Matriz Inversa

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Curso de Geometria Analítica Profª Mara Freire 
 
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3- MATRIZ INVERSA 
 
 
Def.: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, uma matriz B será inversa de A se a seguinte 
condição for satisfeita: 
 
AB = BA = I 
 
onde I é a matriz Identidade e B é a inversa de A que se representa por A-1. 
 
Propriedades: 
 
1- Se det A ≠ 0, então a matriz A admite inversa, e esta é única. 
2- Se det A ≠ 0, então det A-1 ≠ 0. A matriz inversa de A-1 é A. 
3- A matriz inversa de I é a própria matriz I, isto é, I = I-1. 
4- Se det A ≠ 0, então det At ≠ 0. A matriz inversa de At é (A-1)t. 
5- Se det A ≠ 0 e det B ≠ 0, e A e B tem a mesma ordem, então det AB ≠ 0, logo AB tem 
inversa que é dada por B-1A-1. 
 
 
3.1- DEFINIÇÕES 
 
 3.1.1- Matriz Singular 
 
Def.: A é uma matriz singular, se det A = 0. 
 
 3.1.2- Matriz Não-Singular 
 
 Def.: É a matriz cujo det A ≠ 0. 
 
 3.1.4- Matriz Adjunta 
 
Def.: Dada uma matriz A, será adjunta de A, indicada por adj A, a transposta da matriz dos 
cofatores de A. 
 
Ex.: Encontre a matriz adjunta de A = 










−
561
413
012
. 
 
 
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Exemplos: 
 
1- Dadas A = 





23
58
 e C = 





−
−
83
52
. Verifique se a matriz C é inversa de A. 
 
 
 
 
 
 
 
2- Dadas B = 





45
79
 e D = 





−
−
95
74
. Verifique se a matriz D é inversa de B. 
 
 
 
 
 
 
 
3- Efetuar o produto das matrizes A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
4- Efetuar o produto das matrizes B-1 e A-1. 
 
 
 
 
 
 
 
5- Efetue o produto das matrizes AB e B-1A-1 e verifique que B-1A-1 é inversa de AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.2- TRAÇO DE UMA MATRIZ 
 
Def.: O traço de A, indicado por tr A, é dado pela soma dos elementos da diagonal principal de uma 
matriz, ou seja, 
 
tr A = a11 + a22 + a33 + . . . + ann = ∑
=
n
k
kka
1
 
 
Propriedades: Dadas as matrizes A e B de mesma ordem, e um escalar λ, temos: 
 
1- tr (A + B) = tr A + tr B 
2- tr (λA) = λ tr A 
3- tr (AB) = tr (BA) 
4- tr (At) = tr A 
 
Ex.: Calcule o traço da matriz A = 











 −
5000
1743
5200
0111
. 
 
 
 
 
 
 
 
3.3- OPERAÇÕES ELEMENTARES 
 
3.3.1- Permutação de duas linhas (ou de duas colunas). 
 
Lr → Ls 
 
3.3.2- Multiplicação de todos os elementos de uma linha (ou coluna) por um número real 
diferente de zero. 
 
Lr → λLr, λ ≠ 0 
 
3.3.3- Substituição dos elementos de uma linha (ou coluna) pela soma deles com os 
elementos correspondentes de outra linha (coluna) previamente multiplicados por um número real 
diferente de zero. 
 
Lr → Lr + Ls ou Lr → λLr + Ls ou Lr → Lr + λLs 
 
 
 
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3.4- EQUIVALÊNCIA DE MATRIZES 
 
Def.: Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem, a matriz B será equivalente a matriz A (B ∼ A), 
se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares. 
 
Exemplos: 
 
1- Permutar a 2ª linha pela 3ª da matriz A. 
 
A = 










1240
200
531
 → L2 ↔ L3 
 
 
2- Multiplicar todos os elementos da 2ª linha da matriz A1 por 1/4. 
 
A1 = 










200
1240
531
 → L2 = 24
1 L
 
 
 
3- Substituir os elementos da 1ª linha da matriz A2 pela soma deles com os elementos 
correspondentes da 2ª linha multiplicados por -3. 
 
A2 = 










200
310
531
 → L1 = L1 + (-3)L2 
 
 
3.5- MATRIZ ELEMENTAR 
 
Def.: É uma matriz de ordem n, obtida a partir da matriz identidade, através da aplicação de uma 
operação elementar com as linhas. 
 
Ex.: Substituir os elementos da 3ª linha da matriz I3 pela soma deles com os elementos 
correspondentes da 2ª linha multiplicados por -3. 
 
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3.6- MÉTODOS PARA CALCULAR MATRIZ INVERSA 
 
3.6.1- Matriz 2×2 
 
Ex.: Encontrar a inversa de A = 





411
26
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.6.2- Cálculo da Matriz Inversa usando a Matriz Adjunta 
 
A-1 = 
Adet
1
 . (adj A)
 
 
 
Ex.: Encontrar a inversa de A = 










−
561
413
012
 
 
 
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3.6.3- Cálculo da Matriz Inversa usando Operações Elementares 
 
[ ] [ ]1−= AIIA MM 
 
Ex.: Encontrar a inversa de A = 












−
−
3001
1110
1101
0012
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios 
 
1- Qual é a inversa da matriz A = 





115
73
? 
 
2- Verifique se a matriz A-1 = 





72
31
 e a inversa da matriz A = 





−
−
12
37
. 
 
3- Determinar a matriz inversa das matrizes abaixo: 
 
a) A = 










352
224
312
 b) B = 










435
231
712
 
 
c) C = 










−
−−−
152
224
132
 d) D = 












−−
−−
−−
−−
2113
3214
2213
2012
 
 
4- Transformar a matriz dada na matriz unidade. 
 
a) A = 










−−
−
−−
121
131
132
 
 
5- Supondo que as matrizes A, B, C sejam quadradas, de mesma ordem e inversíveis, resolva as 
seguintes equações matriciais nas quais X e a variável: 
 
a) ABX = C 
 
b) CAXt = C 
 
c) AX2C = AXBC 
 
d) AX + B = CX 
 
 
 
RESPOSTAS 
 
1- L1 = [-11/2, 7/2], L2 = [5/2, -3/2]. 2- sim. 3- a) L1 = [-1/8, 3/8, -1/8], L2 = [-1/4, 0, 1/4] e L3 = [1/2, -1/4, 0]; 
b) L1 = [-12/132, -34/132, 38/132], L2 = [-12/132, 54/132, -6/132] e L3 = [24/132, 2/132, -10/132]; d) L1 = [1, -1, 0, 2], 
L2 = [-1, 2, 2, 0], L3 = [0, -1, 0, 1], L4 = [1, 0, 1, 2]. 5- a) X = B-1A-1C; b) X = (A-1)t; c) X = B; d) X = (A - C)-1.(-B).