FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 12

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 APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS
CAPÍTULO 12: 
APROFUNDANDO AS 
FORMAS GEOMÉTRICAS
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Figuras geométricas no espaço: mundo concreto e 
mundo abstrato 
Mundo concreto: é mundo no qual vivemos e realizamos 
nossas atividades.
Mundo abstrato: é o mundo onde ocorrem pensamentos, 
reflexões, ideias e também representação mental que fazemos das 
coisas do mundo concreto. 
A Geometria é um conhecimento matemático que se desen-
volve no mundo abstrato, com base no mundo concreto, real. E há 
muito tempo, na Grécia Antiga, os grandes filósofos já estudavam 
a Geometria. Veja a ilustração abaixo retirada de um livro de His-
tória da Matemática:
Vejamos na figura abaixo algumas coisas existentes no 
nosso mundo real e sua “correspondência” no mundo abstrato 
da geometria.
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Os cubos de gelo têm formato da figura abstrata “cubo”, as-
sim como os outros objetos também têm formatos de figuras abs-
tratas como você pode perceber.
12.4.1 Classificação das figuras geométricas
1. Sólidos geométricos: figuras tridimensionais
 
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
2. Regiões planas: figuras bidimensionais
 
3. Linhas: figuras unidimensionais
 
Comprimento
Dimensão
O que significa desenho em 2D e desenho em 3D?
2D significa bidimensional, ou seja, tem duas dimensões. 
Um desenho 2D possui imagens planas sem profundidade. Já os 
desenhos feitos em 3D, ou o cinema 3D, que significa tridimensio-
nal, ou seja tem três dimensões, possuem profundidade. Veja, o 
primeiro desenho é em 2D, já o segundo desenho dá a ideia de 3D.
Reta, segmento de reta e semirreta
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Reta:
As setas indicam que a reta cresce infinitamente nas 
duas direções.
Segmento de reta:
Os pontos indicam que as semirretas são finitas, começa 
em um ponto e termina no outro ponto.
Semirreta:
Na semirreta uma extremidade é limitada e na outra extre-
midade ilimitada.
Polígonos
Polígono é a figura plana formada por uma linha poligonal 
fechada e simples. Cite exemplos de polígonos.
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Elementos de um polígono:
 ● Lado: é cada um dos segmentos de reta que com-
põe o polígono.
 ● Vértice: é cada ponto comum a dois lados.
 ● Diagonal: é cada segmento de reta cujas extremidades 
são formadas por dois vértices não consecutivos.
Figura 12-1: Nomenclatura dos polígonos
Polígono
Nome Triângulo Quadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octógono
Quantidade de 
lados 3 4 5 6 7 8
Quantidade de 
vértices 3 4 5 6 7 8
Polígono
Nome Eneágono Decágono Undecágono Dodecágono Pentadecágono Icoságono
Quantidade de 
lados 9 10 11 12 15 20
Quantidade de 
vértices 9 10 11 12 15 20
Classificação dos polígonos em convexo e 
não convexo
Cada polígono delimita uma região plana que é chamada in-
terior do polígono
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Interior do 
hexágono
 
Interior do 
decágono
Os polígonos podem ser convexos ou não conve-
xos (côncavo).
Convexos: para quaisquer dois pontos do seu interior, o 
segmento de reta com extremos nesses pontos está totalmente 
contido no interior do polígono.
Não convexos: quando existem dois pontos do seu interior 
cujo segmento de reta com extremos nesses pontos não está total-
mente contido no interior do polígono.
Exemplos de polígonos convexos e não convexos:
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Regiões planas:
Observe que o contorno de cada uma dessas regiões planas 
3, 4, 5 e 6 é um polígono. Por isso, classificamos cada uma dessas 
regiões planas de regiões planas poligonais. As figuras 1, 2 e 7 são 
denominadas regiões planas não poligonais.
Círculo e circunferência:
Círculo e circunferência são duas figuras geométricas muito 
parecidas, o que pode ocasionar dúvidas sobre as suas definições.
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Chamamos de circunferência o conjunto de todos os 
pontos que equidistam, isto é, tem a mesma distância de um 
ponto fixado.
A partir de um ponto fixado, um círculo é o conjunto de 
todos os pontos que tem a uma distância menor ou igual a uma dis-
tância dada. Ou seja, podemos verificar que uma circunferência 
seria a apenas a fronteira da forma geométrica, enquanto que 
o círculo engloba a fronteira e também a região interior. 
Sólidos geométricos
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais definidos 
no espaço. Alguns exemplos de sólidos geométricos são: cubos, pi-
râmides, prismas, cilindros e esferas. O conjunto de todos os sólidos 
geométricos costuma ser dividido em três grandes grupos: poliedros, 
corpos redondos e outros. Agora observe as figuras a seguir: 
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
As figuras que estão em vermelho são chamadas de polie-
dros. Poliedro é um sólido geométrico cuja superfície é formada 
apenas por regiões planas poligonais. Já as figuras prateadas são 
os não poliedros ou corpos redondos que são sólidos que, quan-
do colocados em um plano inclinado, rolam.
Elementos de um poliedro
 ● Face: é cada região plana poligonal que o compõe.
 ● Aresta: cada segmento de reta comum a duas faces.
 ● Vértice: é cada ponto comum a duas arestas.
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Classificação dos poliedros em convexo e não convexo
Cada poliedro delimita uma região do espaço que é denomi-
nada região interna.
Poliedros convexos:
Um poliedro é convexo quando, para quaisquer dois pontos 
de seu interior, o segmento de reta com extremos nesses pontos 
está totalmente contido no interior do poliedro.
Poliedros não convexos: 
Um poliedro é não convexo quando existem dois pontos do 
seu interior cujo segmento de reta com extremos nesses pontos 
não está totalmente contido no interior do poliedro.
Relação nos poliedros convexos
Observe na tabela abaixo a relação dos sólidos:
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Relação de Euler:
Em todos os poliedros convexos, a soma da quantidade de 
vértices e da quantidade de faces é igual à quantidade de arestas 
mais duas unidades. Veja a tabela abaixo:
Assim, vamos ter:
V + F = A + 2, onde V = vértice, F = face e A = aresta.
Agora observe as figuras a seguir e indique as diferenças en-
tre esses dois grupos.
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
As figuras da esquerda são chamadas de prismas e as da 
direita são chamadas de pirâmides.
As faces laterais de um prisma são sempre quadrangu-
lares e suas bases são sempre regiões planas poligonais con-
gruentes que estão contidas em planos paralelos. Nomeamos um 
prisma de acordo com a sua base. Respectivamente da esquerda 
para a direita temos os prismas: base triangular, base quadrangu-
lar, base pentagonal e base hexagonal.
As faces laterais de uma pirâmide são sempre triangula-
res e sua base é uma região plana poligonal. Nomeamos uma 
pirâmide de acordo com a sua base. Da esquerda para a direita 
temos respectivamente as pirâmides: de base triangular, de base 
pentagonal, de base quadrangular e base triangular novamente.
Prismas
Os prismas também fazem parte do grupo dos poliedros con-
vexos. Observe os prismas apresentados a seguir:
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
As faces laterais de um prisma são sempre quadrangulares 
e suas bases são regiões planas poligonais congruentes que estão 
contidas em planos paralelos. Nomeamos um prisma de acordo 
com a sua base.
Veja algumas figuras que têm formato de prisma:
Pirâmides
As pirâmides fazem parte do grupo dos poliedros convexos. 
Observe a construção de uma pirâmide:
 ● Primeiro desenhamos um polígono em um plano e depois 
consideramos um ponto, não contido neste plano.
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
 ● Depois ligamos esse ponto a cada um dos vértices 
do polígono.
Agora temos uma pirâmide.
As demais faces são denominadas faces laterais.
As faces laterais de uma pirâmide são sempre triangulares. 
Sua base é uma região plana poligonal. Podemos nomear uma pi-
râmide de acordo com a sua base.
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APROFUNDANDOAS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Construções que possuem formato de pirâmide
Paralelepípedo
Os paralelepípedos são prismas cujas faces são regiões planas 
quadrangulares que apresentam lados opostos paralelos. Quando 
um paralelepípedo apresenta todas as faces retangulares, dizemos 
que é um paralelepípedo retângulo.
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
O cubo é um caso particular de paralelepípedo, onde todas as 
faces são regiões planas quadradas.
Não poliedros ou corpos redondos
Os não poliedros mais conhecidos são o cone, o cilindro 
e a esfera.
Cone
Podemos imaginar que o cone é construído da se-
guinte forma:
1. Desenhamos uma circunferência em um plano e um pon-
to fora desse plano.
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
 
2. Ligamos esse ponto a cada um dos pontos da circunferên-
cia. Agora temos um cone.
Algumas coisas que têm formato de cone:
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Cilindro
Podemos imaginar que um cilindro é construído da 
seguinte forma:
1. Desenhamos uma circunferência em um plano e conside-
ramos um segmento de reta em que um dos extremos é um 
ponto da circunferência e o outro é um ponto qualquer.
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
2. Traçamos outros segmentos de reta, paralelos e de 
mesmo comprimento do considerado inicialmente, 
com um dos extremos em cada um dos outros pontos 
da circunferência.
Coisas que têm formato cilíndrico
 
Esfera
Uma esfera é construída da seguinte maneira:
1. Consideramos um ponto que será o centro da esfera e es-
colhemos uma medida, por exemplo, 2 cm.
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
2. A esfera será, então, a figura formada por todos os pontos do 
espaço que distam até dois centímetros do centro da esfera.
Algumas coisas com formato cilíndrico
Simetria
As imagens abaixo apresentam simetria em relação a uma 
reta: é possível dobrá-las de modo que as duas partes que se sobre-
põem coincidam.
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Essa simetria também é denominada simetria axial. A linha 
acima que divide a figura em duas partes iguais é denominada eixo 
de simetria. Algumas figuras geométricas também são simétricas 
em relação a uma reta.
Simetria axial
 ● Uma figura tem simetria axial quando tem pelo menos um 
eixo de simetria (reta que divide a figura em duas partes 
iguais que se podem sobrepor por reflexão).
 ● Uma figura geométrica pode ter mais de um eixo 
de simetria.
 ● Quantos eixos de simetria tem o círculo?
O círculo tem infinitos eixos de simetria
Eixo de simetria
Equilátero
3 eixos de simetria
Isósceles
1 eixo de simetria
Retângulo 
não tem simetria axial
Quadrado
4 eixos de simetria
Retângulo
2 eixos de simetria
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APROFUNDANDO AS FORMAS GEOMÉTRICAS 
Figuras assimétricas
Quando a figura não apresenta simetria, dizemos que a figu-
ra é assimétrica.
“A Natureza está escrita em linguagem matemática”
 
 
Formato do Hexágono Formato do Pentágono Simetria
Formato de Linhas Formato da Espiral na 
Via Láctea
Formato da Esférico
130
	� EXERCÍCIOS PROPOSTOS - UNIDADE 6
1) Os polígonos podem ser classificados como convexos ou não convexos, 
regulares ou não regulares. A respeito dessa classificação, assinale a 
alternativa correta:
(a) Um polígono é convexo quando qualquer segmento de reta, que 
possui extremidades em seu interior, não possui pontos fora 
dele.
(b) Um polígono é dito convexo quando possui todos os lados iguais.
(c) Um polígono é dito convexo quando possui todos os ângulos 
iguais.
(d) Um polígono é regular quando possui lados congruentes.
(e) Um polígono é dito regular quando um segmento de reta, que 
possui extremidades em seu interior, possui pontos fora dele.
2) Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas 
com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planifica-
ções dessas caixas.
(a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide.
(b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide.
(c) Cone, tronco de pirâmide e pirâmide.
(d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma.
(e) Cilindro, prisma e tronco de cone.
131
EX
ER
C
ÍC
IO
S 
P
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P
O
ST
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S 
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U
N
ID
A
D
E 
6
3) Quantos cubos A precisa-se empilhar para formar o paralelepípedo B?
(a) 60
(b) 47
(c) 94
(d) 39
(e) 48
4) Um poliedro convexo tem cinco faces e cinco vértices. O número de ares-
tas deste poliedro é: 
(a) 8
(b) 7
(c) 6
(d) 5
(e) 4
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EX
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S 
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U
N
ID
A
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6
5) Simetrias são encontradas, frequentemente, em nosso dia-a-dia. Elas 
estão nas asas de uma borboleta, nas pétalas de uma flor ou em uma 
concha do mar. Em linguagem informal, uma figura no plano é simétrica 
quando for possível dobrá-la em duas partes, de modo que essas partes 
coincidam completamente. De acordo com a descrição acima, qual das 
figuras a seguir é simétrica?
(a) 
(b) 
(c) 
(d) 
(e) 
133
	� BIBLIOGRAFIA BÁSICA
NACARATO, OM. MENGALI, BLS. PASSOA CLB. A matemática nos anos 
iniciais do ensino fundamental: tecendo fios do ensinar e do aprender. 
Autentica Editora.2ª Edição. 2015
BRASIL. Ministério da Educação. Base Nacional Comum Curricular. 
BNCC, dezembro-2017. Acesso em 27/01/2019- http://basenacionalco-
mum.mec.gov.br/wp-content/uploads/2018/02/bncc-20dez-site.pdf 
NOVA ESCOLA. BNCC NA PRÁTICA Aprenda tudo sobre as Competências 
Gerais. Acessado em 27/01/2019. https://nova-escola-producao.s3.ama-
zonaws.com/JQtb9x4pJtbXaRk9VxTBEbTQu7sHHSM8kVyCsTkfHwY-
gA8rdfAbFhJsQg5eh/guiabncccompetenciasgeraisnovaescola.pdf 
134
	� BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
FÁVARO, Sílvio; KMETEUK FILHO, Osmir. Noções de lógica e matemá-
tica básica. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2005.
MACHADO, Nílson José; CUNHA, Marisa Ortegosa da. Lógica e lingua-
gem cotidiana: verdade, coerência, comunicação, argumentação. Belo 
Horizonte: Autêntica, 2005.
NUNES, Terezinha; CAMPOS, Tânia Maria Mendonça; MAGINA, San-
dra; BRYANT, Peter. Educação Matemática: Números e operações numé-
ricas. São Paulo, Cortez Editora, 2005.
SMOLE, Kátia Stocco. A Matemática na Educação Infantil. Editorial Pen-
so. (Disponível na Biblioteca Virtual)
135
	" GABARITO
Unidade 1: 
1. (a)
2. (a)
3. (a)
4. (a)
5. (a)
Unidade 2: 
1. (a)
2. (a)
3. (a)
4. (a)
5. (a)
Unidade 3: 
1. (a)
2. (a)
3. (a)
4. (a)
5. (a)
Unidade 4: 
1. (a)
2. (a)
3. (a)
4. (a)
5. (a)
Unidade 5: 
1. (a)
2. (a)
3. (a)
4. (a)
5. (a)
136
G
A
B
A
R
IT
O
Unidade 6: 
1. (a)
2. (a)
3. (a)
4. (a)
5. (a)