Lista34 Regra da Cadeia

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SEÇÃO 14.5 A REGRA DA CADEIA  1
1-8 Use a Regra da Cadeia para determinar dz/dt ou dw/dt.
 1. , , y 1 t 2x t 3z x 2 y 2= + = = +
 2. , , y 1 tx 1 tz x 2y 3= = + = −
 3. , , y 1 tx 1 tz ln x y 2= + = + = +
 4. , , y e 2tx cos tz xe x y= = =
 5. , , y cos tx e tz 6x 3 3xy 2y 2= − + = =
 6. , , y e tx te 2tz x 1 y 2= ==
 7. , , , z 1 e 2ty cos tx sen tw xy 2z 3= = = = +
 8. , , , z e 3ty cos 2tx tw
x
y
y
z
= + = = ==
9-14 Use a Regra da Cadeia para determinar ∂z/∂s e ∂z/∂t.
 9. , , y 2stx s 2 t 2z x 2 sen y= = + =
 10. , , y s 2 t 2x s t 2z sen x cos y= = − = −
 11. , , y se tx se tz x 2 3x 2y 3= − = =
 12. , , y se tx t 2z x tg 1 xy= = =−
 13. , , y st 2x s 2tz 2 x 3y= = =−
 14. , , y st 2x e tz xe y ye x= + = =−
15-22 Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais 
indicadas.
 15. , , , ;
, quando , t 0s 1
w
t
w
s
z s sen ty s cos tx stw x 2 y 2 z2= + + = = =
= =
 16. , , , ;
, quando , t 1s 0
u
t
u
s
z t 2y e stx stu xy yz zx= + + = = =
= =
 17. , , ;
, , quando , , v 0u 1t 2
z
v
z
u
z
t
y u tv2x t 2uvz y 2 tg x= = = +
= = =
 18. , , ;
, , quando , , t 0s 2r 1
z
t
z
s
z
r
y rse tx re stz
x
y
= = =
= ==
 19. , , , ;
, ,
u
t
u
r
u
p
z p r ty p r tx p r tu
x y
y z
= = = =+ + − + + −
+
+
 20. , , , ; , ,
t
w
t
v
t
u
z wuy vwx uvt z sec xy= = = =
 21. , , ;
, , ,
ww
t
w
s
w
r
y r 2st cos x rs 2t 3 sen w cos x y= − = =
 22. , , , ,
; ,
u
y
u
x
s 2xy 3 2
r
x
y 4
q x 2yp x 2yu pq p2r 2s= − = + = − =
=
23-26 Use a Equação 6 para determinar dy/dx.
 23. x 2 xy y 3 8=− + 24. y 5 3x 2y 2 5x 4 12+ + =
 25. x cos y y cos x 1=+ 26. 2y 2 3 xy 3x 2 17+ = +
27-33 Use as Equações 7 para determinar ∂z/∂x e ∂z/∂y.
 27. xy yz xz 0− =+
 28. x 2 y 2 z 2 2x y z− = ++
 29. xy 2z3 x 3y 2z x y z++=+
 30. y 2ze x y sen xyz 0− =+ 31. xy 2 yz 2 zx 2 3+ + =
 32. xe y yz ze x 0++ = 33. ln x yz 1 xy 2z3+ = +
 34. O raio de um cilindro reto está aumentando em uma taxa de 
1,2 cm/s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa 
de 3 cm/s. Em qual taxa o volume do cilindro está variando 
quando o raio é 80 cm e a altura é 150 cm?
14.5 A REGRA DA CADEIA Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
2  SEÇÃO 14.5 A REGRA DA CADEIA
 1. 6t5 + 4t3 + 4t
 2. (1 − t) 1 − t
2
t
−
3 (1 − t)2
2 t
 3. 1
1 + t + 1 + t
1
2 1 + t
+
1 + t
t
 4. −ecos t/e
2 t
1+ cos t
e2 t
sen t − 2e
2 t cos2 t
e4 t
 5. 18e2 t − 3 cos t et + 3et − 4 cos t sen t
 6. e2 t 1 + e− 2 t (1 + 2t) − t 1 + e− 2 t
 7. y2 z 3 (cos t)+ 2xy z 3 (− sen t)+ 3xy 2 z 2 2e2 t
 8. 
1
2y t
+ 2 (sen 2t) x
y2
−
1
z
+
3y
z 2e3 t
 9. 4sx sen y + 2tx2 cos y , 4xt sen y + 2 sx2 cos y
 10. 2 (s − t) cos x cos y − 2s sen x sen y ,
2 (t − s) cos x cos y + 2t sen x sen y
 11. 2x − 6xy3 et − 9x 2y2e− t , 2x − 6xy3 se t + 9x 2y2 se− t
 12. x
2et
1+ x 2y2
, tg− 1 (xy )+ xy
1+ x 2y2
(2t)+ x
2
1+ x 2y2
se t
 13. 2x − 3y ln 2 2st − 3t2 , 2x − 3y ln 2 s2 − 6st
 14. xe y + e− x t2 , ey − ye− x et + 2 xe y + e− x st
 15. 2, 0
 16. 3, 2
 17. 0, 0, 4
 18. 0, − 14 ,
1
2
 19. −t/ p2 , 0, 1/p
 20. sec (xy) [w + vzy tg ( xy)], z sec (xy) tg (xy) [yu + xw ],
sec (xy) [u + vz x tg (xy)]
 21. st sen ( x − y) 2r cos θ − st 2 sen θ ,
[rt sen ( x − y)] r cos θ − 2st 2 sen θ ,
[sr sen (x − y)] r cos θ − 3st 2 sen θ ,
[−rst sen (x − y)] st 2 cos θ + r sen θ
 22. 2x −
8x 2 (x + 2y) (x + y)
y13/2
,
−8y + (x + 2y) x
3y1/2 (5x + 2y)
y8
 23. 
y − 2x
3y2 − x 24. 
−
6xy 2 + 20x 3
5y4 + 6x 2y
 25. 
y sen x − cos y
cos x − x sen y 26. 
18x − x− 2 / 3 y1 / 3
12y + x 1 / 3 y− 2 / 3
 27. 
z − y
y − x
, x + z
x − y 28. 
x − y − z
z + x
, y − x
z + x
 29. −
y2 z 3 + 3x 2y2 z − 1
3xy 2 z 2 + x 3y2 − 1
, −2xy z
3 + 2x 3yz − 1
3xy 2 z 2 + x 3y2 − 1
 30. 
z cos (xyz ) − yz ex + y
yex + y − x cos (xyz )
,
xz cos (xyz) − ex + y 2yz + y2 z
y2ex + y − xy cos (xyz)
 31. −
y2 + 2zx
2yz + x 2
, −2xy + z
2
2yz + x 2
 32. −
ey + ze x
y + ex
, − xe
y + z
y + ex
 33. 
y2 z 3 (x + yz ) − 1
y − 3xy 2 z 2 (x + yz)
, 2xyz
3 (x + yz ) − z
y − 3xy 2 z 2 (x + yz)
 34. −9600pi cm3/s
14.5 RESPOSTAS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins – IMECC – Unicamp
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