Exercícios Equações diferenciais de 1ª Ordem + Respostas + Resolução (2, 5, 6, 7)

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Por Gabriel Filizzola 
 Disciplina: Equações Diferenciais 
 Professora: Alessandra Pereira da Silva 
 
Unidade 1 – Equações diferenciais de 1ª Ordem 
PARTE I 
 
1) Introdução às equações diferenciais 
 
1.1) Definição 
 
 
 
 
 
 
 
1.2) Classificação das equações diferenciais 
 
1.2.1) Quanto ao tipo 
 
 
 
 
 
1.2.2) Quanto à ordem 
 
 
 
 
 
 
1.2.3) Quanto à linearidade 
 
 
 
 
 
 
1.3) Soluções de equações diferenciais ordinárias 
 
Definição: 
Uma solução de uma equação diferencial ordinária no intervalo I: 
  t
 é uma função 
)(ty
 definida no intervalo I 
tal que as suas derivadas de ordem até n também estão definidas no intervalo I e satisfazem a equação neste intervalo. 
 
Exemplo 1: Verifique que 
ttty ln²)( 
 é solução da equação 
043² '"  ytyyt
. 
 
Exemplo 2: Mostre que todo membro da família de funções 
t
t
ce
ce
y



1
1
 é uma solução da equação diferencial 
)1²(
2
1
 yy
. 
Exemplo 3: Encontre uma solução da equação diferencial 
)1²(
2
1
 yy
 que satisfaça à condição inicial 
2)0( y
. 
 
Exercícios da parte I 
 Por Gabriel Filizzola 
1) Para cada uma das equações a seguir, determine a ordem e classifique-a como linear ou não-linear. 
 
a) 
senty
dt
dy
t
dt
yd
t  2
²
²
²
 b) 
  tey
dt
dy
t
dt
yd
y 
²
²1
2 c) 
1
²
²
³
³
4
4
 y
dt
dy
dt
yd
dt
yd
dt
yd
 
 
d) 
0²  ty
dt
dy
 e) 
sentytsen
dt
yd
 )(
²
²
 f) 
³)²(cos
³
³
tyt
dt
dy
t
dt
yd

 
 
2) Determine a ordem de cada equação diferencial parcial e diga se a equação é linear ou não. 
 
a) 
0 zzyyxx uuu
 b) 
0 uuuuuuu yxyyxx
 c) 
02  yyyyxxyyxxxx uuu
 
 
3) Verifique se a função, ou as funções dadas, constituem solução da equação diferencial 
 
a) 
032  yyy
 
tety 31 )(

 e 
tety )(2
 
 b) 
²tyyt 
 
²3 tty 
 
 c) 
tyyy  34
 
3
)(1
tty 
 e 
3
)(2
t
ety t  
 
d) 
045²  yytyt
 t > 0 
2
1 )(
 tty
 , 
ttty ln)( 22

 
 
4) Determine os valores de r para os quais a equação diferencial 
02  yy
 tem soluções da forma 
rtey 
. 
 
5) Determine os valores de r para os quais a equação diferencial 
024²  yytyt
 tem soluções da forma 
tty 
para t > 0. 
 
6) Determine os valores de r para os quais a função y(t) é solução da equação. 
a) 
3²
)(


t
r
ty
 e 
0²  tyy
 
b) 
2²
)(


t
r
ty
 e 
0²  tyy
 
 
7) Determine todas as soluções da equação diferencial 
0)1(  yytyt
 
que são funções de 1º graus, ou seja, da forma 
batty )(
, para a e b constantes. 
 
Respostas dos exercícios 
Parte I 
 
1) a) 1ª ordem, linear b) 2ª ordem, não-linear c) 4ª ordem, linear d) 1ª ordem, não linear 
e) 2ª ordem, não linear f) 3ª ordem, linear 
 
2) a) 2ª ordem, linear b) 2ª ordem, não linear c) 4ª ordem, linear 
 
3) a) As duas são soluções b) É solução c) Apenas 
)(1 ty
é solução d) As duas são soluções 
 
4) r = -2 
 
5) r = -2, -1 
 
6) a) r =0 ou r = 2 b) r = 0 ou r = -2 
7) Todas as soluções da forma 
)1()(  taaatty
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