, 2); (2, 5,6); etc.</p><p>2. Segunda possibilidade: dois planos coincidem e o ter-</p><p>ceiro é paralelo a eles</p><p>Nesse caso, o sistema é impossível, não tem solução (SI).</p><p>Prova de que isso ocorre: L2 é múltiplo de L1, ou seja, L2 = kL1,</p><p>o que resulta L3 = kl1, mas L3 não é múltiplo de L1 apesar de</p><p>l3 = ml1.</p><p>Exemplo:</p><p>Nesse caso, L2 = 2L1; l3 = 4l1; mas L3 não é múltiplo de L1.</p><p>Assim, o sistema não tem solução e é impossível.</p><p>3. Terceira possibilidade: dois planos coincidem e o ter-</p><p>ceiro os intersecta segundo uma reta</p><p>Nesse caso, todos os pontos P(x, y, z) da reta são soluções.</p><p>Há, portanto, infinitas soluções. O sistema é possível e in-</p><p>determinado (SPI). Prova de que isso ocorre: L2 = kL1</p><p>(portanto, l2 = kl1); mas l3 não é múltiplo de l1.</p><p>Exemplo:</p><p>p1 = p2, mas l3 = (4, 4, –1) não é múltiplo de l1 = (1,1, –1).</p><p>Por isso, p3 > p1 é a reta r. Essa reta é formada pelos</p><p>pontos P(x, y, z), cujas coordenadas são as soluções</p><p>do sistema:</p><p>Se z = 0, y = 1 – x.</p><p>74  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Portanto, as soluções do sistema são todos os pontos da</p><p>forma (x, 1 – x, 0) para qualquer valor real de x. Por exem-</p><p>plo: são soluções (1, 0, 0); (2, –1, 0); (6, –5, 0) etc.</p><p>4. Quarta possibilidade: os planos são paralelos dois a dois</p><p>Nesse caso, o sistema não possui solução; é impossível (SI).</p><p>Prova de que isso ocorre: cada um dos vetores, l1, l2 e l3</p><p>é múltiplo do outro, mas os vetores L1 , L2 e L3 não são</p><p>múltiplos um do outro, dois a dois.</p><p>Exemplo:</p><p>Nesse exemplo há: l1, l2 e l3 múltiplos um do outro, mas</p><p>L1, L2 e L3 não múltiplos um do outro, dois a dois.</p><p>Esse sistema não tem solução, é impossível.</p><p>5. Quinta possibilidade: dois planos são paralelos e o</p><p>outro os intersecta segundo retas paralelas r [ s</p><p>p1 e p2 são paralelos; logo, p1 > p2 = Ö. Resultado: p1</p><p>> p2 > p3 = Ö. Portanto, o sistema não tem solução; é</p><p>impossível (SI).</p><p>Prova de que isso ocorre: l2 = kl1, mas L2 não é múltiplo</p><p>de L1, uma vez que p1 // p2; além disso, l3 não é múltiplo</p><p>de l1, uma vez que p3 // p1.</p><p>Exemplo:</p><p>Observe: l2 = 2l1, mas L2 não é múltiplo de L1; e l3 não</p><p>é múltiplo de l1.</p><p>Assim, o sistema é impossível.</p><p>6. Sexta possibilidade: os três planos são distintos e</p><p>têm uma reta em comum</p><p>Nesse caso, todos os pontos P(x, y, z) da reta r são solu-</p><p>ções; portanto, há infinitas soluções.</p><p>O sistema é possível e indeterminado (SPI). Prova de que</p><p>isso ocorre: nenhum dos vetores l1, l2 e l3 é múltiplo do</p><p>outro e L3 pode ser escrito, L3 = kL2 + mL1.</p><p>p1 > p2 > p3 = r</p><p>Exemplo:</p><p>Observe: nenhum dos vetores l1, l2 e l3 é múltiplo do</p><p>outro, bem como L3 = 2L1 + L2:</p><p>2L1 é 2x + 2y + 2z = 2</p><p>L2 é 2x – y + z = 5</p><p>4x + y + 3z = 7 é L3</p><p>Assim, o sistema é indeterminado.</p><p>p1 > p2 > p3 = r. Essa reta é formada pelos pontos P(x,</p><p>y, z), cujas coordenadas são as soluções dos sistemas:</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  75</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Exemplo:</p><p>Observe: l2 = 2l1, mas L2 não é múltiplo de L1; e l3 não</p><p>é múltiplo de l1.</p><p>Assim, o sistema é impossível.</p><p>6. Sexta possibilidade: os três planos são distintos e</p><p>têm uma reta em comum</p><p>Nesse caso, todos os pontos P(x, y, z) da reta r são solu-</p><p>ções; portanto, há infinitas soluções.</p><p>O sistema é possível e indeterminado (SPI). Prova de que</p><p>isso ocorre: nenhum dos vetores l1, l2 e l3 é múltiplo do</p><p>outro e L3 pode ser escrito, L3 = kL2 + mL1.</p><p>p1 > p2 > p3 = r</p><p>Exemplo:</p><p>Observe: nenhum dos vetores l1, l2 e l3 é múltiplo do</p><p>outro, bem como L3 = 2L1 + L2:</p><p>2L1 é 2x + 2y + 2z = 2</p><p>L2 é 2x – y + z = 5</p><p>4x + y + 3z = 7 é L3</p><p>Assim, o sistema é indeterminado.</p><p>p1 > p2 > p3 = r. Essa reta é formada pelos pontos P(x,</p><p>y, z), cujas coordenadas são as soluções dos sistemas:</p><p>Portanto, as soluções do sistema são todos os pontos da</p><p>forma ( x, –4 + x ______</p><p>2</p><p>, 6 – 3x _____</p><p>2</p><p>) para qualquer valor real de x. São</p><p>soluções do sistema: (0, –2,3), (2, –1,0), (–2, –3,6), etc.</p><p>7. Sétima possibilidade: os três planos intersectam-se</p><p>dois a dois, segundo retas paralelas umas às outras</p><p>Nesse caso, o sistema é impossível (SI).</p><p>Os vetores l1, l2 e l3 não são múltiplos um do outro, uma</p><p>vez que não há paralelismo nem coincidência entre ne-</p><p>nhum dos planos. Além disso, é possível provar que l3 =</p><p>kl1 + ml2 e que L3 i kL1 + mL2.</p><p>Exemplo</p><p>Observe: os vetores l1, l2 e l3 não são múltiplos um do</p><p>outro, bem como l3 = 2l2 – l1, mas L3 i 2L2 – L1.</p><p>Vejamos: L3 = (9, 3, 5, 5); 2L 2 = (10, 4, 2, 4); – L1 = (–1, –1,</p><p>3, 1); logo, 2L2 – L1 = (9, 3, 5, 3) e L3 = (9, 3, 5, 5). Portanto,</p><p>L3 i 2L2 – L1.</p><p>Assim, esse sistema é impossível.</p><p>8. Oitava possibilidade: os três planos têm um único</p><p>ponto em comum</p><p>Nesse caso, o sistema é possível e determinado (SPD).</p><p>É possível provar que o sistema tem uma única solução</p><p>se, e somente se, os vetores l1, l2 e l3 forem linearmente</p><p>independentes (LI).</p><p>Exemplo:</p><p>Para saber se os vetores (1, 2, –3), (2, 3, 4) e (4, 7, –1) são</p><p>LI, deve-se verificar se o determinante é dife-</p><p>rente de zero.</p><p>Uma vez que i 0, os vetores são LI. Portanto,</p><p>esse sistema é possível e determinado (SPD).</p><p>Os próximos itens demonstrarão como determinar a solu-</p><p>ção de um sistema como esse.</p><p>11. Escalonamento de</p><p>sistemas lineares</p><p>O método do escalonamento é utilizado para classificar,</p><p>resolver e discutir sistemas lineares de quaisquer ordens.</p><p>A princípio, é necessário saber o que é um sistema linear</p><p>escalonado.</p><p>Considerando um sistema genérico m × n, afirma-se que</p><p>ele está escalonado se a matriz dos coeficientes tem em</p><p>cada uma de suas linhas o primeiro elemento não nulo</p><p>situado à esquerda do primeiro elemento não nulo da li-</p><p>nha seguinte. Além disso, linhas com todos os elementos</p><p>nulos devem estar abaixo de todas as outras. Ao observar</p><p>as equações do sistema escalonado, percebe-se que, na li-</p><p>nha considerada, a primeira incógnita com coeficiente não</p><p>nulo está sempre à esquerda da primeira incógnita com</p><p>coeficiente não nulo da linha seguinte.</p><p>São exemplos de sistemas escalonados:</p><p>§</p><p>§</p><p>76  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>§</p><p>12. Classificação e resolução de</p><p>sistemas lineares escalonados</p><p>Para classificar um sistema escalonado, basta observar a últi-</p><p>ma linha com bastante atenção, uma vez que a última linha</p><p>num sistema de n incógnitas é a n-ésima linha;</p><p>se não existir,</p><p>deve ser considerada totalmente nula (0x + 0y + 0z + ... = 0,</p><p>equivale a 0 = 0), como mostrado nos segundo e terceiro</p><p>exemplos anteriores.</p><p>Na última, é possível que haja:</p><p>§ uma equação do primeiro grau com uma incógnita</p><p>(2z = 4; 5w = 0; z = –1, ...): o sistema é SPD;</p><p>§ uma igualdade sem incógnita que é verdadeira (0 = 0;</p><p>2 = 2; 5 = 5; ...): o sistema é SPI; e</p><p>§ uma igualdade sem incógnita que é falsa (0 = 9; 0 = 2;</p><p>0 = –4; ...): o sistema é SI.</p><p>Exemplo:</p><p>1.</p><p>Sistema 3 x 3 já escalonado (número de equações = nú-</p><p>mero de incógnitas)</p><p>Da terceira equação resulta z = 2.</p><p>Da segunda equação, z = 2, obtém-se 4y – 2 × 2 = 0.</p><p>Logo, y = 1.</p><p>Na primeira equação, 3x – 2(1) + 2 = –6 e daí x = –2.</p><p>Conclusão: o sistema é possível e determinado, com</p><p>S = {(–2, 1, 2)}.</p><p>2.</p><p>Sistema 4 × 4 já escalonado.</p><p>A quarta equação permite dizer que o sistema é impossível,</p><p>logo, S = Ö.</p><p>3.</p><p>Sistema 2 × 3 já escalonado. (número de equações</p><p>uma vez que</p><p>esse sistema é 2 × 2, é preciso observar as duas equações.</p><p>Substituída a = 2, obtém-se .</p><p>Os coeficientes da primeira equação são o dobro dos coefi-</p><p>cientes da segunda equação. Por isso, para que haja equações</p><p>equivalentes, b = 1 __</p><p>2</p><p>; para que sejam incompatíveis, b i 1 __</p><p>2</p><p>.</p><p>Portanto:</p><p>§ a i 2 ∫ SPD</p><p>§ a = 2 e b = 1 __</p><p>2</p><p>∫ SPI</p><p>§ a = 2 e b i 1 __</p><p>2</p><p>∫ SI</p><p>2. Discuta o sistema em função dos</p><p>parâmetros a e b.</p><p>Resolução:</p><p>Para D i 0 ä a i 2 (SPD).</p><p>Com a = 2, obtém-se D = 0.</p><p>∫ escalonando ∫</p><p>Na última linha, vai haver uma igualdade verdadeira, se</p><p>b + 1 = 0; portanto, b = –1 (SPI).</p><p>A igualdade será falsa para b + 1 i 0 ou b i –1 (SI).</p><p>Portanto:</p><p>§ a i 2 ∫ SPD</p><p>§ a = 2 e b = –1 ∫ SPI</p><p>§ a = 2 e b i –1 ∫ SI</p><p>16. Resolução de sistemas</p><p>pela regra de Cramer</p><p>Uma das regras mais tradicionais na resolução de sistemas</p><p>de equações lineares é a regra de Cramer, que apresenta</p><p>vantagens e desvantagens sobre outros métodos. A melhor</p><p>vantagem é que ela fornece os valores das incógnitas dire-</p><p>tamente como quociente de dois determinantes. Por outro</p><p>lado, em comparação com o método do escalonamento,</p><p>ela apresenta duas desvantagens. A primeira delas é que a</p><p>regra de Cramer aplica-se tão somente se o determinante</p><p>da matriz do sistema for diferente de zero; a segunda des-</p><p>vantagem é que se trata de uma regra mais trabalhosa,</p><p>uma vez que pressupõe o cálculo de quatro determinantes</p><p>em vez do escalonamento de um único sistema 3 × 3.</p><p>Considere o sistema de três equações lineares com</p><p>três incógnitas:</p><p>§ A princípio, calcula-se D, o determinante da matriz dos</p><p>coeficientes do sistema (matriz incompleta):</p><p>Se D i 0, é possível prosseguir, uma vez que o sistema é</p><p>possível e determinado (SPD).</p><p>Se D = 0, não se aplica a regra de Cramer.</p><p>§ Em seguida, para cada incógnita a ser determinada,</p><p>calcula-se um novo determinante, que é o da matriz</p><p>obtida, substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a</p><p>coluna dos coeficientes da incógnita a ser determinada</p><p>pela coluna dos termos independentes:</p><p>Dx (para determinar x) =</p><p>Dy (para determinar y) =</p><p>Dz (para determinar z) =</p><p>80  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>§ O valor de cada incógnita é o quociente de cada um</p><p>desses determinantes por D, ou seja:</p><p>x =</p><p>Dx __</p><p>D</p><p>y =</p><p>Dy __</p><p>D</p><p>z =</p><p>Dz __</p><p>D</p><p>A regra de Cramer pode ser aplicada para qualquer sistema</p><p>n x n, com D i 0.</p><p>Demonstração dessa regra no sistema 2 × 2.</p><p>Considerando tratar-se de um sistema linear genérico,</p><p>2 × 2, que seja determinado: com</p><p>a1 __ a2</p><p>i</p><p>b1 __</p><p>b2</p><p>, ou seja, a1b2 i a2b1, ou ainda, a1b – a2b1 i 0.</p><p>Resolução por adição:</p><p>Determinantes de matrizes obtidas a partir do sistema:</p><p>D = a1 __ a2</p><p>b1 __</p><p>b2</p><p>= a1b2 – a2b1 i 0</p><p>Dx = c1 __ c2</p><p>b1 __</p><p>b2</p><p>= b2c1 – b1c2</p><p>Dy = a1 __ a2</p><p>c1 __ c2</p><p>= a1c2 – a2c1</p><p>Comparadas as igualdades (I) e (II) com os valores de D, Dx</p><p>e Dy, é possível escrever D · x = Dx e D · y = Dy.</p><p>Uma vez que D i 0, há uma única solução para o sistema</p><p>dada por:</p><p>x =</p><p>Dx __</p><p>D</p><p>e y =</p><p>Dy __</p><p>D</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Resolva os sistemas pela regra de Cramer.</p><p>a)</p><p>Resolução:</p><p>D = 2 ___</p><p>3</p><p>–5 ___</p><p>2</p><p>= 19 i 0</p><p>Dx = –2 ___</p><p>16</p><p>–5 ___</p><p>2</p><p>= 76</p><p>Dy = 2 __</p><p>3</p><p>–2 ___</p><p>16</p><p>= 38</p><p>x =</p><p>Dx __</p><p>D</p><p>= 76 ___</p><p>19</p><p>= 4</p><p>y =</p><p>Dy __</p><p>D</p><p>= 38 ___</p><p>19</p><p>= 2</p><p>S = {(4, 2)}</p><p>b)</p><p>Resolução:</p><p>O sistema dado pode ser escrito como</p><p>D = 3 __</p><p>5</p><p>–1 ___</p><p>2</p><p>= 11</p><p>Dx = 1 __</p><p>4</p><p>–1 ___</p><p>2</p><p>= 6</p><p>Dy = 3 __</p><p>5</p><p>1 __</p><p>4</p><p>= 7</p><p>x =</p><p>Dx __</p><p>D</p><p>= 6 ___</p><p>11</p><p>y =</p><p>Dy __</p><p>D</p><p>= 7 ___</p><p>11</p><p>S = { ( 6 ___</p><p>11</p><p>· 7 ___</p><p>11</p><p>) }</p><p>2. Resolva a equação matricial</p><p>aplicando a regra de Cramer.</p><p>Resolução:</p><p>Essa equação matricial é equivalente ao sistema</p><p>, do qual é a matriz coeficiente das</p><p>incógnitas. Portanto:</p><p>D = 1 __</p><p>2</p><p>–1 ___</p><p>5</p><p>= 7</p><p>Dx = 4 __</p><p>1</p><p>–1 ___</p><p>5</p><p>= 21</p><p>Dy = 1 __</p><p>2</p><p>4 _ __</p><p>1</p><p>= –7</p><p>x =</p><p>Dx __</p><p>D</p><p>= 21 ___</p><p>7</p><p>= 3</p><p>y =</p><p>Dy __</p><p>D</p><p>= –7 ___</p><p>7</p><p>= –1</p><p>Assim, a solução é , ou seja, x = 3 e y = –1.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  81</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>3. Resolva o sistema aplicando a regra</p><p>de Cramer.</p><p>Resolução:</p><p>O sistema dado não é sistema linear.</p><p>Se 1 __ x = m e 1 __ y = n, o sistema toma a forma de um sistema</p><p>linear 2 × 2 nas incógnitas m e n:</p><p>D = 1 __</p><p>2</p><p>1 ___</p><p>–3</p><p>= –5</p><p>Dm = 3 __</p><p>1</p><p>1 ___</p><p>–3</p><p>= –10</p><p>Dn = 1 __</p><p>2</p><p>3 __</p><p>1</p><p>= –5</p><p>m =</p><p>Dm ___</p><p>D</p><p>= –10 ____</p><p>–5</p><p>= 2</p><p>n =</p><p>Dn __</p><p>D</p><p>= –5 ___</p><p>–5</p><p>= 1</p><p>Portanto:</p><p>Assim, ( 1 __</p><p>2</p><p>, 1 ) é a solução do sistema inicial.</p><p>4. Resolva o sistema</p><p>Resolução:</p><p>Uma vez que D = 5 i 0, o sistema é SPD, o que permite</p><p>prosseguir.</p><p>x =</p><p>Dx __</p><p>D</p><p>= 9 __</p><p>5</p><p>y =</p><p>Dy __</p><p>D</p><p>= 12 ___</p><p>5</p><p>z =</p><p>Dz __</p><p>D</p><p>= 9 __</p><p>5</p><p>A solução do sistema é dada pela terna ( 9 __</p><p>5</p><p>, 12 ___</p><p>5</p><p>, 9 __</p><p>5</p><p>) .</p><p>17. Sistemas lineares</p><p>homogêneos</p><p>Caso todos os termos independentes sejam nulos num</p><p>sistema linear, o sistema será denominado sistema li-</p><p>near homogêneo.</p><p>São sistemas lineares homogêneos:</p><p>É importante observar que um sistema linear homogêneo</p><p>n x n (com n > 2) é sempre possível, uma vez que admite</p><p>pelo menos a solução (0, 0, 0), denominada solução trivial,</p><p>nula ou imprópria.</p><p>Esses sistemas homogêneos, sempre possíveis, são os úni-</p><p>cos que podem ser classificados apenas a partir do cál-</p><p>culo determinante. Como não há chance de o sistema</p><p>homogêneo ser SI, se o determinante for nulo, o sistema</p><p>homogêneo será SPI. Ainda assim, para resolver o sistema</p><p>de D = 0, ele deve ser escalonado.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Verifique se o sistema é determinado ou</p><p>indeterminado.</p><p>Resolução:</p><p>§ Aplicando o determinante:</p><p>§ Aplicando o escalonamento:</p><p>O sistema é determinado; logo, S = {(0,0)}.</p><p>82  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>2. Resolva os sistemas:</p><p>a)</p><p>Resolução:</p><p>Se D = 0 e o sistema é homogêneo, ele só pode ser possível e indeterminado.</p><p>Determinando a solução geral:</p><p>Se y = k e se somada uma das equações, obtém-se</p><p>4x – 6y = 0 ä 4x – 6k = 0 ä 4x = 6k ä x = 6k __</p><p>4</p><p>= 3k __</p><p>2</p><p>A solução x = 3k __</p><p>2</p><p>e y = k tirada da primeira equação é também solução da segunda, uma vez que:</p><p>6 · 3k __</p><p>2</p><p>– 9k = 0</p><p>S = { ( 3k __</p><p>2</p><p>,k ) | k [ R }</p><p>b)</p><p>Resolução:</p><p>Se D i 0 e se o sistema é homogêneo, a única solução do sistema é a trivial, ou seja, S = {(0, 0, 0)}.</p><p>3. Determine a para que o sistema admita outras soluções além da solução trivial (0, 0, 0).</p><p>Resolução:</p><p>Para que um sistema homogêneo 3 x 3 admita outras soluções além da trivial, deve haver D = 0, ou seja:</p><p>Assim, a = 1.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  83</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>ÁREAS DE CONHECIMENTO DO ENEM</p><p>HABILIDADE 21</p><p>Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos algébricos.</p><p>Dentro do terceiro eixo cognitivo do Enem, a habilidade 21 exige do aluno a capacidade de resolver uma situ-</p><p>ação proposta a partir de conhecimentos algébricos adquiridos.</p><p>MODELO 1</p><p>(Enem) Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo</p><p>(verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde per-</p><p>maneça acesa igual a 2/3 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo,</p><p>durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.</p><p>Qual a expressão que representa a relação entre X e Y?</p><p>a) 5X – 3Y + 15 = 0</p><p>b) 5X – 2Y + 10 = 0</p><p>c) 3X – 3Y + 15 = 0</p><p>d) 3X – 2Y + 15 = 0</p><p>e) 3X – 2Y + 10 = 0</p><p>ANÁLISE EXPOSITIVA</p><p>O exercício exige que o aluno seja capaz de interpretar um problema do cotidiano e utilizar seus conheci-</p><p>mentos para modelar e resolver problemas a partir da aplicação de expressões algébricas.</p><p>Seja Z o tempo que a luz vermelha fica acesa, tem-se:</p><p>X</p><p>= 2Z ___ 3 ⇔ Z = 3X ___ 2 e, portanto,</p><p>Y = 5 + X + Z ⇔ Y = 5 + X + 3X ___ 2</p><p>⇔ 5X – 2Y + 10 = 0</p><p>RESPOSTA Alternativa B</p><p>84  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>SISTEMAS LINEARES</p><p>SISTEMA 2×2 SISTEMA 3×3 CLASSIFICAÇÃO</p><p>EQUAÇÕES</p><p>LINEARES</p><p>SISTEMAS</p><p>LINEARES</p><p>SOLUÇÃO DE</p><p>UM SISTEMA</p><p>Possível</p><p>Determinado</p><p>Impossível</p><p>Indeterminado</p><p>a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b</p><p>x1, x2, x3, xn → incógnitas</p><p>a1, a2, a3, an → coeficientes</p><p>b → termo independente</p><p>S =</p><p>a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1</p><p>a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2</p><p>.................................................</p><p>am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm</p><p>(α1, α2, α3, ..., αn)</p><p>α1, α2, α3, αn →</p><p>solução de cada uma das</p><p>equações do sistema</p><p>Resolução pelo método</p><p>de adição</p><p>Interação geométrica</p><p>Os pares de números que</p><p>solucionam o sistema deter-</p><p>minam uma reta.</p><p>a1x + b1y = k1</p><p>a2x + b2y = k2</p><p>a1x + b1y + c1z = k1</p><p>a2x + b2y + c2z = k2</p><p>a3x + b3y + c3z = k3</p><p>Nesse sistema existem</p><p>duas matrizes associadas:</p><p>- Completa</p><p>- Incompleta</p><p>a1 b1 c1 k1</p><p>a2 b2 c2 k2</p><p>a3 b3 c3 k3</p><p>a1 b1 c1</p><p>a2 b2 c2</p><p>a3 b3 c3</p><p>(SI)</p><p>(SPI)(SPD)</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  85</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>SISTEMAS LINEARES</p><p>REGRA DE</p><p>CRAMER</p><p>SISTEMAS LINEARES</p><p>HOMOGÊNEOS</p><p>ESCALONAMENTO</p><p>Método para:</p><p>- classificar</p><p>- resolver</p><p>- discutir</p><p>um sistema linear.</p><p>Utilizamos determinantes</p><p>nesse método</p><p>SPD → det ≠ 0</p><p>SPI → det = 0</p><p>SI = det = 0</p><p>Sistemas equivalentes</p><p>- Possuem o mesmo</p><p>conjunto solução.</p><p>Método de resolução de um</p><p>sistema possível e determinado</p><p>a1x + b1y + c1z = k1</p><p>a2x + b2y + c2z = k2</p><p>a3x + b3y + c3z = k3</p><p>a1 b1 c1</p><p>a2 b2 c2</p><p>a3 b3 c3</p><p>det =</p><p>Calcular o determinante</p><p>D ≠ 0 → SPD → Prosseguir</p><p>D = 0 → Parar, pois não se aplica a regra</p><p>Os coeficientes devem ser os elementos</p><p>da matriz.</p><p>Para determinar x:</p><p>Para determinar y:</p><p>Para determinar z:</p><p>k1 b1 c1</p><p>k2 b2 c2</p><p>k3 b3 c3</p><p>Dx = ⇒ x =</p><p>Dx __</p><p>D</p><p>a1 k1 c1</p><p>a2 k2 c2</p><p>a3 k3 c3</p><p>Dy =</p><p>a1 b1 k1</p><p>a2 b2 k2</p><p>a3 b3 k3</p><p>Dz =</p><p>⇒ y =</p><p>Dy __</p><p>D</p><p>⇒ z =</p><p>Dz __</p><p>D</p><p>Quando todos os termos</p><p>independentes das equações</p><p>lineares forem nulos.</p><p>________________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>________________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>______________________________________________________</p><p>ANOTAÇÕES</p><p>86  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>GEOMETRIA</p><p>ANALÍTICA</p><p>MATEMÁTICA</p><p>LIVRO</p><p>TEÓRICO</p><p>INCIDÊNCIA DO TEMA NAS PRINCIPAIS PROVAS</p><p>O Enem não possui uma boa incidência</p><p>dos temas de geometria analítica. Caso</p><p>haja, a questão não terá um elevado grau</p><p>de dificuldade.</p><p>O candidato encontrará em ambas as fases</p><p>questões com elevada dificuldade sobre</p><p>circunferência, envolvendo ou não equa-</p><p>ções da reta. Sessões cônicas elípticas não</p><p>possuem incidência considerável na prova.</p><p>A prova pode apresentar questões muito</p><p>bem elaboradas sobre circunferências.</p><p>Além disso, todos os conceitos de geome-</p><p>tria analítica devem estar bem claros para</p><p>os candidatos.</p><p>A prova sempre apresentará uma questão</p><p>sobre os temas deste livro abordando tam-</p><p>bém conceitos da geometria plana.</p><p>Por apresentar uma prova contextualizada</p><p>em grande parte, poderá apresentar ques-</p><p>tões medianas em ambas as fases sobre</p><p>circunferência e distância entre ponto e</p><p>reta.</p><p>A prova exigirá de seu candidato todas as</p><p>três primeiras aulas deste livro.</p><p>A prova abordará a geometria analítica de</p><p>uma forma contextualizada e mediana. O</p><p>candidato deve atentar-se ao posiciona-</p><p>mento relativo de uma circunferência.</p><p>A prova abordará as três primeiras aulas</p><p>deste livro, com questões muito bem elabo-</p><p>radas e dentro de um grau mediano.</p><p>A prova apresentará questões de elevado</p><p>grau aos seus candidatos. É fundamental</p><p>associar todos os itens de geometria plana</p><p>e analítica.</p><p>O candidato deve estar atento a todos os</p><p>temas abordados sobre geometria ana-</p><p>lítica.</p><p>A prova exige de seu candidato a parte de</p><p>geometria analítica, com elevado grau em</p><p>suas questões. Secções cônicas têm baixa</p><p>incidência em seu vestibular.</p><p>A prova exigirá de seu candidato uma boa</p><p>análise da geometria analítica com ques-</p><p>tões elevadas. Além disso, deve trazer todos</p><p>os conceitos de geometria plana e espacial</p><p>para as questões.</p><p>As questões de geometria analítica da</p><p>prova apresentarão alta dificuldade e estão</p><p>incluídas em todos os temas deste livro.</p><p>De forma objetiva, a prova abordará todos</p><p>os temas deste livro. Questões medianas</p><p>e elevadas podem aparecer para os can-</p><p>didatos.</p><p>A prova tem baixa incidência de geometria</p><p>analítica, porém as questões são muito</p><p>bem elaboradas.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  89</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>1. Distância de um</p><p>ponto a uma reta</p><p>A geometria plana nos ensina que a distância de um ponto</p><p>A a uma reta r é a medida do segmento de extremidades</p><p>em A e na sua projeção ortogonal sobre r.</p><p>Portanto, para calculá-la podemos recorrer a uma aplica-</p><p>ção de perpendicularismo entre retas e, em seguida, calcu-</p><p>lar a distância entre dois pontos.</p><p>Se o processo for aplicado para o caso genérico de um</p><p>ponto P(xp, yp) e uma reta r de equação ax + by + c = 0,</p><p>chegaremos a uma fórmula para o cálculo da distância d</p><p>de P a r:</p><p>d =</p><p> axp + byp + c </p><p>__________</p><p>dXXXXXX a2 + b2</p><p>Modelo:</p><p>Observe a distância do ponto A(3, 5) à reta r de equação</p><p>x + 2y – 8 = 0, calculada no exemplo anterior:</p><p>d =</p><p> 1 · 3 + 2 · 5 – 8  _____________</p><p>dXXXXXX 12 + 22</p><p>=</p><p>3 + 10 – 8</p><p>__________</p><p>dXX 5</p><p>= 5 ___</p><p>dXX 5</p><p>= 5 dXX 5 ____</p><p>5</p><p>= dXX 5</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Calcule a distância do ponto A à reta r pedida nestes</p><p>itens.</p><p>a) A (–1, 5) e r: x __</p><p>4</p><p>+</p><p>y</p><p>__</p><p>3</p><p>= 1</p><p>Resolução:</p><p>A equação de r deve ser disposta na forma geral:</p><p>x __</p><p>4</p><p>+</p><p>y</p><p>__</p><p>3</p><p>= 1 ä 3x + 4y = 12 ä 3x + 4y – 12 = 0</p><p>A distância de A (–1, 5) a r é:</p><p>d =</p><p> 3(–1) + 4 · 5 – 12  ______________</p><p>dXXXXXX 32 + 42</p><p>=</p><p> –3 + 20 – 12  ___________</p><p>dXXX 25</p><p>=</p><p>5 __</p><p>5</p><p>= 1</p><p>b) A(0, 0) e r: y – 4 = – 2 __</p><p>3</p><p>(x + 1)</p><p>Resolução:</p><p>r: y – 4 = – 2 __</p><p>3</p><p>(x + 1) ä 3y – 12 = –2x – 2 ä</p><p>ä 2x + 3y – 10 = 0</p><p>A(0, 0)</p><p>d (A, r) =</p><p> 2 · 0 + 3 · 0 – 10  _______________</p><p>dXXXXXX 22 + 32</p><p>=</p><p> –10  ____</p><p>dXXX 13</p><p>= 10 ____</p><p>dXXX 13</p><p>= 10 dXXX 13 ______</p><p>13</p><p>2. Um triângulo tem os vértices nos pontos A(1, 2), B(–3, –1)</p><p>e C(2, –5). Calcule a medida da altura do triângulo</p><p>relativa ao lado BC.</p><p>Resolução:</p><p>A figura mostra que a medida da altura relativa ao lado</p><p>BC é igual à distância entre o ponto A e a reta-suporte do</p><p>lado BC.</p><p>Equação da reta-suporte do lado BC:</p><p>x y 1</p><p>–3 –1 1</p><p>2 –5 1</p><p>= 0 ä –x + 2y + 15 + 2 + 3y + 5x = 0</p><p>ä 4x + 5y + 17 = 0</p><p>Cálculo da medida da altura:</p><p>d =</p><p>| 4 . 1 + 5 . 2 + 17|</p><p>_______________</p><p>√</p><p>______</p><p>42 + 52</p><p>=</p><p> 31  ____</p><p>dXXX 41</p><p>= 31 ____</p><p>dXXX 41</p><p>= 31 dXXX 41 ______</p><p>41</p><p>Logo, a medida da altura é 31 dXXX 41 ______</p><p>41</p><p>.</p><p>3. São dadas as retas r e s, de equações 2x + 3y – 10 = 0</p><p>e 2x + 3y – 6 = 0, respectivamente. Sabendo que essas</p><p>retas são paralelas, calcule a distância entre elas.</p><p>DISTÂNCIA DE</p><p>PONTO A RETA,</p><p>ÂNGULOS</p><p>E ÁREAS</p><p>COMPETÊNCIA(s)</p><p>2, 3 e 5</p><p>HABILIDADE(s)</p><p>6, 7, 8, 9, 11, 12, 14,</p><p>19, 20, 21, 22 e 23</p><p>MT</p><p>AULAS</p><p>45 E 46</p><p>90  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Resolução:</p><p>A geometria plana mostra que a distância entre duas retas</p><p>paralelas é igual à distância de um ponto P qualquer de</p><p>uma delas a outra reta.</p><p>Cálculo das coordenadas de um ponto P qualquer da reta r:</p><p>2x + 3y – 10 = 0</p><p>Se, arbitrariamente, x = –1, obtemos:</p><p>2(–1) + 3y – 10 = 0 ä –2 + 3y – 10 = 0 ä 3y = 12</p><p>ä y = 4</p><p>Portanto, P, (–1, 4).</p><p>Cálculo da distância de P à reta s</p><p>P (–1, 4) e s: 2x + 3y – 6 = 0</p><p>d =</p><p>|axp + byp + c|</p><p>___________</p><p>√</p><p>_____</p><p>a2+b2</p><p>=</p><p> 2(–1) + 3 · 4 – 6  _______________</p><p>√</p><p>______</p><p>22 + 32</p><p>=</p><p>|4|</p><p>____</p><p>√</p><p>___</p><p>13</p><p>ä</p><p>d = 4 ____</p><p>dXXX 13</p><p>= 4 dXXX 13 _____</p><p>13</p><p>.</p><p>Logo, a distância entre as retas é 4 dXXX 13 _____</p><p>13</p><p>.</p><p>2. Ângulo formado</p><p>por duas retas</p><p>Convém lembrar que duas retas concorrentes determinam</p><p>quatro ângulos e que, conhecido um deles, determinamos</p><p>os demais:</p><p>Observemos que:</p><p>§ r e s são concorrentes e determinam os ângulos de</p><p>medidas a, b, g e d.</p><p>§ a + b + g + d = 360º</p><p>§ a = g e b = d (opostos pelo vértice)</p><p>§ a + b = d + g = 180º</p><p>Consideremos duas retas concorrentes r e s oblíquas aos</p><p>eixos coordenados e não perpendiculares entre si, cujos</p><p>coeficientes angulares são m1 e m2, respectivamente. Elas</p><p>formam entre si o ângulo agudo u.</p><p>u + b = a ä u = a – b ä</p><p>tg u = tg(a – b) =</p><p>tg a – tg b</p><p>____________</p><p>1 + tg a · tg b</p><p>=</p><p>m1 – m2 ________</p><p>1 + m1m2</p><p>Para u agudo:</p><p>tg u =  m1 – m2 ________</p><p>1 + m1m2</p><p></p><p>§ Se r e s forem paralelas, m1 = m2 e u = 0º.</p><p>§ Se r e s forem perpendiculares, m1</p><p>. m2 = –1 e u = 90º.</p><p>§ Se uma das retas for vertical:</p><p>u + a = 90º ä u = 90º – a ä</p><p>ä tg u = tg (90º – a) = cotg a = 1 ____ tg a = 1 __ m</p><p>Considerando q agudo, tg u =  1 __ m  .</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Determine o valor do ângulo formado pelas retas</p><p>r: y – 4 = 3 (x – 5) e s: 2x + y – 7 = 0.</p><p>Resolução:</p><p>§ y – 4 = 3(x – 5) ä m1 = 3</p><p>§ 2x + y – 7 = 0 ä y = –2x + 7 ä m2 = –2</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  91</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Logo:</p><p>tg u =  3 – (–2) ________</p><p>1 + 3(–2)</p><p> =  5 ___</p><p>–5</p><p> =  –1  = 1 ä</p><p>∴ u = 45º</p><p>2. Determine o valor do ângulo agudo formado pelas</p><p>retas: r: x = 4 e s: 2x + 6y – 1 = 0.</p><p>Resolução:</p><p>§ x = 4 ä r é paralela ao eixo</p><p>§ 2x + 6y – 1 = 0 ä y = – 1 __</p><p>3</p><p>x + 1 __</p><p>6</p><p>ä m = – 1 __</p><p>3</p><p>O ângulo agudo u formado por r e s é tal que:</p><p>tg u =  1 ___</p><p>– 1 __</p><p>3</p><p> = 3 ä q ≈ 72º</p><p>3. Área de uma região triangular</p><p>Como determinar a área de uma região triangular ABC a</p><p>partir dos pontos A, B e C?</p><p>Pela geometria plana sabemos que a área da região trian-</p><p>gular da figura é dada por:</p><p>S = 1 __</p><p>2</p><p>(BC) · (AH)</p><p>Na geometria analítica:</p><p>§ d(B, C), expressa a medida do lado BC; e</p><p>§ a distância de A à reta-suporte do lado BC expressa a</p><p>medida da altura a AH.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Se um triângulo ABC tem como vértices os pontos A(1,</p><p>2), B(–3, 1) e C(0, –1), calcule a área da região triangular.</p><p>Resolução:</p><p>Cálculo da medida do lado BC:</p><p>d(B, C) = dXXXXXXXXXXXXXXX (0 + 3)2 + (–1 –1)2 = dXXXXX 9 + 4 = dXXX 13</p><p>Cálculo da distância entre o vértice A e a reta-suporte do</p><p>lado BC:</p><p>x y 1</p><p>–3 1 1</p><p>0 –1 1</p><p>= 0 ⇒ x + 3 + 3y + x = 0 ä</p><p>ä2x + 3y + 3 = 0</p><p>d =</p><p> axA + byA + c </p><p>____________</p><p>√</p><p>_____</p><p>a2 +b2</p><p>=</p><p> 2 · 1 + 3 · 2 + 3  _____________</p><p>dXXXXXX 22 + 32</p><p>ä</p><p>d =</p><p>|11|</p><p>____</p><p>dXXX 13</p><p>= 11 ____</p><p>dXXX 13</p><p>Cálculo da área da região triangular:</p><p>S = 1 __</p><p>2</p><p>· dXXX 13 · 11 ____</p><p>dXXX 13</p><p>= 11 ___</p><p>2</p><p>ou 5,5</p><p>Logo, a área da região triangular é 11 ___</p><p>2</p><p>ou 5,5 unidades</p><p>de área.</p><p>Considerando os pontos não alinhados A(x1, y1), B(x2, y2) e</p><p>C(x3, y3) e seguindo a sequência do exemplo anterior, che-</p><p>gamos a uma igualdade que facilita o cálculo da área da</p><p>região triangular ABC.</p><p>Se os vértices de um triângulo são os pontos A(x1, y1), B(x2, y2)</p><p>e C(x3, y3), a área dessa região triangular será dada por:</p><p>S = 1 __</p><p>2</p><p> D </p><p>da qual D =</p><p>x1 y1 1</p><p>x2 y2 1</p><p>x3 y3 1</p><p>coluna das ordenadas</p><p>coluna das abscissas</p><p>Cálculo da área da região triangular ABC com A(1, 2),</p><p>B(–3, 1) e C(0, –1), será:</p><p>D =</p><p>1 2 1</p><p>–3 1 1</p><p>0 –1 1</p><p>= 1 + 3 + 6 + 1 = 11</p><p>S = 1 __</p><p>2</p><p> D  = 1 __</p><p>2</p><p> 11  = 5,5</p><p>Logo, a área da região triangular é de 11 ___</p><p>2</p><p>ou 5,5 unidades</p><p>de área.</p><p>92  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>2.Dado um paralelogramo de vértices A(0,0), B(1,3),</p><p>C(4,6) e D(3,3), calcule a área da região interior da figura.</p><p>Resolução:</p><p>A diagonal AC divide o paralelogramo em dois triângulos</p><p>de mesma área, logo podemos calcular a área do triângulo</p><p>ABC e multiplicá-lo por 2:</p><p>AABC = 1 __</p><p>2</p><p>|D| = 1 __</p><p>2</p><p>0 0 1</p><p>1 3 1</p><p>4 6 1</p><p>= 1 __</p><p>2</p><p>|-6| = 3</p><p>Logo, a área do paralelogramo é igual a 6.</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA</p><p>ÁREA DE UMA</p><p>REGIÃO TRIANGULAR</p><p>DISTÂNCIA DE UM</p><p>PONTO A UMA RETA</p><p>ÂNGULO FORMADO</p><p>POR DUAS RETAS</p><p>r</p><p>A</p><p>B</p><p>projeção ortogonal</p><p>de A em r</p><p>A → ponto (xa, ya)</p><p>r → reta ax + by + c = 0</p><p>d =</p><p> axa + bya + c </p><p>___________</p><p>a2 + b2</p><p>√</p><p>d → distância</p><p>r e s → retas concorrentes não perpendiculares</p><p>m1 e m2 → coeficientes angulares</p><p>- r e s paralelas m1 = m2 e U = 0º</p><p>- r e s perpendiculares m1 · m2 = –1 e U = 90º</p><p>- Se uma das retas for vertical:</p><p>x</p><p>y</p><p>rb</p><p>a</p><p>U</p><p>s</p><p>tgU =</p><p>m1 – m2 ________</p><p>1 + m1 · m2</p><p>x</p><p>y</p><p>r</p><p>s</p><p>a</p><p>U tg U = 1 __ m</p><p>h</p><p>H CB</p><p>A</p><p>S = 1 __</p><p>2</p><p>(BC) · (AH)</p><p>d(B, C) → medida do lado BC</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  93</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Em seguida, vamos resolver o problema algebricamente,</p><p>isto é, encontrar uma equação da circunferência que passa</p><p>por esses pontos.</p><p>2. Definição</p><p>De acordo com a geometria plana, a circunferência é o</p><p>conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes</p><p>de um ponto fixo.</p><p>O ponto fixo é o centro da circunferência (ponto O da fi-</p><p>gura) e a distância constante é o raio da circunferência</p><p>(AO = OB = OC = r).</p><p>3. Equação da circunferência</p><p>Considerando determinada situação em que a distância</p><p>entre os pontos P(x, y) e A(5, 3) é igual a 2, qual será a</p><p>relação que se pode estabelecer entre x e y?</p><p>Pela fórmula da distância, temos:</p><p>d(P, A) = dXXXXXXXXXXXXXX (x – 5)2 + (y – 3)2</p><p>Uma vez que d(P, A) = 2, temos:</p><p>dXXXXXXXXXXXXXX (x – 5)2 + (y – 3)2 = 2 ⇒ (x – 5)2 + (y – 3)2 = 4 ⇒</p><p>⇒ x2 + y2 – 10x – 6y + 30 = 0</p><p>Logo, a relação estabelecida é (x – 5)2 + (y – 3)2 = 4 ou</p><p>x2 + y2 – 10x – 6y + 30 = 0.</p><p>O conjunto dos pontos P(x, y) situados a uma distância 2</p><p>do ponto A(5,3) é a circunferência de centro A(5, 3) e raio 2.</p><p>1.</p><p>Introdução</p><p>Na aula anterior, vimos como se representa uma reta por meio</p><p>de uma equação algébrica e a conveniência de se recorrer a</p><p>essa representação na resolução de problemas geométricos.</p><p>Vamos estudar, de maneira análoga, a circunferência, tam-</p><p>bém geométrica, por meio de sua representação algébrica.</p><p>A definição dela, diretamente associada ao conceito de</p><p>distância entre dois pontos, é nosso ponto de partida.</p><p>De acordo com a geometria plana euclidiana, assim como</p><p>dois pontos distintos determinam um reta, três pontos não</p><p>colineares determinam uma circunferência. O problema</p><p>proposto é: "Dados os pontos A(1,2), B(0,3) e C(-7, -4),</p><p>determine geométrica e algebricamente a circunferência</p><p>que passa por eles".</p><p>Ao posicioná-los num sistema de eixos ortogonais, temos:</p><p>É possível resolvê-lo geometricamente, desde que você re-</p><p>lembre as propriedades da geometria plana.</p><p>CIRCUNFERÊNCIA:</p><p>EQUAÇÕES</p><p>REDUZIDA E</p><p>NORMAL</p><p>COMPETÊNCIA(s)</p><p>2, 3 e 5</p><p>HABILIDADE(s)</p><p>6, 7, 8, 9, 11, 12, 14,</p><p>19, 20, 21, 22 e 23</p><p>MT</p><p>AULAS</p><p>47 E 48</p><p>94  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Portanto, a relação (x – 5)2 + (y – 3)2 = 4 é satisfeita por</p><p>todos os pontos P(x, y) da circunferência de centro A(5, 3)</p><p>e raio 2. Dizemos, por isso, que (x – 5)2 + (y – 3)2 = 4 é a</p><p>equação reduzida dessa circunferência.</p><p>Considerando genericamente O, (a, b) o centro, r o raio e</p><p>P(x, y) um ponto da circunferência, obtemos:</p><p>d(P, O) = dXXXXXXXXXXXXXX (x – a)2 + (y – b)2 = r ⇒ (x – a)2 + (y – b)2 = r2</p><p>Por isso, podemos escrever que uma circunferência do cen-</p><p>tro O(a, b) e raio r tem equação reduzida:</p><p>(x – a)2 + (y – b)2 = r2 equação reduzida da circunferência.</p><p>Nota</p><p>No caso particular de o centro da circunferência estar</p><p>na origem, ou seja, a = b = 0, a equação da circun-</p><p>ferência é x2 + y2 = r2.</p><p>3.1. Equação normal da circunferência</p><p>Ao desenvolver a equação da circunferência</p><p>(x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos o que se chama de</p><p>equação normal ou geral da circunferência:</p><p>x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 0 ⇒</p><p>⇒ x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = 0</p><p>Na prática é muito comum que as circunferências sejam</p><p>representadas por sua equação normal, como a circunfe-</p><p>rência x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. À primeira vista, essa</p><p>equação não nos permite identificar nem o centro nem o</p><p>raio da circunferência em questão. Precisamos, portanto,</p><p>aprender a obter o raio e o centro de uma circunferência</p><p>a partir de sua equação normal. Dois métodos podem nos</p><p>auxiliar nessa tarefa.</p><p>1. Método de completamento de quadrados</p><p>O objetivo desse método é obter os quadrados perfeitos</p><p>(x – a)2 e (y – b)2 a partir das informações apresentadas</p><p>na equação geral.</p><p>Vejamos como ele funciona com a equação normal</p><p>x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0:</p><p>§ Agrupam-se na equação normal os termos em x e os</p><p>termos em y, isolando no outro membro o termo inde-</p><p>pendente. Deixe um espaço depois dos termos em x e</p><p>dos termos em y, e dois espaços no outro termo:</p><p>x2 – 2x + ____ + y2 + 4y + ___ = 4 + ___ + ___</p><p>§ Somam-se a ambos os termos da equação valores con-</p><p>venientes, de modo que ambos os termos em x e os</p><p>termos em y transformem-se em um quadrado perfeito.</p><p>Na prática, os espaços vagos são usados para escrever es-</p><p>ses números. O número que completa o quadrado perfeito</p><p>em x é o quadrado da metade do inverso do coeficiente</p><p>de x, se o coeficiente de x2 for 1. Portanto, uma vez que</p><p>o coeficiente de x é –2, metade do inverso de −2 é 1 e o</p><p>quadrado de 1 é 1, somamos a ambos os membros:</p><p>x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + ___ = 4 + 1 + ___</p><p>Da mesma forma, o número que completa o quadrado perfei-</p><p>to em y é o quadrado da metade do inverso do coeficiente de</p><p>y, se o coeficiente de y2 for 1. Portanto, uma vez que o coefi-</p><p>ciente de y é 4, metade do inverso de 4 é −2 e o quadrado</p><p>de −2 é 4, somamos 4 a ambos os membros:</p><p>x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = 4 + 1 + 4</p><p>Obtemos, assim, os seguintes quadrados perfeitos:</p><p>x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4 = 4 + 1 + 4</p><p>Portanto, a equação x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 representa</p><p>uma circunferência de centro (1, –2) e raio 3.</p><p>Nota</p><p>Se os coeficientes de centro de x2 e y2 não forem 1,</p><p>basta dividir toda a equação normal por um número</p><p>conveniente, de forma a torná-los 1.</p><p>2. Método da comparação</p><p>De acordo com esse método, devemos comparar os coeficien-</p><p>tes dos termos das duas equações: a equação dada e a teórica.</p><p>x2 + y2 – 2ax – 2by + (a2 + b2 – r2) = x2 + y2 – 2x + 4y – 4</p><p>–2a = –2 ⇒ a = 1</p><p>–2b = 4 ⇒ b = –2</p><p>a2 + b2 – r2 = – 4 ⇒ 12 + (–2)2 – r2 = – 4 ⇒</p><p>⇒ 1 + 4 – r2 = – 4 ⇒ r2 = 9 ⇒ r = 3 ( não há raio negativo)</p><p>Portanto, o centro da circunferência é (1, –2) e o raio é 3.</p><p>(x – 1)2 (y + 2)2 32</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  95</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>O método de completar quadrados é o melhor dos dois,</p><p>uma vez que não compreende a memorização da forma</p><p>teórica da equação normal e oferece a possibilidade de</p><p>trabalhar da mesma forma com outras equações (não só</p><p>com a da circunferência). Fica a seu critério a escolha do</p><p>método para resolver os exercícios.</p><p>3.2. Condições de existência</p><p>Consideremos a equação genérica Ax2 + By2 + Cxy + Dx +</p><p>Ey + F = 0. Para que ela represente uma circunferência, é</p><p>necessário que sejam atendidas três condições:</p><p>§ primeira condição: A = B ≠ 0, ou seja, o coeficiente</p><p>de x2 tem de ser igual ao coeficiente de y2;</p><p>§ segunda condição: C = 0, ou seja, não pode existir</p><p>o produto xy; e</p><p>§ terceira condição: D2 + E2 – 4AF > 0, ou seja, garan-</p><p>timos que o raio é raiz de um número positivo; portan-</p><p>to, um número real.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Determine a equação de uma circunferência com cen-</p><p>tro no ponto O(–3, 1) e raio 3.</p><p>Resolução:</p><p>Usando a equação reduzida, obtemos:</p><p>(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇒ (x + 3)2 + (y – 1)2 = 32 ⇒</p><p>⇒ x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0</p><p>Logo, a equação é (x + 3)2 + (y – 1)2 = 9 ou</p><p>x2 + y2 + 6x – 2y + 1 = 0.</p><p>2. Determine a equação da circunferência com centro</p><p>no ponto A(1, –2) e que passe pelo ponto P(2, 3).</p><p>Resolução:</p><p>De acordo com a figura, r = d(P, A). Portanto:</p><p>d(P, A) = dXXXXXXXXXXXXXXX (2 – 1)2 + [(3 + 2)]2 = dXXXXXX 1 + 25 = dXXX 26 ⇒ r = dXXX 26</p><p>De acordo com a equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2, obtemos:</p><p>(x – 1)2 + (y + 2)2 = ( dXXX 26 )2 ⇒ (x – 1)2 + (y + 2)2 = 26 ⇒</p><p>x2 + y2 – 2x + 4y – 21 = 0</p><p>Logo, a equação é (x – 1)2 + (y + 2)2 = 26 ou</p><p>x2 + y2 – 2x + 4y – 21 = 0.</p><p>Generalizando: numa circunferência de centro C(a, b) e raio</p><p>r, seus pontos satisfazem a equação (x – a)2 + (y – b)2 = r2. Re-</p><p>ciprocamente, uma equação de variáveis x e y escrita nessa for-</p><p>ma representa uma circunferência de centro C(a, b) e raio r > 0.</p><p>3. Verifique se a equação x2 + y2 – 4x – 8y + 19 = 0 re-</p><p>presenta uma circunferência.</p><p>Condição de existência:</p><p>Em x2 + y2 – 4x – 8y + 19 = 0, temos A = B = 1, C = 0,</p><p>D = – 4, E = – 8 e F = 19.</p><p>Ao atender as três condições da existência:</p><p>1. A = B ≠ 0, pois A = B = 1</p><p>2. C = 0</p><p>3. D2 + E2 – 4AF > 0, pois (– 4)2 + (– 8)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 19 = 4</p><p>Logo, a equação inicial representa uma circunferência.</p><p>Resolução:</p><p>Mediante o processo completamento de quadrados e</p><p>lembrando que x2 – 2ax + a2 = (x – a)2, obtemos:</p><p>x2 + y2 – 4x – 8y + 19 = 0 ⇒</p><p>x2 – 4x + ___ + y2 – 8y + ___ = – 19 + ___ + ___ ⇒</p><p>⇒ x2 – 4x + 4 + y2 – 8x + 16 = –19 + 4 + 16</p><p>⇒ (x – 2)2 + (y – 4)2 = 12</p><p>Logo, a equação inicial representa uma circunferência de</p><p>centro C(2, 4) e raio 1.</p><p>4. Obtenha o raio e o centro da circunferência</p><p>x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0.</p><p>Resolução:</p><p>Método de completamento quadrados:</p><p>x2 + 6x + __ + y2 – 4y + __ = 12 + __ + __</p><p>x2 + 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = 12 + 9 + 4 ⇒</p><p>Portanto, a equação x2 + y2 + 6x – 4y – 12 = 0 representa</p><p>uma circunferência de centro (–3, 2) e raio 5.</p><p>Método da comparação:</p><p>x2 + y2 – 2ax – 2bx + (a2 + b2 – r2) = x2 + y2 + 6 x – 4 y – 12 = 0</p><p>(circunferência de centro (a, b) e raio r).</p><p>(x – 2)2 (y – 4)2 1</p><p>(x + 3)2 (y – 2)2 52</p><p>96  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>–2a = 6 ⇒ a = –3</p><p>–2b = – 4 ⇒ b = 2</p><p>a2 + b2 – r2 = –12 ⇒ (–3)2 + 22 – r2 = –12 ⇒</p><p>9 + 4 – r2 = – 12 ⇒ r2 = 25 ⇒ r = 5 (não há raio</p><p>negativo)</p><p>Portanto, o centro da circunferência é (–3, 2) e o raio é 5.</p><p>4. Posições relativas de um</p><p>ponto e uma circunferência</p><p>Se tivermos um ponto P(x1, y1) e uma circunferência λ1 de</p><p>centro C(a, b) e raio r, as posições relativas de P e λ1 serão:</p><p>1. o ponto pertence à circunferência:</p><p>Nesse caso, as coordenadas do ponto devem satisfazer a</p><p>equação da circunferência, e a distância entre P e C é igual a r.</p><p>2. o ponto é interno à circunferência:</p><p>Nesse caso, a distância do ponto ao centro é menor que</p><p>o raio.</p><p>3. o ponto é externo à circunferência:</p><p>Nesse caso, a distância do ponto ao centro é maior que</p><p>o raio.</p><p>Considerando que a equação da circunferência (reduzida</p><p>ou geral) é obtida a partir da condição d(P, C) = r, podemos</p><p>escrever:</p><p>§ d(P, C) = r ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 = r2 ⇔</p><p>(x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2 = 0 ⇔ P ∈ λ</p><p>§ d(P, C) r ⇔ (x1 – a)2 + (y1 – b)2 > r2 ⇔</p><p>(x1 – a)2 + (y1 – b)2 – r2 > 0 ⇔ P é externo a λ</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Dê a posição do ponto P relativa à circunferência em</p><p>cada item:</p><p>a) P(3,2) e λ: x2 + y2 – 6x + 5 = 0</p><p>Resolução:</p><p>Substituindo:</p><p>32 + 22 – 6 ⋅ 3 + 5 = 9 + 4 – 18 + 5 = 18 – 18 = 0</p><p>Logo, P ∈ λ.</p><p>b) P(5, –1) e λ: x2 + y2 – 6x – 2y + 8 = 0</p><p>Resolução:</p><p>Substituindo:</p><p>52 + (–1)2 – 6 ⋅ 5 – 2 (–1) + 8 = 25 + 1 – 30 + 2 + 8 =</p><p>= 36 – 30 = 6 > 0</p><p>Logo, P é externo a λ.</p><p>c) P(4, 3) e λ: x2 + y2 = 36</p><p>Resolução:</p><p>Substituindo:</p><p>42 + 32 – 36 = 16 + 9 – 36 = –11 0</p><p>Garante que o raio seja</p><p>um número positivo e real.</p><p>O</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  99</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>1. Posições relativas de uma</p><p>reta e uma circunferência</p><p>Consideremos as três possíveis posições de uma reta em</p><p>relação a uma circunferência.</p><p>1. A reta t é secante à circunferência:</p><p>Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta</p><p>é menor que o raio. A reta e a circunferência têm dois</p><p>pontos comuns.</p><p>2. A reta t é tangente à circunferência:</p><p>Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta</p><p>é igual ao raio. A reta e a circunferência têm um único</p><p>ponto comum.</p><p>3. A reta t é exterior à circunferência:</p><p>Nesse caso, a distância do centro da circunferência à reta</p><p>é maior que o raio. A reta e a circunferência não têm pon-</p><p>to comum.</p><p>A partir das equações, vejamos como identificar qual des-</p><p>ses casos existe.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. São dadas a reta r, de equação 2x + y – 1 = 0, e a</p><p>circunferência de equação x2 + y2 + 6x – 8y = 0. Qual é a</p><p>posição da reta r em relação à circunferência?</p><p>Resolução:</p><p>Calculemos, inicialmente, as coordenadas do centro e o</p><p>raio da circunferência:</p><p>x2 + y2 + 6x – 8y = 0 ⇒</p><p>x2 + 6x + 9 + y2 – 8y + 16 = 9 + 16 ⇒</p><p>(x + 3)2 + (y – 4)2 = 25</p><p>Logo, C(–3, 4) e r = 5.</p><p>Vamos determinar, agora, a distância do centro à reta:</p><p>d =</p><p>|2 (–3) + 1 (4) – 1|</p><p>______________</p><p>dXXXXXX 22 + 12</p><p>=</p><p>|–3|</p><p>___</p><p>dXX 5</p><p>= 3 ___</p><p>dXX 5</p><p>≅ 1, 3</p><p>Comparando d e r, obtemos d 0</p><p>O valor de ∆ > 0 indica que há dois valores reais e distintos</p><p>de x e, consequentemente, há dois pontos comuns à reta</p><p>e à circunferência.</p><p>Logo, a reta é secante à circunferência.</p><p>Nota</p><p>A resolução completa do sistema permite descobrir quais</p><p>são os dois pontos comuns à reta e à circunferência.</p><p>2. O ponto P(5, 2) pertence à circunferência de equação</p><p>x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0. Determine a equação da reta</p><p>t tangente a essa circunferência em P.</p><p>Resolução:</p><p>Lembre-se de que se uma reta t é tangente a uma circunfe-</p><p>rência de centro C em P, t é perpendicular à reta suporte</p><p>_____</p><p>›</p><p>CP .</p><p>Ao calcular as coordenadas do centro C e o raio r, obtemos:</p><p>x2 + y2 + 2x – 6y – 27 = 0 ⇒</p><p>⇒ x2 + 2x + 1 + y2 – 6y +</p><p>9 = 27 + 1 + 9 ⇒</p><p>⇒ (x + 1)2 + (y – 3)2 = 37</p><p>Portanto, C(–1, 3) e r = dXXX 37 .</p><p>Vamos determinar o coeficiente angular m1 da reta que</p><p>passa pelos pontos C(–1, 3) e P(5, 2);</p><p>m1 = 2 – 3 _____</p><p>5 + 1</p><p>= – 1 __</p><p>6</p><p>Calculemos, agora, a equação da reta t que passa pelo</p><p>ponto P (5, 2) e tem inclinação 6:</p><p>y – 2 = 6 (x – 5) ⇒ y – 2 = 6x – 30 ⇒ 6x – y – 28 = 0</p><p>Logo, a equação pedida é 6x – y – 28 = 0.</p><p>Outra maneira de resolver:</p><p>Obtemos o centro C(–1, 3) como na primeira resolução.</p><p>Determinamos a equação reduzida da reta</p><p></p><p>CP e dela tira-</p><p>mos o coeficiente angular (m1):</p><p> x ___</p><p>–1</p><p>y</p><p>__</p><p>3</p><p>1 __</p><p>1</p><p> = 0 ⇒ 3x + 5y – 2 – 15 + y – 2x = 0 ⇒</p><p>⇒ 6y = –x + 17 ⇒ – y = –1/6x + 17/6 ⇒ m1 = –1/6</p><p>A reta t procurada passa por P(5, 2) e é perpendicular à</p><p>reta CP. Logo, seu coeficiente angular é 6, pois ( 1 __</p><p>6</p><p>) 6 = –1.</p><p>Portanto, a equação de t é y – 2 = 6 (x – 5) ou 6x – y – 28 = 0.</p><p>3. A reta de equação x – y + k = 0 é tangente à circunfe-</p><p>rência de equação x2 + y2 = 9. Calcule o valor de k.</p><p>Resolução:</p><p>Se a reta é tangente à circunferência, a distância do centro</p><p>até a reta é igual ao raio.</p><p>Centro e raio da circunferência:</p><p>x2 + y2 = 9 ⇒ (x – 0)2 + (y – 0)2 = 32</p><p>Portanto, C(0, 0) e r = 3.</p><p>Distância do centro (0, 0) à reta 1x – 1y + k = 0:</p><p>d =</p><p> 1 × 0 –1 × 0 + k  _____________</p><p>dXXXXXX 12 + 12</p><p>=</p><p> k  ___</p><p>dXX 2</p><p>Cálculo de k, sabendo que d = r:</p><p> k  ___</p><p>dXX 2</p><p>= 3 =  k  = 3 dXX 2 = k = ±3 dXX 2</p><p>Outra resolução:</p><p>Se a reta é tangente à circunferência, o sistema formado</p><p>pelas duas equações tem uma única solução:</p><p>x – y + k = 0 ⇒ x = y – k</p><p>x2 + y2 = 9</p><p>Ao substituir x na segunda equação, obtemos:</p><p>x2 + y2 = 9 ⇒ (y – k)2 + y2 = 9 ⇒ y2 – 2ky + k2 xy2 – 9 =</p><p>0 ⇒ 2y2 – 2ky + k2 – 9 = 0</p><p>Para que a solução seja única, devemos ter ∆ = 0:</p><p>∆ = 4k2 – 8(k2 – 9) = 0 ⇒</p><p>⇒ 4k2 – 8k2 + 72 = 0 ⇒</p><p>⇒ – 4k2 + 72 = 0 ⇒ k2 = 72 ___</p><p>4</p><p>= 18 ⇒</p><p>⇒ k = ± dXXX 18 = ± 3 dXX 2</p><p>4. O ponto P(1, –2) é externo à circunferência de equa-</p><p>ção (x – 1)2 + (y – 2)2 = 8. Determine as equações das</p><p>retas tangentes à circunferência que passam por P.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  101</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Resolução:</p><p>Pela equação dada, temos C(1, 2) e r = dXX 8 .</p><p>Considerando o coeficiente angular m das retas t1 e t2, po-</p><p>demos escrever a equação geral dessas retas, lembrando</p><p>que passam por P(1, –2):</p><p>y + 2 = m(x – 1) ⇒ y + 2 = mx – m ⇒</p><p>mx – y – 2 – m = 0</p><p>Uma vez que a distância entre o centro C(1,2) e a reta</p><p>de equação mx – y – 2 – m = 0 deve ser igual ao raio r,</p><p>obtemos:</p><p>|m(1) – 1(2) – 2 – m|</p><p>________________</p><p>dXXXXXX m2 + 1</p><p>= dXX 8 ⇒</p><p>|m – 2 – 2 – m|</p><p>____________</p><p>dXXXXXX m2 + 1</p><p>= √</p><p>__</p><p>8 ⇒</p><p>⇒</p><p>|–4|</p><p>_______</p><p>dXXXXXX m2 + 1</p><p>= dXX 8 ⇒ 4 ______</p><p>√</p><p>_____</p><p>m2+1</p><p>= √</p><p>__</p><p>8 ⇒</p><p>⇒ 16 ______</p><p>m2 + 1</p><p>= 8 ⇒ 8m2 + 8 = 16 ⇒ 8m2 – 8 = 0 ⇒</p><p>⇒ m2 – 1 = 0 ⇒ m2 = 1 ⇒ m’ = 1 e m’’ = –1</p><p>Calculemos, agora, as equações das retas t1 e t2, substituin-</p><p>do o valor de m na equação geral mx – y – 2 – m = 0.</p><p>Para m’ = 1, temos:</p><p>(1)x – y – 2 – 1 = 0 ⇒ x – y – 3 = 0</p><p>Para m” = –1, temos:</p><p>(–1)x – y – 2 – (–1) = 0 ⇒ –x – y – 1 = 0 ⇒ x + y + 1 = 0</p><p>Logo, as equações das retas tangentes t1 e t2 são x – y – 3 = 0</p><p>e x + y + 1 = 0.</p><p>5. Determine a equação da circunferência com centro</p><p>no ponto C(1, 3) e que é tangente à reta t de equação</p><p>x + y + 2 = 0.</p><p>Resolução:</p><p>Observamos na figura que o raio da circunferência pedida é</p><p>igual à distância entre o centro C e a reta t, portanto:</p><p>r =</p><p>|1(1) + 1(3) + 2|</p><p>_____________</p><p>dXXXXXX 12 + 12</p><p>=</p><p>|1 + 3 + 2|</p><p>_________</p><p>dXX 2</p><p>=</p><p>|6|</p><p>___</p><p>dXX 2</p><p>= 6 ___</p><p>dXX 2</p><p>= 6 dXX 2 ____</p><p>2</p><p>= 3 dXX 2</p><p>A equação da circunferência pedida, sabendo que a = 1, b = 3</p><p>e r = 3 dXX 2 , é:</p><p>(x – a)2 + (y – b)2 = r2 ⇒ (x – 1)2 + (y – 3)2 = (3 dXX 2 )2⇒</p><p>⇒(x – 1)2 + (y – 3)2 = 18 ⇒</p><p>⇒ x2 + y2 – 2x – 6y – 8 = 0</p><p>2. Posições relativas de</p><p>duas circunferências</p><p>Duas circunferências distintas podem ter dois, um ou</p><p>nenhum ponto comum.</p><p>A partir das equações das duas circunferências podemos</p><p>descobrir quantos e quais são os pontos comuns e resolver</p><p>o sistema formado por elas; bem como podemos identificar</p><p>a posição relativa usando os dois raios e a distância entre</p><p>os centros.</p><p>Considere uma circunferência de centro C1 e raio r1 e outra de</p><p>centro C2 e raio r2. A distância entre os centros será d(C1, C2).</p><p>Observe as possíveis posições relativas das duas circunferências.</p><p>1. Dois pontos comuns:</p><p>secantes</p><p>|r1 – r 2| r1 + r2</p><p>ou</p><p>circunferência interna à outra</p><p>0 ≤ d(C1 , C2) r1 + r2</p><p>Ao calcular a distância entre os centros C1(–2, 2) e C2(0,</p><p>0),</p><p>obtemos:</p><p>d(C1, C2) = dXXXXXXXXXXXXXXX (–2 – 0)2 + (2 – 0)2 = dXX 8</p><p>Uma vez que os raios medem r1 = 1 e r2 = 1 e dXX 8 > 1 + 1,</p><p>obtemos d > r1 + r2.</p><p>Logo, as circunferências são externas.</p><p>d) (x – 3)² + (y – 2)² = 9 e x² + y² – 6x – 4y + 12 = 0</p><p>Resolução:</p><p>A circunferência (x – 3)2 + (y – 2)2 = 9 tem C(3, 2) e r = 3.</p><p>x2 + y2 – 6x – 4y + 12 = 0 ⇒</p><p>⇒ x2 – 6x + 9 + y2 – 4y + 4 = –12 + 9 + 4 ⇒</p><p>⇒ (x – 3)2 + (y – 2)2 = 1</p><p>Portanto, a circunferência (x – 3)2 + (y – 2)2 = 1 tem C(3, 2)</p><p>e r = 1.</p><p>104  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>CIRCUNFERÊNCIAPOSIÇÕES RELATIVAS</p><p>PONTO E</p><p>CIRCUNFERÊNCIA</p><p>RETA E</p><p>CIRCUNFERÊNCIA</p><p>⇒d > r</p><p>⇒ (x – a)2 + (y – b)2 – r2 > 0</p><p>d</p><p>C</p><p>P</p><p>Ponto externo à circunferência Ponto interno à circunferência</p><p>d r</p><p>Tangentes exteriores</p><p>d = r1 + r2</p><p>C1</p><p>C2</p><p>d</p><p>Secante</p><p> r1 – r2  r1 + r2</p><p>C1 C2</p><p>d</p><p>106  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>1. Origem</p><p>Considere um cone circular reto. Utilizando um plano incli-</p><p>nado em relação ao eixo que intersecte todas as geratrizes</p><p>do cone, monta-se um corte como este:</p><p>Se o plano for paralelo ao</p><p>plano da base, obtemos uma</p><p>circunferência, que também</p><p>é uma secção cônica.</p><p>Nesse caso, a secção cônica obtida é denominada elipse.</p><p>1.1. Definição e elementos</p><p>Considere, a princípio no plano do papel, dois pontos fixos</p><p>F1 e F2, tais que a distância entre eles seja 2c:</p><p>Suponha que será marcada uma série de pontos, de modo</p><p>que a soma das distâncias desses pontos aos pontos fixos F1 e</p><p>F2 seja sempre constante e maior que 2c. Na prática, isso pode</p><p>ser feito com o auxílio de um lápis, dois alfinetes e barbante.</p><p>Ao construir o gráfico ponto a ponto, tem-se:</p><p>AF1 + AF2 = BF1 + BF2 = CF1 + CF2 = … = JF1 + JF2 = …</p><p>= LF1 + LF2 = … = 2a (constante), da qual 2a > 2c.</p><p>A elipse é o conjunto de todos os pontos do plano que</p><p>satisfazem essa propriedade.</p><p>SECÇÕES</p><p>CÔNICAS:</p><p>ELIPSE</p><p>COMPETÊNCIA(s)</p><p>2, 3 e 5</p><p>HABILIDADE(s)</p><p>6, 7, 8, 9, 11, 12, 14,</p><p>19, 20, 21, 22 e 23</p><p>MT</p><p>AULAS</p><p>51 E 52</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  107</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Portanto, a elipse é o lugar geométrico dos pontos de um</p><p>plano, de modo que a soma de suas distâncias a dois pon-</p><p>tos fixos, denominados focos F1 e F2, seja constante, igual a</p><p>2a e maior que a distância entre os focos (2a > 2c).</p><p>Na figura, tem-se:</p><p>§ F1 e F2, focos da elipse, cuja distância entre eles é a</p><p>distância focal (2c);</p><p>§</p><p></p><p>A1A2 , eixo maior da elipse, cuja medida é a soma que</p><p>consta da definição (2a);</p><p>§</p><p></p><p>B1B2 , eixo menor da elipse, cuja medida é 2b;</p><p>§ o centro da elipse (intersecção dos eixos da elipse e</p><p>ponto médio de</p><p></p><p>F1F2 ,</p><p></p><p>A1A2 e</p><p></p><p>B1B2 ); e</p><p>§ o número e = c __ a , denominado excentricidade da elipse</p><p>(0 b.</p><p>(x – x0)</p><p>2</p><p>______</p><p>a2 +</p><p>(y – y0)</p><p>2</p><p>______</p><p>b2 = 1</p><p>2.</p><p></p><p>F1F2 é paralelo ao eixo x, a = AO1, b = OB1 e a > b.</p><p>(x – x0)</p><p>2</p><p>______</p><p>b2 +</p><p>(y – y0)</p><p>2</p><p>______</p><p>a2 = 1</p><p>108  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Determine a equação da elipse de focos F1(3, 0) e</p><p>F2(–3, 0) e vértice 2, que são as extremidades do eixo</p><p>maior A1(5, 0) e A2(–5, 0).</p><p>Resolução:</p><p>De acordo com os dados, os focos estão no eixo x e tem-se:</p><p>a = 5 e c = 3</p><p>a2 = b2 + c2 ⇒ 25 = b2 + 9 ⇒ b2 = 16</p><p>Nesse caso, a equação reduzida é:</p><p>x</p><p>2</p><p>__</p><p>a2 +</p><p>y2</p><p>__</p><p>b2 = 1 ⇒ x</p><p>2</p><p>___</p><p>25</p><p>+</p><p>y2</p><p>___</p><p>16</p><p>= 1</p><p>Assim, a equação procurada é x</p><p>2</p><p>___</p><p>25</p><p>+</p><p>y2</p><p>___</p><p>16</p><p>= 1</p><p>2. Conhecendo os focos F1(0, dXX 3 ) e F2(0, – dXX 3 ) e a excen-</p><p>tricidade e = 1 __</p><p>2</p><p>, determine a equação da elipse.</p><p>Resolução:</p><p>De acordo com os dados do problema, tem-se:</p><p>c = dXX 3</p><p>e = c __ a = 1 __</p><p>2</p><p>⇒ a = 2c = 2 dXX 3</p><p>a2 = b2 + c2 ⇒ (2 dXX 3 )2 = b2 + ( dXX 3 )2 ⇒ 12 = b2 + 3 ⇒ b2 = 9</p><p>Os focos estão localizados no eixo y. Em razão disso:</p><p>x</p><p>2</p><p>__</p><p>b2 +</p><p>y2</p><p>__</p><p>a2 = 1 ⇒ x</p><p>2</p><p>__</p><p>9</p><p>+</p><p>y2</p><p>___</p><p>12</p><p>= 1 ⇒ 4x2 + 3y2 = 36</p><p>Assim, a equação procurada é x</p><p>2</p><p>__</p><p>9</p><p>+</p><p>y2</p><p>___</p><p>12</p><p>= 1 ou 4x2 + 3y2 = 36.</p><p>3. Numa elipse, as extremidades do eixo maior são os</p><p>pontos A1(6, 0) e A2(–6, 0). Sabendo que a elipse passa</p><p>pelo ponto P(3, 2), determine sua equação.</p><p>Resolução:</p><p>De acordo com os dados do problema, tem-se a = 6.</p><p>Uma vez que o eixo maior está sobre o eixo x, tem-se:</p><p>x</p><p>2</p><p>__</p><p>b2 +</p><p>y2</p><p>__</p><p>a2 = 1 ⇒ x</p><p>2</p><p>___</p><p>36</p><p>+</p><p>y2</p><p>__</p><p>b2 = 1</p><p>Uma vez que a elipse passa pelo ponto P(3, 2), tem-se:</p><p>9 ___</p><p>36</p><p>+ 4 __</p><p>b2 = 1 ⇒ 1 __</p><p>4</p><p>+ 4 __</p><p>b2 = 1 ⇒ 4 __</p><p>b2 = 3 __</p><p>4</p><p>⇒ b2 = 16 ___</p><p>3</p><p>Ao substituir a equação original, obtém-se:</p><p>x</p><p>2</p><p>___</p><p>36</p><p>+</p><p>y2</p><p>___</p><p>16 ___</p><p>3</p><p>= 1 ⇒ x</p><p>2</p><p>___</p><p>36</p><p>+</p><p>3y2</p><p>___</p><p>16</p><p>= 1 ⇒ 4x2 + 27y2 = 144</p><p>Assim, a equação procurada é x</p><p>2</p><p>___</p><p>36</p><p>+</p><p>3y2</p><p>___</p><p>16</p><p>= 1 ou 4x2 + 27y2 = 144.</p><p>4. A equação 5x2 + 9y2 – 20x – 18y – 16 = 0 representa</p><p>uma elipse de eixo maior paralelo ao eixo x. Determine</p><p>o centro e os focos dessa elipse.</p><p>Resolução:</p><p>Uma vez que A1A2 é paralelo ao eixo x, deve-se escrever a</p><p>equação na forma:</p><p>(x – x0)</p><p>2</p><p>______</p><p>a2 +</p><p>(y – y0)</p><p>2</p><p>______</p><p>b2 = 1</p><p>Ao desenvolver a equação dada, tem-se:</p><p>5x2 + 9y2 – 20x – 18y – 16 = 0 ⇒</p><p>⇒ 5x2 – 20x + 9y2 – 18y = 16 ⇒</p><p>⇒ 5(x2 – 4x + 4) + 9(y2 – 2y + 1) = 16 + 20 + 9 ⇒</p><p>⇒ 5(x – 2)2 + 9(y2 – 2y + 1) = 16 + 20 + 9 ⇒</p><p>⇒ 5(x – 2)2 + 9(y – 1)2 = 45 ⇒ (x – 2)3</p><p>______</p><p>9</p><p>+</p><p>(y – 1)2</p><p>______</p><p>5</p><p>= 1</p><p>De acordo com a equação, conclui-se que:</p><p>a2 = 9 ⇒ a = 3</p><p>b2 = 5 = b = dXX 5</p><p>Ao fazer c2 = a2 – b2, obtém-se:</p><p>c2 = 9 – 5 = 4 ⇒ c = 2</p><p>Portanto, tem-se:</p><p>F1(2 – 2, 1) ⇒ F1(0, 1)</p><p>F2(2 + 2, 1) ⇒ F2(4, 1)</p><p>Assim, essa elipse tem centro O(2, 1) e focos F1(0, 1) e (4, 1).</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  109</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>ELIPSE</p><p>DEFINIÇÃO E</p><p>ELEMENTOS</p><p>EQUAÇÃO</p><p>RELAÇÃO</p><p>FUNDAMENTAL</p><p>b2 + c2 = a2</p><p>A1 A2F2</p><p>B2</p><p>B1</p><p>F1 O c</p><p>b a</p><p>F1 e F2 → focos</p><p>|F1 F2| = 2c</p><p>A1A2 → eixo maior</p><p>|A1 A2| = 2a</p><p>B1B2 → eixo menor</p><p>|B1 B2| = 2b</p><p>O → centro</p><p>Excentricidade ⇒ e = c __</p><p>b</p><p>(0</p><p>ao eixo x com a > b</p><p>Foco paralelo ao eixo y com a > b</p><p>(x - x0)</p><p>2</p><p>______</p><p>b2 +</p><p>(y - y0)</p><p>2</p><p>______</p><p>a2 = 1</p><p>(x - x0)</p><p>2</p><p>______</p><p>a2 +</p><p>(y - y0)</p><p>2</p><p>______</p><p>b2 = 1</p><p>________________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>________________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>______________________________________________________</p><p>_______________________________________________________</p><p>______________________________________________________</p><p>ANOTAÇÕES</p><p>110  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>z2 = 5 ä (5, 0)</p><p>z3 = – 2i ä (0, –2)</p><p>z4 = 2 + i ä (2, 1)</p><p>z5 = – 2 + i ä (–2, 1)</p><p>NÚMEROS</p><p>COMPLEXOS:</p><p>REPRESENTAÇÃO</p><p>GEOMÉTRICA</p><p>E MÓDULO</p><p>COMPETÊNCIA(s)</p><p>5</p><p>HABILIDADE(s)</p><p>20, 21 e 23</p><p>MT</p><p>AULAS</p><p>45 E 46</p><p>8  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Notas</p><p>1. Os números complexos reais pertencem ao eixo x e</p><p>mantêm a correspondência, segundo a qual para cada</p><p>número real existe um ponto da reta.</p><p>2. Os números imaginários puros pertencem ao eixo y.</p><p>3. Os demais números complexos (a + bi, com a ≠ 0 e</p><p>b ≠ 0) pertencem aos vários quadrantes, de acordo com</p><p>os sinais de a e b.</p><p>4. Para cada número complexo existe um único ponto</p><p>do plano e vice-versa.</p><p>5. A cada complexo z = a + bi pode-se associar um</p><p>único vetor, com extremidades no ponto O, origem do</p><p>sistema de coordenadas cartesianas, e no ponto P(a,</p><p>b). Nesse plano complexo, além do número complexo</p><p>z = a + bi, estão representados outros dois números</p><p>complexos, z1 e z2, e a soma deles, z1 + z2 (diagonal do</p><p>paralelogramo formado por z1 e z2).</p><p>6. A associação dos números complexos z = a + bi</p><p>aos vetores permite o uso, em diversos campos, dos</p><p>números complexos e de suas respectivas grandezas.</p><p>Exemplo disso é o estudo da eletricidade em grau uni-</p><p>versitário. A corrente elétrica, a voltagem, a impedância,</p><p>etc, são tão grandes que podem ser representados por</p><p>números complexos.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Dados os números complexos z1 = –4 + 2i, z2 = –3i</p><p>e z3 = 4, localize, no plano complexo, os pontos corres-</p><p>pondentes a cada número.</p><p>Resolução:</p><p>z1 = – 4 + 2i ä (–4, 2)</p><p>z2 = –3i ä (0, –3)</p><p>z3 = 4 ä (4, 0)</p><p>2. Determine os números complexos correspondentes</p><p>aos pontos A, B, C, D e E nesta figura.</p><p>Resolução:</p><p>A (3, 0) ä z = 3</p><p>B (0, 2) ä z = 2i</p><p>C (2, 1) ä z = 2 + i</p><p>D (–2, – 1) ä z = –2 – i</p><p>E (1, –1) ä z = 1 – i</p><p>3. Dados os pontos correspondentes aos números com-</p><p>plexos z1 e z2, descubra os pontos correspondentes aos</p><p>números –z1 e –z2.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  9</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Resolução:</p><p>P(1, 1) ä z1 = 1 + i ä –z1 = –1 – i ä P’ (–1, –1)</p><p>Q(–2, –1) ä z2 = –2 – i ä –z2 = 2 + i ä Q’ (2, 1)</p><p>4. Efetue, algébrica e geometricamente, a adição dos</p><p>números complexos z1 = 1 + 2i e z2 = 4 + i.</p><p>Resolução:</p><p>Algebricamente: z1 + z2 = (1 + 2i) + (4 + i) = 5 + 3i = z3</p><p>Geometricamente:</p><p>Observe que z3 corresponde ao ponto (5, 3), ou seja, ao</p><p>número complexo z3 = 5 + 3i.</p><p>3. Interpretação geométrica</p><p>do conjugado</p><p>Geometricamente, o conjugado  z de z é representado pelo</p><p>simétrico de z em relação ao eixo x.</p><p>+ bi</p><p>4. Módulo de um</p><p>número complexo</p><p>Geometricamente, o módulo de um número complexo é</p><p>a distância da origem do sistema de coordenadas O ao</p><p>afixo de z.</p><p>Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OAP, ob-</p><p>tém-se:</p><p>|z|2 = a2 + b2 ä |z| = dXXXXXX a2 + b2</p><p>Essa igualdade vale também para os pontos situados nos</p><p>eixos e nos demais quadrantes.</p><p>Assim, pode-se afirmar que, dado um número complexo</p><p>z = a + bi, chama-se módulo de z e indica-se por |z| o</p><p>número real positivo ou nulo dado por:</p><p>|z| = dXXXXXX a2 + b2</p><p>Nota</p><p>Há uma conexão interessante com a geometria analí-</p><p>tica. Pensando nos complexos z e w como pontos no</p><p>plano, o módulo da diferença é a distância entre os dois</p><p>pontos: |z – w| = d(z, w).</p><p>Observe que a definição geométrica de módulo de um nú-</p><p>mero complexo é a mesma de um número real: a distância</p><p>do seu afixo até a origem; porém, quando trabalhamos com</p><p>números reais, eles são representados em uma reta.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Determine o módulo dos seguintes números complexos:</p><p>a) z = 2 + 3i</p><p>Resolução:</p><p>Se z = 2 + 3i:</p><p>|z| = |2 + 3i| = dXXXXX 4 + 9 = dXXX 13</p><p>b) z = 3i</p><p>Resolução:</p><p>Se z = 3i:</p><p>|z| = |3i| = dXX 9 = 3</p><p>c) z = –1 – 2i</p><p>Resolução:</p><p>Se z = –1 – 2i:</p><p>|z| = | –1 – 2i| = dXXXXXXXXXX (–1)2 + (–2)2 = dXXXXX 1 + 4 = dXX 5</p><p>10  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>d) z = 1 __</p><p>2</p><p>Resolução:</p><p>Se z = 1 __</p><p>2</p><p>:</p><p>|z| =  1 __</p><p>2</p><p> = 1 __</p><p>2</p><p>e) z = –3</p><p>Resolução:</p><p>Se z = –3:</p><p>|z| = |– 3| = 3</p><p>f) z = 0</p><p>Resolução:</p><p>Se z = 0:</p><p>|z| = |0| = 0</p><p>2. Descubra a distância do ponto A(1, 2) ao ponto B(5, –1)</p><p>no plano de Argand-Gauss.</p><p>Resolução:</p><p>z = 1 + 2i e w = 5 – i</p><p>z – w = –4 + 3i</p><p>d(A, B) = |z – w| = | –4 + 3i| = dXXXXXX 16 + 9 = 5</p><p>5. Propriedades</p><p>envolvendo módulo</p><p>1. Se z é um número complexo:</p><p>z  z = |z|2</p><p>Demonstração:</p><p>Sabe-se que:</p><p>z  z = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2</p><p>|z| = dXXXXXX a2 + b2</p><p>Logo:</p><p>|z|2 = ( dXXXXXX a2 + b2 )</p><p>2</p><p>= a2 + b2 = z · — z</p><p>Portanto, z  z = |z|2.</p><p>2. Se z é um número complexo:</p><p>|z| = |  z |</p><p>Demonstração:</p><p>Dado z = a + bi, obtém-se:</p><p> z = a – bi</p><p>|z| = dXXXXXX a2 + b2</p><p>|  z | = dXXXXXXXX a2 + (–b)2 = dXXXXXX a2 + b2</p><p>Portanto, |z| = |  z |.</p><p>3. Se z1 e z2 são números complexos:</p><p>|z1z2| = |z1||z2|</p><p>Demonstração:</p><p>De acordo com a primeira propriedade:</p><p>|z1z2|</p><p>2 = (z1z2) (</p><p> z1z2 ) (I)</p><p>Mas sabe-se que:</p><p>(  z1z2 ) =  z1</p><p> z2 (II)</p><p>Se substituído (II) por (I), obtém-se:</p><p>|z1z2|</p><p>2 = z1 z2</p><p> z1</p><p> z2 = (z1</p><p> z1 ) (z2</p><p> z2 ) = |z1|</p><p>2|z2|</p><p>2 = (|z1||z2|)</p><p>2</p><p>Uma vez que o módulo é um número positivo ou nulo, extrai-se</p><p>a raiz quadrada de ambos os membros e chega-se ao que se</p><p>pretendia demonstrar:</p><p>|z1z2| = |z1||z2|</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  11</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>NÚMEROS COMPLEXOS</p><p>REPRESENTAÇÃO</p><p>GEOMÉTRICA</p><p>DIVISÃO</p><p>MÓDULO</p><p>INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA</p><p>DO CONJUGADO</p><p>Z1 __</p><p>Z2</p><p>=</p><p>Z1 ∙</p><p>—</p><p>Z 2</p><p>Z2 ∙</p><p>—</p><p>Z 2</p><p>Z1 e Z2 → números complexos</p><p>—</p><p>Z2 → conjugado do n.º complexo Z2</p><p>Z = a + bi</p><p>Notação de Gauss</p><p>Z = (a, b)</p><p>Plano de Argand-Gauss</p><p>P(a, b) → afixo do</p><p>número complexo</p><p>Propriedades</p><p>- Números reais → pertencem ao eixo</p><p>horizontal</p><p>- Números imaginários → pertencem ao</p><p>eixo vertical</p><p>- Para cada número complexo existe um</p><p>único ponto do plano e vice-versa.</p><p>Propriedades</p><p>Z</p><p>—</p><p>Z =  Z  2</p><p> Z  = </p><p>—</p><p>Z </p><p> Z1Z2  =  Z1   Z2 </p><p>Z1 e Z2 → números complexos</p><p>R</p><p>P(a, b)</p><p>a</p><p>b</p><p>i</p><p>O</p><p>O</p><p>Z</p><p>—</p><p>Z</p><p>—</p><p>Z = (a, –b) = a – bi</p><p>Z = (a, b) = a + bi</p><p>R</p><p>i</p><p> Z </p><p>Z</p><p>P(a, b)</p><p>ou afixo de</p><p>z = a + bi</p><p>a</p><p>b</p><p>A</p><p>y</p><p> z  2 = a2 + b2</p><p> z  = a2 +b2√</p><p>12  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Foi visto em Trigonometria que:</p><p>cos q = a __</p><p>|z|</p><p>sen q = b __</p><p>|z|</p><p>(como 0 ≤ q</p><p> 13</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Portanto, a forma trigonométrica é dada por:</p><p>z = 2 ( cos p __</p><p>3</p><p>+ i · sen p __</p><p>3</p><p>)</p><p>b) z = - 1 + i</p><p>Resolução:</p><p>a = –1</p><p>b = 1</p><p>|z| = |–1 + i| = √</p><p>________</p><p>(-1)2 + 12 = √</p><p>__</p><p>2</p><p>§ cos q = a __</p><p>|z|</p><p>= –1 ___</p><p>dXX 2</p><p>= –</p><p>dXX 2 ___</p><p>2</p><p>§ sen q = b __</p><p>|z|</p><p>= 1 ___</p><p>dXX 2</p><p>=</p><p>dXX 2 ___</p><p>2</p><p>Assim, q = arg(z) = 3p ___</p><p>4</p><p>.</p><p>Im</p><p>Re</p><p>Portanto, a forma trigonométrica é dada por:</p><p>z = √</p><p>__</p><p>2 ( cos 3p ___</p><p>4</p><p>+ i · sen 3p ___</p><p>4</p><p>)</p><p>2. Escreva na forma algébrica os seguintes números</p><p>complexos:</p><p>a) z = 2 ( cos p __</p><p>4</p><p>+ i · sen p __</p><p>4</p><p>)</p><p>Resolução:</p><p>z = 2 ( √</p><p>__</p><p>2 ___</p><p>2</p><p>+ i ∙</p><p>√</p><p>__</p><p>2 ___</p><p>2</p><p>) = 2 √</p><p>__</p><p>2 ____</p><p>2</p><p>+ i ∙ 2 √</p><p>__</p><p>2 ____</p><p>2</p><p>= √</p><p>__</p><p>2 + i √</p><p>__</p><p>2</p><p>Assim, z = √</p><p>__</p><p>2 + i √</p><p>__</p><p>2 .</p><p>b) z = 8 ( cos 7p ___</p><p>6</p><p>+ i sen 7p ___</p><p>6</p><p>)</p><p>Resolução:</p><p>z = 8 [ –cos p __</p><p>6</p><p>+ i ( –sen p __</p><p>6</p><p>) ] = 8 [ –</p><p>√</p><p>__</p><p>3 ___</p><p>2</p><p>+ i ( –1 ___</p><p>2</p><p>) ]</p><p>z = –4 √</p><p>__</p><p>3 – 4i</p><p>Assim, z = –4 √</p><p>__</p><p>3 – 4i.</p><p>2. Multiplicação de números complexos na forma trigonométrica</p><p>Considere os números complexos z1 e z2 dados na forma trigonométrica:</p><p>z1 = |z1|(cos q1 + i · sen q1)</p><p>z2 = |z2|(cos q2 + i · sen q2 )</p><p>O produto z1z2 é dado por:</p><p>z1z2 = |z1|(cos q1 + i · sen q1) |z2| (cos q2 + i · sen q2) ⇒</p><p>z1z2 = |z1IIz2| (cos q1 + i · sen q1) (cos q2 + i · sen q2) ⇒</p><p>z1z2 = |z1||z2|[(cos q1 · cos q2 – sen q1 · sen q2) + i(sen q1 · cos q2 + sen q2 · cos q1)]</p><p>Assim:</p><p>z1z2 = |z1||z2| [cos(q1 + q2) + i · sen(q1 + q2)]</p><p>O produto de dois números complexos escritos na forma trigonométrica é o número complexo cujo módulo é igual ao</p><p>produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é igual à soma dos argumentos dos fatores reduzida à primeira volta</p><p>(0 ≤ arg (z1 z2) 0</p><p>Uma vez que n ∈ N*, deve-se fazer:</p><p>n = 1 ⇒ sen 1p ___</p><p>3</p><p>=</p><p>dXX 3 ___</p><p>2</p><p>≠ 0</p><p>n = 2 ⇒ sen 2p ___</p><p>3</p><p>=</p><p>dXX 3 ___</p><p>2</p><p>≠ 0</p><p>n = 3 ⇒ sen 3p ___</p><p>3</p><p>= 0 e cos 3p ___</p><p>3</p><p>= cos p = –1 0</p><p>Assim, o menor valor de n ∈ N* é 6.</p><p>Nesse caso, tem-se:</p><p>(2 √</p><p>__</p><p>3 i+ 2)6 = 46(cos 2p + i · sen 2p) = 4.096 (real positivo)</p><p>5. Radiciação – raízes</p><p>enésimas de números</p><p>complexos</p><p>Dado um número complexo z e um número natural n, n > 1,</p><p>definimos em C:</p><p>Raiz enésima de z é um número complexo x tal que xn = z.</p><p>Modelos:</p><p>1. 2, –2, 2i e –2i são as raízes quartas do número</p><p>complexo 16.</p><p>2, uma vez que 24 = 16</p><p>–2, uma vez que (–2)4 = 16</p><p>2i, uma vez que (2i)4 = 16</p><p>–2i, uma vez que (– 2i)4 = 16</p><p>Em C há, portanto, quatro raízes quartas de 16.</p><p>2. i e – i são as raízes quadradas do número complexo –1.</p><p>i, uma vez que i2 = –1</p><p>–i, uma vez que (–i)2 = –1</p><p>Em C há, portanto, duas raízes quadradas de –1.</p><p>3. 3 e –3 são as raízes quadradas do número complexo 9.</p><p>3, uma vez que 32 = 9</p><p>–3, uma vez que (–3)2 = 9</p><p>Em C há, portanto, duas raízes quadradas</p><p>de 9.</p><p>4. 1, –1, i e – i são as raízes quartas do número</p><p>complexo 1.</p><p>1, uma vez que 14 = 1</p><p>–1, uma vez que (–1)4 = 1</p><p>i, uma vez que i4 = 1</p><p>– i, uma vez que (–i)4= 1</p><p>Em C há, portanto, quatro raízes quartas de 1.</p><p>16  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>5. A única raiz quinta de 0 é 0, uma vez que 0 é o único</p><p>número complexo tal que 05 = 0.</p><p>A pergunta então é: Quantas são as raízes enésimas de um</p><p>número complexo z ≠ 0 e como podemos determiná-las?</p><p>Isso será analisado com a segunda fórmula de De Moivre.</p><p>5.1. A segunda fórmula de De Moivre</p><p>Considere o número complexo z ≠ 0 tal que z = |z|(cosq + i · senq).</p><p>Encontrar as raízes enésimas de z significa determinar to-</p><p>dos os números complexos distintos do tipo:</p><p>w = |w| (cosa + i · sena)</p><p>De modo que wn = z, para n > 1, isto é, procurar números</p><p>w tais que:</p><p>[|w|(cosa + i · sena)]n = |z|(cosq + i · senq)</p><p>Da igualdade:</p><p>wn = |w|n (cos na + i · sen na)n = z = |z|(cosq + i · senq)</p><p>Resulta:</p><p>§ |w|n = |z|</p><p>§ cos na = cos q</p><p>§ sen na = sen q</p><p>De |w|n = |z|, obtém-se |w| = n dXXX |z| (sempre real e positivo).</p><p>De cos na = cosq e sen na = senq, obtém-se:</p><p>na = q + 2kp ⇒ a =  + 2kp   ________ n (com k ∈ Z)</p><p>No entanto, para que 0 ≤ a</p><p>que o expoente da variável x não</p><p>pode ser fracionário.</p><p>§ 3 dXX x + 6 dXX x + 2, uma vez que a variável x não pode</p><p>aparecer sob radical.</p><p>POLINÔMIOS</p><p>COMPETÊNCIA(s)</p><p>5</p><p>HABILIDADE(s)</p><p>20, 21 e 23</p><p>MT</p><p>AULAS</p><p>49 E 50</p><p>20  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>3. Função polinomial</p><p>As funções complexas f: C é C definidas por expressões</p><p>polinomiais são denominadas funções polinomiais:</p><p>§ f(x) = 2x – 1 é uma função polinomial de grau 1.</p><p>§ g(x) = 3x2 – 2x – 1 é uma função polinomial de grau 2.</p><p>§ h(x) = 3x3 – 6x2 + x – 1 é uma função polinomial de grau 3.</p><p>§ p(x) = x4 – ix2 é uma função polinomial de grau 4.</p><p>Assim, toda função definida por:</p><p>f(x) = anx</p><p>n + an-1x</p><p>n-1 + ... + a2x</p><p>2 + a1x + a0</p><p>para todo x complexo, é denominada função polinomial de</p><p>grau n, em que n é um número inteiro positivo ou nulo, e</p><p>an é diferente de 0.</p><p>Se o grau de uma função polinomial for 0, a função será</p><p>definida por f(x) = a0.</p><p>Modelos:</p><p>1. f(x) = 5 2. p(x) = –2</p><p>4. Polinômio</p><p>A cada função polinomial associa-se um único polinômio</p><p>(ou expressão polinomial) e vice-versa. Por essa razão, é</p><p>possível se referir indistintamente às funções polinomiais</p><p>ou aos polinômios.</p><p>Modelos:</p><p>1. p(x) = 5 é um polinômio de grau 0 ou polinômio constante.</p><p>2. p(x) = 2x + 1 é um polinômio do primeiro grau.</p><p>3. p(x) = x2 – 5x + 6 é um polinômio do segundo grau.</p><p>4.1. Polinômio identicamente nulo</p><p>Define-se o polinômio identicamente nulo (Pin) como o</p><p>polinômio cujos coeficientes são todos nulos: p(x) = anx</p><p>n +</p><p>an-1x</p><p>n-1 + ... + a1x + a0 é um polinômio nulo se, e somente</p><p>se, an = an-1 = ... = a1 = a0 = 0.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1.Dado o polinômio p(x) = (m2 – 1)x3 + (m + 1)x2 – x + 4,</p><p>com m [ R, discuta o grau de p(x).</p><p>Resolução:</p><p>Reduza os coeficientes de x3 e x2 a 0:</p><p>m2 – 1 = 0 ä m2 = 1 m = + – 1</p><p>m + 1 = 0 ä m = –1</p><p>Analise-os:</p><p>§ se m ≠ 1 e m ≠ –1, o polinômio será do terceiro grau;</p><p>§ se m = 1, o polinômio será do segundo grau;</p><p>§ se m = –1, o polinômio será do primeiro grau.</p><p>Calcule os valores de a, b e c para os quais o polinômio</p><p>p(x) = (a + b)x2 + (a – b – 4)x + (b + 2c – 6) seja nulo:</p><p>Se p(x) = 0 ä</p><p>Ao reunir (I) e (II), obtém-se:</p><p>Resolvido o sistema, obtém-se a = 2 e b = –2.</p><p>Substituído b em (III), obtém-se:</p><p>b + 2c – 6 = 0 ä –2 + 2c – 6 = 0 ä</p><p>ä 2c = 8 ä c = 4</p><p>Logo, a = 2, b = –2 e c = 4.</p><p>5. Valor numérico de</p><p>um polinômio</p><p>Considere um polinômio p(x) e um número real a.</p><p>O valor numérico do polinômio p(x) para x = a é o número</p><p>que se obtém ao substituir x por a e ao se efetuarem os</p><p>cálculos necessários. Indica-se p(a).</p><p>Portanto, p(a) é o valor numérico de p(x) para x = a.</p><p>Modelos:</p><p>1. O valor numérico de p(x) = 2x2 – 3x + 5 para x = 4 é:</p><p>p(4) = 2(4)2 – 3(4) + 5 = 32 – 12 + 5 = 25</p><p>Assim, p(4) = 25.</p><p>2. Dado p(x) = 4x3 – 3x2 + 5x – 10, o valor de p(x) para</p><p>x = 3 é:</p><p>p(3) = 4(3)3 – 3(3)2 + 5(3) – 10 =</p><p>p(3) = 108 – 27 + 15 – 10 = 86</p><p>Assim, p(3) = 86.</p><p>3. Se p(x) = – 3x2 – 7, logo, para x = 1, o valor numérico</p><p>de p(x) será:</p><p>p(1) = –3 – 7 = –10.</p><p>Portanto, de modo geral, dado o polinômio:</p><p>p(x) = anx</p><p>n + an – 1x</p><p>n – 1 + an – 2x</p><p>n – 2 + ... + a1x + a0</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  21</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>o valor numérico de p(x) para x = a será:</p><p>p(a) = ana</p><p>n + an – 1a</p><p>n – 1 + an – 2a</p><p>n – 2 + ... + a1a + a0</p><p>Notas</p><p>Se a = 1, o valor numérico de p(x) será a soma de</p><p>seus coeficientes:</p><p>p(1) = an · 1</p><p>n + an – 1 · 1</p><p>n – 1 + an – 2 · 1</p><p>n – 2 · 1n – 2 + ... +</p><p>+ a1 · 1 + a0 ä</p><p>ä p(1) = an + an – 1 + an – 2 + ... + a1 + a0</p><p>Se a = 0, o valor numérico de p(x) será o termo</p><p>independente:</p><p>p(0) = an · 0</p><p>n + an – 1 · 0</p><p>n – 1 + an – 2 · 0</p><p>n – 2 + ... +</p><p>+ a1 · 0 + a0 ä p(0) = a0</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Dado o polinômio p(x) = 2x3 – x2 + x + 5, calcule</p><p>p(2) – p(–1).</p><p>Resolução:</p><p>Calculando p(2) e p(–1) separadamente, obtém-se:</p><p>p(2) = 2(2)3 – (2)2 + 2 + 5 = 16 – 4 + 2 + 5 = 19</p><p>p(–1) = 2(–1)3 – (–1)2 + (–1) + 5 = –2 – 1 – 1 + 5 = 1</p><p>Assim:</p><p>p(2) – p(–1) = 19 – 1 = 18</p><p>2. Dado o polinômio, na forma fatorada, p(x) = (x2 + 2)2</p><p>(x3 – 2)5, determine o que se pede em cada item:</p><p>a) a soma de seus coeficientes;</p><p>Resolução:</p><p>Para se obter a soma dos coeficientes, basta fazer:</p><p>p(1) = (12 + 2)2 (13 – 2)5 = 32 · (–1)5 = –9</p><p>b) o termo independente.</p><p>Resolução:</p><p>Para se obter o termo independente, basta fazer:</p><p>p(0) = (02 + 2)2 (03 – 2)5 = 22 · (–2)5 =</p><p>p(0) = 4(–32) = –128</p><p>3. Um polinômio p(x) é do segundo grau. Sabendo que</p><p>p(2) = 0, p(–1) = 12 e p(0) = 6, escreva o polinômio e</p><p>determine p(5).</p><p>Resolução:</p><p>Se p(x) é um polinômio de segundo grau, sua forma é:</p><p>p(x) = ax2 + bx + c</p><p>Assim:</p><p>p(2) = 0 ä a(2)2 + b(2) + c = 0 ä</p><p>ä 4a + 2b + c = 0 (I)</p><p>p(–1) = 12 ä a(–1)2 + b(–1) + c = 12 ä</p><p>ä a – b + c = 12 (II)</p><p>p(0) = 6 ä a(0)2 + b(0) + c = 6 ä</p><p>ä c = 6 (III)</p><p>Substituindo (III) em (I) e (II), obtém-se:</p><p>Resolvido o sistema, obtém-se a = 1 e b = –5.</p><p>Sabendo que a = 1, b = –5 e c = 6, escreve-se:</p><p>p(x) = x2 – 5x + 6</p><p>Calculando p(5):</p><p>p(5) = (5)2 – 5(5) + 6 = 25 – 25 + 6 = 6</p><p>Assim, p(x) = x2 – 5x + 6 e p(5) = 6.</p><p>6. Igualdade de polinômio</p><p>Dois polinômios serão iguais ou idênticos se, e somente</p><p>se, seus valores numéricos forem iguais para todo a [ C:</p><p>p(x) = q(x) à p(a) = q(a)(? a [ C)</p><p>Para que isso ocorra, a diferença p(x) – q(x) deve ser o</p><p>Pin. Portanto, dois polinômios p(x) e q(x) serão iguais</p><p>se, e somente se, tiverem coeficientes respectivamente</p><p>iguais (os coeficientes dos termos de mesmo grau são</p><p>todos iguais).</p><p>Modelo:</p><p>Dados os polinômios p(x) = ax3 + bx2 + cx + d e</p><p>q(x) = 2x3 + 5x2 – 4x + 3, obtém-se:</p><p>p(x) = q(x) à a = 2, b = 5, c = –4 e d = 3</p><p>7. Raiz de um polinômio</p><p>Já foi visto que p(a) é o valor numérico do polinômio p(x)</p><p>para x = a.</p><p>Se um número complexo (real ou imaginário) a for tal que</p><p>p(a) = 0, esse número a será denominado raiz do polinômio</p><p>p(x).</p><p>Modelos:</p><p>1. Dado o polinômio p(x) = x2 – 7x + 10, obtém-se:</p><p>p(5) = 0 ä 5 é raiz de p(x).</p><p>p(3) = –2 ä 3 não é raiz de p(x).</p><p>22  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>2. Dado o polinômio p(x) = x3 – 3x2 + 2, obtém-se:</p><p>p(1) = 0 ä 1 é raiz de p(x).</p><p>p(3) = 2 ä 3 não é raiz de p(x).</p><p>3. O número i é raiz do polinômio p(x) = x2 + 1, pois</p><p>p(i) = –1 + 1 = 0.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Sabendo que –3 é raiz de p(x) = x3 – 4x2 – ax + 48,</p><p>calcule o valor de a.</p><p>Resolução:</p><p>Se –3 é raiz de p(x), logo p(–3) = 0.</p><p>Portanto:</p><p>p(–3) = (–3)3 – 4(–3)2 – a(–3) + 48 = 0 ä</p><p>–27 – 36 + 3a + 48 = 0 ä 3a = 15 ä</p><p>ä a = 5</p><p>Assim, a = 5.</p><p>2. O polinômio p(x) = x3 + ax2 + bx admite as raízes 6 e 1.</p><p>Calcule os coeficientes a e b.</p><p>Resolução:</p><p>Se p(x) admite a raiz 6, logo p(6) = 0.</p><p>p(6) = 63 + a(6)2 + b(6) = 0 ä</p><p>ä 216 + 36a + 6b = 0 ä 36 + 6a + b = 0</p><p>Se p(x) admite a raiz 1, logo p(1) = 0.</p><p>p(1) = 13 + a(1)2 + b(1) = 0 ä 1 + a + b = 0</p><p>Formando o sistema:</p><p>Ao resolver o sistema, obtém-se a = –7 e b = 6.</p><p>Assim, a = –7 e b = 6.</p><p>8. Equações polinomiais</p><p>ou algébricas</p><p>Equação polinomial ou algébrica é toda equação que pode</p><p>ser escrita na forma:</p><p>anx</p><p>n + an – 1x</p><p>n – 1 + ... + a2x</p><p>2 + a1x + a0 = 0 (com an ≠ 0)</p><p>da qual os ak (an, an – 1, ..., a2, a1, a0) são elementos do</p><p>conjunto dos números complexos, n [ N* e n representa</p><p>o grau da equação.</p><p>Modelos:</p><p>1. 3x + 1 = 0 é uma equação algébrica do primeiro grau.</p><p>2. x2 – 3x – 4 = 0 é uma equação algébrica do segundo grau.</p><p>3. x3 – 2x2 + x – 2 = 0 é uma equação algébrica do</p><p>terceiro grau.</p><p>4. x4 – 2x3 + x2 + 2x – 2 = 0 é uma equação algébrica</p><p>do quarto grau.</p><p>5. 3x2 – 2ix + 1 = 0 é uma equação algébrica do segundo grau.</p><p>8.1. Raiz ou zero de uma equação</p><p>polinomial ou algébrica</p><p>anx</p><p>n + an – 1x</p><p>n – 1 + ... + a2x</p><p>2 + a1x + a0 = 0</p><p>O valor a de x que satisfaz a igualdade, isto é, o valor tal que:</p><p>ana</p><p>n + an – 1a</p><p>n – 1 + ... + a1a + a0 = 0</p><p>Modelos:</p><p>1. x2 – 7x + 10 = 0 admite x = 5 como raiz:</p><p>(5)2 – 7(5) + 10 = 25 – 35 + 10 = 0</p><p>2. x3 – 3x2 + 2 = 0 admite x = 1 como raiz:</p><p>(1)3 – 3(1)2 + 2 = 1 – 3 + 2 = 0</p><p>3. x4 + x3 – x2 – 4 = 0 admite x = –2 como raiz:</p><p>(–2)4 + (–2)3 – (–2)2 – 4 = 16 – 8 – 4 – 4 = 0</p><p>4. x2 + 1 = 0 admite x = i como raiz:</p><p>i2</p><p>+ 1 = –1 + 1 = 0</p><p>8.2. Conjunto solução de</p><p>uma equação algébrica</p><p>Trata-se do conjunto de todas as raízes da equação.</p><p>Modelos:</p><p>1. x2 – 7x + 10 = 0 3. x3 + x2 – 4x – 4 = 0</p><p>S = {2, 5} S = {–2, –1, 2}</p><p>2. 3x – 5 = 0 4. x2 + 1 = 0</p><p>S = { 5 __</p><p>3</p><p>} S = {–i, i}</p><p>8.3. Determinação das raízes</p><p>de uma equação algébrica</p><p>O objetivo é determinar o conjunto solução formado pelas</p><p>raízes de uma equação algébrica, ou seja, resolver a equa-</p><p>ção da forma p(x) = 0, da qual p(x) é um polinômio.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  23</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Foi visto como resolver equações do primeiro e do segundo</p><p>grau por meio de fórmulas simples, além de algumas de grau</p><p>maior do que 2 por meio de fatoração ou outro artifício:</p><p>§ ax + b = 0 (com a ≠ 0) ä x = – b __ a (raiz da equação de</p><p>primeiro grau);</p><p>§ ax2 + bx + c = 0 (com a ≠ 0) ä</p><p>ä x = –b ± dXX D _______</p><p>2a</p><p>(raízes da equação de segundo grau),</p><p>em que D = b2 – 4ac.</p><p>Não faltaram esforços para encontrar fórmulas que permi-</p><p>tissem resolver qualquer equação algébrica de grau maior</p><p>que 2, como estas:</p><p>§ x4 – 6x2 – 7x + 60 = 0</p><p>§ x4 – 8x3 – 25x2 + 44 = 0</p><p>Por fim, concluiu-se que o melhor meio de resolver essas equa-</p><p>ções polinomiais é realizar estimativas de possíveis soluções.</p><p>A seguir, serão examinados alguns métodos que permitem</p><p>estimar uma ou mais raízes de uma equação polinomial e,</p><p>com isso, determinar todas elas.</p><p>8.4. Decomposição em</p><p>fatores de primeiro grau</p><p>Em 1799, o matemático alemão Carl F. Gauss (1777-1855)</p><p>demonstrou o Teorema Fundamental da Álgebra:</p><p>Toda equação algébrica p(x) = 0 de grau n (n > 1) tem pelo</p><p>menos uma raiz complexa (real ou não).</p><p>De acordo com esse teorema, é possível mostrar que os</p><p>polinômios de grau n > 1 podem ser decompostos num</p><p>produto de fatores do primeiro grau.</p><p>Modelos:</p><p>1. 2 é raiz de p(x) = x2 + 3x – 10, uma vez que p(2) = 0. De acor-</p><p>do com o teorema de D’Alembert, p(x) é divisível por x – 2:</p><p>q1(x) = x + 5</p><p>Portanto:</p><p>p(x) = (x – 2) ⋅ q1(x) = (x – 2)(x + 5)</p><p>2. –1 é raiz de p(x) = x3 – 2x2 – x + 2, uma vez que p(–1) = 0. De</p><p>acordo com o teorema de D’Alembert, p(x) é divisível</p><p>por x + 1:</p><p>q(x) = x2 – 3x + 2</p><p>Portanto:</p><p>p(x) = (x + 1) ⋅ q(x) = (x + 1)(x2 – 3x + 2)</p><p>Resolvendo x2 – 3x + 2 = 0, de acordo com a fórmula de Bhaska-</p><p>ra, obtém-se as raízes 1 e 2:</p><p>q(x) = x2 – 3x + 2 = (x – 1) (x – 2)</p><p>Em razão disso, pode-se escrever:</p><p>p(x) = (x + 1)(x – 2)(x – 1)</p><p>8.5. Generalização</p><p>Dado o polinômio de grau n, do qual n > 1:</p><p>p(x) = anx</p><p>n + an – 1x</p><p>n – 1 + ... + a2x</p><p>2 + a1x + a0</p><p>se x1, x2, …, xn são raízes de p(x), pode-se escrevê-lo desta</p><p>forma:</p><p>p(x) = (x – x1) (x – x2) (x – x3)... (x – xn) ⋅ qn(x), com</p><p>q n (x) = an</p><p>Assim:</p><p>p(x) = an(x – x1) (x – x2) (x – x3)... (x – xn)</p><p>da qual xk são as raízes de p(x) e an é o coeficiente de xn.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Uma das raízes da equação 2x3 – 4x2 – 2x + 4 = 0 é 1.</p><p>Resolva a equação.</p><p>Resolução:</p><p>Se 1 é raiz de p(x) = 0:</p><p>p(x) = (x – 1) ⋅ q1 (x) = 0 ä x – 1 = 0 ou q1 (x) = 0</p><p>Se o grau de q1(x) é 2 e sabendo resolver uma equação do se-</p><p>gundo grau, pode-se dizer que q1(x) = 0 fornece as demais raízes.</p><p>Ao determinar q1(x), obtém-se:</p><p>q1(x) = 2x2 – 2x – 4</p><p>Ao determinar as raízes de q1(x) = 0, obtém-se:</p><p>2x2 – 2x – 4 = 0</p><p>D = 4 + 32 = 36</p><p>x = 2 ± 6 _____</p><p>4</p><p>ä x’ = 2 e x” = –1</p><p>24  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Assim, as demais raízes são 2 e –1 e o conjunto solução da equa-</p><p>ção é S = {–1, 1, 2}.</p><p>2. Resolva a equação x4 – x3 – 7x2 + x + 6 = 0, sabendo</p><p>que –2 e 1 são raízes da equação.</p><p>Resolução:</p><p>Se –2 e 1 são raízes de p(x), obtém-se:</p><p>p(x) = (x + 2)(x – 1) ⋅ q1(x) = 0.</p><p>Ao dividir p(x) por x + 2 e, em seguida, o coeficiente dessa divi-</p><p>são por x – 1, obtém-se:</p><p>q1(x) = x2 – 2x – 3</p><p>Ao determinar as raízes de q1(x) = 0, obtém-se.</p><p>x2 – 2x – 3 = 0</p><p>D = 16</p><p>x = 2 ± 4 _____</p><p>2</p><p>ä x’ = 3 e x” = –1</p><p>Assim, S = {–2, –1, 1, 3}.</p><p>3. Determine os valores de a, b e c, sabendo que as raízes</p><p>da equação 3x3 + ax2 + bx + c = 0 são 1, –1 e 5.</p><p>Resolução:</p><p>Se 1, –1 e 5 são raízes da equação p(x) = 0, então p(x) é divisível</p><p>por x – 1, x + 1 e x – 5.</p><p>Assim, tem-se:</p><p>-1</p><p>Uma vez que os restos devem ser iguais a zero:</p><p>Ao substituir os valores de a e b na primeira equação, obtém-se:</p><p>a = –15, b = –3 e c = 15</p><p>8.6. Multiplicidade da raiz</p><p>Na decomposição de um polinômio p(x) de grau n > 0 em</p><p>um produto de n fatores do primeiro grau, são encontrados</p><p>dois ou mais fatores idênticos.</p><p>Numa equação algébrica de grau n, obtém-se n raízes, das</p><p>quais algumas podem ser iguais, ou seja, toda equação al-</p><p>gébrica de grau n > 0 tem, no máximo, n raízes diferentes.</p><p>O número de vezes que uma mesma raiz aparece indica a</p><p>multiplicidade da raiz.</p><p>Modelos:</p><p>1. No polinômio p(x) = x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 = (x – 3)</p><p>(x – 3), há dois fatores idênticos a x – 3. Nesse caso,</p><p>afirma-se que 3 é raiz dupla ou de multiplicidade 2.</p><p>2. No polinômio p(x) = x3 – 3x – 2 = (x + 1) (x + 1) (x – 2)</p><p>= (x + 1)2(x – 2), afirma-se que –1 é raiz dupla ou de mul-</p><p>tiplicidade 2, e 2 é raiz simples ou de multiplicidade 1.</p><p>3. No polinômio p(x) = x5 – 7x4 + 10x3 + 18x2 – 27x – 27</p><p>= (x – 3)3(x + 1)2 = (x – 3)(x – 3)(x – 3)(x + 1)(x + 1), há</p><p>três fatores idênticos a (x – 3) e dois fatores idênticos a</p><p>(x + 1). Nesse caso, afirma-se que 3 é raiz tripla ou de</p><p>multiplicidade 3, e –1 é raiz dupla ou de multiplicidade 2.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Qual é a multiplicidade da raiz 2 do polinômio</p><p>p(x) = x4 – 5x3 + 6x2 + 4x – 8?</p><p>Resolução:</p><p>Eliminando sucessivas vezes a raiz 2 do polinômio até que isso</p><p>não seja mais possível.</p><p>O que resulta em:</p><p>p(x) = (x – 2)3(x + 1)</p><p>Assim, 2 é raiz tripla ou de multiplicidade 3.</p><p>2. Resolva a equação x4 – 3x3 – 3x2 + 7x + 6 = 0, sabendo</p><p>que –1 é raiz dupla.</p><p>Resolução:</p><p>Se –1 é raiz dupla da equação, ela pode ser escrita na forma (x</p><p>+ 1)2 . q(x) = 0.</p><p>Para determinar q(x), deve-se eliminar duas vezes sucessivas a</p><p>raiz –1 da equação:</p><p>q(x) = x2 – 5x + 6</p><p>A equação transforma-se em x2 – 5x + 6 = 0.</p><p>Ao resolvê-la, obtém-se x’= 3 e x” = 2.</p><p>Assim, S = {–1, 2, 3}.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  25</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>3. Dada a equação x3 + ax2 – 8x + b = 0, calcule os valo-</p><p>res de a e b, de forma que 2 seja raiz dupla da equação.</p><p>Resolução:</p><p>Ao eliminar duas vezes sucessivas a raiz 2, obtém-se:</p><p>Ao reduzir os restos a zero, obtém-se:</p><p>Da equação (I), obtém-se:</p><p>4a + 4 = 0 ä 4a = – 4 ä a = –1</p><p>Ao substituir a = –1 na equação (II), obtém-se:</p><p>–4 – 8 + b = 0 ä b = 12</p><p>Assim, a = –1 e b = 12.</p><p>4. Determine uma equação algébrica do quarto grau</p><p>que tenha –1 com raiz de multiplicidade 3 e 2 como</p><p>outra raiz.</p><p>Resolução:</p><p>De acordo com os dados do problema:</p><p>(x + 1) (x + 1) (x + 1) (x – 2) = 0 ä</p><p>ä (x + 1)3 (x – 2) = 0 ä</p><p>ä (x3 + 3x2 + 3x + 1) (x – 2) = 0 ä</p><p>ä x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0</p><p>Assim, a equação procurada é</p><p>x4 + x3 – 3x2 – 5x – 2 = 0, ou qualquer outra equivalente a ela,</p><p>como</p><p>2x4 + 2x3 – 6x2 – 10x – 4 = 0.</p><p>Se for resolvida a equação</p><p>ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).</p><p>Em R, ou seja, com variáveis e coeficientes reais, será</p><p>possível obter:</p><p>§ D > 0 duas raízes reais distintas;</p><p>§ D = 0 duas raízes reais iguais, isto é, uma raiz real</p><p>de multiplicidade 2; e</p><p>§ D</p><p>algébrica do segundo grau. A seguir, serão analisadas</p><p>equações algébricas de grau maior que 2.</p><p>Considere a equação algébrica do terceiro grau.</p><p>ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a ≠ 0)</p><p>E sejam x1, x2 e x3 as suas raízes.</p><p>Ao decompô-la em fatores do primeiro grau:</p><p>ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3)</p><p>Ao desenvolver o produto, obtém-se:</p><p>ax3 + bx2 + cx + d =</p><p>= a[x3 – (x1 + x2 + x3)x</p><p>2 + (x1x2 + x1x3 + x2 x3)x – x1x2x3]</p><p>Ao dividir todos os termos por a, obtém-se:</p><p>x3 + b __ a x2 + c __ a x + d __ a =</p><p>= x3 – (x1 + x2 + x3)x</p><p>2 + (x1x2 + x1x3 + x2 x3)x – x1x2x3</p><p>Pela igualdade de polinômios, obtém-se:</p><p>– (x1 + x2 + x3) = b __ a ä x1 + x2 + x3 = – b __ a</p><p>x1x2 + x1x3 + x2 x3 = c __ a</p><p>– x1x2x3 = d __ a ä x1x2x3 = – d __ a</p><p>De forma análoga, considerando a equação algébrica de</p><p>grau n:</p><p>anx</p><p>n + an – 1x</p><p>n – 1 + an – 2x</p><p>n – 2 + … + a2x</p><p>2 + a1x + a0 = 0</p><p>26  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>cujas raízes x1, x2, x3, x4, ..., xn, são válidas estas relações</p><p>entre as raízes e os coeficientes:</p><p>1. A soma das n raízes é:</p><p>x1 + x2 + x3 + ... + xn = –</p><p>an – 1 ____ an</p><p>2. O produto das n raízes é:</p><p>x1 ⋅ x2 ⋅ x3 ⋅ ... ⋅ xn = (–1)n</p><p>a0 __ an</p><p>3. A soma dos produtos das raízes, quando tomadas:</p><p>a) duas a duas, é:</p><p>x1x2 + x1x3 + ... + xn – 1xn =</p><p>an – 2 ____ an</p><p>b) três a três, é:</p><p>x1x2x3 + x1x2x4 + ... + xn – 2xn – 1xn = –</p><p>an – 3 ____ an</p><p>c) quatro a quatro, é:</p><p>x1x2x3x4 + x1x2x3x5 + ... + xn – 3xn – 2xn – 1xn =</p><p>an – 4 ____ an</p><p>Essas relações entre as raízes e os coeficientes de uma</p><p>equação algébrica são denominadas relações de Girard.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Escreva as relações de Girard para a equação algébri-</p><p>ca x3 + 7x2 – 3x + 5 = 0, considerando x1, x2 e x3 as raízes</p><p>da equação.</p><p>Resolução:</p><p>De acordo com a equação:</p><p>a3 = 1; a2 = 7; a1 = –3; a0 = 5</p><p>Portanto, obtém-se:</p><p>x1 + x2 + x3 = – ( 7 __</p><p>1</p><p>) = –7</p><p>x1x2 + x1x3 + x2x3 = + ( –3 ___</p><p>1</p><p>) = –3</p><p>x1x2x3 = – ( 5 __</p><p>1</p><p>) = –5</p><p>2. Uma equação algébrica do terceiro grau tem raízes</p><p>–1, 1 e 2. Sabendo que o coeficiente do termo de tercei-</p><p>ro grau é 2, determine os outros coeficientes e escreva</p><p>a equação.</p><p>Resolução:</p><p>Se a equação é de terceiro grau, sua forma é:</p><p>ax3 + bx2 + cx + d = 0, com a = 2.</p><p>Portanto, obtém-se:</p><p>2x3 + bx2 + cx + d = 0</p><p>Da qual resulta:</p><p>x1 + x2 + x3 = –1 + 1 + 2 = 2 = – ( b __</p><p>2</p><p>) ä b = –4</p><p>x1x2 + x1x3 + x2x3 = –1 – 2 + 2 = –1 = + ( c __</p><p>2</p><p>) ä c = –2</p><p>x1x2x3 = (–1) · 1 · 2 = –2 = – ( d __</p><p>2</p><p>) ä d = 4</p><p>Assim, os outros coeficientes são b = –4, c = –2 e d = 4, e a</p><p>equação pedida é</p><p>2x3 – 4x2 – 2x + 4 = 0.</p><p>3. Sabendo que x1, x2 e x3 são as raízes da equação</p><p>x3 – 2x2 – 4x + 1 = 0, calcule x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 .</p><p>Resolução:</p><p>De acordo com as relações de Girard, sabe-se que:</p><p>x1 + x2 + x3 = 2 (I)</p><p>x1x2 + x1x3 + x2x3 = –4 (II)</p><p>x1x2x3 = –1 (III)</p><p>Considerando a relação (I), deve-se elevar ambos os membros</p><p>ao quadrado:</p><p>(x1 + x2 + x3)</p><p>2 = 22 ä</p><p>ä x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 = 4 ä</p><p>ä x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2 (x1x2 + x1x3 + x2x3) = 4</p><p>Uma vez que x1x2 + x1x3 + x2x3 = –4, obtém-se:</p><p>x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 + 2 (–4) = 4 ä x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 12</p><p>Assim, x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = 12.</p><p>4. As raízes da equação x3 – 9x2 + 23x – 15 = 0 estão em</p><p>PA. Nessa condição, resolva a equação.</p><p>Resolução:</p><p>Se x1, x2 e x3 são as raízes da equação, elas devem ser represen-</p><p>tadas por:</p><p>x1 = a – r</p><p>x2 = a</p><p>x3 = a + r</p><p>De acordo com as relações de Girard, tem-se:</p><p>x1 + x2 + x3 = 9 ä a – r + a + a + r = 9 ä 3a = 9</p><p>ä a = 3</p><p>Uma vez que x2 = a = 3 é uma das raízes, obtém-se:</p><p>p(x) = (x – 3) · q(x) = 0</p><p>q(x) = x2 – 6x + 5 = 0</p><p>Ao resolver a equação, obtém-se x’ = 5 e x” = 1.</p><p>Assim, S = {1, 3, 5}.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  27</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>5. Resolva a equação x3 – 5x2 + 7x – 3 = 0, sabendo que</p><p>uma raiz é dupla.</p><p>Resolução:</p><p>Uma vez que uma raiz é dupla, deve-se indicar as raízes por x1,</p><p>x1 e x2.</p><p>De acordo com as relações de Girard, obtém-se:</p><p>x1 + x1 + x2 = 5 ä 2x1 + x2 = 5 (I)</p><p>x1x1 + x1x2 + x1x2 = 7 ä x 2 1 + 2x1x2 = 7 (II)</p><p>x1x1 x2 = 3 ä x 2 1 x2 = 3 (III)</p><p>Da relação (I), tem-se:</p><p>2x1 + x2 = 5 ä x2 = 5 – 2x1</p><p>Ao substituir em (II), obtém-se:</p><p>x 2 1 + 2x1x2 = 7 ä x 2 1 + 2x1(5 – 2x1) = 7 ä</p><p>ä x 2 1 + 10x1 – 4x 2 1 – 7 = 0 ä</p><p>ä – 3 x 2 1 + 10x1 – 7 = 0 ä 3x 2 1 – 10x1 + 7 = 0</p><p>D = 16</p><p>x1 = 10 ± 4 ______</p><p>6</p><p>ä x’ = 7 __</p><p>3</p><p>e x” = 1</p><p>Verificando qual dos valores de x1 é raiz da equação inicial:</p><p>p ( 7 __</p><p>3</p><p>) = − 32 ___</p><p>27</p><p>ä 7 __</p><p>3</p><p>(não é a raiz da equação) e</p><p>p(1) = 0 ä 1 (é a raiz dupla da equação)</p><p>Portanto, se x1 = 1, obtém-se:</p><p>x2 = 5 – 2(1) = 3</p><p>Assim, S = {1, 3}.</p><p>8.8. Pesquisa de raízes racionais</p><p>de uma equação algébrica</p><p>de coeficientes inteiros</p><p>Foi visto que as equações polinomiais de grau maior que 2</p><p>não têm um processo determinado de resolução por meio</p><p>de fórmulas. Deve-se procurar, então, uma ou mais raízes e,</p><p>a partir delas, encontrar todas as raízes.</p><p>É possível demonstrar uma propriedade que auxilia a pes-</p><p>quisa das raízes racionais de uma equação algébrica de</p><p>coeficientes inteiros.</p><p>Se o número racional</p><p>p</p><p>__ q , com p e q primos entre si, for raiz</p><p>de uma equação algébrica de coeficiente inteiros:</p><p>anx</p><p>n + an - 1x</p><p>n - 1 + an - 2x</p><p>n - 2 + ... + a2x</p><p>2 + a1x + a0 = 0</p><p>p é divisor de a0 e q é divisor de an.</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Pesquise as raízes racionais da equação</p><p>3x3 + 2x2 – 7x + 2 = 0.</p><p>Resolução:</p><p>Na equação dada, a0 = 2 e a3 = 3.</p><p>p é divisor de 2 ä p [ {–1, 1, –2, 2}.</p><p>q é divisor de 3 ä q [ {–1, 1, –3, 3}.</p><p>Pela propriedade, as prováveis raízes racionais são:</p><p>p</p><p>__ q [ { –1, 1, –2, 2, – 1 __</p><p>3</p><p>, 1 __</p><p>3</p><p>, – 2 __</p><p>3</p><p>, 2 __</p><p>3</p><p>}</p><p>Ao verificar, obtém-se:</p><p>p(–1) = 8 ä –1 (não é raiz)</p><p>p(1) = 0 ä 1 é raiz</p><p>A partir da raiz descoberta:</p><p>3x2 + 5x – 2 = 0</p><p>D = 25 + 24 = 49</p><p>x = –5 ±7 _____</p><p>6</p><p>ä x’ = 2 __</p><p>6</p><p>= 1 __</p><p>3</p><p>e x” = –12 ____</p><p>6</p><p>= –2</p><p>Assim, S = { –2, 1 __</p><p>3</p><p>, 1 } .</p><p>Nota</p><p>Como as outras duas raízes, além de 1, também são</p><p>números racionais, elas seriam descobertas se a pesqui-</p><p>sa das raízes racionais prosseguisse:</p><p>p(–2) = 0 ä –2 é raiz</p><p>p(2) = 20 ä 2 não é raiz</p><p>p ( – 1 __</p><p>3</p><p>) = 40 ___</p><p>9</p><p>ä – 1 __</p><p>3</p><p>não é raiz</p><p>p ( 1 __</p><p>3</p><p>) = 0 ä 1 __</p><p>3</p><p>é raiz</p><p>p ( – 2 __</p><p>3</p><p>) = 20 ___</p><p>3</p><p>ä – 2 __</p><p>3</p><p>não é raiz</p><p>p ( 2 __</p><p>3</p><p>) = – 8 __</p><p>9</p><p>ä – 2 __</p><p>3</p><p>não é raiz</p><p>2. Resolva a equação x4 + x3 – 7x2 – x + 6 = 0.</p><p>Resolução:</p><p>Pela equação dada, tem-se a0 = 6 e a4 = 1.</p><p>p é divisor de 6 ä p [ {–1, 1, –2, 2, –3, 3, –6, 6}.</p><p>q é divisor de 1 ä q [ {–1, 1}.</p><p>28  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>Pela propriedade, as possíveis raízes racionais são:</p><p>p</p><p>__ q [ {–1, 1, –2, 2, –3, 3, –6, 6}</p><p>Ao pesquisar, obtém-se:</p><p>p(–1) = 0 ä –1 é raiz</p><p>p(1) = 0 ä 1 é raiz</p><p>Considerando que –1 e 1 são raízes da equação, deve-se obter</p><p>as outras duas raízes:</p><p>p(x) = (x + 1)(x – 1) . q(x) = 0 e q(x) = x2 + x – 6</p><p>Ao fazer x2 + x – 6 = 0 e resolvendo a equação, obtém-se</p><p>x’ = 2 e x” = – 3.</p><p>Assim, S = {–3,–1, 1, 2}.</p><p>8.9. Raízes complexas não reais numa</p><p>equação algébrica de coeficientes reais</p><p>Considere a equação algébrica x2 – 2x + 2 = 0, que tem to-</p><p>dos os coeficientes reais e pode ser resolvida pela chamada</p><p>fórmula de Bhaskara:</p><p>x = 2 ± √</p><p>___</p><p>–4 ________</p><p>2</p><p>= 2 ± 2i _____</p><p>2</p><p>ä x’ = 1 + i e x” = 1 – i</p><p>S = {1 + i, 1 – i}</p><p>Observe que a raiz 1 + i é um número complexo não real e</p><p>a outra raiz, 1 – i, é o seu conjugado.</p><p>Será demonstrado que, se uma equação polinomial de co-</p><p>eficientes reais admitir como raiz o número complexo</p><p>a + bi, com b ≠ 0, o complexo conjugado a – bi também</p><p>será raiz da equação.</p><p>Para realizar essa demonstração, é preciso relembrar as</p><p>propriedades do conjugado de um número complexo es-</p><p>tudadas no capítulo anterior.</p><p>Dados os números complexos z1 e z2, dos quais — z1 e</p><p>— z2 são</p><p>seus respectivos conjugados, obtém-se:</p><p>z1 = z2 à — z1 = — z2</p><p>——— z1 + z2 = — z1 + — z2</p><p>z1 = — z1 à z1 é número real</p><p>—— z1z2 = — z1</p><p>— z2</p><p>— z n 1 = ( — z 1 ) n</p><p>Considerando a equação algébrica de grau n > 1, com to-</p><p>dos os coeficientes reais:</p><p>anx</p><p>n + an – 1x</p><p>n – 1+ ... + a1x + a0 = 0</p><p>Considere que o número complexo não real z seja raiz des-</p><p>sa equação. Observe que — z também o é.</p><p>z é raiz ⇒ anz</p><p>n + an – 1z</p><p>n - 1 +... + a1z + a0 = 0 ä</p><p>ä</p><p>————————————</p><p>anz</p><p>n + an – 1z</p><p>n – 1 + ... + a1z + a0 = 0</p><p>ä anz</p><p>n + an – 1</p><p>——</p><p>zn – 1 + ... + a1</p><p>— z + a0 = 0 ä</p><p>ä an (</p><p>— z ) n + an – 1 (</p><p>— z ) n – 1 + ... + a1</p><p>— z + a0 = 0 ∴ — z é raiz</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Resolva estas equações.</p><p>a) x4 – 9x3 + 30x2 – 42x + 20 = 0, sabendo que 3 + i</p><p>é uma raiz da equação.</p><p>Resolução:</p><p>Se 3 + i é raiz da equação dada, seu conjugado 3 – i também</p><p>é raiz da equação. Assim:</p><p>p(x) = [x – (3 + i)][x – (3 – i)] . q(x) = [(x – 3) – i][(x – 3) + i] . q(x) ä</p><p>ä p(x) = [(x – 3)2 – i2] . q(x) ä</p><p>ä p(x) = (x2 – 6x + 10) . q(x)</p><p>Calculando q(x), dividindo p(x) por x2 – 6x + 10:</p><p>x4 – 9x3 + 30x2 – 42x + 20 x2 – 6x + 10</p><p>– x4 + 6x3 – 10x2 x2 – 3x + 2</p><p>– 3x3 + 20x2 – 42x + 20</p><p>+ 3x3 – 18x2 + 30x</p><p>2x2 – 12x + 20</p><p>– 2x2 + 12x – 20</p><p>0</p><p>q(x) = x2 – 3x + 2</p><p>Ao fazer x2 – 3x + 2 = 0 e resolvendo a equação, obtém-se</p><p>x’ = 2 e x” = 1.</p><p>Logo, S = {3 + i, 3 – i, 2, 1}.</p><p>b) x5 – 3x4 + 5x3 – 15x2 + 4x – 12 = 0, sabendo que i e</p><p>2i são raízes.</p><p>Resolução:</p><p>Se i e 2i são raízes, e como todos os coeficientes são nú-</p><p>meros reais, pode-se garantir que seus conjugados –i e –2i</p><p>também são raízes. Resta descobrir a quinta raiz, que é um</p><p>número real:</p><p>i 1 –3 5 –15 4 –12</p><p>–i 1 –3 + i 4 – 3i –12 + 4i –12i 0</p><p>2i 1 –3 4 –12 0</p><p>–2i 1 –3 + 2i –6i 0</p><p>1 –3 0</p><p>x – 3 = 0 ä x = 3</p><p>Assim, S = {i, –i, 2i, –2i, 3}.</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  29</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>VIVENCIANDO</p><p>Polinômios do segundo grau são polinômios muito simples quando comparados aos polinômios utilizados no cotidi-</p><p>ano. Em geral, são usados polinômios de graus muito maiores que 2 para modelamento de funções, uma vez que,</p><p>quanto maior o grau, dependendo do modelo matemático utilizado, maior será a precisão da função modelada.</p><p>DIAGRAMA DE IDEIAS</p><p>POLINÔMIOS FUNÇÃO POLINOMIAL</p><p>POLINÔMIO</p><p>NULO (PIN)</p><p>IGUALDADE</p><p>RAIZ</p><p>RELAÇÃO DE GIRARD</p><p>DEFINIÇÃO</p><p>DETERMINAÇÃO</p><p>DAS RAÍZES</p><p>f : C → C</p><p>f(x) = anx</p><p>n + an – 1x</p><p>n – 1 + ... + a2x</p><p>2 + a1x + a0</p><p>anx</p><p>n + an – 1x</p><p>n – 1 + an – 2x</p><p>n – 2 + ... + a2x</p><p>2 + a1x</p><p>1 + a0</p><p>- an, an – 1, an – 2, ..., a2, a1, a0 → coeficientes</p><p>- n → número inteiro positivo ou nulo</p><p>- maior expoente de x → grau da expressão</p><p>Todos os coeficientes são nulos.</p><p>an = an – 1 = ... = a1 = a0 = 0</p><p>p(x) = q(x)</p><p>p(a) = q(a),</p><p>∀a ∈ C</p><p>⇔</p><p>p(a) = 0</p><p>a → raiz do</p><p>polinômio p(x)</p><p>Equação do 2.º grau</p><p>ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)</p><p>x1 + x2 = − b __ a (soma)</p><p>x1x2 = c __ a (produto)</p><p>Equação de grau n</p><p>anx</p><p>n + an – 1x</p><p>n – 1 + an – 2x</p><p>n – 2 + ... + a2x</p><p>2 + a1x + a0 = 0</p><p>x1 + x2 + x3 + ... + xn = −</p><p>an-1 ___ an</p><p>x1 · x2 · x3 · ... · xn = (–1)n</p><p>a0 __ an</p><p>1.º grau</p><p>ax + b = 0</p><p>x= –b/a</p><p>(raiz)</p><p>Decomposição em fatores de primeiro grau</p><p>p(x) = an(x – x1)(x – x2)(x – x3) ... (x – xn)</p><p>2.º grau</p><p>ax2 + bx + c = 0</p><p>x = −b b2 − 4ac ______________</p><p>2a</p><p>(raízes)</p><p>√</p><p>+−</p><p>30  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>1. Operações com polinômios</p><p>A seguir, serão retomados exemplos de operações conheci-</p><p>das no estudo de expressões algébricas: adição, subtração</p><p>e multiplicação de polinômios e multiplicação de um nú-</p><p>mero real por um polinômio. Em seguida, será estudada</p><p>detalhadamente a divisão de polinômios.</p><p>1. Se p(x) = 3x2 + 2x – 1 e q(x) = –x3 + 4x2 – 2x – 5,</p><p>obtém-se:</p><p>p(x) + q(x) = –x3 + (3 + 4)x2 + (2 – 2)x + (–1 – 5) ä</p><p>p(x) + q(x) = –x3 + 7x2 – 6</p><p>2. Se p(x) = 3x2 – 4x + 1 e q(x) = 5x2 – 3x + 4, obtém-se:</p><p>p(x) – q(x) = 3x2 – 4x + 1 – 5x2 + 3x – 4 = –2x2 – x – 3</p><p>3. Dados p(x) = 2x3 – 4x2 + 5x – 3 e q(x) = 7, obtém-se:</p><p>q(x) · p(x) = 7(2x3 – 4x2 + 5x – 3) = 14x3 – 28x2 + 35x – 21</p><p>4. Dados p(x) = 3x – 4 e q(x) = –2x + 5, obtém-se:</p><p>p(x) · q(x) = (3x – 4)(–2x + 5)= –6x2 + 15x + 8x – 20 ä</p><p>p(x) · q(x) = –6x2 + 23x – 20</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Sabendo que a _____</p><p>x + 2</p><p>+ b ____</p><p>x – 1</p><p>= 7x + 8 ________</p><p>x2 + x – 2</p><p>, determine os</p><p>valores de a e b.</p><p>Resolução:</p><p>Uma vez que (x + 2)(x –1) = x2 + x – 2, obtém-se:</p><p>a(x – 1) + b(x + 2)</p><p>______________</p><p>(x + 2)(x – 1)</p><p>= 7x + 8 ________</p><p>x2 + x – 2</p><p>ä</p><p>ä ax – a + bx + 2b _____________</p><p>(x + 2)(x – 1)</p><p>= 7x + 8 ________</p><p>x2 + x –2</p><p>ä</p><p>ä (a + b)x + (–a + 2b)</p><p>________________</p><p>(x + 2)(x – 1)</p><p>= 7x + 8 ________</p><p>x2 + x – 2</p><p>Para que a igualdade se verifique, deve-se ter:</p><p>Ao resolver o sistema, obtém-se a = 2 e b = 5.</p><p>2. Se os polinômios p, q e r têm, respectivamente, graus</p><p>3, 5 e 1, determine o grau de:</p><p>a) p + q</p><p>Resolução:</p><p>Na soma de um polinômio de grau 3 com um de grau</p><p>5 prevalece o maior grau. Assim, o grau de (p + q) é 5.</p><p>b) p · q</p><p>Resolução:</p><p>No produto de um polinômio de grau 3 com um de</p><p>grau 5 o resultado terá grau 3 + 5 = 8.</p><p>c) p · r – q</p><p>Resolução:</p><p>O grau do produto p · r é 3 + 1 = 4. Na subtração p · r – q, pre-</p><p>valece o maior grau, entre o grau 4 de p · r e o grau 5 de q.</p><p>Assim, o grau de (p · r – q) é 5.</p><p>2. Divisão de polinômios</p><p>Considerando dois polinômios p(x) e h(x), com h(x) não</p><p>nulo, dividir p(x) por h(x) significa encontrar dois polinô-</p><p>mios q(x) e r(x) que satisfaçam as seguintes condições:</p><p>1. p(x) = h(x) · q(x) + r(x)</p><p>2. o grau de r(x) não pode ser igual nem maior que o</p><p>grau de h(x) ou então r(x) = 0.</p><p>Portanto, afirma-se que:</p><p>§ p(x) é o dividendo;</p><p>§ h(x) é o divisor;</p><p>§ q(x) é o quociente;</p><p>§ r(x) é o resto.</p><p>Para dividir o polinômio, utiliza-se o método da chave, se-</p><p>melhante ao empregado para números inteiros.</p><p>OPERAÇÕES</p><p>COM</p><p>POLINÔMIOS</p><p>COMPETÊNCIA(s)</p><p>5</p><p>HABILIDADE(s)</p><p>20, 21 e 23</p><p>MT</p><p>AULAS</p><p>51 E 52</p><p>MATEMÁTICA e suas tecnologias  31</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>2.1. Método da chave</p><p>Considerando a seguinte divisão de números inteiros:</p><p>1º)</p><p>»</p><p>33 7 8</p><p>4</p><p>33 : 8 é 4</p><p>3º)</p><p>»</p><p>33 7 8</p><p>–32 42</p><p>17</p><p>17 : 8 é 2</p><p>2º)</p><p>»</p><p>33 7 8</p><p>–32 4</p><p>1</p><p>Subtraindo (ou</p><p>somando</p><p>com o sinal trocado):</p><p>33 – 32 = 1</p><p>4º)</p><p>»</p><p>33 7 8</p><p>–32 42</p><p>17</p><p>–16</p><p>1</p><p>2 · 8 = 16</p><p>17 – 16 = 1</p><p>Observa-se que:</p><p>Utilizando a mesma técnica para a divisão de polinômios.</p><p>1.</p><p>x2 : x = x</p><p>2.</p><p>x(x – 3) = x2 – 3x</p><p>Trocando o sinal: –x2 + 3x</p><p>3.</p><p>–2x : x = –2</p><p>4.</p><p>–2(x – 3) = –2x + 6</p><p>Trocando o sinal: 2x – 6</p><p>Verificamos que:</p><p>Aplicação do conteúdo</p><p>1. Efetue a divisão de p(x) = 2x4 – 2x3 – 13x2 + 10x – 1 por</p><p>h(x) = 2x2 + 4x – 3 e faça a verificação.</p><p>Resolução:</p><p>Ao fazer a verificação, obtém-se:</p><p>q(x) · h(x) + r(x) = (x2 – 3x + 1)(2x2 + 4x – 3) + (–3x + 2)</p><p>q(x) · h(x) + r(x) = (2x4 – 2x3 – 13x2 + 13x – 3) + (–3x + 2)</p><p>p(x) = 2x4 – 2x3 – 13x² + 10x – 1</p><p>2. O polinômio p(x) = x3 – 4x2 – x + 4 é divisível por</p><p>h(x) = x2 – 3x – 4. Nessas condições, resolva a equação</p><p>x3 – 4x2 – x + 4 = 0.</p><p>Resolução:</p><p>x3 – 4x2 – x + 4 = (x2 – 3x – 4)(x – 1)</p><p>Uma vez que x3 – 4x2 – x + 4 = 0, obtém-se:</p><p>(x2 – 3x – 4)(x – 1) = 0</p><p>Assim, a resolução da equação dada recai na resolução já conhe-</p><p>cida de equações de graus menores:</p><p>(x2 – 3x – 4)(x – 1) = 0 ä x2 – 3x – 4 = 0 ou</p><p>x – 1 = 0</p><p>Ao resolver a primeira equação, obtém-se:</p><p>x2 –3x – 4 = 0 ä x’ = 4 e x” = –1</p><p>Ao resolver a segunda, obtém-se:</p><p>x – 1 = 0 ä x = 1</p><p>Assim, S = {–1, 1, 4}.</p><p>32  MATEMÁTICA e suas tecnologias</p><p></p><p></p><p></p><p>V</p><p>O</p><p>LU</p><p>M</p><p>E</p><p>6</p><p>3. Divisão por x – a (dispositivo</p><p>prático de Briot-Ruffini)</p><p>Efetuando a divisão de p(x) = 3x3 – 5x2 + x – 2 por</p><p>h(x) = x – 2 com o método da chave:</p><p>q(x) = 3x2 + x + 3</p><p>r(x) = 4</p><p>Contudo, há um dispositivo que permite que as divisões</p><p>por polinômios do tipo x – a sejam efetuadas de uma ma-</p><p>neira mais simples e rápida: é o denominado dispositivo</p><p>prático ou algoritmo</p>