Limites_Infinitos

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Limites Infinitos Ca´lculo I
LIMITES INFINITOS
Seja f(x) =
3
(x− 2)2 . Temos que D(f) = R − {2}. Vamos observar o comportamento
de f(x) “nas redondezas” de 2, ou seja, vamos observar o comportamento de f(x) quando x
assume valores muito pro´ximos, maiores e menores, do que 2:
x f(x)
1 3
1, 5 12
1, 66 27
1, 75 48
1, 9 300
1, 99 30000
1, 999 3000000
Tabela 1: x < 2
x f(x)
3 3
2, 5 12
2, 33 27
2, 25 48
2, 1 300
2, 01 30000
2, 001 3000000
Tabela 2: x > 2
Na Tabela 1, observamos que, quando x assume valores cada vez mais pro´ximos, e meno-
res, do que 2, f(x) assume valores cada vez maiores; na Tabela 2, observamos que, quando
x assume valores cada vez mais pro´ximos, e maiores, do que 2, f(x) tambe´m assume va-
lores cada vez maiores. Assim, embora f na˜o esteja definida em 2, tomando valores de x
suficientemente pro´ximos de 2, podemos obter valores de f(x) ta˜o “grandes” quanto dese-
jarmos. Neste caso, dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 e´ igual a +∞
e expressamos tal afirmac¸a˜o com a notac¸a˜o:
lim
x→2
f(x) = +∞ .
Geometricamente, temos:
Material Complementar 1 Cristiane de Mello
Limites Infinitos Ca´lculo I
Definic¸a˜o(Limite Infinito Positivo): Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo
aberto real I, com a ∈ I, exceto possivelmente em a. O limite de f(x) quando x se aproxima
de a e´ +∞ se, quando x assume valores cada vez mais pro´ximos, maiores e menores, do que
a, f(x) assume valores cada vez maiores. Neste caso, escrevemos
lim
x→a
f(x) = +∞ .
Seja f(x) =
−3
(x− 2)2 . Temos que D(f) = R − {2}. Vamos observar o comportamento
de f(x) “nas redondezas” de 2, ou seja, vamos observar o comportamento de f(x) quando x
assume valores muito pro´ximos, maiores e menores, do que 2:
x f(x)
1 −3
1, 5 −12
1, 66 −27
1, 75 −48
1, 9 −300
1, 99 −30000
1, 999 −3000000
Tabela 3: x < 2
x f(x)
3 −3
2, 5 −12
2, 33 −27
2, 25 −48
2, 1 −300
2, 01 −30000
2, 001 −3000000
Tabela 4: x > 2
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Limites Infinitos Ca´lculo I
Na Tabela 3, observamos que, quando x assume valores cada vez mais pro´ximos, e meno-
res, do que 2, f(x) assume valores cada vez menores; na Tabela 4, observamos que, quando
x assume valores cada vez mais pro´ximos, e maiores, do que 2, f(x) tambe´m assume va-
lores cada vez menores. Assim, embora f na˜o esteja definida em 2, tomando valores de x
suficientemente pro´ximos de 2, podemos obter valores de f(x) ta˜o “pequenos” quanto dese-
jarmos. Neste caso, dizemos que o limite de f(x) quando x se aproxima de 2 e´ igual a −∞
e expressamos tal afirmac¸a˜o com a notac¸a˜o:
lim
x→2
f(x) = −∞ .
Geometricamente, temos:
Definic¸a˜o(Limite Infinito Negativo): Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo
aberto real I, com a ∈ I, exceto possivelmente em a. O limite de f(x) quando x se aproxima
de a e´ −∞ se, quando x assume valores cada vez mais pro´ximos, maiores e menores, do que
a, f(x) assume valores cada vez menores. Neste caso, escrevemos
lim
x→a
f(x) = −∞ .
OBSERVAC¸A˜O: Podemos considerar limites infinitos laterais. Neste caso, a ideia e´ a
mesma utilizada para definirmos os limites infinitos:
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lim
x→2+
3
(x− 2)2 = +∞, limx→2−
3
(x− 2)2 = +∞, limx→2+
−3
(x− 2)2 = −∞ e limx→2−
−3
(x− 2)2 = −∞.
PROPRIEDADES DOS LIMITES INFINITOS
(1) Se r e´ um nu´mero inteiro positivo, enta˜o
lim
x→0+
1
xr
= +∞;
lim
x→0−
1
xr
=
{
+∞, se r e´ par
−∞, se r e´ ı´mpar .
(2) Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto real I, com a ∈ I, exceto possi-
velmente em a. Se lim
x→a
f(x) = +∞ e c ∈ R, c 6= 0, enta˜o
lim
x→a
cf(x) =
{
+∞, se c > 0
−∞, se c < 0 .
(3) Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto real I, com a ∈ I, exceto possi-
velmente em a. Se lim
x→a
f(x) = −∞ e c ∈ R, c 6= 0, enta˜o
lim
x→a
cf(x) =
{ −∞, se c > 0
+∞, se c < 0 .
(4) Sejam f e g func¸o˜es definidas em um intervalo aberto real I, com a ∈ I, exceto
possivelmente em a. Se lim
x→a
f(x) = +∞ e lim
x→a
g(x) = L, enta˜o
lim
x→a
[f(x)± g(x)] = +∞;
lim
x→a
[f(x) · g(x)] =
{
+∞, se L > 0
−∞, se L < 0 .
(5) Sejam f e g func¸o˜es definidas em um intervalo aberto real I, com a ∈ I, exceto
possivelmente em a. Se lim
x→a
f(x) = −∞ e lim
x→a
g(x) = L, enta˜o
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lim
x→a
[f(x)± g(x)] = +∞;
lim
x→a
[f(x) · g(x)] =
{ −∞, se L > 0
+∞, se L < 0 .
(6) Sejam f e g func¸o˜es definidas em um intervalo aberto real I, com a ∈ I, exceto
possivelmente em a. Se lim
x→a
f(x) = L, L 6= 0, e lim
x→a
g(x) = 0, enta˜o
lim
x→a
f(x)
g(x)
= +∞, se L > 0 e g(x)→ 0+, ou seja, g(x) > 0 para valores de x pro´ximos de
a;
lim
x→a
f(x)
g(x)
= −∞, se L > 0 e g(x)→ 0−, ou seja, g(x) < 0 para valores de x pro´ximos de
a;
lim
x→a
f(x)
g(x)
= −∞, se L < 0 e g(x)→ 0+, ou seja, g(x) > 0 para valores de x pro´ximos de
a;
lim
x→a
f(x)
g(x)
= +∞, se L < 0 e g(x) → 0−, ou seja g(x) < 0 para valores de x pro´ximos de
a.
(7) Sejam f e g func¸o˜es definidas em um intervalo aberto real I, com a ∈ I, exceto
possivelmente em a. Se lim
x→a
f(x) = +∞ e lim
x→a
g(x) = +∞, enta˜o
lim
x→a
[f(x) + g(x)] = +∞;
lim
x→a
[f(x) · g(x)] = +∞.
Em particular, lim
x→a
[f(x)− g(x)] e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo ∞−∞ (na˜o e´ zero!!!).
(8) Sejam f e g func¸o˜es definidas em um intervalo aberto real I, com a ∈ I, exceto
possivelmente em a. Se lim
x→a
f(x) = −∞ e lim
x→a
g(x) = −∞, enta˜o
lim
x→a
[f(x) + g(x)] = −∞;
lim
x→a
[f(x) · g(x)] = +∞.
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Limites Infinitos Ca´lculo I
Em particular, lim
x→a
[f(x)− g(x)] e´ uma indeterminac¸a˜o do tipo ∞−∞ (na˜o e´ zero!!!).
OBSERVAC¸A˜O: Todas essas propriedades de limites infinitos permancem va´lidas para
limites infinitos laterais.
Exemplo 1 : Vamos calcular lim
x→−1
−3
(x + 1)2
.
Temos que lim
x→−1
−3 = −3, lim
x→−1
(x+1)2 = 0 e (x+1)2 → 0+. Logo, lim
x→−1
−3
(x + 1)2
= −∞.
Exemplo 2 : Vamos calcular lim
x→1
4
(x− 1)2 .
Temos que lim
x→1
4 = 4, lim
x→1
(x− 1)2 = 0 e (x− 1)2 → 0+. Logo, lim
x→1
4
(x− 1)2 = +∞
Exemplo 3 : Vamos calcular lim
x→1+
x + 1
1− x .
Temos que lim
x→1+
x + 1 = 2, lim
x→1+
1− x = 0 e 1− x→ 0−. Logo, lim
x→1
x + 1
1− x = −∞.
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