CDI II Resumo- Integrais Multiplas

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Revisa˜o de Integrais Mu´ltiplas
Primeiramente, o significado de integral deve estar claro. Relembrando a
definic¸a˜o:
Integrais simples:
Quando temos uma func¸a˜o de uma varia´vel, y = f(x), podemos realizar a
integral simples que, geometricamente, nos da´ a a´rea abaixo da curva (gra´fico da
func¸a˜o no plano xy). Como isso e´ feito? Comec¸amos nossa ana´lise dividindo toda
a regia˜o abaixo da curva em retaˆngulos. Esses retaˆngulos tem a base de tamanho
∆x e a altura, que corresponde ao valor da func¸a˜o calculado em qualquer x dentro
desse intervalo (chamamos de x∗). Enta˜o, a a´rea de um retaˆngulo e´ f(x∗
i
)∆x. O
ı´ndice i indica que estamos analisando um u´nico retaˆngulo. Obviamente, abaixo
da regia˜o podemos ter a quantidade de retaˆngulos que quisermos. Digamos que
temos n retaˆngulos. Cada um desses tera´ a´rea igual a f(x∗
i
)∆x. Se somarmos
a a´rea de todos os n, teremos aproximadamente a a´rea abaixo da regia˜o toda
(func¸a˜o).
E como relacionamos isso com a integral? Se eu quiser aumentar o nu´mero
de retaˆngulos, eu preciso diminuir o tamanho de ∆x. Enta˜o, para ter infinitos
retaˆngulos, minha base deve ser extremamente pequena, chamamos de tama-
nho infinitesimal. Ou seja, chamamos ∆x de dx. Assim, a soma de todos os
retaˆngulos se torna uma integral, que nada mais e´ do que uma soma infinitesi-
mal (somamos infinitas coisas muito pequenas):
∫
b
a
f(x) dx
Neste caso, os extremos da integral, a e b, indicam que eu vou somar infinitos
dx (infinitas bases) e que a soma comec¸a a ser computada em x = a e termina
em x = b. Em palavras, essa integral significa termo a termo: Soma de infinitos
retaˆngulos com altura f(x) e base dx, quando meu valor inicial de x e´ a e o final e´
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b, lembrando que sa˜o retaˆngulos com bases infinitesimais (muito pequenas, quase
como se fosse um segmento de reta).
Integrais Duplas:
No caso de uma func¸a˜o de duas varia´veis, z = f(x, y), podemos realizar
a integral dupla que, geometricamente, nos da´ o volume abaixo de uma curva
(gra´fico da func¸a˜o no espac¸o tridimensional xyz). O procedimento e´ similar ao
caso da func¸a˜o de uma varia´vel. Pore´m, o espac¸o abaixo da curva e´ dividido em
caixas retangulares, ja´ que estamos no espac¸o 3D. Essas caixas tem base no plano
xy e altura no eixo z. Enta˜o, podemos calcular o volume dessas caixas: a´rea da
base (∆x∆y) multiplicada pela altura (∆z). Analogamente ao caso anterior,
queremos colocar infinitas caixas abaixo da nossa func¸a˜o. Para isso ser poss´ıvel,
as caixas devem ser cada vez menores, fazendo com que a base diminua ao ponto
de se tornar infinitesimal. Nossa a´rea, no plano xy se torna dxdy. Em palavras,
uma integral dupla significa a soma de infinitas caixas, que agora tem retaˆngulos
como base e, por isso, devo somar duas varia´veis x e y (uma integral para cada
varia´vel), com altura f(x, y). A´rea da base multiplicada pela altura nos da´ o
volume: ∫ ∫
R
f(x, y) dA =
∫
b
a
∫
d
c
f(x, y) dydx
Neste caso, existem duas ordens poss´ıveis. Escolhi somar primeiramente em
y, variando de c ate´ d. O inverso tambe´m daria certo.
Integrais Triplas:
Ainda e´ poss´ıvel realizar uma integral tripla em uma func¸a˜o de treˆs varia´veis,
w = f(x, y, z). A pro´pria func¸a˜o na˜o tem significado geome´trico por pedir uma
quarta dimensa˜o. Portanto, a integral a princ´ıpio e´ apenas uma soma em 3
varia´veis de alguma func¸a˜o que na˜o tem um significado. O procedimento e´ o
mesmo exceto pelo fato de na˜o termos o gra´fico da func¸a˜o mas sim, da regia˜o de
integrac¸a˜o que sempre sera´ no espac¸o xyz. Novamente, dividimos nosso espac¸o
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em caixas retangulares mas, dessa vez, sem especificar a base sempre no plano
xy. Podemos dividir toda a regia˜o em infinitas caixinhas espalhadas (como se
fossem legos), calculando o volume de cada uma delas: ∆x∆y∆z, que se torna
dV = dxdydz. Note que para a integral dupla a base deveria estar no plano xy e
a altura era sempre a func¸a˜o em z. Agora a base pode estar em qualquer lugar
em z. Temos enta˜o, uma soma em treˆs varia´veis (treˆs integrais), de uma func¸a˜o
na quarta dimensa˜o calculada na regia˜o so´lida formada pela variac¸a˜o de x, y e z:
∫ ∫ ∫
G
F (x, y, z) dV =
∫
b
a
∫
d
c
∫
l
k
f(x, y, z) dzdydx
Lembrando que, a ordem de integrac¸a˜o pode ser feita de outra maneira, tendo
6 poss´ıveis ordens.
Outras aplicac¸o˜es
Podemos utilizar a integral dupla para calcular a a´rea da regia˜o no plano xy
quando apenas calculamos
∫ ∫
R
dA. Na verdade, estamos calculando o volume
de um so´lido de altura z = f(x, y) = 1. Numericamente, este valor e´ equivalente
ao valor da a´rea. O mesmo procedimento pode ser feito em uma integral tripla
para calcular o volume de um so´lido formado por func¸o˜es em x, y e z. A func¸a˜o
w = f(x, y, z) = 1 e podemos dar uma aplicac¸a˜o importante para as integrais
triplas.
Mudando de sistemas de coordenadas
Nem sempre nossa figura sera´ facilmente analisada em termos de x, y ou
z. Usamos as coordendas cartesianas para a´reas ou so´lidos que sa˜o facilmentes
divididos em retaˆngulos ou caixas retangulares. Quando o problema lida com
c´ırculos, esferas, cilindros, e outros, podemos efetuar a mudanc¸a de coordenadas
para uma mais adequada. Isso apenas facilita a resoluc¸a˜o de uma integral, uma
vez que analisamos paraˆmetros diferentes. Por exemplo, quando a regia˜o no plano
xy e´ uma circunfereˆncia, na˜o seria muito mais fa´cil analisar o raio e o aˆngulo?
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Utilizamos basicamente 4 sistemas de coordenadas. O cartesiano (x, y, z), polar
(r, θ) cil´ındrico (r, θ, z) e esfe´rico (ρ, θ, φ).
Coordenadas polares
As coordenadas polares sa˜o analisadas apenas em duas dimenso˜es. E´ bem
utilizada para regio˜es circulares, nas quais analisamos um raio r, que seria a
distaˆncia de um ponto ate´ a origem e um aˆngulo θ, que nos da´ a direc¸a˜o formada
entre o eixo x e o ponto escolhido. Enta˜o, uma circunfereˆncia de raio a, tem a
regia˜o R descrita pelo raio que varia de 0 ate´ a e o aˆngulo que varia de 0 ate´ 2pi.
Obviamente, se tivermos metade de uma circunfereˆncia, a variac¸a˜o angular deve
mudar.
Para essas coordenadas, o elemento de a´rea dA e´ dado por r dr dθ.
Relac¸o˜es:
x = r cos θ
y = r sen θ
x2 + y2 = r2
Coordenadas cil´ındricas
As coordenadas cil´ındricas podem ser vistas como a versa˜o 3D das coorde-
nadas polares. A ana´lise na regia˜o plana R e´ feita da mesma maneira. Pore´m,
damos uma altura ao nosso problema, colocando a terceira componente z em um
ponto do plano.
Para essas coordenadas, o elemento de volume dV e´ dado por r dz dr dθ.
Relac¸o˜es:
x = r cos θ
y = r sen θ
z = z
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x2 + y2 = r2
Coordenadas esfe´ricas
Essas coordenadas sa˜o as que descrevem as esferas, do jeito mais simples
poss´ıvel. Analisamos um ponto qualquer da esfera pela sua distaˆncia ate´ a origem,
que e´ o pro´prio raio da esfera ρ, pelo aˆngulo θ, que tem o mesmo significado das
coordenadas polares, analisado no plano para se ter toda a projec¸a˜o da esfera (um
c´ırculo) e, finalmente, um aˆngulo φ que e´ medido a partir do eixo z. Ele nos diz
qual a abertura do ponto escolhido na esfera. Este aˆngulo varia apenas de 0 ate´
pi, pois serve apenas para levar um ponto positivo para baixo. Horizontalmente,
quem passa o ponto para o lado esquerdo, e´ o θ.
Para essas coordenadas, o elemento de volume dV e´ dado por ρ2 sen φ dρ dφ dθ.
Relac¸o˜es:
x = ρ sen φ cos θ
y = ρ sen φ sen θ
z = ρ cosφ
x2 + y2 + z2 = ρ2
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