TEORIA LIMITES

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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - Prof Moises Lopes da Silva 
LIMITES 
1.INTRODUÇÃO 
O CONCEITO DE LIMITE PARECE SER UM DOS MAIS PROBLEMÁTICOS DA 
MATEMÁTICA. APARENTEMENTE, A IDÉIA DE SE APROXIMAR O MÁXIMO 
POSSÍVEL DE UM PONTO OU VALOR E, MESMO ASSIM, NUNCA ALCANÇÁ-
LO, NÃO É INTUITIVAMENTE ATRAENTE. NA VERDADE, CONCEITOS DO TIPO 
LIMITE SÃO UTILIZADOS FREQÜENTEMENTE NO PENSAMENTO NÃO 
MATEMÁTICO E NA CONVERSAÇÃO. POR EXEMPLO, A PRODUTIVIDADE 
MÁXIMA TEÓRICA DE UMA MÁQUINA OU DE UMA FÁBRICA É UM LIMITE, 
2.CONCEITO INTUITIVO DE LIMITE 
CONSIDERE A FUNÇÃO f(x) DEFINIDA PELA SEGUINTE EXPRESSÃO: 
 f(x) = (2x + 3) (x - 1) 
 (x - 1) 
PODE-SE OBSERVAR QUE A FUNÇÃO ESTÁ DEFINIDA PARA TODOS OS 
VALORES DE x EXCETO PARA x = 1. PARA x

1, TANTO O NUMERADOR 
QUANTO O DENOMINADOR PODEM SER DIVIDIDOS POR (x -1) E A 
EXPRESSÃO DE f(x) PODERÁ SER ESCRITA COMO: 
 f(x) = (2x + 3) (x - 1) = 2x + 3 ; x 

 1 ; 
 (x – 1 ) 
O ESTUDO DO COMPORTAMENTO DE f(x) PARA VALORES DE x PRÓXIMOS 
DE 1 MAS NÃO IGUAL A 1, É MOSTRADO NA TABELA-I ABAIXO,BEM COMO 
NO GRÁFICO CORRESPONDENTE: 
 x1
- 1 x1+ 
x 0 0,5 0,999 1,001 1,5 2 3 4 
f(x) 3 4 4,998 ≈ 5 5,002≈ 5 6 7 9 11 
TABELA – I 
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O GRÁFICO DE f(x) = (2x + 3) (x - 1) = 2x + 3 ; x 

 1 ; DE ACORDO COM A 
 (x – 1 ) TABELA- II , É: 
x y = f(x) = 2x + 3 (x,y) 
0 y = (2.0) + 3 = 3 (0,3) 
3 y = (2.2) + 3 = 7 (3,7) 
 TABELA-II 
 
 VERIFICA-SE QUE QUANDO x SE APROXIMA DE 1, f(x) SE APROXIMA 
DE 5, SENDO QUE QUANTO MAIS PRÓXIMO x ESTÁ DE 1 MAIS PRÓXIMO f(x) 
ESTÁ DE 5;CONFORME VISUALIZADO NA TABELA-I E NO GRÁFICO 
CORRESPONDENTE. 
PODE-SE ENTÃO ESCREVER QUE : lim f(x) = 5 ; 
 
x 1 
LÊ-SE : LIMITE DA FUNÇÃO f(x),QUANDO x TENDE A 1, É IGUAL A 5 . 
 
OBS: VÊ-SE QUE O ESTUDO DA VARIÁVEL x TENDER A 1, FOI FEITO 
POR AMBOS OS LADOS DIREITO E EQUERDO. 
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 3 . DEFINIÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO f(x) 
Limites Laterais 
 *Se x se aproxima de a através de valores maiores que a ou seja, 
pela sua direita, escrevemos: 
 
 Esse limite é chamado de limite lateral à direita de a. 
 
 *Se x se aproxima de a através de valores menores que a ou seja, 
pela sua esquerda, escrevemos: 
 
 Esse limite é chamado de limite lateral à esquerda de a. 
 
 O limite de f(x) para x a existe se, e somente se, os limites 
laterais à direita e à esquerda são iguais, ou seja: 
 
 lim f(x) = b ; 
 x a 
LÊ-SE : LIMITE DE f(x) QUANDO x TENDE PARA “a” É IGUAL A “b” 
 
4.PROPRIEDADES OPERATÓRIAS COM LIMITES 
AS SEGUINTES PROPRIEDADES DE LIMITES ABAIXO, VÃO NOS AUXILIAR NO CÁLCULO 
DE LIMITES COMPLICADOS, ONDE A CONFECÇÃO DO GRÁFICO DA FUNÇÃO É PENOSA. 
DEMONSTRA-SE QUE SE EXISTIREM, 
x a x a
limf (x) e limg(x), então :
 
 
 1. CONSTANTE : o limite da constante é igual a própria constante 
lim k k
x a

 ; 
exemplo : lim 25 25
x 2

 
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2. SOMA OU DIFERENÇA : 
lim [f (x) g (x )] lim f (x) lim g(x)
x a x a x a
  
  
 
Exemplo: 
2 3 2 3
x 2 x 2 x 2
lim(4x 3x ) lim4x lim3x
  
   
 16 + 24 = 40 
3 . PRODUTO 
lim [f (x).g (x )] lim f (x) . lim g(x)
x a x a x a

  
 
 Exemplo: 
2 3 2 3
x 2 x 2 x 2
lim(4x . 3x ) lim4x .lim3x
  
 
 16 . 24 = 384 
4 . DIVISÃO 
 , onde g(x) ≠ 0 
Exemplo: 
2
2
x 1
x 1
x 1
lim x 4x 4 1 4 3
lim
x 4 1 4 5lim x 4



 
   
  
5. POTÊNCIA 
 
 Exemplo: 
 
 
 
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6. RAIZ QUADRADA 
 
 Exemplo: 
 
 
Exercícios: I - Calcule os limites abaixo: 
1) 
)1(lim 2
2


x
x
 
2) 
2
1
lim
3 

 x
x
x
 
3) 
)1(lim 3
1


x
x
 
4) 
5
13
lim
2


x
x
 
 
5) 
4 2
0
lim( 3 )x x
x

 
6) lim ( x2 + 7x - 5) 
 x 3 
7) lim 42  xx = 4/2 
 x 
8) lim 10 3 6x = 10 3 8 = 20
 x    
9) lim 1 + 1 = 1 + 0 = 1 
 x x4 
 
10) lim ( x2 + 2x - 1) 
 x  2 
 
11) lim ( y3 - 2y2 + 3y - 4) 
 y  -1 
 
12) lim ( t2 - 5 ) / ( 2t3 + 6 ) 
 t  2 
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13) lim ( x2 + 5x + 6) / ( x2 - x - 12) 
 x  -3 
 
14) lim ( y - 3 )2 
 y  -2 
 
15) lim ( 3y - 5 ) / ( y - 2 ) 
 y  5 
 
16) lim ( x3 - 3x + 5) 
 x  2 
 
17) lim x2 2 x  / ( x2 + 1 ) 
 x  2 
 
18)  
2x 1, se x 2
lim f (x), sendof x
1, se x 2
x 2
  
  
 
 19) 2
lim
x 2
x 1


 
20)   x , se x 2lim f (x) , sendof x
x 1, se x 2
x 2
 
   
 
 
21) 32lim ( 3 )
1
x x
x


 
22) 
3
lim
x
3x .cos x

 
23) 
2
cos x
lim
x 1x 0 
 
24) 
2
lim
x 1
sen (x 3x )

 
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25) lim (x + 5) 
 x 3 
26) lim (2x + 3) 
.... x 5 
27) 
2x 25
lim
x 5x 5


 
28)
2x 9
lim
x 3x 3


 
 
 
29)
    1, se x 0lim f x , lim f (x) , lim f (x); sendof x
0, se x 0x 0 x 0x 0
1 , se x 0




 
 
  
 
 
 
30)    
24 x , se x 1
lim f x , lim f (x) , lim f (x); sendof x
2x 1 x 1 2 x , se x 1x 1


  
 
   
 
31)     2x 1, se x 2lim f x sendof x 1, se x 2
x 2
;  


 
 
32)    
2x 9, se x 3
lim f x sendof x
4, se x 3
x 3
;
  
  
 
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33) 
  2, se x 1lim f (x) , sendof x
1, se x 1x 1
3 , se x 1


 
 
  
  
 
34) 
  2x 3, se x 1lim f (x) , sendof x
2, se x 1x 1
7 2x , se x 1


  
 
 
  
 
35 ) 
 
23 x , se x 2
lim f (x) , sendof x
0, se x 2x 2
211 x , se x 2


   
 
   

 
 
 
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