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introdução à probabilidade

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UNIDADE II - INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática. Sua inclusão, neste 
curso, cujo objetivo é essencialmente a Estatística, encontra explicação no fato de que a 
maioria dos fenômenos de que trata a Estatística é de natureza aleatória ou não-
determinística. Consequentemente, o conhecimento dos aspectos mais fundamentais do 
cálculo da probabilidades é uma necessidade essencial para o estudo da Estatística 
Inferencial ou Indutiva. 
 Vamos examinar, inicialmente, o que se pode adequadamente denominar modelo 
determinístico. Por essa expressão pretendemos nos referir a um modelo que estipule as 
condições sob as quais um experimento é executado determinem exatamente, ou com um 
erro que pode ser considerado desprezível, o seu resultado. Por exemplo, se introduzirmos 
uma bateria em um circuito simples, o modelo matemático que descreveria o fluxo de 
corrente elétrica seria I = E/R, isto é, a Lei de Ohm. O modelo determina com exatidão o 
valor de I ao fornecermos os valores de E e R, diferença de potencial e resistência, 
respectivamente. 
 Para um grande número de situações, o modelo matemático determinístico 
apresentado acima é suficiente. Contudo, existem também muitos fenômenos que requerem 
um modelo matemático diferente para sua investigação. 
 Existem experimentos em que, mesmo considerando todos os fatores que 
influenciam no resultado, existe algum fator casual que não consegue-se controlar. Tais 
experimentos são, frequentemente, denominados não-determinísticos ou aleatórios. De fato, 
estamos falando de um modelo não-determinístico para um experimento. 
 
 As principais características de um experimento aleatório são: 
a) Pode-se repetir indefinidamente sob as mesmas condições. 
b) Pode-se descrever todos os possíveis resultados do experimento. 
c) Depois de um grande número de repetições do experimento, surge uma configuração 
definida ou uma regularidade. É esta regularidade que torna possível construir um modelo 
matemático preciso, com o qual se analisará o experimento. 
 
EXEMPLOS: 
 
1. Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima. 
2. Jogar uma moeda duas vezes e observar a sequência de caras e coroas obtidas. 
3. Jogar uma moeda duas vezes e observar o número de caras obtidas. 
4. Peças são produzidas até que 10 peças perfeitas sejam produzidas. O número total de 
peças fabricadas é contado. 
5. Uma lâmpada é fabricada e em seguida é ensaida quanto à duração de vida, pela 
colocação em um soquete. O tempo decorrido (em horas) até queimar é anotado. 
 
 O objetivo básico da teoria das probabilidades é criar um modelo teórico que 
represente estes experimentos. 
 
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2. ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTOS 
 
 
Definição 2.1: Definiremos espaço amostral, para cada experimento aleatório E, como o 
conjunto de todos os possíveis resultados do experimento, e o denotaremos 
por Ω. 
 
EXEMPLO 2.1: Determine os espaços amostrais associados aos experimentos dos 
exemplos anteriores. 
 
SOLUÇÃO: 
 
E1 → Ω1 = {1,2,3,4,5,6} 
E2 → Ω2 = {(Ca,Ca), (Ca,Co), (Co,Ca), (Co,Co)}, onde Ca e Co representam a ocorrência de 
cara e coroa, respectivamente. 
E3 → Ω3 = {0,1,2} 
E4 → Ω4 = {10,11,12,....} 
E5 → Ω5 = {t ∈ℜ / t ≥0} 
 
 A fim de descrever um espaço amostral associado a um experimento, devemos ter 
bastante claro o que estamos mensurando ou observando. Por isso, devemos falar de “um” 
espaço amostral e não de “o” espaço amostral. Veja a diferença entre Ω2 e Ω3. 
 Saliente-se, também, que o resultado de um experimento não é necessariamente, um 
número. Por exemplo, em E2, cada resultado é um sequência de Caras (Ca) e Coroas (Co). 
 
Definição 2.2: Um evento A (relativo a um particular espaço amostral Ω, associado a um 
experimento E) é um conjunto de resultados do experimento, isto é, qualquer 
subconjunto do espaço amostral é um evento. 
 
 Diz-se que “ocorre o evento A”, quando o resultado do experimeno aleatório for um 
elemento de A. 
 Em particular, o conjunto universo, Ω, e o conjunto vazio, φ, são também eventos, 
onde Ω é denominado de evento certo e φ evento impossível. Se A contém apenas um 
elemento, dizemos que A é um evento elementar ou simples. 
 
 A partir das operações entre conjuntos (Apêndice A) podemos formar novos eventos, 
tais como: 
 
∗ A ∪ B é o evento que ocorrerá se e somente se A ou B ou ambos ocorrerem. 
∗ A ∩ B é o evento que ocorrerá se e somente se A e B ocorrerem simultaneamente. 
∗ A ocorrerá se e somente se não ocorrer A. 
∗ A − B ocorrerá se e somente se ocorrer A e não ocorrer B. 
 
Definição 2.3: Dois eventos A e B, são ditos mutuamente excludentes (M.E.), se eles não 
puderem ocorrer simultaneamente, isto é, A B∩ = φ . 
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EXEMPLO 2.2: Lançar um dado e observar a face voltada para cima. Considere os 
seguintes eventos: 
 
A: o número é par. 
B: o número é impar. 
C: o número é maior que 4. 
D: o número é menor ou igual a 2. 
 
Determine os eventos: 
 
a) Ω, A, B, C e D. 
b) A ∪ B, A ∩ B, A B∪ , A B∩ 
c) A , B , A B∪ , A B∩ 
d) Quais os eventos mutuamente excludentes? 
 
SOLUÇÃO: 
 
a) Ω = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6}, B = {1,3,5}, C = {5,6}, D = {1,2} 
 
b) A ∪ B = {1,2,3,4,5,6} = Ω : é o evento certo 
 A ∩ B = φ : é o evento impossível 
 A B∪ = φ 
 A B∩ = Ω 
 
c) A = {1,3,5} B = {2,4,6} 
 A B∪ = {1,2,3,4,5,6} = Ω = A B∩ 
 A B∩ = φ = A B∪ 
 
d) A ∩ C = {6} : evento elementar A ∩ D = {2} 
 B ∩ C = {5} B ∩ D = {1} 
 C ∩ D = φ 
 Os eventos A e B, assim como os eventos C e D, são mutuamente excludentes. 
 
Obs: Note que o item c) exemplifica as leis de “De Morgan”. (ver Apêndice A) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE PROBABILIDADE 
 
 
Definição 3.1: Seja E um experimento e Ω um espaço amostral associado a E. 
Probabilidade é uma função P que associa a cada evento A ∈ F(Ω) a um 
número real representada por P(A) e denominada probabilidade do evento 
A, satisfazendo aos seguintes axiomas: 
 
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1. 
2. P(Ω) = 1. 
3. Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 
 Se A1, A2, ..., An, ... forem, dois a dois, eventos mutuamente excludentes, então, 
 
 P A P A P A P A P Ai i n i
i
( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( )∪ = + + + + =
=
∞
=
∞
∑1 1 2
1
 
 
 Por enquanto, não sabemos como calcular P(A). Nós apenas arrolamos algumas 
propriedades gerais que P(A) possui. Vamos, inicialmente, enunciar e demonstrar algumas 
consequências relacionadas a P(A) que decorrem das condições acima e que não dependem 
da maneira pela qual nós realmente calculamos P(A). 
 
PROPRIEDADES FUNDAMENTAIS 
 
Propriedade 3.1: Se φ for o conjunto vazio, então P(φ)=0. 
 
Demonstração: Para qualquer evento A, sabemos que 
 
 A= A ∪ φ e A ∩ φ = φ 
 
Então, A e φ são eventos mutuamente excludentes. De 3. temos 
 
 P(A) = P A P A P( ) ( ) ( )∪ = +φ φ , logo P(A) = P(A) + P(φ) 
 
Portanto, P(φ) = 0 
 
Propriedade 3.2: Se A for o evento complementar de A, então P( A ) = 1 - P(A). 
 
Demonstração: Para qualquer evento A, sabemos que 
 
 Ω = ∪A A e φ = ∩A A 
 
Então, A e A são eventos mutuamente excludentes. De 3. temos 
 
P(Ω)=P(A∪ A ) = P(A) + P( A ). De 2. Temos 
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 1 = P(A) + P( A ) . 
 
 Logo, P( A ) = 1- P(A). 
 
Propriedade 3.3:Se A e B forem eventos quaisquer tais que A ⊂ B então P(A) ≤ P(B). 
 
Demonstração: Sabemos que 
 
 B = A ∪ (B ∩ A ) , onde A e (B ∩ A ) são eventos mutuamente excludentes. 
 
Consequentemente, P(B) = P(A) + P(B ∩ A ) ≥ P(A), porque P(B ∩ A ) ≥ 0, pelo axioma 1. 
 
Propriedade 3.4: Se A e B são dois eventos quaisquer, então