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INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPO VETORIAL
Considere o campo vetorial dado pela função vetorial 
 F(x, y) = ( M(x, y), N(x, y) ) 
ou
F(x, y, z) = ( M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z) )
contínua em uma região D do espaço 2D ou 3D, respectivamente.
	Sabemos que M, N e P são funções escalares de duas ou três variáveis, contínuas em D, das quais podemos calcular integrais de linha em relação à x, y ou z ao longo de uma curva limitada C, suave ou parcialmente suave e parametrizada pela função vetorial dada por
r(t) = ( x(t), y(t) ) ou r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) com t
[a, b].
Como já dissemos estas integrais geralmente aparecem em conjunto. Por exemplo, 
 que escrevemos simplesmente
.
Assim,
=
=
�� EMBED Equation.3 = 
= 
 =
= 
 =
= 
( M(r(t)), N(r(t))) . r´ (t)dt = 
= 
F (r (t) ) . r´ (t)dt = 
= 
F . dr
pois, de r(t) = ( x(t), y(t) ) vem que 
r = r´ (t) = ( x’(t), y’(t) ), de onde 
dr = r´ (t) dt = ( x’ (t), y’ (t) ) dt = ( x’(t) dt, y’(t) dt ) = (dx, dy).
	Assim,
	
Análogamente, de r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) temos 
r = r´ (t) = = ( x’(t), y’(t), z’(t) ), de onde dr = r´ (t) dt = ( x’(t), y’(t), z’(t) ) dt = = ( x’ (t) dt, y’ (t) dt, z’(t) dt ) = (dx, dy, dz). Também,
 
	
Como o produto escalar de dois vetores resulta um número (escalar) e dr = r´ (t) dt podemos calcular a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva limitada C, suave ou parcialmente suave e parametrizada pela função vetorial r definida em um intervalo [a, b], através de uma integral definida em relação ao parâmetro t, calculada de a até b. Ou seja,
 
Exemplo1: 	Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (-y, x) ao longo do triângulo de vértices A(1, 1), B(-1, 1) e C(0, -1) orientado no sentido trigonométrico.
	Um triângulo é uma curva parcialmente suave formada pela união de 3 curvas suaves (segmentos de reta) C1, C2 e C3.
C1 :. r(t) = (1–2t, 1) t
[0, 1]
 r’(t) = (-2, 0) 
C2 :. r(t) = (-1+t, 1-2t) t
[0, 1]
 r’(t) = (1, -2) 
C3 :. r(t) = ( t, -1+2t) t
[0, 1]
 r’(t) = (1, 2) 
F . dr = 
F . dr +
F . dr +
F . dr =
 
 
(-1, 1-2t) . (-2, 0) dt + 
(-1+2t, -1+t) . (1, -2) dt + 
(1-2t, t) . (1, 2) dt = 
= 
2 dt + 
(-1 + 2t + 2 - 2t) dt + 
(1-2t + 2t) dt =
= 
2 dt + 
dt + 
dt = 2t
 + t
 + t
 = 2 + 1 + 1 = 4
Exemplo 2: Calcule 
x2 dx + y2 dy + z2 dz sendo C o arco da hélice dado pela função vetorial r(t) = ( 4cos t, 4sen t, 8t) t
[0, 2
]
 x = 4cos t ; y = 4sen t ; z = 8t
dx = -4sen t ; dy = 4cos t ; dz = 8
x2 dx + y2 dy + z2 dz =
= 
16cos2t (-4sen t) dt + 16sen2t 4cos t dt + 64t2 8dt =
= 
64/3 cos3 t + 64/3 sen3 t + 512/3 t3
=
= 64/3 (13 - 13) + 64/3(0 – 0) + 512/3 (2
)3 = 4096/3 
O TRABALHO COMO INTEGRAL DE LINHA
Imaginemos uma força constante F atuando sobre um objeto com a intenção de deslocá-lo em linha reta de um ponto A até um ponto B. O comprimento do deslocamento é a distância do ponto A ao ponto B que também é o módulo do vetor d = 
 
	Da física sabemos que o trabalho realizado por essa força para efetuar esse deslocamento é W = |F| | d| cos θ onde F é o vetor força, d é o vetor deslocamento e θ é a medida do ângulo entre esses vetores. Lembramos da Geometria Analítica a propriedade do produto escalar de vetores, que afirma v . w = | v | | w| cos θ sendo θ a medida do ângulo entre os vetores v e w. Assim, o trabalho realizado por uma força constante F, para efetuar um deslocamento em linha reta d, é dado por 
Consideremos um campo de força dada pela função vetorial F contínua em uma região D no espaço 2D ou no espaço 3D . Seja C uma curva suave ou parcialmente suave contida em D e parametrizada pela função vetorial r definida no intervalo [a, b].
	Uma partícula move-se ao longo da curva C do ponto A até o ponto B sendo 
 = r(a) e 
 = r(b). Introduzindo n-1 pontos na curva C entre os pontos A e B, obtemos uma partição, A = P0, P1, P2, ... ,Pn-1 , Pn = B, da curva C, que a divide em n arcos . 
Consideremos um ponto um ponto qualquer em cada um destes arcos e denotemos por Qk esse ponto no k-ésimo arco( arco Pk-1Pk). Desta forma, 
 = r(t*k) = ( x(t*k), y(t*k) ) ou 
 = r(t*k) = ( x(t*k), y(t*k), z(t*k) ) e o vetor unitário tangente à C no ponto Qk é T*k = r’(t*k) / | r’(t*k)| .
Denotemos por Δsk o comprimento do k-ésimo arco e por F*k o vetor (força) do campo de força no ponto Qk.
	
Se o k-ésimo arco for suficientemente pequeno, a força do campo F varia muito pouco nos pontos deste arco e podemos considerá-la constante e aproximadamente igual à F*k = F( r(t*k) ). Nesse caso, também podemos considerar que a partícula move-se em linha reta ,na direção do vetor Δsk T*k ( isto é, o deslocamento e de comprimento Δsk e ocorre na direção do vetor unitário tangente a curva no ponto Qk). Assim o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo do k-ésimo arco é 
ΔWk 
 F*k . (Δsk T*k) = ( F*k . T*k ) Δsk
e o trabalho realizado pelo campo F ao longo de toda a curva C é aproximado por
W 
( F*k . T*k ) Δsk 
	Fazendo o número de arcos aumentar indefinidamente, o comprimento de cada arco tende a zero tornado possível as aproximações acima consideradas. Daí,
W = 
( F*k . T*k ) Δsk = 
F . T ds
Definição:
Lembrando que ds = | r’(t)| dt e que T(t) = r’(t) / |r’(t)| temos 
T(t) ds = [r’(t) / |r’(t)|] . | r’(t)| dt = r’(t) dt = dr 
e portanto o trabalho realizado pelo campo F ao longo da curva C é
W = 
F . T ds = 
F . dr 
que é uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva .
OBS: Podemos encontrar valores positivos, nulo ou negativos para o trabalho W conforme o ângulo entre os vetores F e T seja agudo, reto ou obtuso nos pontos de C. Assim, invertendo a orientação da curva troca o sinal da integral de linha do campo vetorial, pois ao invertermos ao orientação da curva também trocamos o sentido do vetor tangente T. Isto é, se 
F . dr = 
F . T ds , então
 
 
F . dr = 
F . (-T) ds = -
F . T ds = -
F . dr 
Exemplo: 
Calcule o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x,y) = (1/x , 1/y ) para mover uma partícula ao longo da curva de equação y = 1/x do ponto A(1, 1) ao ponto B(2, ½) .
C:. r(t) = ( t, 1/t) , t
[1, 2] ; r’(t) = (1, -1/t2)
W = 
F . dr = 
F (r(t) ) .r’(t) dt = 
(1/t , t) . (1, -1/t2) dt =
= 
(1/t – 1/t) dt = 
0 dt = 0
� EMBED Equation.3 ��� = � EMBED Equation.3 ���F . dr é a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = ( M(x, y), N(x, y) ) ao longo da curva C.
 � EMBED Equation.3 ���= � EMBED Equation.3 ���F . dr é a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = ( M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z) ) ao longo da curva C.
Produto escalar de vetores
� EMBED Equation.3 ���F . dr = � EMBED Equation.3 ���F(r(t)) . r ’ (t) dt
F
|F| cos θ
A
B
W = F . d
C2
C
B C1 A
F*k
QK
T*k
Pk-1
Pk
P3
P2
P1
A
C
B
C3
Dados, em uma região D do espaço 2D ou do espaço 3D, um campo vetorial contínuo F e uma curva suave e parametrizada C com vetor tangente unitário T, então o trabalho realizado por F para deslocar uma partícula ao longo de C segundo sua orientação é
W = � EMBED Equation.3 ���F . Tds
θ�PAGE �
�PAGE �47�
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