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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Unidade 1
Introdução à lógica matemática
Aula 1
Conceitos básicos da lógica matemática
Conceitos básicos da lógica matemática
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Dica para você
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Olá, estudante! Você já re�etiu sobre como seria bom entender melhor os argumentos que ouve e lê
todos os dias? Dentro da lógica matemática, nós podemos fazer isso. Essa é uma área do conhecimento
dedicada à análise de argumentos, que investiga as premissas e as conclusões, bem como os métodos e
princípios que nos ajudam a diferenciar entre argumentações válidas e inválidas. Seu foco principal é
entender a estrutura e a forma dos argumentos, deixando de lado o conteúdo especí�co destes.
Ponto de Partida
Olá, estudante! Vamos mergulhar no universo do estudo da lógica formal. Esta área é essencial para o
desenvolvimento de nossas habilidades de pensar de forma crítica, capacitando-nos a decompor e
avaliar argumentos de maneira organizada, ao mesmo tempo que identi�camos erros lógicos e
contradições. Ao dominar os princípios da lógica, potencializamos nossa habilidade de fazer escolhas
baseadas em informações sólidas, algo útil tanto em nosso dia a dia quanto em ambientes pro�ssionais
e acadêmicos. A lógica formal serve como pilar para a matemática e para várias áreas do conhecimento
cientí�co, oferecendo o alicerce necessário para construir argumentações matemáticas sólidas, elaborar
demonstrações e efetuar análises críticas em pesquisas cientí�cas.
De início, vamos focar nos fundamentos da lógica formal, abordando sua de�nição, os princípios que a
regem e os erros comuns que podem surgir ao formulamos um raciocínio.
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Para ajudar a compreensão de como esses conceitos lógicos podem ser aplicados, considere as
a�rmações a seguir:
1. A área do Brasil é maior que a área da Argentina.
2. A área do Peru é maior que a área da Argentina.
3. A área da Argentina é maior que a área da Guatemala.
Conclui-se que:
4. A área da Guatemala é maior que a área do Peru.
O que podemos a�rmar sobre a conclusão do ponto de vista lógico? É verdadeira, falsa, ou pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo? Pode ser nem verdadeira e nem falsa? É um erro lógico concluir que
a a�rmação 4 é verdadeira?
Levando em consideração que a área do Brasil é aproximadamente 8.510.000 km², a área da Argentina é
aproximadamente 2.780.000 km², a área do Peru é aproximadamente 1.285.000 km², e a área da
Guatemala é aproximadamente 108.889 km², há erro material nas a�rmações 1, 2 e 3? Há erro material
na conclusão?
Para respondermos a essas perguntas, precisaremos entender o que é um erro material e um erro formal.
Vamos começar nossos estudos sobre a lógica formal?
Vamos Começar!
Introdução à lógica formal
De acordo com o dicionário Oxford (2017), a lógica é a parte da �loso�a que trata das formas do
pensamento em geral (dedução, indução, hipótese, inferência, etc.) e das operações intelectuais que
visam à determinação do que é verdadeiro ou não. Por sua vez, Bispo, Castanheira e Filho (2017)
explicam que
a lógica pode ser entendida como a ciência que estuda os princípios e os métodos que permitem
estabelecer as condições de validade e invalidade dos argumentos. Um argumento é uma parte do
discurso (falado ou escrito) no qual localizamos um conjunto de uma ou mais sentenças denominadas
premissas e uma sentença denominada conclusão.
No estudo da lógica, nosso foco recai em observar se os argumentos estão corretos; isto é, na coerência
lógica entre as premissas propostas e a conclusão consequente. Sob a ótica lógica, a preocupação não é
se as premissas são verdadeiras em um sentido real, ou seja, comum, mas se, a partir dessas premissas,
as conclusões se sustentam de forma lógica. Muitas vezes, as premissas podem não ser verdades
“reais”, mas sim, verdades lógicas, enquadrando-se em erros materiais.
Os objetivos da lógica incluem a formulação de uma linguagem formal para evitar ambiguidades
presentes na linguagem natural, o desenvolvimento de instrumentos para cálculos lógicos que
contrastam com argumentações intuitivas e informais, bem como a formalização, dedução e análise da
validade de argumentos (Abdalla, 2018).
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
A lógica matemática, também conhecida como lógica formal, é dedicada à análise dos discursos e
a�rmações presentes na linguagem comum/natural, reformulando-os com o uso de símbolos
matemáticos. Essa abordagem busca desvendar a estrutura lógica subjacente às proposições, aos
argumentos e ao raciocínio lógico-matemático. Através de suas leis, métodos e propriedades, as
hipóteses ou proposições podem ser expressas de maneira matemática, proporcionando uma
abordagem clara para facilitar a compreensão das estruturas lógicas geradas pelos argumentos
(Barbosa, 2017). Na sua forma clássica, a lógica matemática se fundamenta em três princípios: o
princípio da identidade, o princípio da não contradição e o princípio do terceiro excluído.
O princípio da identidade estabelece que qualquer proposição é sempre equivalente a ela mesma. Essa
ideia, apesar de soar óbvia à primeira vista, é fundamental no contexto formal, servindo como uma
estrutura ao processo lógico. Por sua vez, o princípio da não contradição declara que uma proposição
não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa. Por exemplo, ao declararmos que π > 5, tal a�rmação
só pode ser considerada verdadeira ou falsa, mas nunca ambas ao mesmo tempo. Por �m, o princípio do
terceiro excluído determina que uma proposição deve ser ou verdadeira ou falsa, eliminando a
possibilidade de uma terceira opção intermediária, como um “talvez”.
Com base no que foi discutido, é possível concluir que a lógica facilita o desenvolvimento de um
pensamento mais organizado e a capacidade de ordenação, permitindo a aplicação e�caz de
argumentos na formulação de conclusões logicamente verdadeiras. Conforme Morais (2012) destaca, o
erro pode originar-se essencialmente por dois motivos:
I. Erro formal ou erro lógico: ao construir um raciocínio com fatos corretos, mas organizá-los de
maneira incorreta, o resultado será uma conclusão equivocada. Em outras palavras, apesar de
utilizar proposições verdadeiras, o raciocínio não é válido.
II. Erro material ou erro factual: ao empregar um raciocínio correto, ou seja, organizando os fatos de
maneira formal, se esses fatos forem falsos, a conclusão também será incorreta.
Siga em Frente...
Para exempli�carmos esses dois tipos de erros, considere os exemplos que seguem.
Exemplo 1
Considere as seguintes a�rmações:
1. Formigas têm 5000kg de massa.
2. Elefantes têm 80kg de massa.
3. Seres humanos têm 0,1g de massa.
Conclusão: seres humanos têm menos massa do que formigas.
Considerando as a�rmações 1, 2 e 3 como verdadeiras, o que podemos dizer sobre a conclusão?
Solução
Supondo que as declarações 1, 2 e 3 sejam verdadeiras, vamos entender “formigas”, “elefantes” e “seres
humanos” como nomes para variáveis, que não se referem necessariamente às criaturas reais que
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
conhecemos por esses nomes. Nesse cenário hipotético, os entes denominados “formigas” possuem
5000kg, os chamados “elefantes” têm 80kg, e os “seres humanos” apresentam uma massa de 0,1g. Sob a
ótica do raciocínio lógico e da relação entre as proposições aceitas como verdadeiras, essa conclusão é
logicamente válida, sem falhas de raciocínio. Contudo, ao confrontarmos essa situação com o
conhecimento de mundo real, percebemos uma discrepância clara: a ideia de que formigas pesam
5000kg, elefantes 80kg e seres humanos apenas 0,1g não re�ete a realidade, constituindo um erro
factual ou material.
Exemplo 2
Considere as seguintes a�rmações:
1. Formigas têm 5000kg dedemonstrar que o antecedente é falso ao provar que o
consequente é falso.
Se eu tenho dinheiro, então vou viajar (p   q)
Eu não vou viajar (~q)
Portanto, eu não tenho dinheiro 
Demais exemplos de regras de inferências:
Regra da adição: 
Premissa1:  ;
Conclusão:  .
Regra da simpli�cação:  Premissa1:  ;
Conclusão:  .
Regra de absorção: 
Premissa 1:  .
Conclusão:  .
Silogismo hipotético:  Premissa1: p q; Premissa2:
q r; Conclusão:  p r. 
Silogismo disjuntivo:  Premissa 1:  ; Premissa
2:  ; Conclusão:  .
(∴  ~p
p
p ∨ q
p ∧ q
p
p  →  q
p  →  (p  ∧  q)
p  ∨  q
~ p q
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Regra da bicondicional:  Premissa 1: p q; Premissa
2: q p; Conclusão: p q.
Dilema construtivo: 
Premissa1: ; Premissa
2 ; Premissa 3: 
; Conclusão:  .
Dilema destrutivo: 
Premissa1:  ;
Premissa2 ;
Premissa3:  ;
Conclusão:  .
Quadro 1 | Exemplos de regras de inferência. Fonte: elaborado pela autora.
Temos, então, que as regras de inferência são princípios ou diretrizes utilizados na lógica para realizar
inferências ou deduções a partir de premissas estabelecidas. Elas fornecem um conjunto de regras ou
padrões que nos permitem derivar conclusões válidas a partir de proposições dadas. Em outras palavras,
as regras de inferência são utilizadas para justi�car ou validar o processo de raciocínio, garantindo que
as conclusões obtidas sejam logicamente corretas com base nas premissas fornecidas. Essas regras
são fundamentais para a argumentação lógica e são aplicadas em diversos contextos, desde
matemática e �loso�a, até ciência da computação e linguagens de programação. Exemplos comuns de
regras de inferência incluem o modus ponens, o modus tollens, o silogismo, entre outros.
Vamos Exercitar?
Vamos retomar os argumentos apresentados no início da aula:
Eu não tirarei boas notas.
Se eu gosto de estudar, então eu tirarei boas notas.
Portanto, eu não gosto de estudar.
Transformando esses argumentos em linguagens simbólicas, temos:
( )
Essa é a sequência lógica do modus tollens, uma vez que o consequente é falso (e a implicação é
verdadeira), então é o antecedente que deve ser falso; no caso, na segunda a�rmação, temos a negação
de p, implicando na negação de q.
Ao concluir o estudo do modus tollens e do modus ponens, torna-se evidente sua importância
fundamental na lógica e na argumentação. O modus tollens, ao negar a consequência para invalidar o
antecedente, e o modus ponens, ao a�rmar o antecedente para validar a consequência, oferecem
abordagens distintas, mas igualmente poderosas, para deduzir conclusões a partir de premissas. Ambos
os princípios desempenham um papel crucial na validação e na estruturação de argumentos sólidos e
p → q
:  r  → s p ∨ r
q  ∨  s
p → q
:  r → s
~q ∨ ~s
~ p ∨  ~ r
~q
(p  →  q)
~p
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
coerentes. Compreender e aplicar essas regras de inferência não apenas fortalece nosso raciocínio
lógico, mas também aprimora nossa capacidade de formular e avaliar argumentos de forma e�caz em
diversas áreas do conhecimento.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a prática da resolução de
exercícios, pois essa abordagem permite a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos
conteúdos discutidos. Portanto, considerando essa tática, recomendamos a leitura e a realização de
alguns exercícios pertinentes aos temas abordados durante a aula.
Para aprimorar os seus conhecimentos sobre silogismos, leia a seção 8.2.2.1 – “Silogismo”, do livro
Raciocínio lógico-matemático facilitado, de Bruno Villar (2019), disponível em sua Biblioteca Virtual. Não
se esqueça de selecionar alguns exercícios e resolvê-los. Bons estudos!
Referências
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 10 mar. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 18 mar 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 20 mar. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 mar. 2024.
MORAIS, José Luiz de. Matemática e lógica para concursos. São Paulo: Saraiva, 2012.
QUILELLI, Paulo. Raciocínio lógico matemático para concursos. 3ª edição. São Paulo: Editora Saraiva,
2015. E-book. ISBN 9788502628427. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502628427/. Acesso em: 13 mar. 2024.
VILLAR, Bruno. Raciocínio lógico-matemático facilitado. São Paulo: Grupo GEN, 2019. E-book. ISBN
9788530987367. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788530987367/.
Acesso em: 21 mar. 2024.
Aula 3
Demonstrações Matemáticas
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788530987367/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/
https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f
https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502628427/
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Demonstrações Matemáticas
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Olá, estudante! Estudar demonstrações matemáticas é fundamental para desenvolver habilidades
essenciais em diversas áreas do conhecimento. Por meio dessas demonstrações, aprendemos a
construir argumentos claros, concisos e logicamente válidos, fortalecendo nossa capacidade de
raciocínio e análise crítica. Além disso, compreender as técnicas de demonstração direta nos permite
explorar conceitos complexos de maneira acessível e e�caz, facilitando a compreensão e a aplicação de
teorias e princípios fundamentais. Ao dominar essa abordagem, tornamo-nos capazes de comunicar
ideias de forma precisa e convincente, contribuindo signi�cativamente para nosso crescimento
intelectual e para o avanço do conhecimento em nosso campo de estudo. Agora é sua vez, vamos juntos
explorar esses conceitos e aprendermos demonstrações matemática?
Ponto de Partida
Ao estudar lógica, você se deparou com os três princípios, que são:
Princípio da identidade: a�rma que qualquer coisa é idêntica a si mesma. Matematicamente, podemos
expressá-lo como 
Princípio da não contradição: estabelece que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo
tempo. Em outras palavras, uma a�rmação não pode ser verdadeira e sua negação também ser
verdadeira. Matematicamente, isso é expresso como 
Princípio do terceiro excluído: este princípio a�rma que uma proposição é verdadeira ou sua negação é
verdadeira, não havendo uma terceira possibilidade. Matematicamente, isso é expresso como 
A = A
A
~(A ∧ ~A
A
A ∨ ~A
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Ao ser confrontado com o enunciado “prove que nenhum número pode ser par e ímpar ao mesmo
tempo”, podemos responder utilizando demonstrações lógicas ou os seus princípios fundamentais, que
regem o raciocínio matemático. Podemos utilizar a prova por redução ao absurdo, ou qualquer outra
técnica de demonstração lógica adequada.
É importante destacar que existem várias técnicasde demonstração lógica, e não apenas uma. Cada
técnica tem suas próprias características e cada uma é mais apropriada para diferentes tipos de
problemas. Ao estudar demonstrações lógicas, embarcamos em uma jornada intelectual enriquecedora,
na qual fortalecemos habilidades de análise crítica e pensamento abstrato.
Vamos aprender a construir argumentos sólidos, validar proposições e explorar os princípios
fundamentais da lógica juntos? Venha se juntar a nós nesta jornada fascinante de estudo das
demonstrações lógicas!
Vamos Começar!
Retomando conceitos, temos que uma premissa é uma proposição ou a�rmação que é assumida como
verdadeira e serve como base para um argumento ou raciocínio. No contexto da lógica e da
argumentação, as premissas são as declarações iniciais a partir das quais uma conclusão é derivada.
Elas são fundamentais para a construção de argumentos válidos e são utilizadas para sustentar ou
justi�car a conclusão alcançada. Em um argumento lógico, as premissas são geralmente apresentadas
antes da conclusão e são aceitas como verdadeiras para �ns de análise e inferência.
Algumas premissas podem ser teoremas, lemas ou corolários.
Um teorema é uma a�rmação que pode ser provada.
Um lema é um pré-teorema usado na demonstração de um teorema mais complexo. É um tipo
particular de teorema.
Um corolário é uma a�rmação que segue diretamente de um teorema ou de um lema já
demonstrado, sem necessidade de uma prova adicional complexa. Também é um tipo particular de
teorema.
Aqui, usaremos premissas para construirmos demonstrações. Demonstração é a maneira pela qual uma
proposição é validada por meio de argumentos formais. 
Dizemos que uma proposição 
A proposição  é a mesma que a proposição  .  
Qualquer que seja  , a proposição   ou é uma das premissas ou é alcançada como conclusão por
meio de algum argumento válido obtido das proposições  .
A
q
p1, p2 , . . . ,  pn
pn q
k pk
p1, p2 , . . . ,  pk − 1
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Considere os argumentos: o aluno não estuda. Se o aluno não estuda ele reprova. Se o aluno reprova ele
muda de escola.
Vamos representar os argumentos com as proposições 
Premissa 1: 
Premissa 2: 
Premissa 3: 
Conclusão: o aluno muda de escola.
Usando a representação anterior, teremos:
Dadas as premissas a seguir, prove 
Demonstração:
1.  (premissa 1).
2.  (premissa 2).
3.  (premissa 3).
4.  (utilizamos modus ponens a partir de 1 e 2).
5.  (utilizamos modus ponens a partir de 3 e 4).
c.q.d.
Obs.: no �nal de demonstrações ou teoremas, é comum encontrarmos c.q.d., que signi�ca “como
queríamos demonstrar”.
Siga em Frente...
A demonstração direta de uma implicação p q é uma sequência de passos lógicos, onde 
p,  q
r
~p
~p → q
q → r
r
~ p
~ p  →  q
q  →  r
q
r
p
p1
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Obs.: a validade de um argumento não se confunde com a verdade das proposições individuais que o
formam. Um argumento pode ser considerado válido mesmo quando as proposições que o constituem,
tomadas isoladamente, são falsas.
A prova por contrapositiva é uma técnica de demonstração matemática na qual, ao invés de provar
diretamente que uma implicação 
Essa técnica é particularmente útil quando a demonstração direta da implicação é complicada ou menos
intuitiva. Provar a contrapositiva muitas vezes simpli�ca o raciocínio, porque negar os termos pode levar
a condições mais facilmente demonstráveis.
Nela, negamos a conclusão e, a partir disso, tentamos chegar à negação das hipóteses. Por exemplo: a
contrapositiva de “se beber, não dirija” é “se dirigir, não beba”, pois ambas signi�cam “não dirija ou não
beba”, sendo, então, equivalentes.
A demonstração por redução ao absurdo, também conhecida como prova por absurdo ou contradição, é
uma técnica que estabelece a verdade de uma proposição demonstrando que, se a proposição fosse
falsa, resultaria em uma contradição ou em um resultado claramente falso. Usamos quando desejamos
mostrar que não há elementos que satisfaçam uma determinada propriedade (ou seja, demonstrar que
um conjunto é vazio) ou em situações em que queremos provar que existe um único elemento (provas de
unicidade) que satisfaça determinada propriedade.
Em resumo, negamos a hipótese e chegamos a uma conclusão verdadeira, ou vice-versa, o que é um
absurdo, uma contradição.
Essa demonstração segue alguns passos: começa-se supondo que a proposição ou tese que se quer
provar é falsa. A partir dessa suposição, desenvolve-se logicamente as consequências dessa suposição.
Então, mostra-se que essas consequências levam a uma contradição (algo que sabemos ser falso) ou a
um resultado absurdo. Conclui-se, então, que a suposição inicial de falsidade é incorreta e, portanto, a
proposição original deve ser verdadeira.
Exemplo:
Sendo 
p2
pn
q
p → q
~q → ~p
p
q
p  ⇒  q
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Primeiro, negamos a conclusão, mas mantemos a proposição, construindo o absurdo. Negamos 
Por termos negado a conclusão, temos que a reescrita é “As duas mercadorias têm preços menores ou
iguais a R$ 5,00”. Assim, a soma dos seus preços só poderia ser menor ou igual a R$ 10,00. Porém como
não havíamos negado a hipótese, isso se tornou um absurdo; portanto, não pode ser verdade que os
preços eram menores ou iguais a 5, só podendo ser maiores ou iguais a essa quantidade, como na
proposição original. Portanto, �ca demonstrado que 
Essa técnica é particularmente útil quando a tentativa direta de provar uma proposição é complexa ou
não óbvia. Ao invés de construir diretamente um argumento que mostra a verdade da proposição,
demonstra-se que a negação da proposição levaria a uma impossibilidade lógica ou a uma situação
inaceitável. Assim, con�rma-se a validade da proposição original ao expor a invalidez de sua negação.
Vamos Exercitar?
Retomando o enunciado “Prove que nenhum número pode ser par e ímpar ao mesmo tempo”, uma boa
técnica de demonstração é a de redução ao absurdo, pois, se assumirmos que o número é par como
premissa e ímpar como conclusão chegaremos a uma contradição (um absurdo), provando assim que
ele só pode ser par ou ímpar.
Vamos demonstrar por redução ao absurdo que nenhum número inteiro pode ser simultaneamente par e
ímpar. Suponhamos, por absurdo, que existe um número inteiro n que é tanto par quanto ímpar.
Se 
Subtraindo 
p ⋀  ~q
p  ⇒  q
n
n = 2k
k
n
n = 2m + 1
m
n =  2k = 2m + 1
2m
2k − 2m = 1
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Fatorando 2 da expressão, temos:
Aqui, 
Portanto, nossa suposição inicial de que um número inteiro poderia ser simultaneamente par e ímpar leva
a uma contradição, o que prova que nenhum número inteiro pode ser par e ímpar ao mesmo tempo.
c.q.d.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a prática da resolução de
exercícios, pois essa abordagem permite a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos
conteúdos discutidos. Portanto, considerando essa tática, recomendamos a leitura e a realização de
alguns exercícios pertinentes aos temas abordados durante a aula.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre a lógica matemática, sugerimos a leitura do
capítulo 2 – “Raciocínio Lógico”, do livro Raciocínio lógico-matemático para concursos de Paulo Quilelli
(2015), disponível em sua Biblioteca Virtual. Ao �nal do capítulo, selecione alguns exercícios e resolva-os.
Para melhorar seu entendimento sobre os conceitos fundamentais da lógica formal, aconselhamos a
leitura do capítulo 1 – “Lógica”, do livro Introdução à lógica matemática para acadêmicos, de Marcos A.
Barbosa (2017). Ao �nal da leitura, realize as atividades de autoavaliação propostas. Bons estudos!
Referências
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 10 mar. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponívelem: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 18 mar. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 20 mar. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
2(k − m) = 1
k − m
 k
m
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502628427/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/
https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 mar. 2024.
MORAIS, José Luiz de. Matemática e lógica para concursos. São Paulo: Saraiva, 2012.
QUILELLI, Paulo. Raciocínio lógico-matemático para concursos. 3ª edição. São Paulo: Editora Saraiva,
2015. E-book. ISBN 9788502628427. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502628427/. Acesso em: 13 mar. 2024.
VILLAR, Bruno. Raciocínio lógico-matemático facilitado. São Paulo: Grupo GEN, 2019. E-book. ISBN
9788530987367. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788530987367/.
Acesso em: 21 mar. 2024.
Aula 4
Indução matemática
Indução matemática
Este conteúdo é um vídeo!
Para assistir este conteúdo é necessário que você acesse o AVA pelo computador ou
pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo
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Dica para você
Aproveite o acesso para baixar os slides do vídeo, isso pode deixar sua aprendizagem
ainda mais completa.
Olá, estudante! O princípio da indução �nita é uma ferramenta poderosa e fundamental na matemática,
amplamente utilizada para provar proposições sobre números naturais. Ao embarcar no estudo deste
princípio, mergulhamos em um mundo fascinante de raciocínio lógico e dedutivo, onde exploramos
padrões, regularidades e estruturas em conjuntos in�nitos. Nesta jornada, aprenderemos a aplicar o
princípio da indução �nita para estabelecer a veracidade de a�rmações matemáticas, desde simples
conjecturas até teoremas complexos. A compreensão deste princípio não apenas fortalece nossa
capacidade de argumentação matemática, mas também nos equipa com uma poderosa ferramenta para
abordar uma ampla gama de problemas em diversas áreas da matemática e além. Vamos juntos iniciar
nossa exploração do princípio da indução �nita?
Ponto de Partida
Aguns exercícios de matemática se apresentam como narrativas extensas, exigindo do estudante uma
leitura atenta e uma interpretação cuidadosa. Por outro lado, há aqueles que parecem mais diretos, com
instruções sucintas, como “calcule”, “demonstre” ou “analise”. No entanto, a suposta simplicidade dessas
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
instruções não os torna automaticamente mais fáceis. A resolução desses problemas muitas vezes
demanda a aplicação de uma sequência de passos metodologicamente de�nidos. Esse princípio é
especialmente evidente quando nos aventuramos no mundo das demonstrações matemáticas,
particularmente ao explorar o conjunto dos números naturais e utilizar o princípio da indução �nita.
Enquanto estudava demonstrações matemáticas, você se deparou com o seguinte enunciado:
O seguinte resultado pode ser provado por indução �nita.
Dado  , vale   ,  .
Mas o que é indução? Como demonstrar por indução? Por que demonstrar uma propriedade
matemática? Esse princípio tem relação com conjuntos numéricos, por isso as propriedades? Vamos
mergulhar no mundo da indução �nita e descobrir a imensidão por trás dos números naturais. Esse
método não só amplia sua compreensão matemática, mas também aguça seu raciocínio lógico.
Encorajamos você a explorar esses conceitos poderosos, postulados, lemas, teoremas e corolários, e
demonstrar diversas propriedades. Vamos juntos estudar o princípio da indução �nita?
Vamos Começar!
O princípio da indução �nita é um dos pilares da matemática, utilizado para provar a�rmações sobre
números naturais. Ele funciona como um método de raciocínio que permite estabelecer a validade de
uma proposição para todos os números naturais a partir de um conjunto base e de uma regra de indução.
 
O princípio consiste em dois passos principais: primeiro, demonstra-se que a proposição é verdadeira
para um número inicial (geralmente o menor elemento do conjunto considerado). Em seguida, assume-se
que a proposição é verdadeira para um número arbitrário 
Mas vamos por partes; antes de estudarmos a indução �nita, vamos de�nir o conjunto dos números
naturais.
Números naturais 
Os números naturais representam, possivelmente, o primeiro avanço matemático da história da
humanidade, uma vez que são originados da contagem e da quanti�cação.
Simbolizados por 
n ∈ N 2n 2 =  
(k+1)(k+2)
2
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
de onde temos que 
Logo, pelo princípio de indução, 
Bueno (2017, p. 111) explica que
na primeira parte de qualquer demonstração utilizando o princípio da indução �nita, veri�camos se
propriedade P(n) é verdadeira para n = n0. Esta primeira etapa recebe o nome de base de indução ou
passo base. A segunda parte de qualquer demonstração pelo princípio da indução �nita recebe o nome
de hipótese de indução ou passo indutivo. Nesta segunda parte, supomos que P(k) é verdadeira para
todo k   Z ,k≥ n0  e buscamos demonstrar que P(k +1) também será verdadeira para todo k  Z ,k ≥ n0.
Vamos Exercitar?
Retomando os estudos, precisamos provar, por indução �nita, que, 
Dado n N, vale 2n, 2, se k
> 4
P(k  +  1)
P(n) 
n
 4!  =  4. 3. 2. 1  =  24
 4!  =  4. 3. 2. 1  =  24
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
A partir da desigualdade ( ) obtemos que
2k+1 = 2.2ksejam tanto rigorosas quanto
elegantes? Estamos aqui para guiar você por essa exploração, passo a passo. Vamos embarcar juntos
nesta aventura matemática e desvendar os segredos das demonstrações matemáticas!
Ponto de Chegada
A arte do raciocínio lógico e matemático é uma ferramenta poderosa na construção do conhecimento,
permitindo-nos não apenas compreender, mas também modelar e prever fenômenos. No cerne dessa
arte estão os argumentos e silogismos, que são estruturas usadas para deduzir conclusões a partir de
premissas dadas. Essas ferramentas são fundamentais porque oferecem um caminho para estabelecer
verdades de maneira estruturada e lógica.
Premissas e conclusões formam a base de qualquer argumento. Uma premissa é uma a�rmação que se
assume como verdadeira para o propósito de construir um argumento, enquanto a conclusão é a
a�rmação que se pretende demonstrar. A força de um argumento, portanto, reside na sua capacidade de
usar premissas verdadeiras para chegar a uma conclusão que é logicamente inescapável.
A validação de argumentos por tabela verdade é uma técnica essencial nesse processo. Ao analisar
todas as possíveis combinações de valores verdadeiros e falsos das premissas, podemos determinar se
a conclusão segue logicamente ou não. Este método nos ajuda a evitar falácias lógicas e a garantir a
validade de nossos argumentos.
Existem regras básicas e derivadas que governam a estrutura dos argumentos e o processo de
inferência. As regras básicas são aquelas diretamente relacionadas às operações lógicas fundamentais,
como a conjunção, a disjunção e a negação. As regras derivadas, por outro lado, são aquelas que podem
ser construídas a partir das regras básicas, oferecendo métodos mais complexos de dedução.
No campo das demonstrações matemáticas, dispomos de várias abordagens, cada uma adequada a
diferentes tipos de problemas. A demonstração direta é talvez a mais intuitiva; nela, partimos das
premissas e, através de passos lógicos, chegamos à conclusão. A demonstração por contrapositiva e a
demonstração por redução ao absurdo são técnicas mais so�sticadas, que nos permitem provar
a�rmações negando a conclusão ou assumindo o contrário daquilo que queremos provar,
respectivamente.
O princípio da indução �nita é uma ferramenta poderosa, especialmente no domínio dos números
naturais. Ele nos permite estabelecer a veracidade de proposições para todos os membros de um
conjunto in�nito, �rmando-se em uma base sólida e em um passo de indução.
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Os números naturais, por sua vez, são o alicerce sobre o qual grande parte da matemática é construída.
Eles são não apenas um dos primeiros conceitos matemáticos que aprendemos, mas também um
campo fértil para a aplicação de todas as técnicas de demonstração mencionadas.
Em suma, a importância de compreender e utilizar argumentos e silogismos, premissas e conclusões, a
validação de argumentos por tabela verdade, as regras de inferência, e as diversas formas de
demonstração matemática, reside na capacidade de pensar de forma crítica e estruturada. Essas
ferramentas não apenas facilitam a descoberta de novas verdades matemáticas, mas também
enriquecem nossa capacidade de analisar e resolver problemas em diversas áreas do conhecimento.
É Hora de Praticar!
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Estudo de caso
Contexto
Em uma turma de matemática, o professor apresenta aos alunos o conceito de grafo e sua aplicação na
modelagem de redes complexas. Um grafo é uma estrutura matemática que consiste em um conjunto de
vértices (ou nós) conectados por arestas (ou linhas). Eles são usados para modelar relações entre
diferentes entidades e são amplamente utilizados em áreas como matemática discreta, ciência da
computação, engenharia de redes e teoria dos grafos. Durante uma aula, o professor propõe um estudo
de caso sobre a conectividade de uma rede de computadores.
Descrição
O professor descreve uma situação em que uma empresa de tecnologia deseja garantir que todos os
seus servidores estejam conectados, de forma que qualquer servidor possa acessar diretamente ou
indiretamente todos os outros servidores. Ele explica que, para veri�car a conectividade da rede, é
necessário demonstrar que, para qualquer par de servidores, existe um caminho que os conecta.
Problema
O professor propõe o seguinte problema aos alunos: prove que, em um grafo não direcionado e
conectado, se removermos um vértice e seus vértices adjacentes, o grafo resultante continua conectado.
Como você explicaria a diferença entre premissas e conclusões para seus alunos, e por que é importante
compreender essa distinção na construção de argumentos matemáticos?
Qual é a relevância da validação de argumentos por meio de tabelas verdade no ensino de matemática, e
como você pretendia abordar esse conceito de forma acessível para seus estudantes?
Ao ensinar as regras básicas e derivadas de demonstrações matemáticas, como você planeja tornar esse
conteúdo atraente e compreensível para seus estudantes?
Os alunos são incentivados a usar a prova por contrapositiva para resolver o problema. Eles começam
assumindo que, após a remoção de um vértice e seus vértices adjacentes, o grafo resultante não está
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
mais conectado. Em seguida, demonstram que essa suposição leva a uma contradição, mostrando que o
grafo original não era conectado, o que é uma contrapositiva da a�rmação inicial.
Assim, os estudantes compreendem não apenas a importância dessa técnica na demonstração
matemática, mas também sua aplicação em contextos do mundo real, como na análise de redes de
computadores.
Para resolver o exercício, podemos seguir os passos da demonstração por contrapositiva:
1. Formular a negação da conclusão: a negação de “se n é ímpar, então n2 é ímpar” é “n é ímpar e n2 é
par”.
2. Assumir a negação da conclusão como hipótese: assumimos que  é ímpar e que n2 é par.
3. Chegar a uma contradição: vamos mostrar que se n2 é par, então   também é par, o que contradiz a
hipótese de que  é ímpar.
Sabemos que um número ao quadrado é par se, e somente se, o próprio número é par. Portanto, se
n2 é par, então n também é par.
4. Conclusão: como assumimos que n é ímpar e chegamos a uma contradição, concluímos que a
a�rmação original é verdadeira, ou seja, se n é ímpar, então n2 é ímpar.
n 
n
n
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
 
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 10 mar. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 18 mar. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 20 mar. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 mar. 2024.
MORAIS, José Luiz de. Matemática e lógica para concursos. São Paulo: Saraiva, 2012.
QUILELLI, Paulo. Raciocínio lógico-matemático para concursos. 3ª edição. São Paulo: Editora Saraiva,
2015. E-book. ISBN 9788502628427. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502628427/. Acesso em: 13 mar. 2024.
VILLAR, Bruno. Raciocínio lógico-matemático facilitado. São Paulo: GrupoGEN, 2019. E-book. ISBN
9788530987367. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788530987367/.
Acesso em: 21 mar. 2024.
,
Unidade 3
Conjuntos e relações
Aula 1
Introdução à Teoria dos Conjuntos
Introdução à Teoria dos Conjuntos
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Dica para você
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Olá, estudante! Nesta videoaula, vamos estudar as noções de elementos e conjuntos, suas
representações e as relações de inclusão e pertinência, que são fundamentais em diversas áreas
pro�ssionais por diversas razões. Esses conceitos formam a base da matemática discreta, que é
essencial em campos como ciência da computação, engenharia, economia, estatística, e até mesmo em
áreas das ciências biológicas, sociais e humanas. Prepare-se para essa jornada de conhecimento! Vamos
lá!
Ponto de Partida
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Vamos começar nossa jornada de estudos sobre conjuntos, abordando o conceito fundamental, os
princípios que os orientam, suas propriedades e os tipos mais importantes.
Para facilitar sua compreensão sobre como esses conceitos de conjuntos podem ser aplicados, vamos
considerar as seguintes propriedades:
A = {x|x é um múltiplo positivo de 4}
B = {x|x é um número par e }
Como podemos interpretar essas propriedades? Qual o signi�cado por trás delas? Por que elas se
encaixam na categoria de conjuntos? Para responder a essas perguntas, é importante entender o
conceito de conjuntos, elementos e suas relações. Entender esses conceitos é crucial para avançar na
matemática, especialmente em áreas como álgebra, análise, e muitas outras. Estudar a teoria dos
conjuntos e relações pode abrir portas para uma compreensão mais profunda de muitos tópicos
matemáticos. Vamos explorar juntos?
Vamos Começar!
De acordo com o dicionário Oxford (2017, s.p.), conjunto é “s.m. – matemático: reunião de objetos,
determinados e diferenciáveis, quer esses objetos pertençam à realidade exterior, quer sejam objetos do
pensamento”. Então, a partir da de�nição, tomamos conjunto como um ente primitivo, cuja existência
apenas admitimos como verdadeira. 
Para além do conjunto, temos como ente primitivo o elemento e a relação entre eles, de modo que o
elemento pertence ao conjunto.
O conjunto é denotado por letra maiúscula, representado entre chaves “{...}” e em geral, seus elementos
são representados por letras minúsculas.
Conjunto das vogais: 
Conjunto dos números pares:  .
Conjunto dos meses do 1º trimestre:  .
Nesses exemplos, tivemos conjuntos �nitos e in�nitos; por exemplo, o conjunto A é �nito, pois há 5
vogais; por sua vez, o conjunto B é in�nito, pois há in�nitos números pares.
Conjunto vazio: trata-se de um conjunto sem quaisquer elementos, simbolizado por { } ou
Conjunto universo: de�ne-se como o conjunto que engloba todos os elementos pertinentes ao contexto
em questão, assim como todos os conjuntos dentro desse contexto. Representa-se o conjunto universo
por .
Conjunto unitário: conjunto unitário é um conjunto que contém um único elemento.
A = {a, e, i, o,u}.
B =  {0, 2, 4, 6. . . 2n}
C =  {janeiro, fevereiro,março}
∅
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Podemos representar conjuntos listando seus elementos (como nos exemplos supracitados), ou por
meio de uma propriedade matemática. Esta segunda alternativa de representação de conjuntos é
particularmente útil para aqueles com um número muito grande ou in�nito de elementos.
O conjunto dos números reais que são maiores ou iguais a 5: 
Também há uma outra representação, mais visual, chamada de diagrama de Venn-Euler (lê-se: “Ven-
óiler”). Nela, representamos os elementos pertencentes ao conjunto dentro do círculo e os não
pertencentes fora dele.
Figura 1 | Representação do diagrama de Venn-Euler.
Siga em Frente...
Pertinência: é uma característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto; para
representá-la, usamos o símbolo , que lemos “pertence”.
A letra a pertence ao conjunto A, ou seja, a  A.
O número 4 pertence ao conjunto B, ou seja, 4  B.
Quando um elemento não pertence, utilizamos 
D = {x Ix ≥ 5}.
∈
∈
∉
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
A letra b não pertence ao conjunto A, ou seja, b  A.
Continência: é uma característica associada aos conjuntos. Considere dois conjuntos A e B. Dizemos que
o conjunto B está contido no conjunto A se todos os elementos do conjunto B pertencem ao conjunto A.
Para representá-la usamos o símbolo 
Quando não está contido, usamos:
, e quando não contém: 
.
Vamos pensar em uma situação: na saída de um supermercado, você alocou suas compras em uma
caixa. Nessa caixa, há sacolas; e nas sacolas, há seus produtos. A caixa é uma espécie de “grupo maior”;
as sacolas, “grupos menores”; e os produtos são os elementos. Dessa maneira:
A caixa contém as sacolas.
A sacolas estão contidas na caixa.
Os elementos pertencem as sacolas;
Obs.: note que elementos se relacionam com os grupos menores, porque o elemento pertence ao seu
conjunto direto; “contém” e “contido” são relações entre conjuntos.
tomando como exemplo o conjunto A = {1,2,3}, o conjunto composto por todos os possíveis
subconjuntos de A é chamado de conjunto das partes de A, simbolizado por P(A). Para o caso em
questão, o conjunto das partes de A é dado por: P(A) = { , {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}. Note que,
neste exemplo, o conjunto das partes contém 8 elementos, equivalente a 2³, onde o expoente de ( ) é o
número de elementos de A.
Vamos Exercitar?
Vamos retomar às propriedades apresentadas no início da aula:
A = {x|x é um múltiplo positivo de 4}
B = {x|x é um número par e }
A = x é um número tal que x é um múltiplo positivo de 4.
∉
⊂
contido
⊃ contém
⊄
⊅
⊄
⊅
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
B = x é um número tal que x é um número par maior ou igual a 4 e menor que 16.
Como exemplo dos conjuntos temos:
Múltiplos de 4 – A= {0,4,8,12,16, ... ,4n}
B = {4,6,8,10,12,14}
Assim, o conjunto solução são os elementos que pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo, logo,
como o conjunto B é �nito, podemos de�nir que a reposta são os elementos {8, 12}.
Ao concluir o estudo da teoria dos conjuntos, abrimos a porta para uma compreensão mais profunda da
matemática e de suas aplicações práticas. Compreender os conceitos de conjuntos, subconjuntos,
conjuntos das partes, pertinência e continência não apenas aprimora nossa habilidade analítica, mas
também nos prepara para explorar campos mais avançados, demonstrando a beleza e a universalidade
dos princípios matemáticos. Portanto, o estudo da teoria dos conjuntos é um passo importante na
jornada do estudante ou pro�ssional que busca excelência e precisão no pensamento crítico e na
aplicação prática da matemática.
Saiba mais
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante da resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Para melhorar seu entendimento sobre os conceitos fundamentais da teoria de conjuntos, aconselhamos
a leitura do capítulo 12 – “Conjuntos”, do livro Raciocínio lógico-matemático facilitado, de Bruno Villar
(2019). Ao �nal da leitura, realize as atividades de autoavaliação propostas. Bons estudos!
Referências
ARAÚJO, Luciana M. M.; FERRAZ, Mariana S. A.; LOYO, Tiago; et al. Fundamentos de matemática. Porto
Alegre: Grupo A, 2018. E-book. ISBN 9788595027701.Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595027701/. Acesso em: 21 mar. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 6 mar. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 mar. 2024.
CONJUNTO. 2017. In.: OXFORD, Dicionário Online Português-Inglês.
VILLAR, Bruno. Raciocínio lógico-matemático facilitado. São Paulo: Grupo GEN, 2019. E-book. ISBN
9788530987367. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788530987367/.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595027701/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/
https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f
https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Acesso em: 21 mar. 2024.
Aula 2
Operações com Conjuntos
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Olá, estudante! Nesta videoaula, vamos explorar conceitos fundamentais, como a união e a intersecção
de conjuntos; vamos entender a diferença entre conjuntos, além de mergulhar no estudo do
complementar de um conjunto. Essas noções são essenciais em várias áreas pro�ssionais por uma série
de motivos, estabelecendo o alicerce da matemática discreta. Tal conhecimento é crucial não só em
campos como ciência da computação, engenharia, e economia, mas também em estatística, além de ter
aplicação nas ciências biológicas, sociais e humanas. Prepare-se para essa jornada de conhecimento!
Vamos lá!
Ponto de Partida
Ao aplicarmos os conhecimentos de teoria dos conjuntos no trabalho em uma empresa de pesquisas de
opinião, reconhecemos que a matemática e a análise estatística desempenham papéis cruciais na
interpretação e análise de dados. É cada vez mais comum vermos matemáticos e pro�ssionais de áreas
relacionadas às ciências exatas contribuírem em diversos setores, incluindo pesquisa de opinião, análise
de risco em seguros, gestão de previdência privada e operações �nanceiras em bancos e bolsas de
valores. A compreensão das propriedades e das operações de conjuntos é fundamental para a
organização e interpretação e�caz dos dados, permitindo a formulação de insights valiosos e a tomada
de decisões informadas.
Por exemplo, você é chamado para resolver o seguinte problema:
Foram entrevistadas 600 pessoas. Os resultados obtidos foram:
240 pessoas apoiam o projeto A.
280 pessoas apoiam o projeto B.
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
190 pessoas apoiam o projeto C.
46 pessoas apoiam os três projetos.
64 pessoas apoiam apenas os projetos A e B.
87 pessoas apoiam os projetos A e C.
93 pessoas apoiam os projetos B e C.
Determine:
a) O número de pessoas que apoiam apenas o projeto A.
b) O número de pessoas que apoiam apenas os projetos A e C.
c) O número de pessoas que não apoiam o projeto B.
Dadas as informações, como resolver esse problema? Como operar os conjuntos de pessoas
entrevistadas? Para responder a essas perguntas, nesta aula, exploraremos a união e intersecção de
conjuntos, juntamente com as relações de diferença e complemento. Ao lidar com esses tópicos e
responder às questões propostas, você desenvolverá habilidades valiosas, como utilizar os conceitos da
teoria dos conjuntos para resolver problemas que exigem raciocínio lógico, aplicar os princípios e a
estrutura formal da teoria dos conjuntos em situações do cotidiano, e empregar a formalização da teoria
dos conjuntos para abordar e resolver problemas complexos com precisão. Esses conhecimentos são
cruciais para a compreensão e resolução de problemas em diversas áreas, desde disciplinas acadêmicas
como matemática e ciências, até questões práticas do dia a dia. Vamos juntos nessa empreitada?
Vamos Começar!
Relações entre conjuntos
União de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, tome que a união entre eles é representada por 
Obs.: a relação entre a união de conjuntos é com o operador lógico “ou” (representado pela disjunção  na
lógica matemática). É importante destacar que este “ou” não é exclusivo, signi�cando que inclui os
elementos que são comuns aos conjuntos envolvidos.
Exemplo: sejam A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A união destes dois conjuntos é o conjunto
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Observe que não aparecem mais de uma vez os termos repetidos. A propriedade
comutativa é válida em conjuntos, assim 
Intersecção entre conjuntos
A ∪ B
A ∪ B = x|x ∈ A ou x ∈ B
A ∪ B =  B ∪ A
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Dados dois conjuntos A e B, tome que a união entre eles é representada por 
Obs.: perceba a associação entre a intersecção de conjuntos e o conectivo “e” (operação de conjunção )
na lógica matemática.
Exemplo: sejam A = {1, 3, 5, 7, 9} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. A intersecção destes dois conjuntos é o
conjunto  
Figura 1 | Representação da intersecção  A B .
Siga em Frente...
Quando nenhum elemento pertence aos dois conjuntos ao mesmo tempo, ou seja, a intersecção é vazia,
dizemos que esses conjuntos são disjuntos e denotamos por 
A ⋂  B
A ∩ B = x|x  ∈  A e x  ∈  B
A ⋂  B
A ⋂  B = ∅.
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Para calcular a quantidade de elementos na união de dois conjuntos, A e B, você soma o número de
elementos de A e B e depois subtrai o número de elementos na interseção de A e B uma vez. Este
princípio pode ser generalizado para a união de três conjuntos também. Em símbolos, escrevemos 
Sempre que utilizarmos a intersecção, subtraímos esses elementos, agora utilizados, do conjunto
original, por exemplo. Podemos generalizar essa expressão para três conjuntos:
A propriedade comutativa é válida em conjuntos, assim 
Diferença entre conjuntos
Considere dois conjuntos, A e B. O conjunto diferença 
Por exemplo, tome o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {2, 3, 4, 5}; dessa forma,  É importante ressaltar
que 
 Complementar de um conjunto
Dados dois conjuntos, A e B, com a condição de que B 
Exemplo, tome A = {a, b, c, d, e, f, g} e B = {a, b, c}. Então  = {d, e, f, g}
Leis de De Morgan
a) O complementar da união de dois conjuntos é igual à intersecção dos complementares: 
#  (A ∪ B)  =  # (A)  +  # (B)  −  # (A ⋂  B).
# (A  ∪  B  ∪ C)  =  # (A)  +  # (B)  +  # (C)  −  # (A ⋂  B)  −  # (A ⋂  C)  −  # (B ⋂
A ⋂  B =  B ⋂  A
A  −  B 
{A − B = x  ∈  A e x  ∉  B}.
A  −  B  ≠  B  −  A,
B − A = {∅},
B  ⊂  A.
⊂  A,  
CB
A
= A–B.
(A ∪ B)C = A(C) ∩ BC
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ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
b) O complementar da intersecção de dois conjuntos é igual à união dos complementares: 
Sejam A e B dois conjuntos tais que B A, são verdadeiras as seguintes propriedades:
a) 
b) 
Compreender as relações entre conjuntos é fundamental nos diferentes campos da matemática e suas
aplicações, permeando áreas como a informática, a lógica, a teoria dos números, a análise combinatória,
entre outras. Esse estudo não só proporciona uma base sólida para a compreensão de conceitos
matemáticos avançados, como desenvolve o raciocínio lógico e analítico, essencial em muitas situações
do cotidiano e pro�ssionais.
Vamos Exercitar?
Retomando o problema apresentado anteriormente, temos que:
Foram entrevistadas 600 pessoas. Os resultados obtidos foram:
240 pessoas apoiam o projeto A.
280 pessoas apoiam oprojeto B.
190 pessoas apoiam o projeto C.
46 pessoas apoiam os três projetos.
64 pessoas apoiam apenas os projetos A e B.
87 pessoas apoiam os projetos A e C.
93 pessoas apoiam os projetos B e C.
Determine:
a)  O número de pessoas que apoiam apenas o projeto A.
b)  O número de pessoas que apoiam apenas os projetos A e C.
c)  O número de pessoas que não apoiam o projeto B.
Os 240 indivíduos que apoiam o projeto A não o fazem de forma exclusiva. Esse número engloba os que
apoiam exclusivamente o projeto A, além dos que apoiam tanto o projeto A quanto o B, os que apoiam
tanto o A quanto o C, e aqueles que apoiam os três projetos simultaneamente.
(A ∩ B)C = A(C) ∪ BC
CA
A = ∅.
C ∅
A = A.
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Seguindo a informação fornecida, sabemos que 87 pessoas apoiam os projetos A e C, enquanto 46
apoiam os projetos A, B e C. Portanto, 87 - 46 = 41 pessoas apoiam exclusivamente os projetos A e C.
Dado que 240 pessoas apoiam o projeto A, subtraindo os 64 que apoiam os projetos A e B, os 46 que
apoiam os três projetos, e os 41 que apoiam os projetos A e C, restam 240 - 64 - 46 - 41 = 89 pessoas que
apoiam exclusivamente o projeto A.
Considerando que 93 pessoas apoiam os projetos B e C, e 46 pessoas apoiam os três projetos, então 93 -
46 = 47 pessoas apoiam exclusivamente os projetos B e C.
Dado que 280 pessoas apoiam o projeto B, após descontarmos as 64 que apoiam exclusivamente os
projetos A e B, as 46 que apoiam os três projetos, e as 47 que apoiam exclusivamente os projetos B e C,
restam 280 - 64 - 46 - 47 = 123 pessoas que apoiam exclusivamente o projeto B.
Por �m, 190 - 41 - 46 - 47 = 56 apoiam exclusivamente o projeto C.
Além disso, 600 - (123 + 46 + 47 + 41 + 56 + 64 + 90) = 134 pessoas não apoiam nenhum dos três
projetos.
Podemos representar essas relações com o preenchimento do diagrama de Venn-Euler.
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 2 | Representação do problema no diagrama de Venn-Euler.
Então, respondendo às perguntas, temos que:
89 pessoas apoiam apenas o projeto A.
41 pessoas apoiam apenas os projetos A e C.
O número de pessoas que não apoiam o projeto B é 600 - 123 = 477. Portanto, das 600 pessoas
entrevistadas, 477 não apoiam o projeto B.
A capacidade de analisar e manipular conjuntos de elementos nos permite abordar uma variedade
impressionante de problemas em diversas áreas do conhecimento. Por meio do estudo de conceitos
como interseção, união, diferença e complemento de conjuntos, desenvolvemos habilidades analíticas
fundamentais; tais habilidades não apenas nos permitem compreender as relações entre diferentes
conjuntos de dados, mas também nos capacitam a tomar decisões e a resolver problemas complexos.
Além disso, ao resolver problemas com conjuntos, desenvolvemos o raciocínio lógico e a capacidade de
pensar de forma abstrata. Essas habilidades são inestimáveis não apenas na matemática, mas em
muitas outras áreas da vida, incluindo ciências, engenharia, economia e até mesmo em situações
cotidianas.
Portanto, ao concluir a resolução de problemas com conjuntos, reconhecemos a importância desses
conceitos e sua relevância em nosso mundo cada vez mais complexo e interconectado. Dominar a teoria
dos conjuntos não apenas expande nosso arsenal de ferramentas analíticas, mas também nos capacita a
enfrentar desa�os com con�ança e clareza, transformando problemas aparentemente intratáveis em
soluções tangíveis e e�cazes.
Saiba mais
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante da resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Para melhorar seu entendimento sobre os conceitos fundamentais de operações com conjuntos,
aconselhamos a leitura do capítulo 12 – “Conjuntos”, do livro Raciocínio lógico-matemático facilitado, de
Bruno Villa(2019). Ao �nal da leitura, realize as atividades de autoavaliação propostas. Bons estudos!
Referências
ARAÚJO, Luciana M. M.; FERRAZ, Mariana S. A.; LOYO, Tiago; et al. Fundamentos de matemática. Porto
Alegre: Grupo A, 2018. E-book. ISBN 9788595027701. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595027701/. Acesso em: 21 mar. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 6 mar. 2024.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595027701/
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 mar. 2024.
VILLAR, Bruno. Raciocínio lógico-matemático facilitado. São Paulo: Grupo GEN, 2019. E-book. ISBN
9788530987367. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788530987367/.
Acesso em: 21 mar. 2024.
Aula 3
Conjuntos Numéricos
Conjuntos Numéricos
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Dica para você
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ainda mais completa.
Olá, estudante! Nesta videoaula, vamos adentrar nos estudos de conjuntos numéricos, mergulhar em um
universo abstrato e basilar da matemática. Explorar os números reais, naturais, inteiros, racionais e
irracionais revela a diversidade e complexidade do mundo dos números. Compreender suas
propriedades, relações e aplicações é fundamental para diversos campos, desde a matemática até
outras áreas, como física, engenharia e economia. Por meio desses estudos, desvendamos a riqueza dos
numerais e suas aplicabilidades para resolver problemas do mundo real. Prepare-se para essa jornada de
conhecimento! Vamos lá!
Ponto de Partida
 
A jornada dos conjuntos numéricos é uma narrativa rica, tecida ao longo da história humana, uma vez
que a matemática é uma construção humana. Artefatos como o osso de Ishango na África e os quipos
peruanos, desenterrados por arqueólogos e antropólogos, testemunham a evolução da contagem e da
representação numérica. Embora os antigos não se preocupassem com a precisão dos “conjuntos
numéricos”, é nesses tempos primordiais que as raízes da contagem e dos símbolos matemáticos foram
lançadas.
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Os gregos, por exemplo, confrontaram os desa�os dos números irracionais ao tentar calcular a diagonal
de um quadrado unitário. No Renascimento italiano, com o avanço da so�sticação bancária, a
necessidade de registrar transações contábeis levou à expansão dos números naturais para os inteiros.
Mas cabe destacar que essa história não é linear!
Assim, ao estudar conjuntos numéricos, desde seus contextos históricos até suas situações-problema,
você se depara com o seguinte enunciado:
Sabemos que a soma e o produto de dois números naturais sempre é um número natural. A soma e o
produto de dois números inteiros também é sempre um número inteiro. Se  e  são dois números
racionais, então é verdade que 
Assinale a alternativa que julgar correta.
a) Todo número racional possui um número �nito de casas decimais.
b) O produto de números irracionais é sempre irracional.
c) Sejam 
d) Se 
e) Se 
Para responder a ele, é necessário conhecer as estruturas e características dos conjuntos numéricos.
Assim, cada alternativa pode ser justi�cada mediante sua a�rmação ou contestação. Vamosjuntos
estudar e explorar o mundo dos conjuntos numéricos, esmiuçando suas estruturas e signi�cando os
números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
a + b,  a − b,  a ⋅ b,   a
b  
a
3a  −  2b 
a
b
b
a
b
a
b
a  −  b
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Vamos Começar!
Conjuntos numéricos
Números naturais
Provenientes da contagem e representados pela letra 
Tem-se por construção que todo número natural tem um sucessor; para isto, basta adicionar mais um, ou
seja, para  que é um número natural, seu sucesso é . As propriedades de adição e multiplicação são
fechadas nos números naturais. Por sua vez, se dividirmos  
Números inteiros
São construídos a partir das necessidades humanas de representar valores negativos, como dívidas,
temperaturas abaixo de 0º, perdas, sentidos contrários, entre outras situações para as quais os naturais
não eram su�cientes. O conjunto dos números inteiros é representado pela letra 
Simétrico de -3 = +3.
Simétrico de +543 = -543.
Nos números inteiros, também há o módulo ou valor absoluto, que é a distância do número até a origem
da reta. A representação de módulo de um 
Módulo de I-8I = 8
Determine o módulo de   quando 
Números racionais
Podem ser escritos por meio de uma fração e são representados pela letra 
N
5
2
Z
Z
Z
Z
x
IxI
I2x  − 5I x  =   − 2 
I2(−2) − 5I  =  I − 4 − 5I  =  I − 9I  =  9.
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Dízimas periódicas: é um termo utilizado na matemática para descrever um tipo especí�co de número
racional na sua forma decimal, em que, após um certo ponto, os dígitos começam a se repetir
in�nitamente na mesma ordem. Essa repetição pode começar imediatamente após a vírgula ou após
alguns dígitos.
Dízima periódica simples: quando os dígitos começam a se repetir imediatamente após a vírgula.
Por exemplo, 0,3333... ou 0,16161616...
Dízima periódica composta: quando existe uma sequência de dígitos que não se repetem
imediatamente após a vírgula, seguida por dígitos que começam a se repetir. Por exemplo,
0,162162162... ou 0,123123123 ..., que podem ser representados como
Fração geratriz: é possível representar qualquer dízima periódica na forma de fração 
Exemplo 1
Considere x = 0,222...
Multiplique por 10 (o período é 1, porque só repete o 2 diversas vezes).
10x = 2,222...
Como 2,222... = 2 + 0,222... e  x = 0,222..., então:
10x = 2 + x .
Desse modo, 9x = 2 .
Isolamos x: x =   .
Exemplo 2
Considere agora y = 0,363636...
Multiplique por 100 (o período é dois, pois repete 36, 36, 36...).
Então, 100y = 36,363636...
Como 36,363636... = 36 + 0,363636 = 36 +y, temos que:
100y =36+y.
Desse modo, 99y =36.
Isolamos y: y =  .
Q
a
b
com
a e b ∈ Z e b ≠ 0.
a
b
a
b
2
9
36
99
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Siga em Frente...
Até onde a documentação histórica alcança, os primeiros a enfrentar a complexidade de representar a
diagonal de um quadrado com lado de medida unitária como uma proporção de números inteiros foram,
provavelmente, os pitagóricos. Esse grupo, liderado pelo �lósofo e matemático grego Pitágoras, deparou-
se com tal desa�o ao aplicar seu teorema em um quadrado de lado 1: a medida da diagonal é 
Números irracionais
Um número real é classi�cado como irracional quando não pode ser expresso como uma fração, isto é,
como o quociente de dois números inteiros, nem pode ser representado por uma dízima periódica.
Como exemplo, temos as raízes não exatas, como ou números muito importantes para a matemática
como pi  
Números reais
O conjunto dos números reais é formado pela união de dois conjuntos disjuntos, os números racionais e
os irracionais. Em símbolos, podemos escrever 
Dessa forma, a reta dos números reais é completa, pois qualquer número na reta, escolhido ao acaso, só
poderá ser, ou racional ou irracional.
É possível dizer que, a menos de um isomor�smo:
Compreender os conceitos e propriedades dos conjuntos numéricos é basilar na matemática, uma vez
que não só amplia nossos horizontes matemáticos, mas também nos capacita a enfrentar e resolver
problemas cotidianos analiticamente, com con�ança e precisão.
Vamos Exercitar?
Agora que você estudou os conjuntos numéricos e suas características foram explicadas e
exempli�cadas, podemos resolver o problema apresentado no início desta aula, justi�cando cada uma
das alternativas. Observe:
√2
(π)  =   =  3, 141592653 …
(e) =  2, 718281 …
R =  Q  ∪  I
Q  ∩  I = ∅,
N  ⊂  Z  ⊂  Q  ⊂  R
R =  Q  ∪  I
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Sabemos que a soma e o produto de dois números naturais sempre é um número natural. A soma e o
produto de dois números inteiros também é sempre um número inteiro. Se a e b são dois números
racionais, então é verdade que a+b, a-b, a b, a/b são números racionais. Outras a�rmações similares
podem ser feitas envolvendo números racionais e irracionais.
Dessa maneira, temos que a letra a é falsa, pois existem números racionais que têm uma representação
decimal �nita, como 0,5 (1/2), mas também existem números racionais que têm uma representação
decimal in�nita e periódica, como 1/3 (0,3333...), que possui um número in�nito de casas decimais.
A a�rmação b também é falsa: tome como exemplo 
Não podemos a�rmar que a adição de dois números irracionais resulta sempre em um número irracional,
pois quando adicionamos um valor com seu simétrico a soma é 0, que é racional, por exemplo: +9 + (-9) =
0.
É verdade que entre dois números racionais diferentes, há pelo menos um outro número racional, pois
esse pode ser obtido pela média aritmética dos dois números racionais originais. Por exemplo: entre 6 e
7, temos (6+7)/2.
A a�rmação e é falsa, pois quando subtraímos um número negativo de outro, estamos efetivamente
adicionando o valor absoluto do segundo número ao primeiro. Por exemplo, -7 - (-8) = -7 + 8 = 1
Concluindo conjuntos numéricos, pode-se a�rmar que seu estudo é essencial para o desenvolvimento de
uma base sólida em matemática. A compreensão dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais,
não só nos capacita a resolver uma ampla variedade de problemas matemáticos, mas também nos
permite explorar conceitos mais avançados em diversas áreas. Além disso, o estudo dos conjuntos
numéricos nos proporciona uma compreensão mais profunda da estrutura dos números e de suas
relações, preparando-nos para enfrentar desa�os cada vez mais complexos em nosso percurso
acadêmico e pro�ssional.
Saiba mais
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante da resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre conjuntos numéricos, sugerimos a leitura do
capítulo 3 – “Conjuntos e relações ”, do livro Elementos da matemática, de José de França Bueno (2017).
Ao �nal do capítulo, selecione alguns exercícios e resolva-os. Bons estudos!
Referências
ARAÚJO, Luciana M. M.; FERRAZ, Mariana S. A.; LOYO, Tiago; et al. Fundamentos de matemática. Porto
Alegre: Grupo A, 2018. E-book. ISBN 9788595027701. Disponível em:
√3.√3 =  √9
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595027701/. Acesso em: 2 abr. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 26 mar. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 5 abr. 2024.
VILLAR, Bruno. Raciocínio lógico-matemático facilitado. São Paulo: Grupo GEN, 2019. E-book. ISBN
9788530987367. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788530987367/.
Acesso em: 3 abr. 2024.
Aula 4
Relações
ELEMENTOS DA MATEMÁTICAI
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pelo aplicativo. Você pode baixar os vídeos direto no aplicativo para assistir mesmo
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ainda mais completa.
Olá, estudante! Nesta videoaula, vamos adentrar nos estudos de conjuntos numéricos, mergulhar em um
universo abstrato e basilar da matemática. Explorar os números reais, naturais, inteiros, racionais e
irracionais revela a diversidade e complexidade do mundo dos números. Compreender suas
propriedades, relações e aplicações é fundamental para diversos campos, desde a matemática até
outras áreas, como física, engenharia e economia. Por meio desses estudos, desvendamos a riqueza dos
numerais e suas aplicabilidades para resolver problemas do mundo real. Prepare-se para essa jornada de
conhecimento! Vamos lá!
Ponto de Partida
O plano cartesiano é uma ferramenta fundamental na matemática; ele nos permite visualizar e
representar gra�camente relações entre diferentes variáveis. Desenvolvido pelo matemático francês
René Descartes no século XVII, o plano cartesiano revolucionou a forma como pensamos sobre
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/
https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f
https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
geometria e álgebra, fornecendo uma maneira sistemática de descrever pontos, linhas e �guras no
espaço bidimensional.
Imagine um plano in�nito dividido em duas direções: horizontal e vertical. Essas direções são conhecidas
como os eixos x e y, respectivamente. Cada ponto no plano é identi�cado por um par ordenado de
números, no qual o primeiro número representa a posição ao longo do eixo x e o segundo número
representa a posição ao longo do eixo y.
Ao conectar pontos no plano cartesiano, podemos criar linhas, curvas e formas geométricas que nos
permitem visualizar e analisar uma variedade de problemas matemáticos e cientí�cos. Imagine, então,
que você leva, para sua turma, uma atividade diferente, um estudo de caso, cujo contexto é:
Uma equipe de cientistas está realizando uma expedição em um ambiente remoto e desconhecido,
onde a topogra�a é acidentada e a navegação tradicional é difícil. A equipe precisa coletar dados e
amostras em locais especí�cos para sua pesquisa, mas enfrenta o desa�o de se locomover com
precisão pelo terreno acidentado e encontrar os pontos de interesse.
Para instigar a turma a trabalhar plano cartesiano, você propõe o seguinte:
O desa�o é utilizar um sistema de GPS integrado com o plano cartesiano para navegar com
precisão pelo ambiente e alcançar os pontos de interesse para coleta de dados.
Dessa maneira, você trabalhará não apenas o seu conteúdo, como outras disciplinas, pois, ao integrar
diferentes disciplinas em uma aula, os alunos têm a oportunidade de entender como o conhecimento é
aplicado em diferentes contextos da vida real. Isso ajuda a tornar o aprendizado mais signi�cativo e
relevante para eles. Além disso, aulas interdisciplinares oferecem uma abordagem educacional que
integra conceitos, métodos e conteúdos de diferentes disciplinas, proporcionando uma visão mais ampla
e contextualizada do conhecimento. Vamos aprender a lidar com problemas que exigem soluções com
auxílio do plano cartesiano? A�nal, o que é plano cartesiano? Vamos juntos nessa empreitada!
Vamos Começar!
Os termos plano cartesiano e produto cartesiano são tributos ao seu inventor, o �lósofo e matemático
francês René Descartes (1596-1650). Seu nome em latim, Cartesius, é a origem da palavra “cartesiano”.
Plano cartesiano
O plano cartesiano ortogonal é formado por dois eixos, 
X (OX)
Y  (OY ),
OY
x
y
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Cada eixo no sistema é associado ao conjunto de números reais, criando o que é conhecido como o
sistema de coordenadas cartesianas, ou simplesmente, plano cartesiano. Isso permite que cada ponto
dentro deste plano seja identi�cado através de um par de números, chamados de coordenadas, nas quais
um número corresponde à posição no eixo 
Bueno (2017, p.166) explica que:
Em um conjunto, não temos um elemento que “vem antes” e outro que “vem depois”. Os elementos não
estão ordenados em um conjunto. Um conjunto é como uma sacola de supermercado. Os produtos da
sua compra no supermercado estão na sacola ou não estão na sacola, mas não seguem nenhuma
ordem. O conjunto A= {açúcar, manteiga, macarrão} é igual ao conjunto B= {macarrão, manteiga, açúcar}.
Um exemplo de objeto matemático em que a ordem na qual os elementos aparecem tem que ser levada
em conta é o par ordenado.
Siga em Frente...
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos não vazios A e B é o conjunto de todos os possíveis pares
ordenados 
E temos que, se A possui 
x
y.
(x, y)
x
x
(x, y)
(y,x)
x
y
(x, y)
x
y
A × B = {(x, y)} : x  ∈  A e y  ∈ B}
m
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Dados    e    o produto cartesiano    12 pares ordenados. 
Dados  , o produto cartesiano    tem 16 pares
ordenados.
O produto cartesiano entre um conjunto A e o conjunto vazio resulta em um conjunto vazio. Da mesma
forma, se o conjunto vazio é combinado através do produto cartesiano com qualquer conjunto A, o
resultado também será um conjunto vazio. Assim, se 
O produto cartesiano é fundamental na de�nição de espaços 
Relações no plano cartesiano
Sejam A e B conjuntos não vazios. Relações no plano cartesiano 
Relações podem ser de�nidas por alguma expressão matemática. Por exemplo:
Considere os conjuntos 
Sinais no plano cartesiano
n
A × B 
m × n
A = {a,  b,  c,  d} B = 1, 2, 3, A × B
A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (d, 1), (d, 2), (d, 3)}.
A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5} A × B
A × B = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2)
A = ∅ ou B = ∅
A × ∅ = ∅ = ∅ × B
n
R × R ou R2.
R3 = R × R × R
A × B
A × B
R  A  → B
A = {4, 5, 6, 7, 8} e B = {5, 6, 7, 8, 9, 10}.
R = {(a, b) ∈ A × B | y  =  2x} = {(4, 8),  (5, 10)}
R = {(a, b) ∈ A × B|y = x + 1} = {(4, 5), (5, 6), (6, 7), (7, 8), (8, 9)}
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Quadrante Sinal de x Sinal de y Ponto
Origem não há não há (0,0)
Primeiro + +
Segundo − +
Terceiro − −
Quarto + −
Quadro 1 | Sinais nos quadrantes.
Vamos Exercitar?
Agora que compreendemos plano cartesiano e suas propriedades, podemos utilizá-lo para auxiliar na
resolução do nosso estudo de caso.
A resolução para o desa�o proposto envolve a integração do sistema de GPS com o plano cartesiano
para navegar com precisão pelo ambiente e alcançar os pontos de interesse para coleta de dados. O
plano cartesiano fornece um sistema de coordenadas cartesianas, com eixos 
Inicialmente, a equipe precisa mapear os pontos de interesse em um sistema de coordenadas
cartesianas, atribuindo coordenadas 
Com as coordenadas cartesianas dos pontos de interesse e a localização atual fornecida pelo GPS, a
equipe pode então traçar um caminho preciso no plano cartesiano para alcançar cada ponto de
interesse. Isso pode ser feito utilizando técnicas de geometria analítica, como cálculo de distâncias e
ângulos, para determinar a rota mais e�ciente para alcançar cada ponto.
A justi�cativa para utilizar essa abordagem é que o plano cartesiano fornece uma representação visual
clara do terreno e dos pontos de interesse, facilitando a navegação e a orientação da equipe. Além disso,
a integração com o sistema de GPS garante precisão na determinação da localização atual e dos pontos
de interesse, permitindo que a equipe colete dados de forma e�ciente e segura em um ambiente remoto
e desconhecido.
Para além do desa�o fornecido, podem ser trabalhadasmassa.
2. Elefantes têm 80kg de massa.
3. Seres humanos têm 0,1g de massa.
Conclusão: formigas têm menos massa do que os seres humanos.
Considerando as a�rmações 1, 2 e 3 como verdadeiras, o que podemos dizer sobre a conclusão?
Solução
Aceitando como verdadeiras as a�rmações 1, 2 e 3 dentro da lógica do argumento, a ideia de que
formigas são mais leves que seres humanos não se sustenta. Isso porque, mesmo que formigas tenham
de fato menos massa que humanos, na lógica, o que nos importa é a estrutura do raciocínio, isto é, como
as premissas levam à conclusão. Do ponto de vista lógico, a exatidão factual das proposições não é o
foco, mas sim se a conclusão deriva logicamente das premissas apresentadas. Portanto, seguindo as
proposições 1, 2 e 3, devemos considerar a conclusão de que “formigas têm menos massa que seres
humanos” como incorreta, independentemente da realidade factual de que formigas reais sejam mais
leves que humanos reais.
Para que aconteça a neutralidade na observação da proposição, é necessário compreender o que de fato
se constitui como proposição, uma vez que todos os argumentos são sustentados por ela. Uma
proposição refere-se a uma a�rmação declarativa completa que possui uma única associação com um
valor lógico, podendo ser verdadeira (V) ou falsa (F). São exemplos de proposições:
O gato é tricolor.
Nicole vai viajar.
Se Edu for aprovado, então irá para o 5º ano.
Existem sentenças nas quais não é possível identi�car uma a�rmação clara e, por isso, não é possível
associar um valor lógico, não sendo consideradas proposições; por exemplo:
Hoje é quarta?
Que casa bonita!
Identi�car uma proposição é fundamental dentro da lógica e do processo de raciocínio, pois permite a
avaliação da validade dos argumentos. As proposições são os blocos de construção estruturais de um
argumento, e reconhecê-las é vital para examinar a validade do raciocínio proposto.
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Vamos Exercitar?
Agora que você já sabe distinguir entre erro material e erro formal, vamos retornar a nossa situação
inicial. Nela, devemos considerar as a�rmações que seguem e analisar se existe erro material ou erro
formal.
1. A área do Brasil é maior que a área da Argentina.
2. A área do Peru é maior que a área da Argentina.
3. A área da Argentina é maior que a área da Guatemala.
Conclui-se que:
4. A área da Guatemala é maior que a área do Peru.
Se considerarmos em primeiro momento que as três primeiras a�rmações são verdadeiras, então é
válido que: área do Brasil é maior que a área da Argentina; área do Peru é maior que a área da Argentina;
área da Argentina é maior que a área da Guatemala. Dessas desigualdades, podemos a�rmar que área do
Peru é maior que a área da Argentina, que é maior que a área da Guatemala. Assim, do ponto de vista
lógico, a a�rmação 4 é falsa. Logo, concluir que a a�rmação 4 é verdadeira seria um erro lógico.
No entanto, ao considerar as informações de extensão, temos que a área do Brasil é de
aproximadamente 8.510.000 km², a área da Argentina é aproximadamente 2.780.000 km², a área do Peru
é aproximadamente 1.285.000 km², e a área da Guatemala é aproximadamente 108.889 km²; então, do
ponto de visto material as a�rmações 1 e 3 são verdadeiras e a a�rmação 2 é falsa; portanto, a a�rmação
4 é falsa do ponto de vista material.
Saiba mais
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante na resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Para melhorar seu entendimento sobre os conceitos fundamentais da lógica formal, aconselhamos a
leitura do capítulo 1 – Lógica do livro Introdução à lógica matemática para acadêmicos, de Marcos
Antônio Barbosa (2017). Ao �nal da leitura, realize as atividades de autoavaliação propostas. Bons
estudos!
Referências
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 5 mar 2024.
BARBOSA, Marcos Antônio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 7 mar 2024.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à Lógica
Matemática. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 6 mar. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 mar. 2024.
LÓGICA. 2017. In: OXFORD, Dicionário Online Português-Inglês.
MORAIS. 2012.
Aula 2
Proposições lógicas
Proposições lógicas
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Dica para você
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Olá, estudante! Começamos a aprender sobre lógica matemática, e agora vamos estudar mais sobre
proposições simples e compostas. É importante entender bem isso para saber analisar qualquer
argumento corretamente.
A lógica nos ajuda a avaliar se argumentos estão certos ou errados, a perceber erros de raciocínio e a
criar argumentos fortes. Além disso, é muito útil em várias áreas, especialmente em matemática. Saber
sobre proposições lógicas é fundamental para entender e criar teoremas matemáticos e resolver
problemas de matemática de forma organizada.
Ponto de Partida
Começamos nossa jornada entendendo o que é lógica matemática, e agora avançaremos, focando nas
proposições simples e compostas. Esse aprofundamento no estudo das proposições lógicas é vital para
conseguirmos olhar com criticidade todo raciocínio que o compõe.
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
A lógica, como disciplina, não só fornece um quadro para avaliar argumentos, identi�car falácias e
construir raciocínios sólidos, mas também desempenha um papel essencial em diversas áreas do
conhecimento. Em particular, no âmbito da matemática, entender as proposições lógicas é crucial para
formular e compreender teoremas matemáticos, assim como para abordar problemas matemáticos de
maneira sistemática.
Ao explorar as proposições simples e compostas, estabelecemos uma base sólida para analisar a
estrutura lógica presente em diversos contextos. Essa análise lógica não apenas aprimora nossa
habilidade de resolver problemas complexos, mas também contribui para uma tomada de decisões mais
informada em diferentes áreas da vida, nas quais o raciocínio claro e crítico é crucial.
Nesta aula, concentraremos nossos estudos nas proposições e nos conectivos lógicos. Para ilustrar a
aplicação desses conceitos, considere a situação em que você está se preparando para um concurso e
se depara com as seguintes a�rmações:
Adriana está feliz ou Ricardo é cozinheiro.
Faz calor em Diadema e o trânsito está intenso.
O cachorro late se, e somente se, o carteiro entrega a correspondência.
Maria não é farmacêutica.
Como tarefa, você deve transpor essas proposições para sua forma simbólica. Para tal, é necessário
aprender a representar uma proposição. Vamos começar nossos estudos?
Vamos Começar!
Vimos anteriormente que proposições são sentenças de sentido completo, que podem assumir um valor
lógico de verdadeiro (V)diversas aplicações práticas dos planos
cartesianos, tais como:
Engenharia civil e arquitetura: no planejamento e construção de edifícios, estradas e infraestrutura
urbana, o plano cartesiano é usado para projetar e representar as dimensões e localizações
precisas de estruturas e componentes.
(x, y)
(−x, y)
(−x, −y)
(x, −y)
x
y
(x, y)
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Geogra�a e mapeamento: na cartogra�a, o plano cartesiano é essencial para representar a
superfície da Terra em mapas, permitindo a localização exata de lugares, fronteiras e
características geográ�cas.
Física e engenharia: em disciplinas como cinemática e dinâmica, o plano cartesiano é usado para
representar o movimento de objetos e sistemas, bem como para calcular vetores de força e direção
em problemas de mecânica.
Economia e estatística: na análise de dados econômicos e estatísticos, o plano cartesiano é usado
para representar grá�cos de dispersão, séries temporais e modelos matemáticos que ajudam a
entender padrões e tendências.
Ciências da computação: em programação e design de software, o plano cartesiano é utilizado para
representar e manipular grá�cos, interfaces de usuário e sistemas de coordenadas em ambientes
virtuais e jogos digitais.
Biologia e medicina: na análise de dados biológicos, como sequências de DNA e resultados de
testes clínicos, o plano cartesiano é usado para representar dados em grá�cos e visualizações que
ajudam os pesquisadores a entender padrões e correlações.
Essas são apenas algumas das muitas aplicações práticas do plano cartesiano, destacando sua
importância em uma variedade de campos e disciplinas.
Saiba mais
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante da resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre a lógica matemática, sugerimos a leitura do
capítulo 3 – “Conjuntos e relações”, do livro Elementos da Matemática, de José de França Bueno (2017).
Ao �nal do capítulo, selecione alguns exercícios e resolva-os. Bons estudos!
Referências
ARAÚJO, Luciana M. M.; FERRAZ, Mariana S. A.; LOYO, Tiago; et al. Fundamentos de matemática. Porto
Alegre: Grupo A, 2018. E-book. ISBN 9788595027701. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595027701/. Acesso em: 2 abr. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 10 abr. 2024.
Aula 5
Encerramento da Unidade
Videoaula de Encerramento
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
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Dica para você
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Olá, estudante! Nesta videoaula, vamos explorar conceitos fundamentais de conjuntos, conjuntos
numéricos, plano cartesiano e suas relações. Vamos aprender sobre seus elementos, como representá-
los e compreender suas propriedades. Esses conceitos são cruciais não apenas na matemática, mas
também em várias áreas pro�ssionais, como ciência da computação, engenharia, economia, estatística e
até mesmo nas ciências biológicas, sociais e humanas. Eles formam a base da matemática, e são
essenciais para resolver problemas complexos e modelar sistemas do mundo real. Esteja preparado para
embarcar nessa jornada de conhecimento! Vamos começar!
Ponto de Chegada
Temos visto que a matemática é uma disciplina vasta e fascinante, com suas raízes �ncadas
profundamente na lógica e na abstração. Um dos conceitos fundamentais que servem de alicerce para
toda a matemática é o de conjuntos. A teoria dos conjuntos forma a base sobre a qual se erguem
diversas áreas do conhecimento matemático, desde a aritmética até a análise complexa e a lógica
matemática.
Um conjunto é uma coleção de objetos distintos, chamados elementos. Por exemplo, o conjunto dos
primeiros cinco números naturais é representado por A={1, 2, 3, 4, 5}. Cada número dentro das chaves é
um elemento do conjunto A.
Representação para conjuntos
Conjuntos são frequentemente representados por letras maiúsculas (como A, B, C) e seus elementos são
listados entre chaves (enumerados) ou descritos por uma propriedade comum.
Por exemplo, 
Relação de inclusão e pertinência
Pertinência: um elemento 
B = x ∈ N ∣ x é par
x
x
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Escrevemos 
Inclusão: um conjunto A está contido em um conjunto B se todos os elementos de A também são
elementos de B. Isso é denotado por 
Operações com conjuntos
União: a união de A e B, denotada por 
Intersecção: a intersecção de A e B, denotada por 
A diferença entre dois conjuntos A e B, denotada por A – B, é o conjunto de elementos que estão em A
mas não em B.
Complementar de um conjunto: o complemento de um conjunto A, denotado por 
Tipos de conjuntos numéricos
Naturais 
Inteiros 
Racionais 
Irracionais 
x ∈ A
A ⊂ B.
A ∪ B
A ∩ B
AC
(N)
(Z)
(Q)
a
b
a
b
b ≠ 0
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Reais 
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, denotado por 
Relações
Uma relação R entre dois conjuntos A e B é um subconjunto do produto cartesiano 
Se o par (a, b) pertence a R, dizemos que a está relacionado a b pela relação R. Relações podem ser
caracterizadas por propriedades como re�exividade, simetria, transitividade, entre outras, que
determinam as características e o comportamento da relação em diferentes contextos.
O estudo da teoria de conjuntos é fundamental para a matemática, fornecendo a base para tópicos como
teoria dos números, álgebra e análise. Compreender como os conjuntos se interrelacionam e operam
entre si é crucial para explorar diversas áreas da matemática e suas aplicações teóricas e práticas.
É Hora de Praticar!
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O parque de diversões
Você está planejando uma excursão para um parque de diversões que acaba de ser inaugurado na
cidade. O parque é conhecido por suas atrações inovadoras e temáticas, distribuídas estrategicamente
em quatro quadrantes diferentes, seguindo um sistema de coordenadas cartesianas para facilitar a
localização.
Mapa do parque: o parque é dividido em quatro áreas temáticas, representadas pelos quadrantes do
plano cartesiano.
Quadrante I: Área Tecnológica, onde as atrações são baseadas em avanços tecnológicos e realidade
virtual.
(I)
π e √2.
(R)
A × B
a ∈ A e b ∈ B
A × B
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Quadrante II: Mundo Histórico, com atrações que remetem a diferentes épocas históricas.
Quadrante III: Natureza Selvagem, focada em montanhas-russas e atrações aquáticas que simulam
aventuras na selva.
Quadrante IV: Galáxia Espacial, oferecendo experiências intergalácticas e simulações de viagens
espaciais.
Você e seus amigos decidiram que cada um visitaria uma atração em cada quadrante, mas todos querem
se encontrar para almoçar juntos ao meio-dia no centro do parque (ponto (0,0)) e, novamente, ao �nal do
dia, para assistir ao show de fogos de artifício, que acontece em um ponto estratégico escolhido para
oferecer a melhor vista, localizado no ponto (-3,4).
Planeje a rota de cada amigo para maximizar o tempo em cada atração, considerando que o parque abre
às 9h e que eles precisam de aproximadamente 30 minutos para se deslocar de uma atração para outra.
Determinequais atrações cada um visitará em cada quadrante, sabendo que eles querem experimentar
atrações diferentes para depois compartilhar suas experiências.
Calcule o tempo total de deslocamento necessário para que todos se encontrem para o almoço e,
posteriormente, para o show de fogos de artifício, considerando as localizações iniciais das atrações
escolhidas.
Como organizar o itinerário de cada amigo para otimizar o tempo disponível?
Qual seria a distância total percorrida por cada um, considerando os pontos de encontro para o
almoço e o show de fogos?
Como as escolhas das atrações in�uenciam no tempo total de deslocamento durante o dia?
Este problema envolve conceitos de planejamento, cálculo de distâncias no plano cartesiano e a
aplicação de estratégias para otimização de tempo e experiências no parque.
Como o estudo de conjuntos pode ser aplicado em situações do mundo real, além do contexto
matemático?
Quais são os principais desa�os que surgem ao lidar com conjuntos in�nitos e como esses
desa�os podem ser abordados?
Como o conceito de conjuntos pode ser utilizado para representar e resolver problemas de
otimização em diferentes contextos, como logística, economia e engenharia?
Vamos supor que você e seus amigos tenham escolhido as seguintes atrações para visitar em cada
quadrante do parque:
Quadrante I: Área Tecnológica
Amigo 1: Simulador de Realidade Virtual
Amigo 2: Montanha-Russa Futurista
Quadrante II: Mundo Histórico
Amigo 3: Labirinto Medieval
Amigo 4: Experiência da Era Viking
Quadrante III: Natureza Selvagem
Amigo 5: Montanha-Russa Aquática na Selva
Amigo 6: Safari de Aventura
Quadrante IV: Galáxia Espacial
Amigo 7: Viagem Interplanetária
Amigo 8: Encontro com Alienígenas
Agora, vamos planejar as rotas de cada amigo e calcular a distância total percorrida até os pontos de
encontro.
Planejamento das rotas
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Todos os amigos começam nas atrações escolhidas nos quadrantes.
Após visitar as atrações, eles se encontram para o almoço no ponto (0,0).
Depois do almoço, eles se dirigem para o ponto de encontro para o show de fogos de artifício, localizado
em (-3,4).
 Cálculo das distâncias
Calcularemos a distância percorrida por cada amigo para encontrar o ponto de encontro para o almoço e
o show de fogos de artifício usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano: 
Justi�cativa
A escolha das atrações foi feita de forma a garantir que cada amigo visite uma atração diferente em cada
quadrante, maximizando a diversidade de experiências.
Os pontos de encontro para o almoço e o show de fogos de artifício foram escolhidos de forma
estratégica para serem acessíveis a partir das diferentes localizações das atrações escolhidas pelos
amigos.
Com isso, podemos determinar as rotas especí�cas de cada amigo e calcular as distâncias totais
percorridas durante o dia.
d = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 1 | Mapa mental acerca da teoria de conjuntos.
ARAÚJO, Luciana M. M.; FERRAZ, Mariana S. A.; LOYO, Tiago; et al. Fundamentos de matemática. Porto
Alegre: Grupo A, 2018. E-book. ISBN 9788595027701. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595027701/. Acesso em: 2 abr. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788595027701/
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 10 abr. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 abr. 2024.
VILLAR, Bruno. Raciocínio lógico-matemático facilitado. São Paulo: Grupo GEN, 2019. E-book. ISBN
9788530987367. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788530987367/.
Acesso em: 13 abr. 2024.
,
Unidade 4
Introdução às funções
Aula 1
Função
Função
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Dica para você
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Olá, estudante! Nesta videoaula, você vai conhecer o mundo das funções matemáticas. Vamos mergulhar
na de�nição de função; explorar o domínio, contradomínio e a imagem; e aprender a interpretar grá�cos
de uma função. Prepare-se para transformar sua compreensão sobre como as funções operam, tanto na
teoria quanto na prática. Ao dominar essas abordagens, tornamo-nos capazes de comunicar situações-
problema de forma precisa e convincente, contribuindo signi�cativamente para nosso crescimento
intelectual e para o avanço do conhecimento em nosso campo de estudo. Agora é sua vez, vamos juntos
explorar esses conceitos e aprendermos funções?
Ponto de Partida
Analise a situação problema a seguir.
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https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Uma cafeteria popular está introduzindo uma nova bebida especial que precisa ser preparada em
proporções especí�cas para garantir a qualidade do sabor. A bebida é feita misturando-se café, leite e
uma essência especial em frações especí�cas do volume total da bebida.
Essa cafeteria planeja vender a bebida em copos de tamanhos diferentes, variando de 200ml a 500ml.
Eles precisam de uma função que calcule a quantidade de cada ingrediente necessário, baseado no
volume total do copo.
Objetivo: criar uma função matemática que determine a quantidade de café, leite e essência
especial necessária para qualquer volume dado do copo. Além disso, analisar o domínio,
contradomínio e imagem da função para garantir a adequação das proporções.
Para resolver situações problemas cotidianas, as funções são bastante importantes, mesmo que nem
sempre estejamos conscientes disso. Nessa situação em especí�co, precisaremos estruturar uma
função que dê uma espécie de receita. Mas quais conhecimentos acerca de funções precisamos ter? O
que é o domínio? O que varia em uma função? Qual o contradomínio e a imagem?
Para responder a essas perguntas precisaremos entender o que são as funções. Vamos começar nossos
estudos?
Vamos Começar!
Leonhard Euler (1707-1783), um matemático suíço que também teve formações em medicina, teologia e
astronomia, contribuiu extensivamente para praticamente todos os campos da matemática, tanto pura
quanto aplicada. Ele se destacou particularmente na análise matemática, explorando processos in�nitos
e re�nando o conceito de função. Euler introduziu o uso do símbolo 
De�nição
Por de�nição, temos que uma função f de A em B é uma relação em que associa para cada variável 
 um único 
 Uma das notações mais usadas para funções é
Domínio, contradomínio e imagem
Considere os conjuntos A = {4, 5, 6, 7, 8} e B = {5, 6, 7, 8, 9, 10} e a relação R dada por R={(a,b) A × B | 
f(x)
x
x  ∈  A
y  ∈  B
x  ∈  A
y  ∈  B
f  :  A ⟶  B
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 1 | Diagrama de R = {(4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9)}
No diagrama, X está relacionado ao domínio; o domínio de uma relação 
O contradomínio são os possíveis valores que a função pode assumir; no caso da relação R
exempli�cada, seria o conjunto B. O contradomínio também é conhecido como conjunto de chegada, pois
as setas “apontam, chegam” até ele.
A imagem de 
 é o conjunto de todos os elementos de Y que são imagens de pelo menos um elemento do conjunto X.
Este conjunto é representado como Im(R). No exemplo dado,o conjunto imagem seria I = {5, 6, 7, 8, 9}.
Note que, no exemplo, há o numeral 10 no contradomínio, ou seja, ele poderia ser um resultado, no
entanto, ao aplicar a propriedade da relação 
 , nenhuma resposta resultou em 10; logo, 10 não é uma imagem da função.
Embora possa acontecer de o domínio coincidir com o conjunto de partida e a imagem coincidir com o
conjunto de chegada, o domínio sempre é um subconjunto do conjunto de partida, e a imagem é
y  =  x  +  1
R  :  X  →  Y
R  :  X  →  Y
R  :  X  →  Y
x  +  1
x  +  1
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
invariavelmente um subconjunto do conjunto de chegada.
Uma função é uma relação, mas nem toda relação é uma função, pois, para ser função, todos os
elementos do domínio precisam ser associados a um elemento do contradomínio. Observe que podem
sobrar elementos no contradomínio sem associação, mas no domínio não.
Figura 2 | Diagrama de setas para 
, com valores escolhidos para 
f (x)  =  5 x
x
f (x)  =  5 x
x
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 3 | Diagrama de setas para uma relação que não é função
Na Figura 2, todos os elementos do domínio são associados a um elemento do contradomínio e, mais
especi�cadamente, cada elemento do domínio está associado a um único elemento no contradomínio.
Já na Figura 3, a relação não é função, pois há elementos “sobrando” no domínio.
Para de�nir uma função, é necessário apresentar sua lei de formação e seu domínio.
Notação de função
Lembre-se: uma função é uma relação de um conjunto A em um conjunto B tal que para todo elemento 
x  ∈  A
y  ∈  B  ∨  ( x ,  y)  ∈  f
f
y = f(x)
x  ∈  D (f)
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Siga em Frente...
Grá�co de função
Os grá�cos de funções são representações visuais que ajudam a entender como uma função mapeia
elementos de um conjunto (o domínio) para outro conjunto (o contradomínio). Para funções de uma
variável real, o grá�co é geralmente uma curva em um sistema de coordenadas cartesianas, onde a
abscissa (eixo horizontal) representa o domínio da função e a ordenada (eixo vertical) representa o
contradomínio.
Tipos comuns de grá�cos de funções
1. Função linear (a�m)
Equação geral: 
O grá�co é uma linha reta com inclinação e intercepto com o eixo vertical.
2. Função quadrática
Equação geral: 
O grá�co é uma parábola, que pode abrir para cima (se  ) ou para baixo (se  ). O
vértice da parábola é o ponto mais alto ou mais baixo da curva, dependendo da direção em
que a parábola abre.
3. Função cúbica
Equação geral: 
O grá�co é uma curva que pode ter um ou dois pontos de in�exão e varia de   a 
 tanto no domínio quanto no contradomínio. A forma da curva depende dos coe�cientes 
 e 
4. Função exponencial
Equação geral:     (onde   e   )
O grá�co mostra um crescimento ou decaimento exponencial dependendo se 
 (crescimento) ou   (decaimento). A função nunca toca o eixo horizontal, mas se
aproxima dele à medida que   se torna negativo.
5. Função logarítmica
Equação geral:     (onde   e   )
O grá�co é a curva inversa da função exponencial, cruzando o eixo horizontal em   e se
aproximando do eixo vertical, mas nunca o tocando.
�. Função trigonométrica (como seno e cosseno)
Equações gerais:   e 
Os grá�cos são ondas periódicas com amplitudes e períodos que podem ser ajustados. Eles
são úteis para modelar fenômenos que se repetem em intervalos regulares.
y  ∈  I (f)
f
f  =  {(x ,  y) ,  x  ∈  D(f) ,  y  ∈  I(f) ,  y  =  f(x)} .
f ( x )  =  ax  +  b
f ( x )  =  ax2  +  bx  +  c
a  >  0 a   0 a  ≠  1
a  >  1
0   0 a  ≠  1
x  =  1
f ( x )  =   sin  ( x ) f ( x )  =   cos  ( x )
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
A maneira mais elementar, embora trabalhosa, de esboçar o grá�co de uma função consiste em criar
uma tabela que relacione valores de 
 do domínio da função aos correspondentes valores de 
 no conjunto imagem.
Exemplo: considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B= {1, 3, 5, 6, 7, 8} e a função 
 I 
 Assim, para construir a tabela, considere na primeira coluna os elementos do domínio e na segunda
coluna os elementos, porém operados na relação 
0 2.0 +1= 1
1 2.1 +1= 3
2 2.2 +1= 5
3 2.3 +1= 7
Tabela 1 | Valores 
Então, a partir da tabela, apresentamos os pontos (x,y) no plano cartesiano.
x
y
x
y
f  :  A  →  B
f ( x )  =  2 x  +  1
2 x  +  1
f  :  A  →  B
f ( x )  =  2 x  +  1
2 x  +  1
x f ( x )  =  2 x  +  1
f ( x )  =
f ( x )  =
f ( x )  =
f ( x )  =
y  =  f ( x )  =  2 x  +  1
y  =  f ( x )  =  2 x  +  1
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 4 | Representação dos pontos (x,y) no plano cartesiano
Em seguida, traçamos uma reta ou curva ligando os pontos; nesse caso do exemplo, por ser uma função
do primeiro grau, teremos o grá�co na forma de reta.
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 5 | Grá�co da função 
Outra maneira de plotar grá�cos é por meio de calculadora grá�cas ou softwares de computadores; fazer
grá�cos digitalmente é geralmente mais rápido e permite uma exploração mais dinâmica das
propriedades das funções, especialmente para funções complexas, ou quando você está aprendendo
conceitos novos. No entanto, seja à mão ou em computadores, esboçá-los é fundamental.
Vamos Exercitar?
f ( x )  =  2 x  +  1
f ( x )  =  2 x  +  1
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Resolução do problema anteriormente apresentado.
Função de preparação da bebida 
onde:
v é o volume total do copo em ml.
 (50% do volume é café)
 (37.5% do volume é leite)
 (12.5% do volume é essência especial)
Análise e resolução
Domínio: o domínio de B(v) é o conjunto de todos os possíveis volumes de copos que a cafeteria oferece,
de 200 ml a 500 ml. Portanto, o domínio é [200,500].
Contradomínio: o contradomínio é o conjunto de todos os possíveis trios de volumes de café, leite e
essência que podem ser preparados. Matematicamente, é o conjunto de todos os trios 
 tal que v pertence ao domínio.
Imagem da função: a imagem de B é o conjunto de valores especí�cos que B(v) pode assumir, calculados
diretamente através da inserção de valores do domínio na função.
Por exemplo, se v=200 ml, então 
Se v=500 ml, então 
Conclusão
Essa função matemática permite que os funcionários da cafeteria calculem rapidamente e com precisão
a quantidade de cada ingrediente necessário para qualquer tamanho de copo oferecido, garantindo a
consistência da bebida. Além disso, a análise de domínio, contradomínio e imagem ajuda a veri�car se as
proporções dos ingredientes são mantidas para qualquer volume de bebida servido.
Saiba mais
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante da resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Para melhorar seu entendimento sobre os conceitos fundamentais de funções, aconselhamos a leitura
da seção 4.1 – “Funções”, do livro Elementos da matemática, de José de França Bueno (2017). Ao �nal
da leitura, realize as atividades de autoavaliação propostas. Bons estudos!
B ( v )
B ( v )
B ( v )  =  ( c ( v ) ,  l ( v ) ,  e ( v ))
c ( v )  =   1
2 v
1 ( v )  =   3
8 v
e ( v )  =   1
8 v
( c ( v ) ,  l ( v ) ,  e ( v ))
( c ( v ) ,  l ( v ) ,  e ( v ))
B ( 200 )  =  ( 100, 75, 25 ) ml
B ( 500 )  =  ( 250, 187. 5, 62 . 5 ) ml
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Referências
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 20 abr. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 17 abr. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage LearningBrasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 16 abr. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 18 abr. 2024.
Aula 2
Função A�m
Função A�m
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Dica para você
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ainda mais completa.
Olá, estudante! Nesta videoaula, você vai conhecer o mundo das funções matemáticas. Vamos estudar a
de�nição de função a�m, explorar a construção e interpretação de seus grá�cos, e aprender acerca dos
zeros de uma função a�m. Prepare-se para transformar sua compreensão sobre como as funções a�ns
operam, tanto na teoria quanto na prática. Ao dominar essas abordagens, tornamo-nos capazes de
comunicar situações-problema de forma precisa e convincente, contribuindo signi�cativamente para
nosso crescimento intelectual e para o avanço do conhecimento em nosso campo de estudo. Agora é a
sua vez! Vamos juntos descobrir mais sobre funções a�ns?
Ponto de Partida
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Vamos considerar uma situação problema envolvendo uma função a�m que pode ser aplicada em um
contexto do cotidiano, mais especi�camente, no planejamento �nanceiro de uma empresa de pequeno
porte que aluga equipamentos. Essa situação permitirá que exploremos como a função a�m se aplica na
previsão de custos e receitas.
Contexto
Uma pequena empresa aluga máquinas para construção. O custo para a empresa manter cada máquina
é �xo, independentemente do número de aluguéis, e há um custo variável que é diretamente proporcional
ao número de máquinas alugadas. A empresa cobra um valor �xo por máquina alugada.
Custo �xo mensal total: R$1500 (manutenção, espaço de armazenamento, etc.)
Custo variável por máquina alugada: R$20 (combustível, desgaste, pequenos reparos)
Preço de aluguel por máquina: R$100
O objetivo é determinar a função de custo, a função de receita, e calcular o ponto de equilíbrio
(quantidade de máquinas alugadas necessárias para cobrir todos os custos).
Para resolver situações problemas cotidianas, as funções são bastante importantes, mesmo que nem
sempre estejamos conscientes disso. Nessa situação em especi�co precisaremos estruturar uma função
a�m que dê uma espécie de receita mensal. Mas quais conhecimentos acerca de funções precisamos
ter? Como alcançar o objetivo por meio das funções? Para responder a essas perguntas, precisaremos
entender o que são as funções a�ns. Então, vamos começar nossos estudos?
Vamos Começar!
Função a�m
Sejam 
a
b
a ≠ 0
f  : R → R
x  ∈  R
f(x) = ax + b
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 1 | Esboço de grá�co de função a�m
Função linear
Seja 
a
f  : R → R
x  ∈  R
f(x) = ax
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 2 | Esboço de grá�co de função linear
A constante 
Características da função a�m
Linearidade: o grá�co de uma função a�m é uma reta. Isso é uma característica de�nidora das
funções a�ns.
Coe�ciente angular ( ): determina a inclinação da reta. Se   é positivo, a reta cresce à medida que
se move da esquerda para a direita no grá�co. Se é negativo, a reta decresce.
a
b
a a
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Coe�ciente linear ( ): mostra onde a reta cruza o eixo y. Se   é zero, a reta passa pela origem do
sistema de coordenadas.
Taxa de variação: o coe�ciente    também representa a taxa de variação da função. Isso signi�ca
que para cada unidade que aumenta, aumenta unidades.
Domínio e imagem: o domínio de uma função a�m é todo o conjunto dos números reais, ou seja, ela
está de�nida para qualquer valor de  . A imagem também é todo o conjunto dos números reais,
mostrando que   pode assumir qualquer valor real dependendo de  .
Exemplos de funções a�ns
Função identidade:  ; o grá�co da função identidade é uma reta que divide o primeiro e
também o terceiro quadrantes em duas partes iguais.
Função constante:   (neste caso,    , embora tecnicamente, funções com   não
sejam consideradas a�ns no contexto estrito, elas são casos especiais em que a “reta” é
horizontal).
b b
a
x
y x
f(x) = x
f(x) = b a = 0 a = 0
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 3 | Esboço de grá�co de função constante.
Siga em Frente...
Zeros de uma função a�m
O zero de uma função a�m, também chamado de raiz ou ponto de intersecção com o eixo 
x
x
f(x) = ax + b
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Passos para encontrar o zero da função.
1. Estabeleça a função igual a zero: 
2. Isole 
3. Resolva.
Exemplo
Considere a função a�m 
1. Igualar a função a zero: 
2. Isole x e resolva.
Portanto, o zero da função exempli�cada é 
No grá�co, o zero da função é onde a reta representada pela função a�m cruza o eixo 
O zero de uma função a�m é fundamental em diversas áreas como economia, engenharia e ciências
naturais. Ele pode representar, por exemplo, o ponto de equilíbrio em análises econômicas, onde as
receitas e despesas se igualam. Em geometria e em grá�cos, o zero da função indica onde o grá�co da
função cruza o eixo 
a + b = 0
x
2x + 5
2x + 5 = 0
2x + 5 = 0
2x + 5 = 0
2x = −5
2x = −5
x = −5
2
x = −5
2
−5
2
y
x = −5
2
x
x
f(x) = b
x
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Sinal da função a�m
Tome como ponto de partida a função a�m canônica, dada por .
Se   , a função é crescente, ou seja, aumenta à medida que   aumenta.
Figura 4 | Esboço de grá�co de função crescente
Se   , a função é decrescente, ou seja, diminui à medida que   aumenta.
x
a > 0 x
ado número de unidades alugadas. O cálculo do ponto de equilíbrio é essencial para a
empresa entender a quantidade mínima de aluguéis necessários para não ter prejuízo. Situações como
essa são comuns em vários setores da economia e demonstram a aplicabilidade prática das funções
a�ns no mundo dos negócios.
Saiba mais
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante da resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Para melhorar seu entendimento sobre os conceitos fundamentais de funções, aconselhamos a leitura
da seção 4.1 – “Funções”, do livro Elementos da matemática, de José de França Bueno (2017). Ao �nal
da leitura, realize as atividades de autoavaliação propostas. Bons estudos!
Referências
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 20 abr. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 17 abr. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 16 abr. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 18 abr. 2024.
x = 1500
80
x = 18, 75
x = 18, 75
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Aula 3
Função Quadrática
Função Quadrática
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Dica para você
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Olá, estudante! Nesta videoaula, você vai conhecer o mundo das funções quadráticas. Vamos explorar a
de�nição dessas funções, entender como encontrar seus zeros e adentrar no estudo do vértice. Descubra
como as funções quadráticas modelam uma variedade de fenômenos do mundo real e a importância de
identi�car seus principais pontos, como o ponto de mínimo ou máximo. Ao dominar essas abordagens,
tornamo-nos capazes de comunicar situações-problema de forma precisa e convincente, contribuindo
signi�cativamente para nosso crescimento intelectual e para o avanço do conhecimento em nosso
campo de estudo. Agora é a sua vez! Vamos juntos descobrir mais sobre funções quadráticas?
Ponto de Partida
Você está estudando e se depara com a seguinte situação problema:
Uma empresa de produção de bicicletas está planejando lançar um novo modelo no mercado. Para
determinar o preço ideal de venda, eles decidiram analisar o custo total de produção em função da
quantidade de bicicletas fabricadas. A empresa descobriu que o custo total 
A função 
C(x)
x
C(x)
C(x) = −2x2 + 100x + 500
x
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Determine o número de bicicletas que devem ser produzidas para minimizar o custo total de
produção.
Qual é o custo total mínimo de produção?
Qual é o vértice da parábola que representa o custo total de produção?
Para abordar esse problema especí�co, é necessário explorar as funções quadráticas e suas
propriedades. Isso envolve compreender seu grá�co, o comportamento do discriminante, sua fórmula e
suas raízes. Ao dominar esses conceitos, estaremos aptos a responder às questões propostas e a
compreender completamente o signi�cado e as aplicações das funções quadráticas. Vamos começar
nossos estudos?
 
Vamos Começar!
Função quadrática
Denotada por 
Grá�co da função quadrática
O grá�co de uma função quadrática é uma curva conhecida como parábola. A orientação da parábola
(para cima ou para baixo) depende do sinal do coe�ciente 
Se   , a concavidade da parábola é para cima, e o grá�co é crescente.
f : R → R
f(x) = ax2 + bx + c
a, b
c
f
Dom(f) = R
J(f) = ¿
R
a
a > 0
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 1 | Esboço do grá�co da parábola com concavidade para cima
Se   , a concavidade da parábola é para baixo, e o grá�co é decrescente.a 0 (x1e x2)
x
Δ = 0
x
Δ 0
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 3 | Raízes, intercepto e vértice da função quadrática
Exemplo
Tome 
Inicialmente, precisamos identi�car os coe�cientes a, b e c. Nesse exemplo, 
f(x) = x2 + 2X − 3
a = 1, b = 2
c = −3
a
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Em seguida, calculamos o discriminante 
Como 
Agora, 
Ou seja, as raízes são iguais a (-3, 1).
E as coordenadas do vértice são 
Aplicações de parábolas
c = −3
Δ
Δ = b2 − 4ac
Δ = (2)2 − 4(1)(−3)
Δ = 16
Δ > 0
x = −b±√Δ
2a
x1 = −b+√Δ
2a
x2 = −b−√Δ
2a
x1 = −2+√16
2.1
2
2
x2 = −2−√16
2.1
−6
2
(x, y) = ( −b
2a , −Δ
4a )
(x, y) = ( −2
2.1 , −16
4.1 )
V = (−1, −4)
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
As parábolas, com suas características geométricas únicas, são amplamente aplicadas em várias áreas
práticas do dia a dia, variando da engenharia ao entretenimento. Temos como exemplos:
Antenas parabólicas: a forma parabólica é usada em antenas devido à sua propriedade re�etora
única. Quando ondas eletromagnéticas, como sinais de televisão ou rádio, atingem uma superfície
parabólica, elas são re�etidas para um ponto focal comum, melhorando a e�ciência na captação do
sinal.
Faróis de carro: os re�etores dos faróis são frequentemente moldados em forma de parábola para
que, quando a luz de uma fonte no foco é emitida, ela seja re�etida em feixes paralelos, iluminando
a estrada à frente de forma mais e�caz.
Pontes e arquitetura: estruturas como pontes podem usar cabos dispostos em formas parabólicas
para distribuir uniformemente a tensão ao longo de toda a ponte. Isso é particularmente visto em
pontes suspensas.
Trajetória de projéteis: objetos lançados ao ar, como bolas em esportes ou foguetes, seguem uma
trajetória parabólica sob a in�uência da gravidade (desconsiderando a resistência do ar). Este
princípio é crucial para esportes, balística e aeroespacial.
Óptica: lentes e espelhos parabólicos são usados em telescópios para focar luz de estrelas e outros
corpos celestes distantes em um ponto, permitindo uma visualização mais clara e detalhada.
Vamos Exercitar?
Para resolução doproblema anteriormente apresentado, vamos retomar os dados e o objetivo da
situação problema.
Para determinar o número de bicicletas que devem ser produzidas para minimizar o custo total de
produção, e encontrar o custo total mínimo de produção, podemos utilizar o conceito de vértice de uma
parábola, já que a função 
 é quadrática.
A função 
 dada é: 
.
Para encontrar o número de bicicletas que minimiza o custo total de produção, precisamos encontrar o
valor de 
C(x)
C(x)
C(x)
C(x) = ¿
−2x2 + 100x + 500
C(x)
C(x) = ¿
−2x2 + 100x + 500
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
 para o qual 
 é mínimo. O vértice de uma parábola de forma quadrática 
 é dado por 
No nosso caso, 
 e 
, então:
=
=25
Portanto, o número de bicicletas que devem ser produzidas para minimizar o custo total de produção é
25.
Para encontrar o custo total mínimo de produção, substituímos esse valor de 
 na função 
x
C(x)
ax2 + bx + c
x = −b
2a
x
C(x)
ax2 + bx + c
x = −b
2a
a = −2
b = 100
a = −2
b = 100
x = −100
2×(−2)
−100
−4
x = −100
2×(−2)
−100
−4
x
C(x) :
x
C(x) :
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Portanto, o custo total mínimo de produção é de 1750 dólares.
O vértice da parábola representa o ponto de mínimo da função, então o vértice é dado por (25, 1750).
Portanto, quando 25 bicicletas são produzidas, o custo total de produção é de 1750 dólares.
Nesse problema, analisamos o custo total de produção de bicicletas em função da quantidade produzida,
utilizando uma função quadrática. Através da análise da função 
, determinamos que o número de bicicletas que minimiza o custo total de produção é 25. Além disso,
calculamos que o custo total mínimo de produção é de 1750 dólares, quando são produzidas 25
bicicletas.
Esses resultados são importantes para a empresa, pois fornecem informações valiosas sobre como
otimizar a produção e minimizar os custos, maximizando assim o lucro. Ao produzir a quantidade de
bicicletas que minimiza o custo total, a empresa pode garantir uma e�ciência máxima em seu processo
de produção, mantendo-se competitiva no mercado.
Saiba mais
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante da resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Para melhorar seu entendimento sobre os conceitos fundamentais da lógica formal, aconselho a leitura
da seção 4.1 – “Funções”, do livro Elementos da matemática, de José de França Bueno (2017). Ao �nal
da leitura, realize as atividades de autoavaliação propostas. Bons estudos!
C(25) = −2  ×  (25 )2  + 100 * (25) + 500
C(25) = −2  ×  (25 )2  + 100 * (25) + 500
C(25) = −2  ×  625 + 2500 + 500
C(25) = −2  ×  625 + 2500 + 500
C(25) = −1250 + 2500 + 500
C(25) = −1250 + 2500 + 500
C(25) = 1750
C(25) = 1750
C(x) = −2x2 + 100x + 500
C(x) = −2x2 + 100x + 500
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Referências
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 20 abr. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 17 abr. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 16 abr. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 18 abr. 2024.
Aula 4
Inversa de uma função e função Composta
Inversa de uma função e função Composta
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Dica para você
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Olá, estudante! Nesta videoaula, vamos mergulhar no universo das funções bijetivas. Exploraremos a
de�nição dessas funções e entenderemos como identi�car se uma função é bijetiva. Além disso, vamos
compreender o conceito de inversa de uma função e sua importância na matemática. Ao entender esses
conceitos, seremos capazes de compreender também a composição de funções. Descubra como as
funções bijetivas, inversas e compostas são cruciais em várias áreas da matemática e da ciência,
permitindo a modelagem de fenômenos complexos e a resolução precisa de problemas. Agora é a sua
vez de explorar o mundo dessas funções! Vamos juntos descobrir mais sobre elas?!
Ponto de Partida
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Você está estudando e se depara com a seguinte situação problema:
Suponha que você esteja planejando uma viagem de carro e precisa calcular quantos litros de
combustível serão necessários para percorrer determinada distância, levando em conta o consumo
médio do veículo. No entanto, ao fazer a viagem de volta, você quer saber qual será a distância máxima
que poderá percorrer com o restante de combustível no tanque, antes de precisar reabastecer.
Dados:
O consumo médio do seu veículo é de 10 quilômetros por litro.
Você tem 30 litros de combustível no tanque quando inicia a viagem de ida.
Qual é a distância máxima que você pode percorrer na viagem de volta com o restante de combustível no
tanque?
Para abordar esse problema especí�co, é necessário explorar as funções inversas e suas propriedades.
Ao dominar esses conceitos, estaremos aptos a responder às questões propostas e a compreender o
signi�cado e as aplicações das funções inversas. Vamos começar nossos estudos?
Vamos Começar!
Função bijetora
Uma função é dita bijetiva se ela é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.
Uma função é chamada de injetiva (ou injetora) se cada elemento do conjunto de partida (domínio) é
relacionado com um único elemento no conjunto de chegada (contradomínio). Em outras palavras, uma
função é injetiva se cada valor diferente do domínio é associado a um valor diferente no contradomínio.
Uma função 
E, da mesma maneira,
Uma maneira de visualizar uma função injetiva é pensar em um “teste do lápis”. Se você puder desenhar
uma linha reta sem levantar o lápis do papel e sem cruzá-la, então a função é injetiva.
Por exemplo, a função 
f : A → B
x ≠ x2
f(x1) ≠ f(x2)
f(x1) = f(x2)
x11 = x2
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Uma função 
A função 
Assim, para ser bijetiva, a função deve ser, ao mesmo tempo, injetiva e sobrejetiva.
Siga em Frente...
Função inversa
A função inversa é uma operação que inverte a variável dependente da função. Se uma função 
f(x) = 2x
x
f(x)
g(x) = x2
x
g(x)
32 = 9e(−3)2 = 9
f : A → B
x
y = f(x)
f : R → (0, ∞)
f(x) = x2
(0, ∞)
R
f : R → R
f(x)
f(x)
x
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Matematicamente, se uma função 
onde 
Para encontrar a função inversa de 
1. Expressamos   em termos de   como  .
2. Colocamos o   no lugar do  , e o   no lugar do  .
3. Isolamos   para obter uma expressão em termos de  .
4. Renomeamos   como  .
Por exemplo, se 
1. Começamos com  .
2. Trocamos   e   , então obtemos  .
3. Resolvemos para 
4. Renomeamos   como  =
Outro exemplo
1. Substituímos   por 
2. Trocamos   e  : 
3. Isolamos   para obter a função inversa.
4. Renomeamos   como 
Vamosseguir esses passos:
y
f−1(x)
y
x
f : A → B
f−1 : B → A
f−1(y) = x
y
x
f(x)
y x y = f(x)
x y y x
y x
y f−1(x)
f(x) = 2x + 3
y = 2x + 3
x y x = 2y + 3
y : y = x−3
2
y f−1(x) x−3
2
f(x) y : y = 3x − 5
x y x = 3y − 5
y
y f−1(x)
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
1. 
2. Trocamos   e  : 
3. Isolamos  :
4. Renomeamos   como 
=
Função composta
Quando temos as funções 
y = 3x − 5
x y x = 3y − 5
y
x = 3y − 5
x + 5 = 3y
x+5
3 = y
y f−1(x)
f−1(x)
x+5
3
f−1(x)
x+5
3
f : A → B
g : B → C
f
g
gof
x
g(f(x))
g
f
fog, f(g(x))
gof
gof
f
g
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Seja 
Agora, vamos encontrar a composição 
Passo 1: Aplicar a função 
Passo 2: Aplicar a função 
Agora, aplicamos a distributiva na expressão:
Portanto, a composição 
Isso signi�ca que a função 
fog
f(x) = 3x + 2
g(x) = 2x − 1
gof(x)
f(x)
g(x)
x
f(x)
x
f(x) = 3x + 2
g(x)
f(x)
g(f(x)) = 2(3x + 2) − 1
g(f((x)) = 6x + 4 − 1
g(f(x)) = 6x + 3
gof(x)
6x + 3
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Outro exemplo:
Seja 
Composição : 
:
Passo 1: aplicar a função 
 a 
: 
Passo 2: aplicar a função 
Essa é a composição 
gof(x)
x
6x + 3
f(x)
g(x)
f(x) = x2
g(x) = 2x + 3
gof(x)
gof(x)
f(x)
x
f(x) = x2
f(x)
x
f(x) = x2
g(x)
f(x)
g(f(x)) = 2(x2)+ 3
gof(x)
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Composição 
: passo 1: Aplicar a função 
 a 
:
Passo 3: aplicar a função 
Essa é a composição  
Esses exemplos ilustram como as funções podem ser compostas para formar novas funções, mostrando
como diferentes tipos de funções podem interagir quando compostas.
Vamos Exercitar?
Para resolução do problema anteriormente apresentado, vamos retomar os dados e o objetivo da
situação problema.
Dados:
O consumo médio do seu veículo é de 10 quilômetros por litro.
2x2 + 3
fog(x)
g(x)
x
fog(x)
g(x)
x
g(x) = 2x + 3
g(x) = 2x + 3
f(x)
g(x)
f(g(x)) = (2x + 3)2
fog(x)
(2x + 3)2
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Você tem 30 litros de combustível no tanque quando inicia a viagem de ida.
Qual é a distância máxima que você pode percorrer na viagem de volta com o restante de combustível no
tanque?
Para calcular a distância que você pode percorrer na viagem de ida, usaremos a fórmula:
Substituindo os valores dados: distância = 
litros = 300 km.
Portanto, na viagem de ida, você pode percorrer 300 quilômetros.
Agora, para determinar a distância máxima que você pode percorrer na viagem de volta com o restante
de combustível, usaremos a função inversa. A função inversa relaciona a quantidade de combustível
restante com a distância máxima que pode ser percorrida.
A função inversa será: quantidade de 
Substituindo a distância que você já percorreu na viagem de ida (300 quilômetros): quantidade de 
Portanto, com os 30 litros restantes no tanque, você pode percorrer mais 300 quilômetros na viagem de
volta.
A resolução do problema foi realizada de forma adequada, utilizando os dados fornecidos e aplicando as
fórmulas corretas para calcular a distância percorrida na viagem de ida e a quantidade de combustível
restante. A função inversa foi utilizada de maneira apropriada, substituindo a incógnita na distância, e
isolando-a, resultando em uma operação inversamente proporcional, para determinar a distância máxima
que pode ser percorrida com o restante de combustível no tanque. Portanto, a solução encontrada é
válida e satisfaz o problema proposto.
distância =  consumo médio × quantidade de combustível
distância =  consumo médio × quantidade de combustível
10 km lLx30
10 km lLx30
combustível res tan te =
distância
consumo médio
combustível res tan te =
distância
consumo médio
combustível res tan te = 300 km
10 km/L = 30litros
combustível res tan te = 300 km
10 km/L = 30litros
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Saiba mais
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante da resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Para melhorar seu entendimento sobre os conceitos fundamentais da lógica formal, aconselhamos a
leitura da seção 4.1 – “Funções” do livro Elementos da matemática, de José de França Bueno (2017). Ao
�nal da leitura, realize as atividades de autoavaliação propostas. Bons estudos!
Referências
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 21 abr. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 19 abr. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 22 abr. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 21 abr. 2024.
Aula 5
Encerramento da Unidade
Videoaula de Encerramento
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Olá, estudante! Nesta videoaula, exploraremos um dos conceitos fundamentais da matemática: as
funções. Vamos falar de como as funções descrevem relações entre variáveis e como são aplicadas em
diversas áreas da nossa vida cotidiana. Descubra como analisar, manipular e resolver problemas usando
funções, além de explorar sua importância em disciplinas avançadas. Vamos juntos estudar funções?
Ponto de Chegada
No mundo da matemática, os conceitos de funções desempenham um papel crucial na resolução de
uma variedade de problemas. Ao explorar diferentes tipos de funções, como as funções a�ns,
quadráticas, inversas e compostas, podemos desenvolver soluções para uma ampla gama de desa�os.
Começando com as funções a�ns, que têm a forma 
As funções quadráticas, por sua vez, têm a forma 
Quando lidamos com situações em que precisamos desfazer uma transformação ou encontrar uma
operação inversa, entram em cena as funções inversas. Elas nos permitem encontrar a relação inversa de
uma função dada e são úteis em problemas de inversão de transformações, como criptogra�a e
decodi�cação de mensagens.
Por �m, as funções compostas nos fornecem uma maneira de combinar múltiplas funções em uma única
expressão, o que é útil para modelar processos complexos que envolvem várias etapas. Elas são
aplicadas em problemas que exigem a aplicação sequencial de operações, como cálculos em cadeia ou
análise de sistemas interconectados.
Alcançamos, assim, a competência da disciplina, que é “usar diferentes conceitos de funções para
desenvolver soluções de problemas”. 
Em suma, ao dominar diferentes conceitos de funções, podemos abordar uma ampla variedade de
problemas de maneira e�caz e e�ciente, aplicando as ferramentas matemáticas corretas para cada
situação especí�ca.
É Hora de Praticar!
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f(x) = ax + b
f(x) = ax2 + bx + c
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Estudo de caso: planejamento �nanceiro pessoal
João está planejando suas �nanças pessoais para o próximo ano. Ele trabalha como freelancer e sua
renda mensal varia de acordo com o número de projetos que realiza. Além disso, ele precisa considerar
seus gastos mensais �xos, como aluguel, contas de serviços públicos e alimentação.
João deseja criar um modelo que relacione sua renda mensal com o número de projetos que ele realiza, a
�m de planejar melhor suas �nanças. Ele sabe que sua renda mensal é composta por uma taxa �xa de
R$500, mais R$200 por projeto realizado.
Para resolver sua situação �nanceira, João precisa responder às seguintes questões:
Como podemos representar a relação entre a renda mensal de João e o número de projetos que ele
realiza usando uma função a�m?
Qual será a renda mensal de João se ele realizar 3 projetos no próximo mês?
Quantos projetos João precisa realizar para atingir uma renda mensal de R$1500?
Como podemos adaptar o ensino de funções para torná-lo mais acessível e signi�cativo para
alunos com diferentes estilos de aprendizagem?
De que maneira podemos enfatizar a importância prática e as aplicações do estudo de funções,
para motivar os alunos e mostrar sua relevância no mundo real?
Como podemos promover uma compreensão mais profunda e duradoura dos conceitos de funções,
além de simplesmente ensinar técnicas de resolução de problemas, incentivando a investigação, o
raciocínio crítico e a resolução de problemas complexos?
Para resolver o problema proposto, utilizaremos a função a�m que relaciona a renda mensal de João ( )
com o número de projetos que ele realiza ( ). A função a�m é dada por:
Vamos usar essa função para responder às perguntas:
Renda mensal para 3 projetos: 
Para encontrar a renda mensal de João quando ele realiza 3 projetos, substituímos na função a�m:
Portanto, a renda mensal de João será de R$1100 se ele realizar 3 projetos no próximo mês.
Número de projetos para uma renda mensal de R$1500: 
Para determinar quantos projetos João precisa realizar para atingir uma renda mensal de R$1500,
resolvemos a equação:
Subtraindo 500 de ambos os lados da equação, obtemos:
Então, dividindo ambos os lados da equação por 200, encontramos:
Portanto, João precisa realizar 5 projetos para atingir uma renda mensal de R$1500.
Justi�cativa: A função a�m y = 200x + 500 foi obtida a partir das informações fornecidas no problema,
onde 200 é o valor que João ganha por projeto e 500 é sua renda �xa mensal. Substituímos os valores de
x fornecidos nas perguntas na função a�m e calculamos os valores correspondentes de y. Esses cálculos
nos forneceram as respostas para as perguntas, demonstrando como a função a�m pode ser aplicada
para resolver problemas relacionados à renda mensal de João.
y
x
y = 200x + 500
y = 200(3) + 500 = 600 + 500 = 1100
1500 = 200x + 500
1000 = 200x
x = 1000
200 = 5
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Figura 1 | Mapa mental acerca de funções
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 20 abr. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 17 abr. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 16 abr. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/
https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 18 abr. 2024.
https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4fou falso (F). Baseado nas suas características, uma proposição pode ser
classi�cada como simples ou composta. As proposições simples caracterizam-se por conter apenas
uma a�rmação e são simbolizadas por letras minúsculas.
: Fobos é um satélite natural de Marte.
: Paris é capital da França.
: 5 + 9 = 22.
Por outro lado, as proposições compostas são formadas pela união de duas ou mais proposições
simples, sendo simbolizadas por letras maiúsculas. Exemplos de proposições compostas incluem:
P: Fobos é um satélite natural de Marte e Paris é capital da França.
Q: Se Ana se formar com honras, então ela vai viajar para Paris.
R: João é jovem e Maria é uma adolescente.
Para formar proposições compostas a partir de proposições simples, utilizamos operadores
denominados conectivos lógicos. O quadro 1 apresenta as operações lógicas, os conectivos e seus
respectivos símbolos, sendo esses os mais utilizados.
Conectivo Operação Símbolo
p
q
r
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
E Conjunção
Ou Disjunção
Não Negação
Se... então Condicional �
Se e somente se Bicondicional �
Quadro 1 | Conectivos e respectivos símbolos. Fonte: adaptado pela autora a partir de Alencar Filho
(2002) e Daglhian (1995).
Agora vamos ver como usar os conectivos:
Negação
Tome a proposição:
Para negá-la, utilizamos o símbolo “~” colocado antes da letra que representa a proposição 
Imagine que a proposição p seja verdadeira, ou seja, V(
Conjunção
Sejam p e q duas proposições, a conjunção de p e q será denotada por 
e
Logo, 
Disjunção
p
p
~p
p
~p
p  ∧  q
p
q
p  ∧  q 
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
A disjunção das proposições 
Logo, 
Para que essa proposição seja falsa, tanto a proposição 
Logo, 
Condicional
A condicional ocorre quando duas proposições podem ser colocadas na forma “se 
p
q
p  ∨  q
p  ∨  q
p
q
p :
q :
p ∨ q
p
q
r :  
s :
r ∨ s
r
s
r ∨ s
p
q
p  →  q
p
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Portanto, podemos expressar a condicional 
Siga em Frente...
Bicondicional
Bicondicional são as proposições denotadas por “ 
Temos a bicondicional: Carlos é motorista se e somente se Marcelo é cobrador, podendo ser
representada por 
Os conectivos lógicos são fundamentais para formar proposições complexas a partir de proposições
simples. Esse processo é essencial para expressar relações e condições mais elaboradas, possibilitando
uma representação precisa e abrangente da informação.
Vamos Exercitar?
Agora que você já sabe diferenciar entre as proposições simples e compostas, vamos hipotetizar que
você está estudando para um concurso e deve representar simbolicamente algumas proposições.
Joana está feliz ou Marcelo é cozinheiro.
q
p :
q :
p → q
p
q
p ↔ q
r :
s :
r ↔ s
p
q
q
p
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Temos as seguintes proposições simples:
Também temos o conectivo ou unindo essas duas proposições. Assim, podemos representar a
proposição composta por 
Faz calor em Londrina e o trânsito está intenso.
Temos como proposições simples:
O conectivo utilizado foi a conjunção, assim, a representação para a proposição composta é 
O cachorro late se, e somente se, o carteiro entrega a correspondência.
As proposições simples que compõe essa proposição são:
O conectivo utilizado é a bicondicional, logo, a representação da proposição composta será 
Maria não é farmacêutica.
Temos a proposição simples 
Esteja atento à representação simbólica de proposições, pois ela proporciona uma maneira mais precisa,
e�ciente e universal de expressar e manipular conceitos lógicos. Essa prática é importante em diversas
disciplinas, desempenhando um papel fundamental no progresso do conhecimento e na solução de
problemas complexos.
Saiba mais
p :
q :
p ∨ q
r :
s :
r ∧ s
p :
q :
p ↔ q
p :
~p
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante na resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Para melhorar seu entendimento sobre os conceitos fundamentais da lógica formal, aconselhamos a
leitura do capítulo 1 1 – “Proposição” do livro Introdução à Lógica Matemática, de Carlos Alberto F. Bisco,
Luiz B. Castanheira e Oswaldo Melo S. Filho (2017). Ao �nal do capítulo, realize os exercícios propostos.
Bons estudos!
Referências
ALENCAR FILHO. 2002.
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 5 mar. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 7 mar. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à Lógica
Matemática. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 3 mar. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 mar. 2024.
DAGLHIAN. 1995.
Aula 3
Construção da Tabela Verdade
Construção da tabela verdade
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
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Olá, estudante! Tudo bem? Na aula anterior, mergulhamos no estudo de proposições simples e
compostas, juntamente com os conectivos e seus operadores lógicos. Agora, imagine que há uma
ferramenta capaz de desvendar a verdade por trás de a�rmações complexas, baseando-se nas verdades
ou mentiras das proposições simples que as formam. Essa ferramenta é a tabela verdade.
A tabela verdade nos oferece uma maneira sistemática e clara de analisar e entender a interação entre
diferentes proposições dentro de argumentos lógicos. Vamos explorar como ela funciona e por que é tão
essencial para nosso aprendizado.
Ponto de Partida
Nesta aula, vamos nos aprofundar nos estudos das relações das proposições complexas. A tabela
verdade é uma maneira sistemática e clara de explorar e compreender como diferentes proposições
interagem entre si dentro de argumentos lógicos. Seja você um estudante dando seus primeiros passos
em matemática avançada, um programador de computador lidando com lógica de programação, ou
simplesmente alguém curioso sobre como construímos argumentos sólidos, este conteúdo é muito
importante para você.
Vamos aprender como montar tabelas verdade e como identi�car se uma proposição é uma tautologia,
uma contradição ou uma contingência. Vamos ver exemplos práticos para entender melhor esses
conceitos.
I. As mulheres compraram produtos de beleza e os homens, produtos esportivos.
II. Se as mulheres compraram produtos de beleza, então tiveram um desconto de 2%.
Vamos começar nossos estudos?
Como saber se algo é verdadeiro se ambas as primeiras a�rmações acontecerem? Isso signi�ca que
precisamos das duas para ter certeza? Para responder a isso, precisamos aprender a fazer uma tabela
verdade. Então vamos começar essa parte do estudo?
Vamos Começar!
Aprendemos que uma proposição só pode ser verdadeira (V) ou falsa (F), mas nunca ambas ao mesmo
tempo.Isso também vale para proposições compostas, nas quais cada parte tem apenas esses dois
possíveis valores. Para entender melhor, vamos usar um exemplo: “Roberto é professor e Viviane é
psicóloga”. Em linguagem simbólica, temos duas proposições simples: 
p e q podem ser ambas verdadeiras (V).
p
q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
p pode ser verdadeira (V) e q, falsa (F).
p pode ser falsa (F) e q, verdadeira (V).
p e q podem ser ambas falsas (F).
Todas as combinações possíveis de associação de valores lógicos das proposições p e q estão
dispostas na Tabela 1.
V V
V F
F V
F F
Tabela 1 | Combinações possíveis para as proposições 
A tabela verdade mostra todas as combinações possíveis dos valores lógicos (verdadeiro ou falso) de
proposições. Agora, vamos explorar a tabela verdade para entender como funcionam os conectivos:
negação, conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
Primeiramente, examinaremos a tabela verdade da negação. Se p for uma proposição verdadeira, então 
V F
F V
Tabela 2 | Tabela verdade para negação.
Quando juntamos duas proposições,
p q
p
q
~p
~p
p ~p
 p
q
p ∧ q
p
q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabela 3 | Tabela verdade para a conjunção.
A disjunção de duas proposições, 
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabela 4 | Tabela verdade para a disjunção.
Na condicional 
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p ∧ q
p
q
p ∨ q
p q p ∨ q
p → q
p
q
p
q
p q p → q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Tabela 5 | Tabela verdade para a condicional.
Na bicondicional 
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabela 6 | Tabela verdade para a bicondicional.
Ao criar essas tabelas verdade, podemos ver como essa ferramenta é usada para determinar o valor
lógico de proposições compostas, quando uma proposição é formada pela combinação de outras
usando conectivos. Quando se trata de construir tabelas verdade com proposições compostas mais
complexas, é importante respeitar a regra de precedência para os conectivos.
1º. A negação 
2º. Conjunção   e disjunção  .
3º. Condicional  .
4º. Bicondicional  .
É possível utilizar parênteses para modi�car as regras de precedência entre os conectivos. Os parênteses
mais internos devem ser avaliados primeiro, seguidos pelos mais externos; e todos os parênteses
abertos precisam ser fechados. Vamos considerar a proposição 
Siga em Frente...
Agora, vamos considerar a mesma proposição, mas com parênteses 
Com base nesse entendimento, vamos construir a tabela verdade para a proposição 
1º passo: determinar o número de linhas da tabela verdade
p ↔ q
p q p ↔ q
 ~.
∧  ∨
→
↔
p⋁ q ↔ r⟶ s.  
p⋁ q
r⟶ s
(p⋁ q ↔ r)⟶ s.
(p⋀ q)⟶ ~q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Primeiro identi�que a quantidade de proposições simples que compõe a proposição composta. O
número de linhas da tabela verdade será dado por 
2º passo: preenchimento das colunas
Para cada coluna correspondente às proposições simples, você preencherá com valores V ou F, até
completar todas as sequências possíveis de V e F.
3º passo: identi�cação da precedência
Identi�que a precedência dos conectivos, de modo a inserir colunas adicionais para as proposições
compostas intermediárias.
4º passo: determinação dos valores lógicos
Determine os valores lógicos para as proposições intermediárias e, posteriormente, o valor lógico da
proposição composta �nal.
Seguindo esses passos, vamos construir a tabela verdade da proposição dada.
Bloco 1
V V V F
V F F V
F V F F
F F F V
Bloco 2
F
V
V
V
Tabela 7 | Tabela verdade de 
Consideremos agora a proposição 
2n
n
p q p ∧ q ~q
(p ∧ q) → ~q
(p ∧ q) → ~q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Bloco 1
V V F V
V F F F
F V V V
F F V V
Bloco 2
V V V
F F V
F F V
F F V
Tabela 8 | Tabela verdade de 
.
Na última coluna da tabela verdade, notamos que só há valores lógicos verdadeiros. Proposições
compostas que seguem esse padrão, independentemente dos valores lógicos das proposições simples
que as compõem, são chamadas de tautologias. Por outro lado, existem proposições compostas que
sempre resultam em valor lógico falso; essas são chamadas de contradições. Quando não �ca de�nido
se o resultado é uma tautologia ou contradição, e o resultado depende somente do valor lógico das
proposições simples, temos uma contingência.
No caso, a Tabela 7, foi uma contingência.
Ao construir a tabela verdade, é importante observar a precedência dos conectivos lógicos. Isso é
fundamental porque a tabela verdade nos permite identi�car proposições compostas que são sempre
verdadeiras (tautologias) ou sempre falsas (contradições), aspectos essenciais na simpli�cação de
expressões lógicas e na dedução lógica. Além disso, o uso da tabela verdade facilita a veri�cação da
equivalência lógica entre diferentes expressões, auxiliando na transformação e simpli�cação de
proposições de uma forma para outra.
Vamos Exercitar?
((~p ∨ q) ↔ p) → (p ∧ q)
p q ~p (~p ∨ q)
(~p ∨ q) ↔ p p ∧ q ((~p ∨ q) ↔ p) → (p ∧ q)
((~p ∨ q) ↔ p) → (p ∧ q)
((~p ∨ q) ↔ p) → (p ∧ q)
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Agora que você já aprendeu a construir uma tabela verdade, podemos retornar à nossa situação inicial.
Nessa situação temos que considerar as duas seguintes proposições:
I. As mulheres compraram produtos de beleza e os homens produtos esportivos.
II. Se as mulheres compraram produtos de beleza, então tiveram um desconto de 2%.
Temos que veri�car quando é possível ter certeza de ocorrer a verdade se ocorrerem obrigatoriamente as
duas a�rmações?
Primeiramente, vamos representar com símbolos cada uma das proposições simples:
p: As mulheres compraram produtos de beleza.
q: Os homens compraram produtos esportivos.
r : Tiveram um desconto de 2%.
Em linguagem simbólica, as duas frases são representadas da seguinte maneira:
Observe que, entre as duas frases, foi aplicado o conectivo conjunção; isso porque queremos veri�car se
é indicada a ocorrência dos dois fatos. Construindo a tabela verdade, temos:
Bloco 1
V V V V
V V F V
V F V F
V F F F
F V V F
F V F F
F F V F
F F F F
Bloco 2
 
V V
F F
V F
(p ∧ q) ∧ (p → r)
p q r (p ∧ q)
(p → r) (p ∧ q) ∧ (p → r)
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
F F
V F
V F
V F
V F
Tabela 9 | Tabela verdade de 
Portanto, de acordo com os resultados da tabela verdade, só podemos considerar a a�rmação como
verdadeira se todas as três proposições (p, q e r) forem verdadeiras. Isso signi�ca que a frase “as
mulheres compraram produtos de beleza e os homens produtos esportivos, e, se as mulheres
compraram produtos de beleza, então tiveram um desconto de 2%” é verdadeira apenas se cada uma das
três proposições simples que a compõe for verdadeira.
Saiba mais
Uma técnica essencial para o aprendizado em matemática é a prática constante na resolução de
problemas. Assim, com base nessa estratégia, é recomendável que você se dedique à leitura e à
execução de exercícios que estejam relacionados ao tema.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos as noções básicas da lógica matemática, sugerimos a
leitura do capítulo 2 – “Tabela Verdade” e capítulo 3 – “Classi�cação das proposições”, do livro
Introdução à Lógica Matemática, dos autores Carlos Alberto F. Bisco, Luiz B. Castanheira e Oswaldo Melo
S. Filho (2017). Ao �nal dos capítulos, realize os exercícios propostos. Bons estudos!
Referências
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 7 mar. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à Lógica
Matemática. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 7 mar. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f.Acesso em: 10 mar 2024.
(p ∧ q) ∧ (p → r)
https://plataforma.bvirtual.com.br/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/
https://biblioteca-virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Aula 4
Implicação e Equivalência lógica
Implicação e equivalência lógica
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Dica para você
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Olá, estudante! Espero que esteja bem! Adentrando ainda mais no mundo da lógica, nossa próxima
parada será a implicação lógica, um conceito essencial que nos permite entender como uma proposição
in�uencia outra. Em seguida, vamos investigar a equivalência lógica; aprenderemos a identi�car quando
duas proposições têm o mesmo valor lógico. Além disso, vamos mergulhar nos quanti�cadores,
ferramentas poderosas que nos permitem expressar conceitos quantitativos de forma precisa na
linguagem da lógica. E não podemos esquecer das sentenças abertas, que nos ajudam a lidar com
proposições que contêm variáveis e nos conduzem a raciocínios mais complexos. Então vamos lá?!
Ponto de Partida
Você já sabe como os conectivos lógicos podem transformar proposições simples em proposições mais
complexas, mas há mais para descobrir! Vamos explorar como outros princípios podem alterar as
proposições. Vamos começar com alguns exemplos interessantes:
Algum homem faz parte do corpo de bombeiros.
Nenhuma técnica de enfermagem é menor de idade.
Nem todos os professores são maiores de idade.
Essas proposições nos levam a um mundo fascinante onde termos como “algum”, “nenhuma”, “nem
todos”, “para todos” têm um papel importante. Eles são chamados de quanti�cadores, e estabelecem
relações interessantes com conjuntos. Vamos juntos analisar como esses quanti�cadores in�uenciam as
proposições mencionadas?
Vamos Começar!
Observe as seguintes proposições:
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Mário vem hoje?
 
Júlia é ruiva ou loira?
Essas proposições não possuem respostas certas, sendo denominadas sentenças abertas, que, por
de�nição, são expressões que contêm variáveis livres e se tornam proposições verdadeiras ou falsas
apenas quando as variáveis são substituídas por valores especí�cos de um domínio. Em outras palavras,
uma proposição aberta é uma expressão que se torna uma proposição completa quando as variáveis são
instanciadas com valores especí�cos.
Entendemos então que, para que proposições possam ser analisadas logicamente, elas devem ser
fechadas. Em outras palavras, precisam ser declaradas de forma que possamos determinar se são
verdadeiras (V) ou falsas (F), e apenas V ou F, uma vez que só podemos avaliar seu valor lógico dentro
dessas duas premissas.
Dessa maneira, com proposições verdadeiras ou falsas, podemos aplicar diferentes operadores lógicos e
compô-las com diversas outras premissas, como o operador da implicação.
Temos então que 
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabela 1 | Tabela verdade para a implicação.
Já para serem equivalências lógicas, suas tabelas verdade precisam ser idênticas. As proposições 
 e 
são consideradas logicamente equivalentes quando a proposição 
 é uma tautologia. Para expressar equivalências lógicas, utilizamos a notação 
. É importante ressaltar que o símbolo 
X + 8 > 9
p
q
p⟹ q
p
q
p q p → q
p
q
p ↔ q
⇔
↔
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
representa uma operação lógica, enquanto o símbolo 
representa uma equivalência lógica. Por exemplo, as proposições 
 e 
 são equivalentes, conforme indicam as Tabelas 2 e 3.
V V V F
V F V F
F V V F
F F F V
Tabela 2 | Tabela Verdade de 
.
Bloco 1
V V F F
V F F V
F V V F
F F V V
Bloco 2
⇔
~(p ∨ q)
~p ∧ ~q
p
q
p ↔ q
⇔
↔
⇔
~(p ∨ q)
~p ∧ ~q
p q p ∨ q ~(p ∨ q)
~(p ∨ q)
~(p ∨ q)
p q ~p  ~q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
F
F
F
V
Tabela 3 | Tabela Verdade de 
.
Em linguagem natural, uma equivalência é semelhante à ideia de “se Maria, João e Pedro chegaram,
então todos os alunos chegaram ” 
Ao estudar as equivalências lógicas, nos deparamos com uma grande variedade delas, e seria
impraticável apresentar a demonstração individual de cada uma aqui. No entanto, vamos destacar
algumas das mais cruciais:
Nome Propriedade
Dupla negação
Comutativa  e 
Absorção
Associativa
 e 
De Morgan
 e   
Reescrita da condicional
Reescrita da bicondicional
Tabela 4 | Equivalências notáveis.
Siga em Frente...
Agora, quando nós queremos que as premissas englobem um universo, existe uma classe de termos,
denominada quanti�cadores, que nos proporcionam essa possibilidade. Os quanti�cadores permitem
expressar a�rmações sobre conjuntos de elementos de forma mais precisa e abrangente. Eles nos
~p ∧ ~q
~p ∧ ~q
~p ∧ ~q
⇔
p ⇔ ~~p
p ∨ q ⇔ q ∨ p
p ∧ q ⇔ q ∧ p
p → q ⇔ p → p ∧ q
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
~(p ∨ q)⇔ ~p ∧ ~q
~(p ∧ q)⇔ ~p ∨ ~q
p → q ⇔ ~p ∨ q
p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p)
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
permitem falar sobre “todos” os elementos de um conjunto (quanti�cador universal) ou “alguns”
elementos de um conjunto (quanti�cador existencial), o que é essencial para lidar com generalizações e
particularidades. Além disso, são essenciais na teoria dos conjuntos, que é um ramo fundamental da
matemática. Eles nos permitem formular a�rmações sobre conjuntos inteiros e descrever propriedades
que se aplicam a todos ou a alguns elementos de um conjunto.
Os quanti�cadores são separados em dois tipos:
Quanti�cador universal (
Exemplo: a a�rmação “para todo número natural 
Quanti�cador existencial (
Exemplo: a a�rmação “existe um número primo maior que 100” pode ser representada como 
Para negar quanti�cadores, parte-se dos seguintes princípios:
A negação de uma proposição com um quanti�cador universal implica a existência de pelo menos
um elemento para o qual a proposição original é falsa. Exemplo: se a proposição original é “para
todo número real  ”, sua negação é “existe pelo menos um número   real para o qual 
”.
A negação de uma proposição com um quanti�cador existencial   implica que não existe nenhum
elemento para o qual a proposição original seja verdadeira. Exemplo: se a proposição original é
“existe um número natural   tal que  ” sua negação seria “para todo número natural  , 
”.
Em resumo, para negar um quanti�cador universal, transformamos em um quanti�cador existencial e
vice-versa. Isso nos permite expressar a ideia de que uma proposição não é verdadeira para todos os
elementos de um conjunto ou que não existe nenhum elemento para o qual a proposição seja verdadeira.
Vamos Exercitar?
∀
n
n
∀n,  n > 0
∃
∃
∃p, p > 100
p
x,  x2 ≥ 0 x
x2 n n
n + 1 ≤ n
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Agora que você já sabe diferenciar entre os quanti�cadores, vamos hipotetizar que você está estudando
para um concurso e deve negá-los.
Para negá-los:
A negação de “algum homem faz parte do corpo de bombeiros” implica que não há homens que façam
parte do corpo de bombeiros. Isso signi�ca que nenhum homem está incluído nesse grupo especí�co de
pessoas. Portanto, a negação é “nenhum homem faz parte do corpo de bombeiros”. A negação de
“nenhuma técnica de enfermagem é menor de idade” implica que pelo menos uma técnica de
enfermagem é menor de idade. Isso signi�ca que existe pelo menos uma técnica de enfermagem que
não atende à condição de não ser menor de idade. Portanto, a negação é “pelo menos uma técnica de
enfermagem é menor de idade”. Por sua vez, a negação de “nem todos os professores são maiores de
idade” implica que todos os professores são maiores de idade. Isso signi�ca que não há professores que
não atendam à condição de serem maiores de idade. Portanto, a negação é “todos os professoressão
maiores de idade”.
Saiba mais
Para melhorar seu entendimento sobre os conceitos fundamentais da lógica formal, aconselhamos que
assista o vídeo “Matemática: aula 1: lógica e argumentação na linguagem cotidiana”, 2014 (21 min),
publicado pelo canal UNIVESP. Bons estudos!
Referências
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 5 mar. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 7 mar. 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à Lógica
Matemática. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 3 mar. 2024.
p
q
r
~p :  
~q :
~r :
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 mar. 2024.
RAMOS. 2023.
Aula 5
Encerramento da Unidade
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Dica para você
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Olá, estudante! Para formularmos e interpretarmos argumentos e proposições, e para desenvolvermos a
habilidade de resolver problemas aplicando regras lógicas e princípios matemáticos, é preciso
compreender que a lógica formal é um ramo da matemática que se preocupa com a forma ou estrutura
dos argumentos, independentemente do conteúdo especí�co das proposições envolvidas. Ela utiliza
símbolos e regras formais para representar e analisar o raciocínio dedutivo. Ao se concentrar na estrutura
formal dos argumentos, a lógica formal é amplamente aplicável em diversos campos, incluindo
matemática, �loso�a, ciência da computação e linguística, proporcionando uma base sólida para o
raciocínio rigoroso e a análise crítica.
Ponto de Chegada
Para desenvolver as competências desta Unidade, é preciso entender que, na lógica formal, as
proposições são representadas por símbolos, como letras minúsculas (p, q, r, ...) e conectivos lógicos,
como negação (~), conjunção (^), disjunção (v), condicional ( ) e bicondicional ( ). Esses símbolos
permitem expressar as relações lógicas entre as proposições de forma precisa e concisa. Na lógica
formal, também há a preocupação com a validade dos argumentos, ou seja, se a conclusão segue
logicamente as premissas. Para isso, ela utiliza regras de inferência e métodos de prova, como a
dedução natural e a prova por contradição.
Ao estudar lógica, aprendemos a analisar e raciocinar de forma sistemática e rigorosa. Alguns pontos
importantes incluem:
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Princípios da lógica: a lógica se baseia em princípios fundamentais, como o princípio da identidade, o
princípio da não contradição e o princípio do terceiro excluído. Esses princípios são essenciais para
avaliar a validade de argumentos e proposições. São eles:
Princípio da identidade: a�rma que qualquer coisa é idêntica a ela mesma. Em termos lógicos, isso
signi�ca que uma proposição é sempre equivalente a ela mesma.
Princípio da não contradição: estabelece que uma proposição não pode ser simultaneamente
verdadeira e falsa. Em outras palavras, uma proposição não pode ter dois valores lógicos opostos
ao mesmo tempo.
Princípio do terceiro excluído: determina que uma proposição deve ser verdadeira ou falsa,
excluindo qualquer outra possibilidade intermediária. Não há terceira alternativa, como um “talvez”
ou “não sei”.
Tipos de sentenças: existem diferentes tipos de sentenças na lógica, incluindo proposições, que são
declarações que podem ser verdadeiras ou falsas; sentenças abertas, que contêm variáveis e não são
completas por si só; e sentenças fechadas, que são proposições completas e podem ser avaliadas
quanto à sua veracidade.
Proposições simples são aquelas que expressam uma ideia completa e não podem ser decompostas em
partes menores com sentido próprio. Por exemplo, “o céu é azul” é uma proposição simples, pois
expressa uma única ideia completa.
Por outro lado, proposições compostas são formadas pela combinação de duas ou mais proposições
simples usando conectivos lógicos, como “e”, “ou”, “se... então”, entre outros. Por exemplo, “o céu é azul e
o sol está brilhando” é uma proposição composta, formada pela combinação das duas proposições
simples “o céu é azul” e “o sol está brilhando”, com o conectivo “e”.
Erros lógicos: podem ocorrer quando os princípios da lógica são violados. Isso inclui erros formais, que
ocorrem na estrutura do raciocínio, e erros materiais, que envolvem a validade dos próprios fatos
apresentados. Reconhecer e evitar esses erros é crucial para construir argumentos válidos.
Raciocínio lógico: estudar lógica também nos ensina a pensar de forma crítica e analítica. Através do
raciocínio lógico, podemos avaliar a validade de argumentos, identi�car falácias e construir argumentos
sólidos com base em premissas verdadeiras.
Em suma, o estudo da lógica nos capacita a pensar de forma mais clara e consistente, fornecendo as
ferramentas necessárias para analisar e construir argumentos válidos em uma variedade de contextos.
É Hora de Praticar!
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Considere as seguintes proposições:
: Maria vai ao cinema.
: João vai ao teatro.
Agora, determine se o valor lógico da seguinte expressão composta é verdadeiro ou falso.
1. Como a compreensão dos princípios da lógica formal pode in�uenciar a forma pela qual
interpretamos argumentos e tomamos decisões no dia a dia?
2. Quais são os desa�os mais comuns que as pessoas enfrentam ao aplicar a lógica formal em
situações práticas, e como podemos superá-los?
3. De que forma a lógica formal é aplicada em áreas especí�cas, como ciência da computação,
matemática e �loso�a, e quais são os benefícios dessa aplicação?
Vamos resolver essa expressão composta usando uma tabela verdade:
    
V V F F V F V
V F F V F F F
F V V F F F F
F F V V F V V
Tabela 1 | Tabela verdade de  .
Ao analisar a última coluna da tabela verdade, vemos que a expressão composta é verdadeira apenas
nas linhas onde pelo menos uma das subexpressões    ou   é verdadeira. Isso ocorre
nas linhas onde   é verdadeira, ou seja, quando ambos p e q são verdadeiros, e também nas
linhas onde   é verdadeira, ou seja, quando ambos   e   são verdadeiros. Portanto, a
resposta correta é verdadeira.
Criar um mapa mental sobre lógica pode ser uma ótima maneira de organizar e visualizar conceitos-
chave dessa área. Aqui está um exemplo estrutura de um mapa mental acerca de lógica:
Introdução à lógica:
De�nição de lógica.
Importância da lógica na tomada de decisões e raciocínio.
Divisões da lógica:
Lógica formal.
Lógica informal.
Conceitos fundamentais:
Proposições.
Conectivos lógicos (e, ou, não).
Implicação e equivalência lógica.
Tabelas verdade.
Quanti�cadores (universal e existencial).
Raciocínio lógico:
p
q
(p  ∧  q) ∨(~p  ∧  ~q)
p q ~p ~q(p  ∧  q) (~p  ∧  ~q) (p  ∧  q) ∨
(~p  ∧  ~q)
(p  ∧  q) ∨(~p  ∧  ~q)
(p  ∧  q) (~p  ∧  ~q)
(p  ∧  q)
(~p  ∧  ~q) ~p ~q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Sentenças abertas.
Proposições lógicas.
Erros lógicos.
Erros materiais.
Aplicações da lógica:
Matemática.
Ciência da computação.
Filoso�a.
Direito.
Linguística.
Exemplos e exercícios práticos:
Resolução de problemas de lógica.
Aplicação dos conceitos em situações do mundo real.
Referências e recursos adicionais:
Livros, sites e cursos recomendados para aprender mais sobre lógica.
Este é apenas um esboço básico de como você pode estruturar seu mapa mental sobre lógica. Você
pode expandir cada seção com mais detalhes, exemplos e imagens para tornar seu mapa mais completo
e útil.
 
Para aprimorar seus conhecimentos, recomendamos o curso: Ensino e aprendizagem – Estrutura de
Transformação Educacional, oferecido pela Microsoft.  Neste curso, os líderes e educadores escolares
aprendem a ajudar os alunos a alcançar seu potencial usando uma abordagem centrada no aluno para
explorar todos os aspectos do ensino e do aprendizado: currículo, avaliação, dispositivos e espaços na
compreensão e atendimento das necessidades de todos os alunos.  É uma excelente oportunidade para
você expandir suas habilidades e se conectar com as práticas mais atuais do mercado. Aproveite essa
chance para complementar o que você aprendeu e se destacar ainda mais na sua jornada acadêmica e
pro�ssional.
Alguns vídeos podem estar em inglês, para ativar a legenda de tradução instantânea para português,
siga estes passos: 
1.    Abra o Chrome: No computador, abra o navegador Google Chrome.
2.    Acesse as con�gurações de acessibilidade: No canto superior direito, clique em "Mais" (três pontos)
> Con�gurações >"Acessibilidade".
3.    Ative as legendas instantâneas: Em "Legendas", ative a opção "Tradução instantânea" ou "Legendas
instantâneas".
4.    Escolha o idioma: Para usar a tradução instantânea em português, clique em "Traduzir legendas
para o” e adicione “Português”.
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 5 mar. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 7 mar. 2024.
https://learn.microsoft.com/pt-br/training/modules/teaching-learning-education-transformation-framework/
https://learn.microsoft.com/pt-br/training/modules/teaching-learning-education-transformation-framework/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/
https://plataforma.bvirtual.com.br/
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à Lógica
Matemática. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 6 mar. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 mar. 2024.
,
Unidade 2
Técnicas de demonstração
Aula 1
Argumentação e silogismos
Argumentação e silogismos
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Olá, estudante! Dentro da esfera da lógica, é essencial mergulhar no estudo da argumentação.
Fundamentalmente, construir um argumento signi�ca utilizar premissas para chegar a uma conclusão
por meio do raciocínio lógico. Para formular uma conclusão que seja forte, con�ável e acessível a todos,
é crucial adotar uma abordagem clara e sistemática, que possa ser replicada. Nesse cenário, um ponto
de grande importância é a veri�cação da solidez dos argumentos. Assim, como podemos trabalhar com
premissas e argumentos até formularmos conclusões? Vamos juntos descobrir!
Ponto de Partida
Dentro do universo da lógica, é primordial aprofundar-se no estudo sobre como argumentamos. No cerne
desse estudo, formular um argumento envolve aplicar premissas para chegar a uma conclusão através
de raciocínio lógico. Atingir uma conclusão que seja forte, coerente e compreensível para todos exige a
utilização de um método claro e replicável. Um elemento fundamental neste processo é a validação dos
argumentos. A validação é crucial tanto para a persuasão quanto para a integridade do argumento.
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Quando as premissas são solidamente estabelecidas e o raciocínio segue uma lógica consistente,
aumenta-se signi�cativamente a chance de persuadir outras pessoas da conclusão. Além disso, a
validação é essencial para identi�car e evitar falácias lógicas. Ao analisar cuidadosamente as premissas
e a estrutura lógica do argumento, é possível identi�car e corrigir inconsistências, assegurando um
raciocínio válido. Esse processo não só reforça a fundamentação lógica do argumento, mas também
ajuda a criar uma narrativa persuasiva e credível. Em resumo, validar um argumento garante sua
coerência lógica e amplia sua força persuasiva, contribuindo para uma argumentação mais robusta e
convincente.
Nesta aula, vamos focar nos argumentos e aprender uma técnica para sua validação. Exploraremos
também um formato especí�co de argumento: os silogismos. Para exempli�car a aplicação desses
conceitos, considere o seguinte cenário: no seu local de trabalho, há um programa de manutenção
preventiva para os equipamentos e máquinas. Sendo responsável pela autorização de troca e compra de
maquinário, você se depara com uma decisão importante baseada nas seguintes informações:
Se a máquina passou por manutenção preventiva, então ela funciona corretamente.
Uma determinada máquina não passou pela manutenção preventiva.
Diante disso, um colega de trabalho sugere, baseando-se nestas informações, que “a máquina não
funciona corretamente” e, por isso, deve ser substituída. Será que podemos con�ar na conclusão do
colega?
Para responder a essa questão, precisamos entender como validar um argumento. Vamos então
começar nossos estudos?
Vamos Começar!
Na esfera da lógica e da argumentação, um argumento é composto por um agrupamento organizado de
proposições. Dentro desse conjunto, certas proposições, conhecidas como premissas, servem como
evidências ou justi�cativas, enquanto uma ou mais proposições, designadas como conclusões, são
apresentadas como decorrências lógicas das premissas. O propósito principal de um argumento é
convencer ou comprovar a veracidade de uma a�rmação especí�ca. 
Consideremos 
Agora, vamos investigar dois métodos distintos de argumentação, enfatizando a distinção essencial
entre esses dois estilos de raciocínio. A indução é uma forma de raciocínio que se inicia com casos
particulares para formular uma conclusão geral. Por exemplo:
P1,  P2,  P3,  . . .Pn
Q
P1,  P2,  P3,  . . .Pn
Q
P1,  P2,  P3,  . . .Pn ↦ Q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
O papagaio é um pássaro e não tem dentes (premissa).
O bem-te-vi é um pássaro e não tem dentes (premissa).
O beija-�or é um pássaro e não tem dentes (premissa).
O pica-pau é um pássaro e não tem dentes (premissa).
Logo, os pássaros não têm dentes (conclusão).
É importante salientar que o raciocínio indutivo, ao partir de premissas especí�cas, nos leva a uma
conclusão mais abrangente que se mantém verdadeira até o surgimento de uma nova situação que a
contrarie.Esse tipo de raciocínio aposta na probabilidade e na observação empírica, estando aberto a
ajustes à medida que aparecem novas provas.
Por outro lado, a dedução é uma abordagem de raciocínio que começa com premissas de caráter geral
ou universal para derivar uma conclusão particular. Por exemplo:
Todos os gatos miam (premissa).
Jack é um gato (premissa).
Logo, Jack mia (conclusão).
Percebemos que, ao partir de uma característica ampla e aceita como verdadeira, chegamos a uma
característica mais especí�ca. Em resumo, iniciamos com situações gerais reconhecidas como
verdadeiras para deduzir detalhes particulares que também se mantêm verdadeiros. É essencial frisar
que, ao aplicar esses métodos de argumentação, é crucial estar vigilante quanto à solidez das premissas
adotadas, pois premissas insu�cientemente fundamentadas conduzem a uma conclusão de�ciente.
Vamos examinar um exemplo no qual o uso do raciocínio dedutivo conduz a uma conclusão
enfraquecida.
Todo leão é mamífero (premissa).
Thor é mamífero (premissa).
Logo, Thor é um leão (conclusão).
O equívoco reside na segunda premissa, pois mesmo assumindo que Thor é um chimpanzé, ambas as
premissas poderiam permanecer verdadeiras. Portanto, o raciocínio apropriado se apresentaria como:
Todo leão é mamífero (premissa).
Thor é leão (premissa).
Logo, Thor é um mamífero (conclusão). 
Ao contrário do raciocínio indutivo, o dedutivo tem a vantagem de não necessitar de elementos
probabilísticos para ser considerado correto ou para chegar a uma conclusão válida. Isso se deve ao fato
de que, na dedução, iniciamos com premissas gerais e verdadeiramente estabelecidas para inferir
conclusões especí�cas e verdadeiras. Esse processo garante a validade das a�rmações.
Assim, para realizar deduções acuradas, é crucial cumprir as seguintes condições:
I. As proposições empregadas devem ser verdadeiras, expressando a realidade e fazendo sentido
(verdade).
II. O raciocínio aplicado às proposições deve ser preciso, seguindo a lógica formal e mantendo um
arranjo coerente (validade). 
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Com base nas características mencionadas anteriormente, podemos a�rmar que uma argumentação
pode resultar em dois desfechos possíveis: ser consistente (válida) ou inconsistente (inválida). Uma
argumentação consistente ou válida é aquela que utiliza proposições verdadeiras e aplica corretamente a
lógica formal. Por outro lado, uma argumentação inconsistente ou inválida é aquela que faz uso de
proposições falsas ou incorre em falácias lógicas ou so�smas.
Quando se avalia a validade de um argumento, é essencial que a condicional 
1º passo: construímos a tabela verdade para as premissas com a coluna
2º Passo: incluímos a coluna com os valores lógicos da conclusão 
3º Passo: examinamos se há uma relação lógica de implicação entre as premissas e a conclusão, isto é,
procuramos uma linha que exiba, nesta ordem, verdadeiro e falso (VF). Se houver pelo menos uma linha
na tabela-verdade que contenha os valores lógicos VF, o argumento não será considerado válido.
Um exemplo facilitará a compreensão. Vamos analisar o argumento a seguir:
Premissa 1: 
Premissa 2: 
Conclusão:
Vamos construir a tabela verdade.
Bloco 1
V  V  V  F 
V  F  F  V 
F  V  V  F 
F  F  V  V 
Bloco 2
P1 ∧  P2 ∧  P3 ∧  . . . ∧Pn → Q 
P1 ∧  P2 ∧  P3 ∧  . . . ∧Pn
Pn+1
p  → q
~q
~p
p q p → q ~q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
 
F  F 
F  F 
F  V 
V  V 
Tabela 1 | Tabela verdade do primeiro argumento. Fonte: elaborada pela autora.
Como não temos, nas duas últimas colunas da tabela verdade, nenhuma linha que apresente VF (nesta
ordem), o argumento 
Vamos considerar agora o seguinte argumento:
Premissa 1: 
Premissa 2: 
Conclusão: 
Vamos construir a tabela verdade.
Bloco 1
 
V  V  V  V 
V  F  F  F 
F  V  V  V 
F  F  V  F 
Bloco 2
V 
V 
(p → q) ∧ ~q  ~p
p  → q,  ~q ↦ ~p 
p  → q
q
p
p q p → q
(p → q) ∧ q 
p
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
F 
F 
Tabela 2 | Tabela verdade do segundo argumento. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, na terceira linha, nas duas últimas colunas dessa tabela verdade, temos a sequência VF.
Portanto, o argumento 
Siga em Frente...
Ao explorarmos a argumentação dedutiva, o silogismo surge como uma das formas mais fundamentais.
O estudo do silogismo abrange diversas variantes e combinações; neste contexto, será apresentada
apenas uma introdução ao tema. O silogismo é comumente encontrado em concursos públicos e
exames em geral. Ele é composto por apenas três termos, sendo:
1. Premissa maior.
2. Premissa menor.
3. Conclusão.
Vejamos um exemplo de um silogismo:
Toda criança brinca (premissa maior).
Otávio é criança (premissa menor).
Logo, Otávio brinca (conclusão).
Na estrutura das premissas e da conclusão do silogismo, é possível categorizar alguns termos com base
em sua extensão ou abrangência. No exemplo anterior, podemos designar a palavra “brinca” como o
termo maior, enquanto “criança” constitui o termo médio, e “Otávio” representa o termo menor. Note que
o termo que desempenha o papel de predicado na conclusão do argumento é chamado de termo maior.
Por sua vez, o termo que exerce a função de sujeito na conclusão é denominado termo menor. É
importante ressaltar que o termo médio é aquele presente exclusivamente nas premissas do argumento.
Os princípios na argumentação por meio do silogismo são condensados em oito regras fundamentais de
estrutura formal. A seguir, apresentam-se essas oito regras.
Todo silogismo é composto por apenas três termos: maior, médio e menor.
Na conclusão, os termos não podem ter uma extensão maior do que nas premissas.
O termo médio não pode aparecer na conclusão.
O termo médio deve ser universal ao menos uma vez.
p  → q,  q ↦ p
p → q
q 
p
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Não se pode inferir conclusões a partir de duas premissas negativas.
Não pode haver conclusões negativas a partir de duas premissas a�rmativas.
A conclusão sempre segue a premissa mais fraca.
De duas premissas particulares, nada se conclui.
É importante destacar que as quatro primeiras regras lidam com as relações entre os termos, enquanto
as quatro últimas tratam das relações entre as premissas. Ao aplicarmos essas oito regras, podemos
obter e veri�car a validade ou invalidade de uma argumentação.
Vamos Exercitar?
Vamos retomar as propriedades apresentadas no início da aula:
A = {x|x é um múltiplo positivo de 4}
B = {x|x é um número par e 
De início, precisamos primeiro saber como lê-las, no caso temos:
A = x é um número tal que x é um múltiplo positivo de 4.
B = x é um número tal que x é um número par maior ou igual a 4 e menor que 16.
Como exemplo dos conjuntos temos:
Múltiplos de 4: A = {0,4,8,12,16, ... ,4n}
B = {4,6,8,10,12,14}
Assim, o conjunto solução são os elementos que pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo; logo,
como o conjunto B é �nito, podemos de�nir que a reposta são os elementos {8, 12}.
Ao concluir o estudo da teoria dos conjuntos, abrimos a porta para uma compreensão mais profunda da
matemática e de suas aplicações práticas. Compreender os conceitos de conjuntos, subconjuntos,
conjuntos das partes, pertinência e continência não apenas aprimora nossa habilidade analítica, mas
também nos prepara para explorar campos mais avançados, demonstrando a beleza e a universalidade
dos princípios matemáticos. Portanto, o estudo da teoria dos conjuntos é um passo importante na
jornada do estudante ou pro�ssional que busca excelência e precisão no pensamento crítico e na
aplicação prática da matemática.
Saiba mais
Uma estratégia fundamental de aprendizado em matemática envolve a prática da resolução de
exercícios, pois essa abordagem permite a aplicação das diversas propriedades relacionadas aos
4  ≤  x sobre a lógica matemática, sugerimos a leitura do
capítulo 2 – “Raciocínio Lógico” do livro Raciocínio lógico-matemático para concursos, de Paulo Quilelli
(2015), disponível em sua Biblioteca Virtual. Ao �nal do capítulo, selecione alguns exercícios e resolva-os.
Para aprimorar os seus conhecimentos sobre silogismos, leia a seção 8.2.2.1 – “Silogismo”, do livro
Raciocínio lógico-matemático facilitado, de Bruno Villar (2019), disponível em sua Biblioteca Virtual. Não
se esqueça de selecionar alguns exercícios e resolvê-los. Bons estudos!
Referências
ABDALLA, Samuel L. Raciocínio lógico para concursos. São Paulo: Editora Saraiva, 2018. E-book. ISBN
9788553604074. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788553604074/.
Acesso em: 10 mar. 2024.
BARBOSA, Marcos Antonio. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: Intersaberes,
2017. E-book. Disponível em: https://plataforma.bvirtual.com.br. Acesso em: 18 mar 2024.
BISPO, Carlos Alberto F.; CASTANHEIRA, Luiz B.; FILHO, Oswaldo Melo S. Introdução à lógica matemática.
São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2017. E-book. ISBN 9788522115952. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522115952/. Acesso em: 20 mar. 2024.
BUENO, José de França. Elementos da matemática. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional S.A.,
2017. E-book. ISBN 9788552200406. Disponível em: https://biblioteca-
virtual.com/detalhes/ebook/6087050054aa8872fc616f4f. Acesso em: 8 mar. 2024. 
MORAIS, José Luiz de. Matemática e lógica para concursos. São Paulo: Saraiva, 2012.
QUILELLI, Paulo. Raciocínio lógico-matemático para concursos. 3ª edição. São Paulo: Editora Saraiva,
2015. E-book. ISBN 9788502628427. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788502628427/. Acesso em: 13 mar. 2024.
VILLAR, Bruno. Raciocínio lógico-matemático facilitado. São Paulo: Grupo GEN, 2019. E-book. ISBN
9788530987367. Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788530987367/.
Acesso em: 21 mar. 2024.
Aula 2
Regras de inferência
Regras de inferência
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Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
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Olá, estudante! Dentro da esfera da lógica, é essencial mergulhar no estudo da argumentação.
Fundamentalmente, construir um argumento signi�ca utilizar premissas para chegar a uma conclusão
por meio do raciocínio lógico. Para formular uma conclusão que seja forte, con�ável e acessível a todos,
é crucial adotar uma abordagem clara e sistemática, que possa ser replicada. Nesse cenário, um ponto
de grande importância é a veri�cação da solidez dos argumentos. Assim, como podemos trabalhar com
premissas e argumentos até formularmos conclusões? Vamos juntos descobrir!
Ponto de Partida
No contexto da lógica, é essencial mergulhar no estudo da argumentação. Formular um argumento
implica empregar premissas para chegar a uma conclusão através de raciocínio lógico. Uma conclusão
forte, coerente e compreensível demanda a aplicação de um método claro e replicável. A validação dos
argumentos é crucial tanto para persuasão quanto para a integridade do raciocínio. Premissas sólidas e
raciocínio consistente aumentam a persuasão, enquanto a validação ajuda a evitar falácias lógicas.
Ao analisar minuciosamente as premissas e a estrutura lógica do argumento, é possível identi�car e
corrigir inconsistências, garantindo um raciocínio válido. Esse processo não apenas reforça a
fundamentação lógica do argumento, mas também contribui para criar uma narrativa persuasiva e
credível. Em suma, validar um argumento assegura sua coerência lógica e amplia sua força persuasiva,
promovendo uma argumentação mais robusta e convincente.
Estudar esses argumentos nos dá propriedade para validar e concluir situações como:
Eu não tirarei boas notas.
Se eu gosto de estudar, então eu tirarei boas notas.
Portanto, eu não gosto de estudar.
Podemos inferir essa conclusão? Podemos validar esse argumento? Vamos, então, começar nossos
estudos?
Vamos Começar!
Temos que um argumento válido é aquele em que, se as premissas forem todas verdadeiras, a conclusão
será, obrigatoriamente, verdadeira. Para identi�car se um argumento é válido, podemos utilizar tabelas
verdade. Considere um argumento constituído das premissas 
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
1º passo: construímos a tabela verdade para as premissas com a coluna 
2º passo: incluímos a coluna com os valores lógicos da conclusão pn+1 na tabela verdade anterior.
No 3º, procuramos por uma implicação lógica entre as premissas e a conclusão, ou seja, buscamos uma
linha que tenha, nesta ordem, VF. Se encontrarmos pelo menos uma linha na tabela verdade com esses
valores lógicos, então o argumento não é válido. Ou seja,
Premissa 1: 
Premissa 2: 
Conclusão: 
Construímos a tabela verdade a seguir:
Bloco 1
V  V  V  V 
V  F  F  F 
F  V  V  F 
F  F  V  F 
Bloco 2
V 
F 
V 
F 
Tabela 1 | Validade de um argumento por tabela verdade. Fonte: elaborada pela autora.
p1, p2, p3, . . . , pn
pn+1
p1  ∧ p2  ∧ p3
p
p  →  q
q
p q p  →  q p ∧ (p  →  q)
q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Como não temos, nas duas últimas colunas da tabela verdade, nenhuma linha que apresente VF (nesta
ordem), o argumento p, p   q   q é válido. Considere agora um outro argumento:
Premissa 1: 
Premissa 2: 
Conclusão: 
Bloco 1
V  V  V  F 
V  F  F  F 
F  V  V  V 
F  F  V  V 
Bloco 2
F  F 
F  V 
V  F 
V  V 
Tabela 2 | Validade de um argumento por tabela verdade. Fonte: elaborada pela autora.
Observe que, na terceira linha, nas duas últimas colunas dessa tabela verdade, temos a sequência VF.
Portanto, o argumento (p q),(~p) ~q não é válido. As premissas p q e ~p apresentam valor lógico
verdadeiro, mas a conclusão é falsa.
So�smas são argumentos nos quais as premissas são verdadeiras logicamente, mas a conclusão é
falsa. As regras de inferência constituem argumentos válidos essenciais. Você pode veri�car a validade
de cada um desses argumentos construindo suas tabelas verdade correspondentes. Elas são
empregadas para realizar demonstrações ou provas de argumentos. Ou seja, essas regras de inferência
são utilizadas como passos intermediários na demonstração de um argumento mais complexo. Em uma
demonstração especí�ca, é comum aplicarmos várias dessas regras de inferência, e não há restrição
para usá-las mais de uma vez em uma demonstração.
p  →  q
~ p
~ q
p q p  →  q ~p
(p  →  q) ∧ ~p ~q
Disciplina
ELEMENTOS DA MATEMÁTICA I
Siga em Frente...
As principais regras de inferência são:
Modus ponens
Premissa 1: p   q; premissa 2: p; conclusão: q. Nele, se uma implicação é verdadeira e o antecedente é
verdadeiro, então o consequente também será verdadeiro.
No modus ponens, você utiliza a implicação para provar que o consequente é verdadeiro ao demonstrar
que o antecedente é verdadeiro.
Se eu tenho dinheiro, então vou viajar (p   q).
Eu tenho dinheiro (p).
Portanto, vou viajar (  q).
Modus tollens
Premissa 1: p   q; premissa 2: ~ q; conclusão: ~ p. Nele, se o consequente é falso (e a implicação é
verdadeira), então é o antecedente que deve ser falso.
No modus tollens, utiliza-se a implicação para