Análise de Funções Matemáticas

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determinísticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Prof. Rafael Lobosco
EP 7 - GABARITO
Questão 1: Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→+∞
3x2 −x +p
2
x2 +2
c) lim
x→+∞
3
√
−p10x4 +x2 +2
x3 +1
e) lim
x→−∞
x3 −x2 −p
7x +1p
13x4 +x3 −x2
b) lim
x→−∞
p
1+4x2
x −2
d) lim
x→+∞
5x4 −2x2 +2
p
3x −1
x4 +6
f ) lim
x→−∞
5x4 −8x +7
3x2 −1
Solução:
a) lim
x→+∞
3x2 −x +p
2
x2 +2
= lim
x→+∞
x2
(
3− 1
x
+
p
2
x2
)
x2
(
1+ 2
x2
) = 3.
b) lim
x→−∞
p
1+4x2
x −2
= lim
x→−∞
√
x2
(
1
x2
+4
)
x −2
= lim
x→−∞
|x|
√
1
x2
+4
x −2
= lim
x→−∞
−x
√
1
x2
+4
x
(
1− 2
x
) =−2.
c) lim
x→+∞
3
√
−p10x4 +x2 +2
x3 +1
= lim
x→+∞
3
√√√√√√√√
x4
(
−p10+ 1
x2
+ 2
x4
)
x3
(
1+ 1
x3
) = lim
x→+∞
3
√
−x
p
10 =−∞.
d) lim
x→+∞
5x4 −2x2 +2
p
3x −1
x4 +6
= lim
x→+∞
x4
(
5− 2
x2
+ 2
p
3
x3
− 1
x4
)
x4
(
1+ 6
x4
) = 5.
e) lim
x→−∞
x3 −x2 −p
7x +1p
13x4 +x3 −x2
= lim
x→−∞
x3
(
1− 1
x
−
p
7
x2
+ 1
x3
)
x4
(p
13+ 1
x
− 1
x2
) = lim
x→−∞
1
x
p
13
= 0.
f) lim
x→−∞
5x4 −8x +7
3x2 −1
= lim
x→−∞
x2
(
5x2 − 8
x
+ 7
x2
)
x2
(
3− 1
x2
) = lim
x→−∞
5x2
3
=+∞.
1
Questão 2: Observe o gráfico da função f abaixo.
Calcule:
a) lim
x→+∞ f (x) c) lim
x→−∞ f (x)
b) lim
x→2+
f (x) e) lim
x→2−
f (x)
O gráfico da função f possui assíntotas? Se sim, quais são?
Solução:
a) lim
x→+∞ f (x) = 0 c) lim
x→−∞ f (x) = 0
b) lim
x→2+
f (x) =+∞ e) lim
x→2−
f (x) =+∞
O gráfico da função f possui uma assíntota horizontal em y = 0 e uma assíntota vertical em
x = 2.
Questão 3: Observe o gráfico da função g abaixo e faça o que se pede.
a) Encontre o domínio e a imagem de g .
b) Determine os intervalos onde g (x) > 0 e g (x) 0 ⇔ (−∞,−4)∪ (4,+∞) e g (x) 0 e h(x) 0 ⇔ (−∞,−2)∪ (0,2) e h(x) 0.)
Analogamente, temos:
lim
x→−∞ f (x) = lim
x→−∞
p
x2 +4
x −2
= lim
x→−∞
√
x2
(
1+ 4
x2
)
x
(
1− 2
x
) = lim
x→−∞
p
x2
x
= lim
x→−∞
|x|
x
= lim
x→−∞
−x
x
=−1.
(Observe que
p
x2 = |x| = −x, pois x 6 0.)
4
Logo, as retas y =−1 e y = 1 são as assíntotas horizontais do gráfico de f .
Para encontrar “candidatas"a assíntotas verticais ao gráfico de f , a dica é calcular os limites
lim
x→b+ f (x) e lim
x→b− f (x),
para todos os números b que tornam nulo o denominador de f e, por sua vez, não perten-
cem ao seu domínio. No caso da função f (x) =
p
x2 +4
x −2
, temos que 2 ∉ Dom( f ). Dessa
forma, calcularemos os limites
lim
x→2+
f (x) e lim
x→2−
f (x).
Portanto,
lim
x→2+
f (x) = lim
x→2+
p
x2 +4
x −2
=+∞, pois
p
x2 +4 → 2
p
2 e x −2 → 0+ quando x → 2+.
Analogamente,
lim
x→2−
f (x) = lim
x→2−
p
x2 +4
x −2
=−∞, pois
p
x2 +4 → 2
p
2 e x −2 → 0− quando x → 2−.
Logo, a reta x = 2 é a única assíntota vertical do gráfico de f .
Esboço do gráfico de f :
Nota: Observe que, apesar da reta y = −1 ser uma assíntota horizontal do gráfico de f , ela
“corta"o gráfico de f em x = 0. Isso significa que uma reta assíntota não é necessariamente
aquela que “nunca atravessa"o gráfico da função, mas sim, é aquela que se aproxima do
gráfico da função tanto quanto se queira quando x se torna arbitrariamente grande em
valores absolutos. No caso desta questão, para valores de −x arbitrariamente grandes (x →
−∞), o gráfico de f tende para a reta y =−1, ainda que haja uma interseção entre esta reta e
o gráfico de f .
5
b) Para encontrar as assíntotas do gráfico da função g , procederemos do mesmo modo que no
item(a) acima. Dessa forma,
lim
x→+∞g (x) = lim
x→+∞
4
x2 +2x −3
= 0 e lim
x→−∞g (x) = lim
x→−∞
4
x2 +2x −3
= 0.
Logo, a reta y = 0 (abscissa) é a única assíntota horizontal do gráfico de g .
Agora, observe que x2 +2x −3 = (x −1)(x +3) e como essa expressão está no denominador
de g , concluímos que Dom(g ) = R \ {−3,1}. Portanto, as retas x =−3 e x = 1 são candidatas
a assíntotas verticais do gráfico de g , já que 1 e −3 não pertencem ao domínio de g . Mas,
para comprovar isso, vamos calcular os limites lim
x→1+
g (x), lim
x→1−
g (x), lim
x→−3+
g (x) e lim
x→−3−
g (x).
Assim,
• lim
x→1+
g (x) = lim
x→1+
4
x2 +2x −3
= lim
x→1+
4
(x −1)(x +3)
=+∞, pois (x −1)(x +3) → 0+ quando
x → 1+.
• lim
x→1−
g (x) = lim
x→1−
4
x2 +2x −3
= lim
x→1−
4
(x −1)(x +3)
=−∞, pois (x −1)(x +3) → 0− quando
x → 1−.
• lim
x→−3+
g (x) = lim
x→−3+
4
x2 +2x −3
= lim
x→−3+
4
(x −1)(x +3)
=−∞, pois (x−1)(x+3) → 0− quando
x →−3+.
• lim
x→−3−
g (x) = lim
x→−3−
4
x2 +2x −3
= lim
x→−3−
4
(x −1)(x +3)
=+∞, pois (x−1)(x+3) → 0+ quando
x →−3−.
Dessa forma, as retas x =−3 e x = 1 são, efetivamente, as assíntotas verticais do gráfico da
função g .
Esboço do gráfico de g :
6
c) Para encontrar as assíntotas do gráfico da função h, procederemos do mesmo modo que nos
itens anteriores. Dessa forma,
lim
x→+∞h(x) = lim
x→+∞
2xp
x2 −16
= lim
x→+∞
2x√
x2
(
1− 16
x2
) = lim
x→+∞
2x
|x|
√
1− 16
x2
= lim
x→+∞
2x
x
√
1− 16
x2
=
lim
x→+∞
2√
1− 16
x2
= 2.
Analogamente,
lim
x→−∞h(x) = lim
x→−∞
2xp
x2 −16
= lim
x→−∞
2x√
x2
(
1− 16
x2
) = lim
x→−∞
2x
|x|
√
1− 16
x2
= lim
x→−∞
2x
−x
√
1− 16
x2
=
lim
x→−∞
−2√
1− 16
x2
=−2.
Dessa forma, as retas y =−2 e y = 2 são as assíntotas horizontais do gráfico da função h.
Note que x2 −16 = (x −4)(x +4) e como devemos ter x2 −16 > 0 (pois x2 −16 está dentro de
uma raiz quadrada), segue que Dom(h)= (−∞,−4)∪ (4,+∞). Neste caso, as “candidatas"a
assíntota vertical são os valores em que o denominador de h se anula. No caso, as retas
x = −4 e x = 4. Para comprovar isso, basta calcular os limites lim
x→−4−
h(x) e lim
x→4+
h(x) (pois h
está definida apenas para valores menores doque −4 e maiores do que 4). Assim,
• lim
x→−4−
h(x) = lim
x→−4−
2xp
x2 −16
=−∞, pois 2x →−8 e
p
x2 −16 → 0+ quando x →−4−.
• lim
x→4+
h(x) = lim
x→4+
2xp
x2 −16
=+∞, pois 2x → 8 e
p
x2 −16 → 0+ quando x → 4+.
Logo, as retas x =−4 e x = 4 são, efetivamente, as assíntotas verticais do gráfico da função
h.
Esboço do gráfico de h:
7
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