lista3.derivadas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
CENTRO DE CIEˆNCIAS
3.a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral I
(Derivadas)
Aluno(a):
Prof.: Marcelo Melo
1. Seja
f(x) =
{
x2 ; x ≤ 2
ax+ b ; x > 2
Ache os valores de a e b para os quais f deriva´vel em toda parte.
2. Se f for uma func¸a˜o diferencia´vel e g(x) = x · f(x), use a definic¸a˜o de derivada
para mostrar que g′(x) = x · f ′(x) + f(x).
3. Suponha que f e´ uma func¸a˜o com a propriedade |f(x)| ≤ x2 para todo x.
Mostre que:
a) f(0) = 0;
b) f ′(0) = 0.
4. Se f for deriva´vel em a, onde a > 0, calcule o seguinte limite em termos de
f ′(a):
lim
x→a
f(x)− f(a)√
x−√a
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5. Calcule os limites.
a) lim
x→1
x1000 − 1
x− 1 b) limx→0
cos3 x− 1
x
c) lim
x→pi
esenx − 1
x− pi
6. Calcule a derivada da func¸a˜o.
a) y =
√
3x+ 1 b) f(x) = 4x+5
x2−1 c) F (x) =
(
x−6
x+7
)3
d) y = sen2(cos 3x) e) g(x) = sec(tgx) f) h(x) =
√
x+
√
x
7. Derive.
a) y = e−xsenx b) y = e−x
2
+ ln(2x+ 1) c) y = ln(secx+ tgx)
d) y = e
x−e−x
ex+e−x e) y =
3
√
2x + 3−x + 5x f) y = [ln(x2 + 1)]3
8. Seja f : R → R deriva´vel e seja g(x) = f(x2 + 1). Supondo f ′(2) = 5, calcule
g′(1).
9. Seja f : R→ R deriva´vel e seja g dada por g(x) = f(e2x). Supondo f ′(1) = 2,
calcule g′(0).
10. Encontre a 50.a derivada de y = cos 2x.
11. Verifique que a func¸a˜o y = ex cosx e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o
y′′ − 2y′ + 2y = 0 .
12. Determine todos os valores de α para os quais a func¸a˜o y = eαx e´ soluc¸a˜o da
equac¸a˜o
d2y
dx2
− 5dy
dx
+ 6y = 0 .
13. Prove que d
n
dxn
(sen4x+ cos4 x) = 4n−1 cos(4x+ npi
2
) para todo n ∈ N.
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14. Determine as equac¸o˜es das retas tangente e normal ao gra´fico da func¸a˜o dada,
no ponto indicado.
a) f(x) = x2 − 3x, no ponto de abscissa 0;
b) g(x) = x+ 1
x
, no ponto de abscissa 1.
15. Determine a equac¸a˜o da reta que e´ perpendicular a` reta 2y+ x = 3 e tangente
ao gra´fico de f(x) = x2 − 3x.
16. Determine β para que y = βx− 2 seja tangente ao gra´fico de f(x) = x3 − 4x.
17. Encontre os dois pontos sobre a curva y = x4 − 2x2 − x que teˆm uma reta
tangente em comum.
18. A lei dos gases para um ga´s ideal a` temperatura absoluta T (em kelvins),
pressa˜o P (em atmosferas) e volume V (em litros) e´
PV = nRT,
onde n e´ o nu´mero de mols de ga´s e R = 0, 0821 e´ a constante do ga´s. Suponha
que, em um certo instante, P = 8, 0 atm, e esta´ crescendo a uma taxa de 0,10
atm/min, e V = 10 l, e esta´ decrescendo a uma taxa de 0,15 l/min. Encontre
a taxa de variac¸a˜o de T em relac¸a˜o ao tempo naquele instante se n = 10 mols.
19. Uma escada com 7 m de comprimento esta´ apoiada numa parede. Se o pe´ da
escada for empurrado horizontalmente em direc¸a˜o a` parede a 1 m/s, com que
velocidade o topo da escada sera´ deslocado para cima quando o pe´ da parede
estiver a 2 m da parede?
20. Dois lados de um triaˆngulo sa˜o 4 m e 5 m, e o aˆngulo entre eles esta´ crescendo a
uma taxa de 0,06 rad/s. Encontre a taxa segundo a qual a a´rea esta´ crescendo
quando o aˆngulo entre os lados de comprimento fixo e´ pi
3
.
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21. Se dois resistores com resisteˆncias R1 e R2 esta˜o conectados em paralelo, enta˜o
a resisteˆncia total R, medida em ohms (Ω) e´ dada por
1
R
=
1
R1
+
1
R2
.
Se R1 e R2 esta˜o crescendo a taxas 0,3 Ω/s e 0,2 Ω/s, respectivamente, qua˜o
ra´pido esta´ variando R quando R1 = 80 Ω e R2 = 100 Ω?
22. Um acidente em uma plataforma de perfurac¸a˜o de petro´leo produziu uma man-
cha circular de petro´leo na a´gua. A mancha tem 2,4 cent´ımetros de espessura,
e, quando o raio e´ de 225 metros, o raio da mancha esta´ aumentando a` taxa
de 15 cent´ımetros por minuto. Qual e´ a taxa (em metros cu´bicos por minuto)
com a qual o petro´leo esta´ vazando da plataforma?
23. Se uma bola de neve derrete de forma que a a´rea de sua superf´ıcie decresce a
uma taxa de 1 cm2/min, encontre a taxa segundo a qual o diaˆmetro decresce
quando o diaˆmetro e´ 10 cm.
24. O aˆngulo de elevac¸a˜o do Sol esta´ decrescendo a uma taxa de 0,25 rad/h. Com
que velocidade esta´ crescendo a sombra de um pre´dio de 400 metros de altura
quando o aˆngulo de elevac¸a˜o do Sol e´ pi/6?
25. Um carro viaja a` noite em uma estrada com forma de uma para´bola com seu
ve´rtice na origem. O carro comec¸a em um ponto a 100 m ao oeste e 100 m ao
norte da origem e viaja na direc¸a˜o leste. A 100 m a` leste e 50 m ao norte da
origem existe uma esta´tua. Em que ponto da estrada os faro´is do carro ira˜o
iluminar a esta´tua?
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Sugesto˜es e Respostas
1. a = 4, b = −4 4. 2√a · f ′(a) 5. a) 1000 b) 0 c) -1
8-9. Use a regra da cadeia. 10. −250 cos 2x 12. α = 2 ou α = 3
13. Use induc¸a˜o. 14. a) y = −3x; y = 1
3
x b) y = 2; x = 1
15. y = 2x− 25
4
16. β = −1 17. (−1, 0), (1,−2)
18. -0,2436 k/min 19. 2
3
√
5
m/s
20. 3
10
m2/s 21. 0,132 Ω/s
22. dV
dt
= 1, 62pi m3/min 23. dD
dt
∣∣∣
D=10cm
= − 1
20pi
cm/min
24. 400 m/h 25. (a, a2/100); a = 50(2−√2)
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