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1 Limites e Limites Laterais Adalberto Santos ( ) ( ) 2 2 lim e lim . x x f x f x + −→ → 2 2 1, 2 ( ) 2, 2 . 9, 2 x se x Seja f x se x x se x + < = = − + > Calcule: 2 2 5 2 2 1, 2 ( ) 2, 2 . 9, 2 x se x Seja f x se x x se x + < = = − + > x 2 lim f(x) 5 −→ = x 2 lim f(x) 5 +→ = x 2 lim f(x) 5 → = f(2) 2= ( ) 0 Calcular lim . x f x → | | , 0( ) 1, 0 x se xSeja f x x se x ≠ = = | | , 0( ) 1, 0 x se xSeja f x x se x ≠ = = 1 x 0 lim f(x) 1 +→ = x 0 lim f(x) 1 −→ = − 1− 0 0 0 | |lim lim lim 1 1 x x x x x x x+ + +→ → → = = = Utilizando a observação anterior, basta calcular os limites laterais correspondentes. e 0 0 0 | |lim lim lim 1 1 x x x x x x x− − −→ → → − = = − = − | | , 0( ) 1, 0 x se xSeja f x x se x ≠ = = 2 ( ) 0 lim x f x → Como os limites laterais não coincidem, concluímos que não existe. ( ) ( )lim lim x a x a f x f x + −→ → ≠ ( )lim x a f x → Se não existe. Então, Considere a função Nada podemos afirmar sobre o limite lateral a esquerda, pois os valores de x a esquerda do zero não pertencem ao domínio da função. 0 ( ) , ( )f x x D f R+= = 0 0 lim lim 0 x x x x +→ → = = Se K é um número real qualquer, então: O limite de uma constante é a própria constante. → →− → = = = 10 1 4 1) lim 3 3; 2) lim 15 15; 3) lim (ln8) ln8. x x x Seja p(x) uma função polinomial definida num intervalo real, com valores reais. Então, ( ) ( )lim x a p x p a → = 3 ( )S e lim , x a f x L → = e K é um número real qualquer, então: =k.L=k.L=k.L=k.L ( ) 1 1) lim 2 1 x x → ⋅ + = 2 7 2) lim 5 x x →− ⋅ = ( ) 1 2 lim 1 x x → ⋅ + 2 7 5 lim x x →− ⋅ ( ) ( )S e lim e lim , x a x a f x L g x M → → = = então: ( )( ) ( ) ( )3) lim lim lim x a x a x a f g x f x g x L M → → → ± = ± = ± ( )3 1 1) lim 9 x x x → + = ( )2 3 2) lim 8 5 x x x →− − = 3 1 1 lim lim9 x x x x → → + 2 3 3 lim 8 lim 5 x x x x →− →− − ( ) ( )S e lim e lim , x a x a f x L g x M → → = = então: ( )( ) ( ) ( )4) lim lim lim x ax a x a f g x f x g x L M →→ → ⋅ = ⋅ = ⋅ 5 33 11) lim x x x→ ⋅ = ( ) 4 2) lim 4 x x x → ⋅ = 5 3 33 1lim lim xx x x →→ ⋅ 44 lim 4 lim xx x x →→ ⋅ 4 ( ) ( )S e lim e lim , x a x a f x L g x M → → = = então: ( ) ( ) ( ) lim 5) lim , desde que M 0; lim x a x a x a f xf L x g g x M → → → = = ≠ 8 6 71) lim 3x x x→ = → + = 1 5 92) lim x x x 8 6 6 lim 7 lim 3 x x x x → → ( ) → → + 1 1 lim 5 9 lim x x x x ( )S e lim , x a f x L → = então: ( ) ( )6) lim lim n n n x a x a f x f x L → → = = para qualquer n real e não nulo. [ ]7 1 1) lim 8 x x → = 5122) lim 33 4 x a x → − = 7 1 lim 8 x x → ( ) 51 2lim 33 4 x a x → − ( )S e lim , x a f x L → = então: ( ) ( )7) lim lim nn n x a x a f x f x L → → = = n é um inteiro positivo. Se n é par então L >0. 3 13 1) lim 6 3 x x → − = → = 5 2) lim 9 x x ( )3 13 lim 6 3 x x → − →5 lim 9 x x 5 Calcule o seguinte limite 3 2 2 lim 2 4 4 x x x → + + 3 2 2 lim 2 4 4 x x x → + + 3 2 2 lim 2 4 4 x x x → = + + 3 22(2) 4(2) 4= + + 2 8 4 4 4= ⋅ + ⋅ + 36= 6= Considere a função abaixo: Qual ? e ? 1 lim ( ) x f x +→ 1 lim ( ) x f x −→ 2; 1( ) 3; 1 x xf x x x + ≥ = − + < X f(x)=-x+3 0,5 2,5 0,9 2,1 0,99 2,01 0,999 2,001 Notem que a imagem tende a 2 2; 1( ) 3; 1 x xf x x x + ≥ = − + < 1 lim ( ) 2 x f x −→ = 2; 1( ) 3; 1 x xf x x x + ≥ = − + < x f(x)=x+2 1,5 3,5 1,1 3,1 1,01 3,01 1,001 3,001 1 lim ( ) 3 x f x +→ = 1 1 lim ( ) lim ( ) x x f x f x − +→ → ≠ 6 �FLEMMING, Diva Maria. Cálculo A. São Paulo: Makron Books, 1992. �LEITHOLD , Louis. O cálculo com Geometria Analítica. v. 1. Harbra, 1976. �STEWART, James. Cálculo. v. 1, 5 ed. São Paulo: Pioneira, 2005.
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