Física Clássica Aula 17

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Dinaˆmica das rotac¸o˜es
F´ISICA CLA´SSICA
Rafael,
Suzana
Bras´ılia, 1o semestre de 2009
Universidade de Bras´ılia - Faculdade do Gama
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Dinaˆmica das rotac¸o˜es
Dinaˆmica das rotac¸o˜es
Rafael,Suzana F´ISICA CLA´SSICA
Dinaˆmica das rotac¸o˜es
Introduc¸a˜o
I Ja´ sabemos que num sistema de part´ıculas o momento
angular total e´ a soma vetorial dos momentos angulares:
I L = l1 + l2 + ...+ ln =
∑
li
I L =
∑
rixpi =
∑
mi rixvi
I e que como uma generalizac¸a˜o da segunda lei de Newton para
as rotac¸o˜es, para uma part´ıcula temos:
I τ = d ldt
I Sera´ que existe uma lei similar para um sistema de part´ıculas?
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Dinaˆmica das rotac¸o˜es
Exerc´ıcio
Calcule a derivada em relac¸a˜o ao tempo de
L =
∑
rixpi =
∑
mi rixvi para um sistema de N part´ıculas na˜o
interagentes (o que significa que uma part´ıcula na˜o faz forc¸a sobre
a outra).
1. Existe algum termo nulo?
2. Como voceˆ interpreta o resultado, tendo em vista a relac¸a˜o
entre torque e momento angular de uma part´ıcula τ = d ldt ?
3. Ha´ alguma mudanc¸a no resultado caso as part´ıculas interajam
por meio de uma forc¸a central?
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Conservac¸a˜o do momento angular
I Observe que uma consequeˆncia imediata do exerc´ıcio anterior
e´ que se o torque resultante sobre o sistema de part´ıculas for
nulo, o momento angular total e´ conservado.
I Note que assim como no caso de uma part´ıcula, esta e´ uma lei
vetorial, o que significa τxˆi + τyˆj + τzkˆ = 0⇒ τi = 0
I Em outras palavras, se o torque resultante e´ nulo em uma
determinada direc¸a˜o, naquela direc¸a˜o o momento angular e´
conservado, mesmo que na˜o o seja em outras direc¸o˜es!
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Rotac¸a˜o em torno de um eixo fixo
I Considere agora a rotac¸a˜o de uma part´ıcula em torno de um
eixo fixo, que sera´ o eixo z do sistema de coordenadas
adotado.
I Em relac¸a˜o a origem O, esta part´ıcula tem posic¸a˜o r.
I Note que podemos escrever r = Z + ρ, onde Z e´ um vetor que
tem a mesma direc¸a˜o de z e comprimento dado pela altura da
part´ıcula, e ρ tem direc¸a˜o radial e mo´dulo igual a` projec¸a˜o de
r sobre o plano xy .
I Enta˜o o momento angular desta part´ıcula e´ dado por
l = m(Z + ρ)× v.
I Note que o primeiro termo mZ× v e´ perpendicular ao eixo z .
Observe que esta componente na˜o deve afetar a dinaˆmica do
corpo r´ıgido nesta situac¸a˜o, pois significa uma rotac¸a˜o em
outra direc¸a˜o que na˜o o eixo z
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Momento de ine´rcia
I Sobra enta˜o a outra componente, que tem a direc¸a˜o z (Por
que?).
I Assim, podemos escrever lz = mρv = mρ2ω = Iω.
I Podemos considerar um corpo r´ıgido como sendo um sistema
de part´ıculas de massa ∆mi , onde
∑
i ∆mi = M e´ a massa
total do corpo.
I Aplicando o racioc´ınio acima a um corpo r´ıgido, vemos que a
componente z do se momento angular e´ dada por
Lz =
∑
i ∆miρ
2
i ω.
I No limite de ∆mi → 0, obtemos Lz = ω
∫
ρ2i dm, onde
I =
∫
ρ2i dm e´ definido como o momento de ine´rcia do corpo
r´ıgido.
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Exerc´ıcios
1. Derive a expressa˜o Lz = Iω em relac¸a˜o ao tempo e relacione o
resultado com o torque resultante sobre o corpo r´ıgido.
2. Em que ponto da resoluc¸a˜o do exerc´ıcio anterior consideramos
explicitamente a rigidez do corpo r´ıgido?
3. O que aconteceria se o corpo na˜o fosse r´ıgido?
4. Obtenha agora a energia cine´tica deste corpo r´ıgido em
termos do momento de ine´rcia e da velocidade de rotac¸a˜o ω.
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Exerc´ıcios
Vamos agora calcular o momento de ine´rcia de so´lidos homogeˆneos
(que tem densidade constante).
I Como calculo o momento de ine´rcia de um anel delgado de
espessura ∆r em relac¸a˜o ao seu centro?
I Suponha que um disco e´ composto de uma colec¸a˜o cont´ınua
destes ane´is, e calcule o seu momento de ine´rcia em relac¸a˜o
ao centro do disco.
I Calcule agora o momento de ine´rcia de um cilindro em relac¸a˜o
ao seu centro. Dica: qual a diferenc¸a entre o disco e o
cilindro?
I Considere uma barra r´ıgida de massa M, calcule o seu
momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao seu centro.
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Refereˆncias
I Livro texto, cap´ıtulo 11 (p. 236 - 240).
I Livro texto, cap´ıtulo 12 (p. 248 - 253).
I Lista de exerc´ıcios, livro texto cap´ıtulo 11 -
1,2,3,4,5,6,11,12,13,14,15,16.
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	Dinâmica das rotações