Apostila 2016-1 RM1

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APOSTILA DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
Prof. Kenji 
 
 
 
VISÃO GERAL DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
A resistência dos materiais é o ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas 
aplicadas a um corpo deformável e a sua intensidade de forças internas quer atuam dentro do 
corpo. Este estudo abrange também o cálculo das deformações do corpo e o estudo de sua 
estabilidade, quando submetido a forças externas. A tensão de a deformação são grandezas 
fundamentais mos procedimentos que envolvem o cálculo de uma estrutura. 
Estrutura é a parte que sustenta uma construção ou um equipamento. 
Alguns elementos estruturais: 
Blocos – tem as 3 dimensões com valores da mesma ordem de grandeza; 
Placas – tem 1 das dimensões bastante inferior às demais; 
Barras – tem 2 dimensões bastante inferiores à terceira. 
Projeto estrutural 
São necessárias 3 fases para o cálculo de uma estrutura: 
Anteprojeto – A estrutura pode ser um navio, um edifício, uma prótese óssea, etc. e e tem suas 
dimensões arbitradas segundo critérios técnicos e empíricos. 
Modelagem – Modelar é descrever um comportamento através de equações matemáticas. Numa 
estrutura leva-se em consideração o conhecimento do comportamento dos elementos estruturais 
e do carregamento envolvido e determinadas as deformações e tensões e que a estrutura está 
submetida. 
Dimensionamento dos elementos estruturais – É necessário o conhecimento de questões 
específicas de cada material que constitui a estrutura (aço, madeira, concreto, etc.) 
O cálculo de uma estrutura depende de 3 critérios: 
 Estabilidade - Toda estrutura deverá atender às equações universais de equilíbrio estático. 
 Resistência - Toda estrutura deverá resistir às tensões internas geradas pelas ações 
solicitantes 
 Rigidez - Além de resistir às tensões internas geradas pelas ações solicitantes, as estruturas 
não podem se deformar excessivamente. 
Pressupostos 
A resistência dos materiais é uma ciência desenvolvida a partir de ensaios experimentais e de 
análises teóricas que determinam o comportamento mecânico das peças em modelos 
matemáticos idealizados, que devem ter razoável correlação com a realidade. 
Alguns pressupostos são admitidos nestas deduções: 
1. Continuidade – a matéria apresenta uma estrutura contínua, desconsiderando-se todas os 
vazios e porosidades; 
2. Homogeneidade – o material apresenta características mecânicas em todos os pontos; 
3. Isotropia – o material apresenta as mesmas características mecânicas em todas as direções. 
Ex. a madeira apresenta características distintas, nas direções da fibra e na perpendicular, 
portanto não é considerado isotrópico; 
4. Equilíbrio – se a estrutura está em equilíbrio, cada uma das partes também está em 
equilíbrio; 
5. Pequenas deformações – as deformações são muito pequenas quando comparadas com as 
dimensões da estrutura; 
6. Lei de Hooke – a força aplicada é proporcional ao deslocamento: F = k . d. 
7. Conservação de áreas – a seção transversal, após a deformação, conserva as suas 
dimensões primitivas. 
Para compensar as incertezas na avaliação das cargas, na determinação das propriedades dos 
materiais, nos pressupostos ou nas simplificações é previsto nas Normas Técnicas a adoção de 
coeficientes de segurança adequados. 
VÍNCULOS OU APOIOS 
Vínculos de 1ª classe 
Impedem o movimento de translação na direção normal ao plano de apoio, fornecendo 1 única 
reação. 
 
 
 
Vínculos de 2ª classe 
Impedem 2 movimentos, no sentido vertical e horizontal, podendo fornecer duas reações. 
 
 
 
Engastamento de 3ª classe 
Impede a translação em qualquer direção, impedindo também a rotação através de um 
contramomento, que bloqueia a ação do momento de solicitação. 
 
 
 M 
 
Rx e Ry impedem o movimento na direção x e y e M impede a rotação. 
ESTRUTURA 
É o conjunto de elementos de construção, composto com a finalidade de receber e transmitir 
esforços. 
TIPOS DE ESTRUTURAS 
Estruturas hipoestáticas – Este tipo de estrutura é instável à elasticidade. 
 
 
 
 RA RB 
 
 
x 
y 
Ry 
Rx 
P 
Estruturas isoestáticas 
É quando o número de reações a serem determinadas é igual ao número de equações de 
estática. 
 
 
 RAY RB 
Estruturas hiperestáticas 
É quando a quantidade de equações de estática são insuficientes para determinar as reações nos 
apoios. Para solucionar a questão é possível utilizar as equações de deslocamento. 
 
 
 
REVISÃO DE MECÂNICA GERAL 
FORÇA 
Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou 
provocar deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela 
expressão da física: 
F = m.a 
onde: 
F = força 
m = massa do corpo 
a = aceleração provocada 
Sendo força um elemento vetorial somente se caracteriza se forem conhecidos a direção, o 
sentido, o módulo ou intensidade e o ponto de aplicação 
Força pode provocar movimento ou deformação 
Peso dos corpos 
O peso dos corpos é uma força de origem gravitacional que apresenta características especiais. 
Módulo: P = m.g 
Direção: Vertical 
Sentido: de cima para abaixo 
Ponto de aplicação: centro de gravidade do corpo 
UNIDADES 
Existem muitas unidades representando forças sendo as mais comuns: 
N – Newton 
kgf - kilograma força 
Relação: 1 kgf = 10 N 
 
 
P 
RAX 
P RAX 
RAY RBY 
RBX 
CARACTERÍSTICAS DAS FORÇAS 
Princípio de ação e reação 
Quando dois corpos se encontram, toda a ação exercida por um dos corpos sobre o outro 
corresponde uma reação do segundo sobre o primeiro de mesmo módulo e direção, mas com 
sentidos contrários, que é a 3ª lei de Newton. 
Pode-se observar que estas duas forças têm pontos de aplicação diferentes e, portanto causam 
efeitos diferentes, cada uma atuando no seu ponto de aplicação. 
Princípio da transmissibilidade de uma força 
Quando se aplica uma força em um corpo sólido a mesma se transmite com seu módulo, direção 
e sentido em toda a sua reta suporte ao longo deste corpo. 
 
 
REVISÃO DE TRIGONOMETRIA 
Triângulo retângulo 
 
 
 
 
 
 
sen  = 
 
 
 cos  = 
 
 
 tg  = 
 
 
 
sen  = 
 
 
 cos  = 
 
 
 tg  = 
 
 
 
Assim: 
c = a . sen  b = a . cos  
 = arc sen 
 
 
  = arc cos 
 
 
  = arc tg 
 
 
 
Relação fundamental da trigonometria 
sen2 x + cos2 x = 1 
Razões Trigonométricas especiais 
 
 30 O 45 O 60 O 
seno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
cosseno 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tangente 
 
 
 1 
A C 
a 
B 
c 
b 
 
 
Triângulo qualquer 
 
 
 
 
 
 
Lei dos senos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 2R 
Lei dos cossenos 
a2 = b2 + c2 – 2bc . cos A 
b2 = a2 + c2 – 2ac . cos B 
c2 = a2 + b2 – 2ab . cos C 
Decomposição das forças 
Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo três direções que desejarmos. 
Normalmente, usam-se como referência três direções ortogonais entre si, escolhidas de acordo 
com a conveniência do problema. 
 
Nestes casos pode-se usar a resultante F ou suas componentes Fx, Fy e Fz para obter o efeito 
desejado. 
Qualquer força contida em um plano também pode ser decomposta segundo duas direções. 
Normalmente são usadas duas direções perpendiculares entre si, também escolhidas de acordo 
com a conveniência do problema. 
No caso plano que é o mais usual: 
 
 
 
 
y 
 
Fy F 
x Fx 
a b 
c 
R 
A 
C 
B 
Fx = F . cos  
Fy = F . sen  
 
A força F decomposta também podeser chamada de resultante da soma vetorial de suas 
componentes Fx e Fy. 
Nos problemas pode-se utilizar para cálculos apenas a força resultante, ou as suas componentes, 
o que se tornar mais fácil. Isto pode se constituir em uma das ferramentas mais úteis no trabalho 
com as forças. 
A soma vetorial ou geométrica não corresponde à soma algébrica. 
Exemplo: Calcular a resultante das forças F1 = 50 N, F2 = 80 N e F3 = 70 N, aplicadas no bloco 
conforme a figura. 
 
 
 
Exemplo: Calcular as componentes Fx e Fy, da força F, da figura. 
 
 
 
Exercício: Calcular as componentes horizontal e vertical da força de 200 N aplicada na viga, 
conforme figura. 
 
 
 
Exercício: Calcular as cargas nos cabos que sustentam o peso de 4 kN. 
 
 
 
 
CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS 
As forças podem ser classificadas de acordo com a sua origem, modo de se comportar, etc. como, 
por exemplo, as forças de contato (ex: locomotivas, musculares, etc.) e as de ação à distância (ex: 
elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc.). 
Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo: 
F1 F2 F3 
Fx 
Fy 
F 
30 o 
60 o 
60 o 50 
o 
P 
Forças externas: atuam na parte externa na estrutura e são o motivo de sua existência. Podem 
ser: 
Ações: São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura. 
Correspondem às cargas as quais a estrutura está submetida, normalmente são conhecidas ou 
avaliadas. 
Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso próprio das estruturas, etc. 
Reações: São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vínculos ou apoios), 
sendo consequência das ações, portanto não são independentes, devendo ser calculadas para se 
equivalerem as ações e assim preservarem o equilíbrio do sistema. 
Forças internas: são aquelas que mantêm unidos os pontos materiais que formam o corpo sólido 
de nossa estrutura (solicitações internas). Se o corpo é estruturalmente composto de diversas 
partes, as forças que mantém estas partes unidas também são chamadas de forças internas 
(forças desenvolvidas em rótulas). 
MOMENTO DE UMA FORÇA 
O momento de uma força é a medida da tendência que tem a força de produzir giro em um corpo 
rígido. Este giro pode se dar em torno de um ponto (momento polar) ou em torno de um eixo 
(momento axial). 
Momento polar (momento de uma força em relação a um ponto) 
Chama-se de momento de uma força F em relação a um ponto O, o produto vetorial do vetor OA 
pela força F, sendo A um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da força F. Logo, também é 
um vetor, e para a sua caracterização é preciso determinar o seu módulo, direção e sentido. 
Representa fisicamente a grandeza da tendência de giro em torno deste ponto que esta força 
impõe ao corpo. 
 
 
 
O efeito do vetor momento é o de provocar um giro com determinado sentido em relação ao ponto 
O considerado. O vetor momento apresenta as seguintes características: 
· direção: perpendicular ao plano formado pela força e pelo vetor OA 
· sentido: regra da mão direita 
· módulo: produto do módulo da força F pela menor distância do ponto O a reta suporte da força. 
· ponto de aplicação: ponto "O" em relação ao qual se calculou o momento. 
Mo = F .OA.sen  
 
ou Mo = F. d 
 
A distância d que representa o módulo do vetor OA é também chamada de braço de alavanca. Ela 
é a menor distância entre a reta suporte da força e o ponto em relação ao qual se calcula o 
momento, isto é, pode ser obtida pela perpendicular à reta que passa pelo ponto. Isto simplifica 
em muito o calculo do momento polar de uma força. 
 
 
M = F.d 
 
 
Regra da mão direita: 
A regra da mão direita consiste em se posicionar os dedos da mão direita no sentido da rotação 
provocada pela força em torno do ponto O. Neste caso o polegar indica o sentido do momento. 
Exemplo: Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fim de 
que ela permaneça em equilíbrio estático. 
 
 
P1 = 30 kN 
a = 2 m 
b = 4 m 
P = ? 
Exemplo: Determine a força desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que ela permaneça em 
equilíbrio, sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra é presa a uma parede por meio de um pino 
O. 
 
 
G = 5 kN 
L = 3 m 
a= 15º 
T = ? 
 
Exercício: 1 tábua uniforme de 50 N suporta 2 crianças que pesam 500 N e 400 N. Estando o 
suporte da gangorra no centro de gravidade da tábua e a criança de 500 N a 1,2 m do centro, 
determine 
a) A força para cima exercida pelo suporte sobre a tábua; 
b) Onde a criança de 400 N deve se sentar a fim de equilibrar o sistema? 
 
Exercício: Calcular o momento provocado na alavanca da morsa, durante a fixação da peça, 
conforme a figura. 
 
 
 
Momento axial 
Momento axial é o valor algébrico da projeção ortogonal sobre o eixo do momento polar produzido 
pela força em relação a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado por uma grandeza 
escalar quando se adota uma convenção para a orientação do eixo. 
Exemplo 1: Força perpendicular ao plano do eixo 
 
Mx = F . d 
Força inclinada em relação ao plano do eixo 
 
 Mx = Fz . d 
Fz = F . sen a 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
O momento de uma força em relação a um eixo é nulo sempre que a força e o eixo forem 
coplanares (concorrentes ou paralelos). 
Unidade de momento 
Sendo o momento produto de uma força por uma distância, a unidade desta grandeza é o produto 
de uma unidade de força por uma unidade de distância. 
Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etc 
O momento axial produzido por um sistema de forças atuando simultaneamente em um corpo é 
igual à soma algébrica dos momentos axiais, produzidos em relação ao mesmo eixo, de cada uma 
das forças atuando isolada. 
BINÁRIO OU PAR DE FORÇAS 
Denomina-se binário a um sistema constituído por um par de forças paralelas de módulos iguais e 
sentidos opostos. A resultante em termos de forças é nula, entretanto há um momento polar 
resultante de módulo igual ao produto da força pela distância entre as duas forças paralelas. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Supondo as forças indicadas no desenho atuando perpendicularmente ao eixo x. O 
sistema 1 representa 1 binário e o sistema 2 representa outro. 
a) Quanto vale o binário 1? 
b) Quanto vale o binário 2? 
c) São equivalentes? Pq? 
d) Quanto vale o momento polar do sistema 1 em relação ao ponto A, C e E? 
e) Quanto vale o momento polar do sistema 2 em relação ao ponto B, D e E? 
f) Quanto vale o momento polar resultante destes 2 sistemas em relação aos pontos A, B, C, 
D e E? 
 
 
 
 
 
Cargas distribuídas 
São as cargas que atuam ao longo de um trecho. Para os cálculos adota-se que a carga total 
estará aplicada no centro geométrico da peça que origina a carga. 
 
Exemplos: O peso próprio da viga. 
 
d 
M 
F F 
5kN 5kN 
10kN 10kN 
1m 1m 2m 2m 
A B C D E 
1 1 
2 2 
O peso de uma caixa d´água atuando sobre uma viga. 
 
 
 
 
Exemplo: Determinar as reações nos apoios, nas vigas solicitadas pela reação da carga 
distribuída, conforme a figura. 
 
 
 
 
 
A resultante da carga distribuída de intensidade q e comprimento l será q . l e atuará no ponto l/2, 
em relação a A ou B. 
 
 
 
 
 
TENSÕES E DEFORMAÇÕES 
Denomina-se tensão ou pressão a relação entre uma força aplicada em uma estrutura e a área 
dessa estrutura transversal à força. As aplicações práticas mais usuais na engenharia são: 
Tensão de compressão em pilares 
P é a carga axial de compressão aplicada segundo o eixo longitudinal do pilar, sendo C o 
centroide da secção transversal. Dispersando o próprio peso do pilar, a tensão de compressão  C 
é: 
 
 C = 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão de traçãoem barras, fios de aço, cabos, cordoalhas e estais 
As barras geralmente metálicas podem ser submetidas à tração para, conforme a figura. 
8m 
q = 30N/m 
A B 
4m 4m 
RA RB 
Q 
P 
 A, B e C são articulações 
 
 
 
 
 
A barra BC está tracionada e a barra AC está comprimida. 
Barra BC 
T = T/S 
S = área da secção transversal da barra BC 
Fio de aço com diâmetro d 
 T = P/S = 4P/( d2) 
 S =  d2/4 
As cordoalhas são cabos de aço flexíveis compostas de fios de aço especiais entrelaçados e os 
estais são cabos de aço compostos por dezenas de cordoalhas, o que lhes proporcionam grande 
capacidade de carga, sendo utilizadas para sustentar tabuleiros das pontes estaiadas. Os estais 
trabalham tracionados. 
 
 
Suécia/Dinamarca 
 
Exemplo: Uma barra de secção circular com 50 mm de diâmetro, e tracionada por uma carga 
normal de 36 kN. Determine a tensão normal atuante na barra. 
 
 
 
 
P 
A 
B 
C 
Fio de aço tracionado 
DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
O diagrama tensão-deformação é o gráfico dos correspondentes valores de σ e ε, onde o eixo das 
ordenadas representa as tensões σ e o eixo das abscissas representa as deformações ε. É 
importante ressaltar que diagramas de 2 corpos de prova de um mesmo material podem não ser 
exatamente idênticos, pois os resultados dependem de várias variáveis como: composição do 
material, imperfeições microscópicas, fabricação, velocidade de aplicação da carga e temperatura 
do ensaio. 
 
Figura-Diagrama tensão-deformação para um material dúctil 
Comportamento elástico: Os elementos estruturais utilizados na construção civil quando são 
submetidos a esforços de tensão sofrem deformações com intensidades proporcionais às tensões 
aplicadas. Aumentando-se as tensões aplicadas, aumentam-se as deformações até um ponto 
limite, a partir do qual as deformações aumentam significativamente, além da proporcionalidade 
que vinha ocorrendo anteriormente. Este ponto é chamado de Limite de Proporcionalidade. 
As estruturas devem ser projetadas para que os elementos trabalhem no trecho linear do 
diagrama tensão-deformação, visto que nesse trecho cessada a tensão, cessa a deformação e a 
estrutura volta à sua geometria original. 
O trecho linear tem um comportamento elástico e segue a Lei de Hooke. 
 = E .  
E – módulo de elasticidade ou módulo de Young 
 - deformação 
 = L / L 
Até o Y o trecho é não linear, onde a deformação cresce mais rapidamente que a tensão até o 
limite elástico ou ponto de escoamento. 
Escoamento: Depois temos a região de escoamento onde ocorre a plastificação. Um leve 
aumento na tensão, acima do limite elástico, resultará numa acomodação do material causando 
uma deformação permanente. 
 
 
A tensão que causa o escoamento é chamada de tensão de escoamento, σY. Neste caso, mesmo 
se a carga for removida, o corpo de prova continuará deformado. O corpo de prova poderá 
continuar a se alongar mesmo sem qualquer aumento de carga. Nesta região, o material é 
denominado perfeitamente plástico. 
Deformação específica por endurecimento: Se ao término do escoamento, uma carga adicional 
for aplicada ao corpo de prova, a tensão continuará a aumentar com a deformação específica 
continuamente até atingir um valor de tensão máxima, referida por tensão última, σU. Durante a 
execução do ensaio nesta região, enquanto o corpo de prova é alongado, sua área da seção 
transversal diminui ao longo de seu comprimento nominal, até o ponto que a deformação 
corresponda a tensão última. 
Estricção: Ao atingir a tensão última, a área da seção transversal começa a diminuir em uma 
região localizada do corpo de prova, e não mais ao longo do seu comprimento nominal. Este 
fenômeno é causado pelo deslizamento de planos no interior do material e as deformações reais 
produzidas pela tensão cisalhante (necking). Uma vez que a área da seção transversal diminui 
constantemente, esta área só pode sustentar uma carga menor. Assim, o diagrama tensão-
deformação tende a curvar-se para baixo até a ruptura do corpo de prova com uma tensão de 
ruptura, σR. 
 
Corpo de prova instante antes e depois da ruptura para material dúctil 
Exemplo: O diagrama tensão-deformação de um material é mostrado abaixo. Se um corpo de 
prova é carregado até 600 MPa, determine a deformação permanente remanescente quando o 
corpo é descarregado. 
 
Exercício: Em uma haste de latão são marcados 2 traços que distam entre si 50,0 mm. A haste é 
tensionada de forma que a distância entre os 2 traços passa a ser de 56,7 mm. Calcule a 
deformação sofrida pela haste de latão. 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Uma barra de ferro de 4 m de comprimento e 0,5 cm2 de secção transversal é esticada 
1 mm, quando uma massa de 225 kg é pendurada em sua extremidade inferior. Considere g = 9,8 
m/s2. Calcule o módulo de Young da barra. 
 
Valores (faixas) dos módulos de elasticidade dos materiais de construção civil 
Material Peso específico (kN/m3) Módulo de elasticidade (kN/cm3) 
Concreto simples 24 2.500 
Concreto armado 25 3.000 
Aço estrutural 78,5 21.000 
Alumínio 26,9 7.000 
Bronze 83,2 9.800 
Cobre 88,8 10.500 
Madeira estrutural 3 a 12 700 a 1.400 
COEFICIENTE DE SEGURANÇA – TENSÃO ADMISSÍVEL 
Denomina-se tensão admissível ad ao valor da tensão adotada no projeto que garanta que a 
estrutura irá trabalhar no trecho linear da lei de Hooke. O valor de ad é obtido a partir da tensão 
escoamento dividido pelo coeficiente de segurança. 
ad = 
 
 
C.S. = coeficiente de segurança ou fator de segurança (F.S.) 
Os coeficientes ou fatores de segurança são estabelecidos pelas normas técnicas de cada país, 
no Brasil, pela ABNT. 
 
Exemplo: Um condomínio horizontal de residências com 422 casas será abastecido por uma 
caixa d´água metálica, cilíndrica, com 14 metros de diâmetro interno. Considerando 6 pessoas por 
casa e um consumo médio de 200 litros por morador, por dia e que a capacidade da caixa deve 
prever 5 dias de abastecimento, pede-se calcular a tensão de compressão nas 3 colunas ( = 100 
cm) de concreto armado que sustentarão a caixa. Considerar que o peso da estrutura metálica da 
caixa represente 6% do peso total do volume de água armazenada. 
Exercício: A viga de concreto armado da figura é prismática (secção transversal constante) e 
horizontal, com peso específico C = 25 kN/m
3. Apoiada nas suas extremidades por 2 pilares 
iguais, com secção quadrada de 30 cm de lado. A viga suporta uma parede de alvenaria com 18 
kN/m3 de peso específico e 30 cm de espessura, sendo de 6,2 a altura. A viga tem secção 
retangular com 30 cm de base e 80 cm de altura, sendo de 9 m o vão. Calcular a tensão de 
compressão nos pilares. 
 
50 mm 
56,7 mm 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: A viga horizontal, prismática da figura suporta a parede de alvenaria indicada. As suas 
extremidades são apoiadas por colunas com 20 cm de diâmetro. Calcular a tensão em cada pilar. 
 Viga de concreto - C = 25 kN/m
3 parede de alvenaria ALV = 16 kN/m
3 
 Base = 40 cm, altura = 90 cm espessura = 40 cm 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Calcular o diâmetro de uma coluna de um edifício alto, na sua base, sabendo-se que a 
área de influência da coluna é de 20 m2 e que para um edifício alto e sujeito a cargas de ventos, 
um parâmetro de projeto adequado é Ni = 1,2 Tf, por andar e por m2, sendo N a carga normal no 
pilar e i o número de andares. O edifício tem 40 andares e a tensão admissível do concreto 
armado da coluna é 20 Mpa. 
 
Exercício: Calcular a altura da parede de alvenaria da figura para que a tensão de compressão 
admissível dos pilares quadrados com 32 cm de lado atinja o valor de 60 kgf/cm2. A viga de 
concreto armado tem secção transversal retangular com0,5 m de base e 1,2 m de altura. 
CONCRETO = 2,5 tf/m
3, ALVENARIA = 2,0 tf/m
3, espessura da parede = 0,5 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TENSÃO DE CISALHAMENTO 
As tensões de cisalhamento atuam tangencialmente às superfícies, ao passo que as tensões de 
compressão/tração atuam perpendicularmente às superfícies. 
9m 
0,8m 
6,2m 
A B 
10 m 
90cm 
18m 
A B 
8m 
40cm 
h = ? 
10 m A B 
2 chapas soldadas. 
 
 
 
 
 
S = área de solda entre as duas placas 
 = tensão de cisalhamento 
 = F/S 
A tensão de cisalhamento é consequência da ação de forças cortantes. 
As peças sujeitas ao cisalhamento direto, tais como: parafusos, rebites, chavetas e etc. são 
dimensionadas em função da tensão média de cisalhamento atuante nas suas secções 
transversais. 
Exemplo: 1 placa é fixada a uma base de madeira por meio de 3 parafusos de diâmetro 22 mm. 
Calcular a tensão média de cisalhamento nos parafusos ara uma carga P = 120 kN, conforme 
figura. 
 
 
 
 
 
Exercício: Duas peças de madeira de seção retangular 80mm x 140mm são coladas uma à outra 
em um entalhe inclinado, conforme mostra a figura. Calcular as tensões na cola para P = 16 kN e 
 = 30o. 
 
 
COEFICIENTE DE POISSON 
Ao se aplicar uma força axial de tração em um corpo deformável esse corpo se alonga e se 
contrai lateralmente, já ao se aplicar uma força de compressão o oposto ocorre. 
 longitudinal = L/L 
 lateral = r/r 
O coeficiente de Poisson é definido pela relação entre essas duas deformações 
 = 
 
 
 
Essa relação é constante na faixa de elasticidade. O sinal é negativo porque um alongamento 
longitudinal, que é uma deformação positiva, gera uma contração lateral (deformação negativa). 
O coeficiente de Poisson é adimensional e varia entre 0,25 e 0,35 para sólidos não porosos. O 
valor máximo é 0,5 da borracha e o mínimo é zero para a cortiça. 
Solda 
S 
Exemplo: Uma barra de material homogênio e isotrópico de 500 mm de comprimento e 16 mm de 
diâmetro, sob a ação da carga axial de 12 kN, tem o seu diâmetro reduzido em 2,4 μm e seu 
comprimento aumentado em 300 μm. Determinar o coeficiente de Poisson do material. 
 
 
Revisão 
Exercício: Uma carga de 2000 kgf está suspensa conforme mostra 1, 2 e 3 a figura ao lado. 
Determinar as forças normais atuantes nas barras 
 
 
Calcular as tensões que ocorrem nos pilares retangulares das extremidades A e B da viga de 
concreto armado da figura. 
 Pilar retangular 
Lado a = 20 cm. Lado b = 50 cm 
Tensão admissível = 110 kgf/cm2 
Viga de concreto - CONCRETO = 25 kN/m
3 
Parede de concreto- ALVENARIA= 20 kN/m
3 
Espessura = 50 cm 
Pilar A = 20 cm x 50 cm, 
Pilar B = 30 cm x 50 cm 
 
Exercício: Calcular o diâmetro do rebite para unir, com segurança as duas chapas do esquema 
abaixo: O material do rebite tem limite de escoamento à cisalhamento de 600MPa. Usaremos 
coeficiente de segurança de 3. 
 
Exercício: A barra circular da figura é de aço e possui diâmetro de 20 mm e o comprimento de 
0,8m. Encontra-se submetida a uma carga axial de 10 kN. Pede-se: 
a) Tensão normal atuante; 
b) Alongamento; 
c) Deformação longitudinal 
d) Deformação transversal ou lateral. 
E AÇO = 210 GPa, = 0,3 
9 m 
12 m 
3 m 3 m 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: Determinar as tensões nos pilares em A e B, de diâmetro 30 cm, sendo a viga 
solicitada pela ação da carga distribuída, conforme a figura. 
 
 
 
 
0,8 m 
20 mm 
10 kN 
 
 
 
Exercício 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS 
Sistemas hiperestáticos são aqueles cuja solução exige que as equações da estática sejam 
complementadas pelas equações do deslocamento, originadas por ação mecânica ou por 
variação térmica. 
O deslocamento originado por ação mecânica será determinado através da lei de Hooke. 
 
Para estudar o deslocamento originado na peça pela variação de temperatura, vamos nos basear 
na experiência a seguir: 
Supondo inicialmente, que uma barra de comprimento l0 esteja a uma temperatura inicial t0. A 
barra ao ser aquecida passa para uma temperatura t, automaticamente acarretando o aumento da 
sua medida linear, lf = l0 + Δl. 
Essa variação da medida linear, observada na experiência, é proporcional a variação de 
temperatura (Δt), ao comprimento inicial da peça (l0), e ao coeficiente de dilatação linear do 
material (α); desta forma, podemos escrevê-la: 
 
PEÇAS HIPERESTÁTICAS 
 
Em casos onde a vinculação é excessiva (peça hiperestática), precisam-se também condições 
além das estabelecidas pelo equilíbrio estático. 
Como os vínculos nas extremidades são de 3ª espécie, conclui-se que a deformação na direção 
da carga aplicada é impedida. Considerando-se a barra formada por dois trechos determinados 
pelo ponto de carga aplicada, podemos montar o seguinte sistema: 
 
Σ Fx = 0 - R1 + P - R2 = 0 
Equação de Compatibilidade: ∆ L = 0 ∆L1 = ∆L2 
 
Exemplo: Uma barra de seção quadrada de 5 cm de lado está fixa rigidamente entre duas 
paredes e suporta uma carga axial de 20.000 Kgf, conforme figura. Calcular as reações nos 
engastes e o alongamento da parte tracionada. 
Emat = 2,4 . 10
6 kgf/cm2 
 
Exemplo: Calcular os L e analisar a deformação da estrutura, assim como calcular as reações 
nos apoios. 
 
 
 
 
TENSÃO TÉRMICA 
Supondo o caso de uma peça biengastada de área transversal A e comprimento inicial L. Se 
retirarmos um dos engastamentos, a variação de temperatura Δt > 0, provocará o alongamento da 
peça (dilatação), uma vez que a peça estará livre. 
Com o engastamento duplo, originar-se-á uma carga axial, que reterá o alongamento da peça. 
Dilatação Δl originada pela variação de temperatura ( Δl > 0 ). 
 
Dilatação contida pela reação dos engastamentos. 
 
A variação linear devido a variação de temperatura Δl (t) e a variação linear devido à carga axial 
de reação Δl (R), são iguais, pois a variação total é nula, desta forma, 
 
3m 3m 
2m 
10 t 
10cm2 5cm2 5cm2 
 
Exemplo: Uma viga de aço com comprimento L = 4m e área de secção transversal A= 2800 mm2 
engastadas nas paredes A e B, livre de tensões a uma temperatura de 17ºC. Determinar a força 
térmica e a tensão térmica, originada na viga, quando a temperatura subir para 42ºC. 
E aço = 2,1 x 10 5 MPa 
α aço = 1,2 x 10 -5 ºC -1 
 
Exemplo: A figura dada representa uma viga de aço com comprimento 5m e área de seção 
transversal 3600 mm2. A viga encontra-se engastada na parede A e apoiada junto à parede B, 
com uma folga de 1 mm desta, a uma temperatura de 12 ºC. 
Determinar a tensão atuante na viga quando a temperatura subir para 40 ºC. Eaço = 2,1 x 10 
5 MPa 
α aço = 1,2 x 10 
–5 ºC -1. 
 
PEÇAS CONSTITUÍDAS DE 2 MATERIAIS DIFERENTES E COAXIAIS 
Na prática surge frequentemente a necessidade de se projetar peças constituídas de dois ou mais 
materiais diferentes, sujeitas á tração ou compressão axial. Como exemplo para o problema 
supõe-se um cilindro envolto por um tubo. As peças são construídas em materiais diferentes e 
comprimidos entre os pratos de uma prensa. Sendo os materiais coaxiais tem o centro de 
gravidade comum. 
 
Corta-se esta peça e adotando-se o método das seções para serem determinadas as tensões 
atuantes nestes materiais: 
 
 
Exemplo: Um tubo de aço, com D aço = 100 mm, d aço= 80 mm envolve um tubo de Cobre tem D 
cu = 80 mm e d = 60 mm com mesmo comprimento do tubo de aço. O conjunto sofre uma carga 
de 24 kN aplicada no centro das chapas de aço da figura. E aço = 210 GPa, E cu = 112 GPa. 
Determinar as tensões normais no tubo de Cobre, e node aço. 
 
 
Exemplo: Duas barras cilíndricas, uma de aço (E = 200 GPa) e outra de latão (E = 105 GPa) são 
ligadas em C e engastadas em A e E. Para o carregamento indicado determinar as reações em A 
e E. Diâmetro do aço = 40 mm e diâmetro do latão = 30 mm. (Todas as dimensões em mm) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: O conjunto representado na figura é constituído por uma secção transversal, A1=3600 
mm2 e comprimento de 500 mm e uma secção transversal, A2 = 7200 mm
2 e comprimento de 250 
mm. Determinar as tensões normais atuantes nas secções transversais das partes 1 e 2 da peça, 
quando houver uma variação de temperatura de 20ºC. O material da peça é aço. 
E aço = 2,1 x 10 5 MPa 
100 100 120 180 
A B D E C 
aço latão 
60 kN 40 kN 
α aço = 1,2 x 10 –5 ºC -1 
 
 
TORÇÃO 
O comportamento das peças quando submetidas a um momento de torção (ou torque), em 
relação ao seu eixo longitudinal, o qual produz ou tende a produzir rotação ou “Torção” na peça. 
Torção em manivela. 
Esta ação de torcer é resistida pelo material, através de forças 
internas de cisalhamento, desta forma o corpo está submetido a uma 
solicitação de Torção. A condição de equilíbrio exige que a peça 
produza um momento interno igual e oposto ao aplicado 
externamente. 
 
A região da peça que fica localizada entre estes dois planos, está submetida à torção. O torque 
aplicado ou transmitido sempre produz rotação, “deformando” o eixo por torção e 
consequentemente produzindo “tensões” no material. 
 
 
Deformação da Torção. 
A hipótese de torção considera que a deformação longitudinal, num eixo submetido a um torque T 
numa extremidade e engastado na extremidade oposta, apresenta um campo de deformações 
onde o valor máximo ocorre na extremidade livre (ponto A’). 
 
MOMENTO TORÇOR ou TORQUE 
O torque atuante na peça representada é definido através do produto entre a intensidade da carga 
aplicada e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal (pólo). 
Tem-se portanto: 
Mt = F .  
Onde: Mt- Momento de torçor ou torque 
F - Carga aplicada 
 – distância entre o ponto de aplicação da carga e o polo 
Para as transmissões mecânicas construídas por polias, engrenagens, rodas de atrito, correntes, 
etc., o torque é determinado através de: 
 
Mt = FT . r 
Onde: Mt - Torque 
FT - Força tangencial 
r - raio da peça 
 
CISALHAMENTO NA TORÇÃO 
As tensões de cisalhamento, que aparecem quando uma peça de seção circular é submetida a um 
momento de torção, são assim representadas graficamente. Dependendo da distância que tem, o 
ponto estudado, ao centro da seção, teremos os valores da tensão, variando de zero até uma 
tensão máxima. Essa tensão nos é dada pela fórmula: 
 = Mt. ρ / J 
onde  - tensão de cisalhamento ocasionada pela solicitação de torção 
Mt - momento torçor na seção estudada 
ρ - distância entre do ponto estudado e o centro da seção 
J – momento de inércia polar, da seção em estudo 
 
MOMENTO POLAR DE INÉRCIA 
É chamado momento polar de inércia ao momento de inércia calculado em relação ao eixo de 
giração da peça. Chamamos de momento polar devido a que ao estudarmos a seção esse eixo 
nos aparece como um ponto. O momento polar de inércia de uma seção circular é 
 J= .d4 / 32 
 J = .r4 / 2 
 
Perfil de Tensão na Torção. 
O ponto A’ para a seção transversal, também corresponde à máxima deformação (εmáx) de 
torção, variando linearmente até o centro do eixo onde a deformação é nula (ε = o). 
Considerando o regime elástico, segundo a Lei de Hooke, podemos afirmar que: se a deformação 
varia linearmente do centro (nula) à extremidade (máxima), a tensão também assim o fará. 
Para eixos se seção transversal maciça: 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
Para eixos se seção transversal vazada: 
 
 
 
 
 = 
 
 
 = 
 
 
 
 
Exemplo: Um eixo de transmissão tem seção vazada, com diâmetro interno de 100 mm e externo 
de 150 mm. Determine qual o torque máximo que poderá ser transmitido, sendo a tensão 
admissível igual a 83 MPa. 
 
EIXOS E ÁRVORES 
Define-se Eixos, como elementos de máquinas utilizados para suportar componentes rotativos 
e/ou transmitir potência ou movimento rotativo. Os eixos trabalham em condições extremamente 
variáveis de ambiente e carregamento (esforços). 
Eixos-árvore: Nesta situação, o elemento está em movimento. Ex.: Eixos que compõem a caixa de 
transmissão de um veículo, ou um eixo de uma serra circular. 
Exemplo: Calcular uma árvore, para que execute com segurança o trabalho proposto no 
esquema abaixo. O material que queremos utilizar na árvore tem tensão de escoamento ao 
cisalhamento valendo 500 MPa. Usaremos coeficiente de segurança 2. 
 
 
POTÊNCIA ( P ) 
Denomina-se potência a realização de um trabalho na unidade de tempo. 
 
 
 
Unidade de Potência no SI é determinada em W (watt). 
Unidade de potência fora do SI, utilizadas na prática. 
cv (cavalo vapor): cv = 735,5 W 
Como Vp = ω . r, 
P = Ft . ω . R 
Mt = Ft . r, 
P = Mt . ω 
ω = 2 π f, portanto: 
P = Mt . 2 π f 
 
 
Exemplo: Uma árvore de aço possui diâmetro d = 30 mm, gira com uma velocidade angular  = 
20  rad/s, movida por uma força tangencial Ft = 18 kN. 
Determinar: 
a) rotação (n) 
b) frequência (f) 
c) velocidade periférica (Vp) 
d) potência (P) 
e) torque (Mt) 
 
Exercício - Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual 
está acoplado. Se o eixo girar a n = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível 
adm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo. 
 
 
 
Exemplo - Dimensionar a árvore maciça de aço, para que transmita com segurança uma potência 
de 7355 W (≈ 10 cv), girando com uma rotação de 800rpm. O material a ser utilizado e o ABNT 
1040L, com  = 50 MPa (tensão admissível de cisalhamento na torção). 
 
 
Exercício - Um eixo tubular de diâmetro interno de 30 mm e diâmetro externo de 42 mm é usado 
para transmitir 90 kW de potência. Determinar a frequência de rotação do eixo de modo que a 
tensão de cisalhamento não exceda 50 MPa. 
 
 
 
Exercício - Um motor de 60 CV (1 CV = 736 w) aciona um utilizador através de um eixo com 
4.000 rpm. Calcule o torque aplicado ao eixo. 
 
 
Exercício - Um eixo circular vazado de aço tem diâmetro interno de 40 cm e diâmetro externo de 
60 cm. Qual o maior momento de torção que pode ser aplicado ao eixo para que as tensões de 
cisalhamento não excedam 120 MPa? 
 
 
 
 
 
Exercício - Um eixo-árvore de secção transversal constante, e diâmetro igual a 50 mm, transmite 
uma potência de 60 kW a uma frequência de 30 Hz Pede-se determinar no eixo: 
a) a velocidade angular 
b) a rotação 
c) o torque atuante 
d) a tensão máxima atuante 
 
MÓDULO DE RIGIDEZ 
A relação entre a tensão de cisalhamento () e a deformação ou distorção () de cisalhamento é 
chamada de módulo de elasticidade ao cisalhamento, ou módulo de rigidez ou módulo transversal 
de elasticidade (G). 
 G = 


 
DISTORÇÃO 
Se o material obedecer a lei de Hooke 
  = 

 
 
ÂNGULO DE TORÇÃO 
O ângulo de torção “θ“ que gira uma seção em relação a outra, ocasionado pela solicitação de 
torção, pode ser calculado por: 
θ = 
 
 
 
onde: 
θ - ângulo de torção de uma seção em relação à outra 
Mt - momento torçor atuante na seção em estudo 
L - distância entre as duas seções em estudo 
G - módulo de elasticidade à torção 
 J - momento de inércia polar da seção emestudo 
 G.J = Rigidez na torção 
 
Distorção máxima 
max = r . 

 
 
 

 
 (Razão de torção) 
max = r .  
Exercício: Qual é o valor de momento de torção deve ser aplicado à extremidade do eixo circular 
para que o ângulo de torção produzido seja de 2º. 
G = 80 GPa., diâmetro interno de 40 cm, diâmetro externo de 60 cm, L = 1,5 m 
 
 
 
Exercício: Um momento torçor de 1 MN.m age sobre um eixo de aço, G = 50 GPa, com raio 10 cm 
(seção circular). Qual é a rotação entre os dois extremos do eixo, distantes 10 m entre si? 
 
Exercício: Um eixo circular é feito pela compressão de um tubo de alumínio em uma barra de 
latão, para formar uma seção de dois materiais, que então agem como uma unidade. Se, devido à 
aplicação de um torque Mt, aparecer uma tensão de cisalhamento de 7 kgf/mm2 nas fibras 
externas do eixo, qual é a magnitude do torque Mt? Para o alumínio E = 7 . 103 kgf/mm2, G = 2,8 . 
103 kgf/mm2 e para o latão E = 11,2 . 103 kgf/mm2, G = 4,28 . 103 kgf/mm2. 
 
 
 
Exercício: Um eixo de secção circular de diâmetro 7/4” está submetido a Mt = 10.000 kgf.cm. 
Calcular a tensão de cisalhamento máxima e o deslocamento angular correspondente a 1 metro 
de comprimento. G = 800 tf/cm2. 
 
 
 
REVISÃO 
 
Exercício: Uma barra rígida horizontal AB é articulada em A e nos pontos D e B, que a ligam às 
barras CD e EB. A barra EB é de aço, tem 1,5 m de comprimento e área da seção transversal 
igual a 3 cm2, A barra CD é de cobre, tem 1,0 m de comprimento e área da seção transversal 
igual a 5 cm2. E aço = 2100 tf/cm2 e E cobre = 1200 tf/cm2. Quais são as forças normais nas 
barras de aço e cobre produzidas pela carga de 18 tf, desconsiderando o peso da barra AB. 
 
 
 
  
 
 
 
 
Exercício: Considere um pilar de concreto armado de 2,5 m de altura e secção quadrada de 20 
cm de lado, armado com 4 barras de aço de ½”, colocadas simetricamente em relação ao eixo 
vertical. O pilar suporta a carga axial de compressão de 60 tf, aplicada por intermédio de uma 
placa absolutamente rígida. Sendo para o aço Eaço = 2100 tf/cm
2 e para Econcreto = 180 tf/cm
2. 
Quais as tensões no aço e no concreto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício - Um eixo circular vazado de aço tem comprimento de 1,5 m, diâmetro interno de 40 cm 
e diâmetro externo de 60 cm. Qual o maior momento de torção que pode ser aplicado ao eixo para 
que as tensões de cisalhamento não excedam 120 MPa? 
 
 
 
 
Exercício - Qual é o valor de momento de torção deve ser aplicado à extremidade do eixo circular 
do exercício anterior para que o ângulo de torção produzido seja de 2º.G = 80 GPa. 
 
 
 
 
Exercício - Um eixo-árvore de secção transversal constante, e diâmetro igual a 50 mm, transmite 
uma potência de 60 kW a uma frequência de 30 Hz Pede-se determinar no eixo: 
a) a velocidade angular 
b) a rotação 
c) o torque atuante 
d) a tensão máxima atuante 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,2 m 0,6 m 0,6 m 
18 tf 
A 
B 
C 
D 
E