lista_6_(derivada_e_reta_tangente)

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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO
INSTITUTO MULTIDISCIPLINAR - DTL
Lista 6 - Ca´lculo I
1) Ache a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o no ponto
(x1, y1). Esboce o gra´fico da func¸a˜o no intervalo indicado e segmentos de
reta tangente em alguns pontos.
(a) y = 9− x2 em [−3, 3]
(b) f(x) = y = −2x2 + 4x em [−2, 2]
(c) y = x3 + 1 em [−2, 2]
2) Ache a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o no ponto indi-
cado.
(a) y = x2 − 4x− 5 em (−2, 7)
(b) y = x
3
8
em (4, 8)
(c) y = 6
x
em (3, 2)
(d) y = x4 − 4x em (0, 0)
3) Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva y = 2x2 + 3 que e´ paralela a`
reta 8x− y + 3 = 0.
4) Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva que e´ perpendicular a` reta
x− y = 0.
5) Determine os pontos nos quais a inclinac¸a˜o da reta tangente e´ nula
para a func¸a˜o f(x) = sin x.
6) Ache a derivada da func¸a˜o f(x) = x
1
3 , pela definic¸a˜o.
7) Dada a func¸a˜o, calcule a derivada no ponto indicado.
(a) f(x) = 2
x
3 , f
′(4)
(b) f(x) = 2√
x
− 1, f ′(4)
(c) f(x) = 4− x2 , f ′(5)
8) Trace o esboc¸o da func¸a˜o f , determine se f e´ cont´ınua em x1, calcule
f ′−(x1) e f
′
+(x1), se existirem, e determine se f e´ deriva´vel em x1.
(a) f(x) =
{
x + 2 se x ≤ −4
−x− 6 se x > −4 em x1 = −4
(b) f(x) =
{ √
1− x se x < 1
(1− x)2 se x ≥ 1 em x1 = 1
(c) f(x) = |x− 3|, em x1 = 3
(d) f(x) =
{
3x2 se x ≤ 2
x3 se x > 2
em x1 = 2
(e) f(x) = 3
√
x + 1, em x1 = −1
9) Seja f(x) =
√
4− x2.
(a) Mostre que f e´ cont´ınua em [−2, 2].
(b) f ′+(−2) e f ′−(2) na˜o existem.
(c) esboce o gra´fico de f .
10) Ache os valores de a e de b tais que f seja deriva´vel em 2 se
f(x) =
{
ax + b se x < 2
2x2 − 1 se x ≥ 2
11) Uma bola de bilhar e´ atingida e movimenta-se em linha reta. Se s
for a distaˆncia da bola de sua posic¸a˜o inicial apo´s t segundos, enta˜o s(t) =
100t2+100t. Com qual velocidade a bola atingira´ a tabela se este ponto esta´
a 39 cm da posic¸a˜o inicial?
12) Mostre que f e´ deriva´vel em um ponto a, enta˜o f e´ cont´ınua em a.
13) Derive as func¸o˜es. ( Na˜o esquec¸a de escrever a notac¸a˜o de derivada,
se f e´ uma func¸a˜o de x, a derivada denota-se por
df
dx
ou D
x
(f) ou f ′(x) ).
(1) f(x) = cosx. cot x (2) g(x) = sec4(2x2)
(3) f(y) = cot y. csc y (4) h(y) =
(
y − 7
y + 2
)2
(5) f(z) =
2 cos z
z + 1
(6) g(x) = sec2 x. tan2 x
(7) f(t) =
2 csc t− 1
csc t + 2
(8) f(x) =
(
2x− 1
3x2 + x− 2
)3
(9) f(x) =
sin x
x
(10) h(x) = 4 cos(sin(3x))
(11) f(x) =
cot2(2x)
1 + x2
(12) g(t) =
(
sin(
1
5t2 + 2t
)
)3
(−7 + t3)8
14) Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva 16x4 + y4 = 32, no ponto
(1, 2).
15) Ache a equac¸a˜o da reta normal a` curva x2 + xy + y2 − 3y = 10, no
ponto (2, 3).
1) a)−2x1 b)−4x1+4 c)3x21
y = 6x + 18
y = 4x + 13
y = −2x + 10
y = 9
y = −2x + 10
y = −4x + 13
y = −6x + 18
Ex 1) a) Gra´fico de y = 9− x2
e das retas tangentes a` curva
nos pontos (-3,0),(-2,5),(-1,8),(0,9)
(1,8),(2,5) e (3,0)
1 2 3 4−1−2−3−4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
−1
2) a)8x + y + 9 = 0 b)6x − y − 16 = 0 c)2x + 3y − 12 = 0
d)4x + y = 0
3) 8x− y − 5 = 0
4) 4x + 4y − 11 = 0
5)
6) f ′(x) =
1
3
3
√
x2
7) (a) -3/128 (b) -1/8 (c) -10
8)
(a) E´ cont´ınua em -4, f ′−(−4) = 1 e f ′+(−4) = −1, na˜o e´ deriva´vel em -4.
(b) E´ cont´ınua em 1, f ′−(1) na˜o existe e f
′
+(1) = 0, na˜o e´ deriva´vel em 1.
(c) E´ cont´ınua em 3, f ′−(3) = −1 e f ′+(3) = 1, na˜o e´ deriva´vel em 3.
(d) Na˜o e´ cont´ınua em 2, f ′−(2) = 12 e f
′
+(2) = 12, na˜o e´ deriva´vel em 2.
(e) E´ cont´ınua em -1, f ′−(−1) e f ′+(−1) na˜o existem, na˜o e´ deriva´vel em
-1.
0 1 2 3 4 5 6−1−2
1
2
3
Ex. 8) e) Gra´fico de y = 3
√
x + 1
10) a = 8 e b = −9
11) 160 cm/s
13)
(1)− sin x cot x + cosx(−1− cot(x)2) (2) 16 sec4(2x2) tan(2x2)
(3)− csc y(2 cot2 y + 1) (4) 18(y − 7)
(y + 2)3
(5)−2(z + 1) sin z + 2 cos z
(z + 1)2
(6) 2 sec2 x tan x(2 tan2 x + 1)
(7)− 5 csc t cot t
(csc t + 2)2
(8) −9(2x− 1)
2(2x2 − 2x + 1)
(3x2 + x− 2)4
(9)
cos(x)
x
− sin(x)
x2
(10) −12 cos(3x) sin(sin(3x))
(11)
2 cot(2x)(−2− 2 cot(2x)2)
1 + x2
− 2 cot(2x)
2x
(1 + x2)2
(12)−
−3 sin( 1
5t2 + 2t
)2 cos(
1
5t2 + 2t
)(10t+ 2)
(−7 + t3)8(5t2 + 2t)2 −
24 sin(
1
5t2 + 2t
)3t2
(−7 + t3)9
14) 2x + y = 4
15) 5x− 7y + 11 = 0