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Cálculo 1 - Propriedades dos limites
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 AULA 02 CÁLCULOS USANDO PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES 1 Limite de uma constante O limite de uma constante é a própria constante. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝟑 = 𝟑 Proposta: Prove geometricamente. 2 Limite da soma O limite da soma de duas funções é igual à soma dos limites dessas funções. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒙 + 𝟑 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒙 + 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝟑 = 𝟏 + 𝟑 = 𝟒 3 3 Limite da diferença O limite da diferença de duas funções é igual à diferença dos limites dessas funções. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒙 − 𝟑 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒙 − 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝟑 = 𝟏 − 𝟑 = −𝟐 4 Limite do produto O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas funções. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝟐𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝟐 . 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒙 = 𝟐 . 𝟏 = 𝟐 5 Limite do quociente O limite do quociente de duas funções é igual ao quociente dos limites dessas funções. (exceto quando o limite do divisor for igual a zero). 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒙 𝟐 = lim 𝒙→𝟏 (𝒙) lim 𝒙→𝟏 (𝟐) = 𝟏 𝟐 6 Limite de uma potência O limite de uma potência n-ésima de uma função é igual à potência n-ésima do limite dessa função. (n ϵ IN*) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝒙³ = lim 𝒙→𝟐 𝒙 𝟑 =𝟐³ = 𝟖 7 Limite de uma raiz O limite de uma raiz n-ésima de uma função é igual à raiz n-ésima do limite dessa função. n ϵ IN*, f(x) > 0 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟒 𝒙 = lim 𝒙→𝟒 𝒙 = 𝟒 = 𝟐 8 Limite do logaritmo O limite do logaritmo de uma função é igual ao logaritmo do limite dessa função. Desde que satisfeitas as condições de existência do logaritmo. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏𝟎 𝒍𝒐𝒈𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 lim 𝒙→𝟏𝟎 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 = 𝟏 9 Exemplo 01 Use as propriedades dos limites e os gráficos de 𝒇 e 𝒈 para calcular os seguintes limites, se eles existirem. 10 (𝒂) lim 𝒙→−𝟐 𝒇 𝒙 + 𝟓𝒈(𝒙) (𝒃) lim 𝑥→1 𝒇 𝒙 𝒈(𝒙) (𝒄) lim 𝒙→𝟐 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) Exemplo 01 Use as propriedades dos limites e os gráficos de 𝒇 e 𝒈 para calcular os seguintes limites, se eles existirem. 11 (𝒂) lim 𝒙→−𝟐 𝒇 𝒙 + 𝟓𝒈(𝒙) lim 𝒙→−𝟐 𝒇 𝒙 + 𝟓 lim 𝒙→−𝟐 𝒈(𝒙) 𝟏 + 𝟓. −𝟏 = −𝟒 (𝒃) lim 𝑥→1 𝒇 𝒙 𝒈(𝒙) lim 𝒙→𝟏 𝒇 𝒙 . lim 𝒙→𝟏 𝒈 𝒙 = 𝟐. ∄= ∄ (𝒄) lim 𝒙→𝟐 𝒇(𝒙) 𝒈(𝒙) = lim 𝒙→𝟐 𝒇(𝒙) lim 𝒙→𝟐 𝒈(𝒙) = 𝟏, 𝟓 𝟎 = ∄ Propriedade da substituição direta. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒇(𝒂) As funções que possuem essa propriedade são chamadas de contínuas em 𝒂. Entretanto, nem todos os limites podem ser calculados pela substituição direta, conforme os próximos exemplos. 12 EXEMPLO 2 Encontre lim 𝒙→𝟏 𝒙²−𝟏 𝒙−𝟏 Para o cálculo de limites para determinados valores de x, temos que fatorar e simplificar a função antes de efetuarmos a substituição, porque ela não é definida para aqueles valores de x. 13 Portanto: 𝐥𝐢𝐦 𝐱→𝟏 𝐱² − 𝟏 𝐱 − 𝟏 = 𝟎 𝟎 (𝐢𝐧𝐝𝐞𝐭𝐞𝐫𝐦𝐢𝐧𝐚𝐝𝐨) 𝐥𝐢𝐦 𝐱→𝟏 (𝒙 + 𝟏)(𝒙 − 𝟏) (𝒙 − 𝟏) 𝐥𝐢𝐦 𝐱→𝟏 𝒙 + 𝟏 1 + 1 = 2 14 Exemplo 3 Encontre 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒈(𝒙) onde 𝒈 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 𝒔𝒆 𝒙 ≠ 𝟏 𝝅 𝒔𝒆 𝒙 = 𝟏 Aqui g está definida em x = 1 e g(1) = 𝝅, mas o valor de um limite, quando x tende a 1, não depende do valor da função em 1. 15 Exemplo 3 Encontre 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒈(𝒙) onde 𝒈 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 𝒔𝒆 𝒙 ≠ 𝟏 𝝅 𝒔𝒆 𝒙 = 𝟏 Portanto: 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒈 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟏 𝒙 + 𝟏 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐 16 Exemplo 4 Calcule 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝟑+𝒉 𝟐−𝟗 𝒉 17 Exemplo 4 Calcule 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝟑 + 𝒉 𝟐 − 𝟗 𝒉 = 𝟎 𝟎 (𝒊𝒏𝒅𝒆𝒕) lim 𝒉→𝟎 𝟗 + 𝟔𝒉 + 𝒉2 − 𝟗 𝒉 lim 𝒉→𝟎 𝟗 + 𝟔𝒉 + 𝒉2 − 𝟗 𝒉 = lim 𝒉→𝟎 𝟔𝒉 + 𝒉² 𝒉 = = lim 𝒉→𝟎 𝒉 𝟔 + 𝒉 𝒉 = lim 𝒉→𝟎 𝟔 + 𝒉 = 𝟔 18 Exemplo 5 Calcule 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎 𝒕2+𝟗−𝟑 𝒕² 19 Exemplo 5 Calcule 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎 𝒕2+𝟗−𝟑 𝒕² = 𝟎 𝟎 (𝒊𝒏𝒅) 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎 𝒕2 + 𝟗 − 𝟑 . 𝒕2 + 𝟗 + 𝟑 𝒕2. 𝒕2 + 𝟗 + 𝟑 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎 𝒕2 + 𝟗 − 𝟗 𝒕2. 𝒕2 + 𝟗 + 𝟑 𝐥𝐢𝐦 𝒕→𝟎 𝒕² 𝒕2. 𝒕2 + 𝟗 + 𝟑 = 𝟏 𝟔 20
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