CIII_Aula_7_testerazao_raiz

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Aula 7 
Testes da razão, raiz e 
Séries alternadas. 
GEX 108 – Cálculo III 
Profª Evelise 
Relembrando: 
• Última aula: 
Teste da comparação 
Teste da comparação no limite 
 
• Aula de hoje: 
Teste da razão 
Teste da raiz 
Séries alternadas – Convergência. 
2 
Teste da razão 
Problema do teste da comparação: depende de 
fazer uma conjectura sobre a convergência da 
série. 
 Teste da razão: não requer nenhuma conjectura!! 
 
 
3 
Exemplo 1* 
Use o teste da razão para determinar se a série a 
seguir converge ou diverge. 
 
a) 
 
 
 
*lousa 
4 
1
1
!k k



Teste da raiz 
MAS... E se o cálculo do limite exigido pelo teste 
da razão for complicado demais? 
 Então, o TESTE DA RAIZ pode ser útil! 
 
 
5 
Exemplo 2* 
Use o teste da raiz para determinar se a série a 
seguir converge ou diverge. 
 
a) 
 
 
 
*lousa 
6 
1
1
(ln( 1))kk k

 

Séries Alternadas (Livro STEWART) 
• Séries cujos termos se alteram entre positivo e 
negativo. 
 
 
• Forma geral: 
 
7 
1
1
1 1 1 1 1
( 1) 1 ...
2 3 4 5
k
k k



      
1
1 2 3 4
1
( 1) ...k k
k
a a a a a



     
1 2 3 4
1
( 1) ...k k
k
a a a a a


      
Ímpares: positivos 
Pares: negativos 
Ímpares: negativos 
Pares: positivos 
Duas análises importantes para séries 
alternadas: 
1- Análise da convergência/divergência 
2- Estimativa da soma 
 
 Como analisar a convergência? 
8 
Exemplo 3* 
Determine se a série harmônica alternada a 
seguir é convergente ou divergente. 
 
a) 
 
 
 
*lousa 
9 
1
1
1
( 1)n
k n




Estimativa da soma 
 
 
10 
Exemplo 4* 
Sabendo que a soma da séria 
harmônica alternada é dada 
por: 
 
 
a) Encontre o erro que resulta se 
ln2 for aproximado pela soma 
dos oito primeiros termos da 
série. 
b) Encontre uma soma parcial 
que aproxime ln2 com uma 
casa decimal de precisão. 
*lousa 11 
11 1 1 1ln 2 1 ... ( 1) ...
2 3 4
k
k
       