Exercício - Números Complexos

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�UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU
CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS	 
CURSO: ENGENHARIA MECÂNICA
DISCIPLINA: CALCULO DIFERENCIAL E INEGRAL IV
PROFESSORA: VIVIANE CLOTILDE DA SILVA
ANO/SEMESTRE: 2016/1
 
NÚMEROS COMPLEXOS
EXERCÍCIOS 1: 
1) Calcule o que for indicado:
a) (4 – 2i) + (-6 + 5i) =		b) (-7 + 3i) – (2 – 4i) = 	c) (3 – 2i).(1 + 3i) =		
d) 
				e) i3249=			f) 
g) 
		h) 
				i) 
2) Se z1 = 2 – 3i e z2 = -5 + i, calcule:
a) z1 + z2 =		b) z1 - z2 =			c) z1 ( z2 = 		d) 
		
e) z22 =		f) 
			g) Grafique z1; z2 ; z1 + z2 e z1 – z2
EXERCÍCIOS 2:
Escreva os números abaixo nas outras duas formas de representação.
Localize-os no plano complexo indicando o ângulo e o módulo:
			
		 (d) 
Observações:
Quando temos um número real z = x, com x ( 0, o ângulo ( será: 
Para um número imaginário puro z = yi, temos: 
LISTA I DE EXERCÍCIOS SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
1. Calcule:
a)(4 – 2i) + (5 – 3i) = 			b) (-3 -5i) – (2 – 5i) = 		c) (2 – 7i).(-2 + 4i) = 					
d) (-5 + 4i)-(3-2i) = 			e) 
 				f) i5058 = 
g) 
					h) 
				i) 
j) Seja 
, calcule 
�	k) 
				l) i2375 =	
m) i3249 = 	 			n) 
 		o) 
p) 
			q) (10 + 7i)5 = 				r) (17 – 4i) + (-7 + 3i) = 
s) (2 – 3i).(-1 – 2i) =			t)
		u) 
	
v) 
		w) i5329 =				x) 
 
2) Calcule o que se pede em cada caso:
a) z3, dado z = 1;				b) z2, dado z = 3 + 2i
c) z6, dado z = 
			d) z 1/3, dado z = 2 + 1i 
3) Seja z1 = 2 – 7i e z2 = -3 + i, calcule:
a) 
�		b) 
�			c) 
�			
4) Dados z1 = -5 + 7i, z2 = -3 – 3i e z3 = -5 + i, calcule:
a) (z2)8 =			b) z1 – 5.z3 + 2.z2 = 		c) 
� 				
5) Sejam z1 = 10 + 7i; z2 = i; z3 = 1 – 3i; z4 = 1 + 3i e z5 = 
calcule: 
a) 
�			b) (z5)2 =	 c) 
�		 d) (z2)1/3 =		 
6) Seja z1 = 1 – i; 
; 
 e 
a) Escreva 
� ; 
�; z3 e z4 na forma trigonométrica, exponencial e polar.
b) Localize 
� ; 
�; z3 e z4 no plano, indicando o seu módulo e o ângulo.
c) Calcule (z1)5 =				d) Calcule (z2)5 = 		
7) Escreva z1 = 
e z2 = 1 - i nas outras três formas e localize-os no plano indicado:
8) Determine os números reais a e b, tais que:	a) a + bi = 2(3 + i) + (1 – i).(2 + i)										b) i.(a + bi) = 3 + i
9) Mostre que o número (5 + 2i).(5 – 2i) é real.
10) Verifique se o número complexo (3 + i).(3 – i) é um número imaginário puro. 
11) Determine os números reais x e y, tais que: 	a) i250 + i104 +2.i37 = x + yi			
b) z = x + yi e z2 = 3 – 4i
12) Calcule o conjugado do número 
:
13) Determine o número complexo z = x + yi tal que 
14) Calcule o módulo do complexo 
EXERCÍCIO 3:
a) Seja w = f(z) = z2 + 4z -2 , encontre w em função de x e y e, encontre o seu valor para z = 1 + i. Faça o gráfico.
b) Encontre o valor de 
 quando z = 1 + i. 
EXERCÍCIOS 4
Calcule o que for pedido:
a) 
					b) 
 
c) Calcule a derivada de 
 sendo 
Resposta: f’(1 – 3i) = - 17 – 30i
 
d) Calcule a derivada de 
 sendo 
Resposta: f’(- 1 – 1i) = - 3 – 10i
e) 
			f) 
LISTA II DE EXERCÍCIOS SOBRE NÚMEROS COMPLEXOS
1) Calcule 
�, sendo:	a) f(z) = z3 – 2z2 + 5z - 1 e z = 2 – 3i 	
b) f(z) = z2 – 7z + 10 e z = -1 + i 
2). Seja f(z) = 3.z2 – 5z + 1, calcule: 
			b) 
 		c) 
3 Calcule a derivada de: 	a) f(z) = z4 – 8z3 + 1 em z = 5i
			b) f(z) = z3 – 3z2 + z + 1 em z = 2 + 3i
4) Calcule as seguintes integrais:
a) 
		b) 
		c) 
d) 
 	e) 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 1: 
1) a) = - 2 +3i			b) = - 9 + 7i 		c) =	9 + 7i			d)= 
e) i				f)= 625			g)= 
		h) = -i		i) =-1
2) a) = - 3 – 2i		b) =7 – 4i			c) = - 7 + 17i	
d)= 
			e) = 24 – 10i			f) =
	
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 2:
1. 
	
z1 = 5.[cos(36,87o) + i.sen(36,87o)]		z1 = 
		z1 = 
1.
	
z2 = 
	 z2 = 
	 z2 = 
1. 
z3 = 
	 z3 = 
	 	 z3 = 30,02 + 39,9i	 
1. (d) 
z4 = 
	 z4 =
	 	z4 = -50 + 86,6i
		
RESPOSTAS DA LISTA I DE NÚMEROS COMPLEXOS:
1. a) 9 – 5i		b) –5		c) 24 + 22i		 d) – 8 + 6i		e) 
		
 f) –1			g) –3i		h) –5			i) 
 
j) 
		k) 
		l) - i			m) i	
n) 
		o) – 512 – 886,81i			p) 
		q) - 269.966,51 + 23619i
r) 10 - i		s) – 8 – i			t) – 10 + 11i		u) 
	
v) 
	x) 
			
2) a) z3 = 1		b) z2 = 5 + 12i		c) 64			d) z1 = 1,29 + 0,2i (k = 0)
 						 z2 = - 0,82 + 1,02i	 (k = 1)
 						 z3 = - 0,47 – 1,22i (k = 2)
3) a) – 1,3 + 1,9i				b) 0,58 – 044i			c) 
	4. a) 104976					b) 14 – 4i			c) 
5. a) 
					b) 
			
c) 
				d) 
6) 
	 
 
 	
	
 
		
 
		
c) - 4 + 4i			d) 22,63 + 22,63i		7)			
8) a = 9 e b = 1		b) a = 1 e b = -3		9) 29					
11) a)x = 0 e y = 2		b) z = 2 – 1i ou z = -2 + 1i
12) 
		13) x = 7 e y = 3			14) 
RESPOSTAS DO EXERCÍCIO 3:
a) f(z) = (x2 – y2 + 4x + 2) + (2xy + 4y)i		(	f(z) = 2 + 6i
b) f(z) = - 6,4 – 1,84i e f(z) = 2,4 + 1,84i
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 4:
a) 
					b) 
 			c) f’(1 – 3i) = - 17 – 30i
 d) f’(- 1 – 1i) = - 3 – 10i		e) 
			f) 
RESPOSTAS DA LISTA II DE NÚMEROS COMPLEXOS:
1) a) f	‘(2 – 3i) = - 18 – 24i			b) f’(-1 – i) = -9 + 2i
2) a) – 2 + 5i					b) 1 – 12i			c) 
3) a) 600 – 500i				b) –26 + 18i
4) a) – 160 +248i				b) 
			c) – 5 +i
d) 126i						e) 126i
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