AV CALCULO DE MULTIPLAS VARIÁVEIS

Prévia do material em texto

1. Um avião está se movendo no espaço em uma trajetória curvilínea. Para descrever a posição 
do avião ao longo do tempo, é mais adequado utilizar: 
a) Uma equação paramétrica em vetores. * 
b) Uma equação cossenoidal. 
c) Uma equação exponencial. 
d) Uma equação linear. 
e) Uma equação escalar. 
 
2. Considere um ponto P no plano cartesiano com coordenadas polares (ρ, θ). Se o ponto P tem 
coordenadas polares (3, π/4), então suas coordenadas cartesianas (x, y) podem ser calculadas 
da seguinte forma: 
A. x = 3sen(π/4), y = 3cos(π/4). 
B. x = 3tan(π/4), y = 3cot(π/4). 
C. x = 3cos(π/4), y = 3sen(π/4). * 
D. x = 3sen(π/4), y = 3sen(π/4). 
E. x = 3cos(π/4), y = 3cos(π/4). 
 
3. A derivada parcial é uma das principais ferramentas para analisar funções de várias variáveis. 
Ela permite calcular a taxa de variação da função em relação a uma variável específica, 
mantendo as demais constantes. Sobre as derivadas parciais, marque a afirmativa correta. 
A ) Se uma função f:R^2→R diferenciável em (x0,y0) pode não ter plano tangente em 
(x0,y0,f(x0,y0)) 
 
B) A funçãon f(x,y)=√x2+y2 tem derivadas direcionais em todas as direções do ponto (0,0). 
 
C) Se uma função f:R2→R possui derivadas parciais contínuas, então ela é diferenciável.* 
 
D) Para provar que uma função f:R2→ R é contínua em (x0,y0), basta provar que 
lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y) existe sobre todas as retas que passam por (x0,y0). 
 
E) Toda função f:R2→R contínua em um ponto P é diferenciável em P. 
4. 4. Determine o valor da integral ∬ S 2ex² dx dy, com S = { ( x , y ) ∈ R² 0 ≤ x ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ x} 
A. e −1 * 
B. 2e²+1 
C. e²+1 
D. e+1 
E. 2e-1 
 
 
 
 
 
5. Determine a área da região contida abaixo da parábola y = − x 2 + 4 e acima da parábola y = 
x² 
A. 11/3 √ 2 
B. 14/3 √ 2 
C. 4/3 √ 2 
D. 17/3 √ 2 
E. 16/3 √ 2 * 
6. A integral tripla é denotada como ∭ f ( x , y , z ) d v , onde f ( x , y , z ) é a função a ser 
integrada e d v é um elemento infinitesimal de volume. Dessa forma o valor do volume dado 
pela integral ∫² ∫¹ ∫² x + y + z d x d y d z v é: 
 ¹ -¹ ° 
 
A. 15 
B. 5/2 
C. 26 
D. 10 * 
E. 1/4 
 
7. Determine o valor da integral ∭ V 3 ( x + y ) d x d y d z , onde V é o sólido contido na 
interseção do cilindro x² + y² = 1 e 0 ≤ z ≤ 2 com as regiões x ≥ 0 e y ≥ 0 . 
 
A. 1 
B. 2 
C. 3 
D. 4 * 
E. 5 
 
8. Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar 
com um campo vetorial, quando se depende de várias variáveis. Considere C o círculo unitário 
com centro na origem, percorrido no sentido anti-horário, o valor das integrais de linha de 
∮C[sen(xy)+xycos(xy)]dx+(x2cos(xy))dy é: 
A. 0 * 
B. 1 
C. -1 
D. 2 
E. -2 
 
9. Seja o campo vetorial → F ( x , y , z ) = 2 y z ^ x + ( x 2 z − y ) ^ y + x 2 ^ z . Determine o valor 
do produto entre o divergente do campo vetorial → F pelo seu rotacional para o ponto (1,0,2) 
A. ⟨ 1 , − 2 , 1 ⟩ 
B. ⟨ 2 , − 2 , 1 ⟩ 
C. ⟨ − 3 , 2 , 1 ⟩ 
D. ⟨ − 1 , 2 , 4 ⟩ 
E. ⟨ 1 , 2 , 0 ⟩ * 
 
10. Marque a alternativa que representa as curvas de nível da funçãof(x,y)=4x²+9y². 
Utilize m² para representar os valores (níveis) obtidas pela função f(x,y) 
 
A. 9x²+4y² =m² que representam um conjunto de elipses. 
B. x²/m²/2+y²/m²/3 = 1 que representa um conjunto de elipses. 
C. x²/m²/2+y²/m³/2 = 1 que representa um conjunto de planos. 
D. 4x+9y−k =0. que representam um conjunto de retas. 
E. x²+y²=m² que representam um conjunto de circunferência de raio m.