Lista 8 Calculo Integrais

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Engenharia Ele´trica - Ca´lculo I
Lista VIII - Volume
1. Determine o volume dos so´lidos de revoluc¸a˜o abaixo, em torno da reta indicada, da regia˜o limitada
pelas curvas:
(a) y = ex, ≤ x ≤ 2, em torno de y = 1.
(b) y =
√
x, y = 1, em torno de y = 1.
(c) x = y2, x = 1, em torno de x = 1.
(d) y = x2, x = y2, em torno de x = −1.
(e) 4x = y2, x = 4, em torno de x = 6.
2. Use o me´todo das cascas cil´ındricas para achar o volume gerado pela rotac¸a˜o ao redor do eixo y da
regia˜o limitada pelas curvas abaixo:
(a) y =
1
x
, y = 0, x = 1 e x = 2.
(b) y = e−x
2
, y = 0, x = 0 e x = 1.
(c) y = 4(x− 2)2, y = x2 − 4x+ 7.
3. Use o me´todo das cascas cil´ındricas para achar o volume gerado pela rotac¸a˜o ao redor do eixo x da
regia˜o limitada pelas curvas abaixo:
(a) x = 1 + y2, x = 0, y = 1 e y = 2.
(b) y = x3, y = 8 e x = 0.
4. Use o me´todo das cascas cil´ındricas para achar o volume gerado pela rotac¸a˜o ao redor da reta
indicada da regia˜o limitada pelas curvas abaixo:
(a) y = x2, y = 0, x = 1 e x = 2, em torno de x = 1.
(b) y =
√
x− 1, y = 0 e x = 5, em torno de y = 3.
Gabarito
1. (a)
pi
2
(e4 − 5e2 + 4e+ 2)
(b)
pi
6
(c)
16pi
15
(d)
29pi
30
(e)
768pi
5
2. (a) 2pi
(b) pi(1− 1
e
)
(c) 16pi
3. (a)
21pi
2
(b)
768pi
7
4. (a)
17pi
6
(b) 24pi