Combinação Linear

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Combinação Linear 
Seja  um espaço vetorial sobre um corpo  Um vetor  é dito combinação linear dos vetores  se existem escalares  tais que
Note-se que, pela definição, nem os λ nem os v precisam ser distintos 
Definição
Seja S um subconjunto do espaço vetorial V. Um vetor  é dito uma combinação linear de elementos de S quando  ou existem:
um número inteiro positivo n, 
vetores  e
escalares 
tais que
Deve-se notar que a condição u = 0 é importante para o caso em que S seja o conjunto vazio. Equivalentemente, seria possível definir a soma de zero vetores como o vetor nulo (isto é semelhante à definição do fatorial de 0, igual ao produto de zero fatores, ou seja, é o elemento neutro multiplicativo, 1).
Propriedades
Todo elemento x de S é uma combinação linear de elementos de S. Basta escolher n = 1, v1 = x e λ = 1, de forma que x = λ v1
Se x é uma combinação linear de elementos de S, e λ é um escalar, então λ x também é uma combinação linear de elementos de S. Prova: x = 0 (neste caso, λ x = 0) ou  Então 
Se x e y são combinações lineares de elementos de S, então x + y também é. A prova é um pouco mais complicada, e será feita com cuidado
Caso x ou y sejam 0, é imediato que x + y, sendo igual a x ou y, é uma combinação linear de elementos de S.
No caso geral,  e  Então definindo
 e
 temos que
Os últimos resultados mostram que o conjunto formado por todas as combinações lineares de elementos de S é um espaço vetorial - o capítulo seguinte estudará este espaço
Dependência e independência linear
Seja  um subconjunto de  Dizemos que  é linearmente dependente se existem vetores distintos  e escalares  não todos nulos, tais que
Ou seja,  é linearmente dependente se alguma combinação linear não-trivial de alguns de seus vetores resulta no vetor nulo. Quando  não é linearmente dependente, ou seja, quando a única combinação linear de vetores de que resulta no vetor nulo é a trivial (com todos os coeficientes nulos), dizemos que  é linearmente independente.
Quando temos um número finito de vetores  é comum dizer que os vetores  são linearmente dependentes (ou independentes), em vez de dizer que o conjunto  é linearmente dependente (ou independente).
Propriedades
Pela definição, o conjunto vazio é linearmente independente.
Todo conjunto que contém o vetor nulo é linearmente dependente.
Todo conjunto que tem um subconjunto linearmente dependente é linearmente dependente.
Todo subconjunto de um conjunto linearmente independente é linearmente independente.
Se um vetor de um conjunto é combinação linear de outros vetores desse conjunto, então o conjunto é linearmente dependente.
A interseção de dois conjuntos linearmente independentes é linearmente independente - podendo ser o conjunto vazio.
A interseção de um número qualquer de conjuntos linearmente independentes é linearmente independente.
A união de conjuntos linearmente independentes, normalmente, não será linearmente independente. Porém quando um conjunto é subconjunto de outro, a sua união (sendo igual ao maior conjunto) é linearmente independente. Uma extensão não-trivial desta propriedade é a seguinte: seja K um conjunto formado por conjuntos linearmente independentes, de modo que dados quaisquer dois elementos de K, um deles é subconjunto do outro. Então a união de todos os elementos de K também é linearmente independente.
Transformações Lineares 
Uma função  onde  e  são espaços vetoriais sobre um corpo  é dita uma transformação linear se, para todos  e para todo  tem-se
Existência de uma transformação
Seja  uma base de V e  vetores quaisquer de W. Então existe uma transformação linear .
T existe e está bem definida
Dado  tal que . Podemos definir T em v como . Sendo  uma base, tem-se a unicidade de  e, consequentemente, T está bem definida por meio da regra que associa o vetor  ao vetor . Vemos através da definição que .
T é linear
Tome . Assim . Pela definição . De outro modo . Portanto .
T é única
Suponha que exista , então se , então .
Imagem de uma transformação
A seguir será discutido um exemplo de como achar a imagem de uma transformação linear. Considere , definida por . O valor de  em um ponto  pode ser reescrito da seguinte forma:
.
Consequentemente, todo ponto da imagem é uma combinação linear dos vetores  e , isto é, tais vetores formam um conjunto de geradores para a imagem de . Como poderá ser verificado pelo leitor[1], estes vetores também são linearmente independentes, constituindo portanto uma base para a imagem de .
Núcleo 
Seja  uma transformação linear entre os espaços vetoriais V e W. O núcleo da transformação linear, Ker (T), é a imagem inversa do vetor nulo em W:
Teorema do núcleo
O núcleo de uma transformação linear é um subespaço vetorial do seu domínio
A demonstração é simples:
Ker(T) não é vazio, pois 0V é um elemento de Ker(T), já que T(0V) = 0W
Se  então T(v) = T(w) = 0, logo, pela linearidade de T, T(v + w) = 0 e 
Se  e  temos  logo  ou seja, 
Se , e 
Posto e Nulidade
O posto(T) = dim Im(T),isto é, a dimensão da imagem de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram toda a imagem de T(V).
A Nulidade(T) = dim Ker(T), isto é, é a dimensão do núcleo de T(V), isto é, a quantidade de vetores L.I. que geram todo o núcleo de T(V).
Teorema do posto e da nulidade
Sejam V e W espaço vetoriais sobre o corpo K e . Se , então posto(T) + Nulidade(T) = dim V
Definindo a base do núcleo e a base do espaço:
Seja  uma base do Ker(T). Existem vetores  com j=k+1,...,n onde  é uma base de V.
Definindo a base da imagem:
Como  é a base de V, T aplicada nessa base gera um conjunto que gera a imagem de T por V. Aplicando T sobre os vetores da base de V, temos , mas , pela definição de núcleo. Assim os vetores  geram a imagem de T(V).
Provando que os vetores são independentes:
Como queremos uma base, eles devem ser independentes, isto é, devem  tal que .
Tomemos . Logo . Como .
Portanto . Como  são L.I., então .
Definindo posto e nulidade:
O Posto(T) = dim Im(T). Como  geram a imagem de T(V), logo o posto(T)= n - (k+1) +1 = n-k.
A nulidade (T) = dim Ker(T). Como  é uma base do Ker(T), logo a Nulidade (T)= k - 1 + 1 = k
Como n = dim V, Nulidade(T)=k e Posto(T)=n-k, portanto Posto(T) + Nulidade(T) = dim(V).
AUTOVALORES E AUTOVETORES
É uma transformação especial T : V  W.
T(v) = v
Onde, é o autovalor (escalar) e v é autovetor (se v  0).
Como toda transformação linear pode ser escrita pela multiplicação de uma matriz por um vetor então:
(II) T(v) = Av
Igualando (I) e (II), tem-se:
Av = v ou Av – v = 0 que resulta no sistema homogêneo:
(III) (A – I) v = 0
Onde A é n x n, v = 0 é sempre solução (trivial).
Os vetores v  0 para os quais existe um que resolve a equação (III) são chamados de autovetores da matriz A e os valores de , que conjuntamente com v resolvem a equação são chamados de autovalores da matriz A associados aos respectivos autovetores.
Para que a equação (III) tenha solução além da trivial é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero, ou seja,
det(A – I) = 0
o que resulta em um polinômio de grau n em , conhecido como polinômio característico. As raízes do polinômio característico são os autovalores da matriz A.
Para se encontrar os autovetores basta substituir o valor do autovalor na equação original e encontrar o autovetor. O autovalor será, então, associado ao autovetor encontrado.
Na verdade, o autovetor encontrado forma uma base para o espaço de solução da equação (III), dado o respectivo autovalor. Logo, qualquer múltiplo do autovetor também é um autovetor.
Portanto:
Sendo A a matriz canônica que representa um operador linear T, temos:
autovalores  de T ou de A: são as raízes da equação
det(A – I) = 0,
autovetores v de T ou de A: para cada , são as soluções da equação
Av = v ou (A – I)v = 0.
Exercicios Resolvidos 
-Combinação Linear
-Determine o sub espaço S do espaço V , gerado pelos vetores de A, em cada caso. 
a) V = R 3 , A = {(1, 2, 1),(2, 1, −2)}. 
b) V = M2×2(R),A = {v1, v2, v3}, onde v1 = " 2 −3 1 1 # , v2 = " 4 −6 2 2 # e v3 = " 0 2 1 0 # . 
c) V = P2(t, R), v1 = t + 1 e v2 = t 2
Resolução
a) [A] = {(x, y, z) ∈ R 3 ; 5x − 4y + 3z = 0}
 b) [A] = (" 2a 2b − 5a b a # ∈ M2×2(R) ) 
c) [A] = {a + at + bt2 ∈ P2(t, R)}
-Transformação linear
Obter expressão geral da transformação linear T:R³R² tal que T(1,0,0)=(1,0), T(1,1,0)=(2,3) e T(1,1,1)=(4,7).
Para resolver este problema escreveremos o vetor v=(x,y,z) como combinação linear dos elementos da base B={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} para obter
(x,y,z) = a(1,0,0)+ b(1,1,0)+ c(1,1,1) = (a,0,0)+(b,b,0)+(c,c,c) = (a+b+c,b+c,c)
Assim, x=a+b+c, y=b+c e z=c e desse modo:
	T(x,y,z)
	=
	T[x(1,0,0)+ y(1,1,0)+ z(1,1,1)]
	 
	=
	T[x(1,0,0)]+T[y(1,1,0)]+T[z(1,1,1)]
	 
	=
	xT(1,0,0)+yT(1,1,0)+zT(1,1,1)
	 
	=
	x(1,0)+y(2,3)+z(4,7)
	 
	=
	(x+2y+4z,x+3y+7z)
Dependência e Independência Linear
Verifique se os conjuntos são L.I. ou L.D.
A = { (3, 1), (1, 2) }, V = 2
A = { (1, 2, 0), (0, 1, 1), (2, 4, 0) }
a1(1, 2, 0) + a2(0, 1, 1) + a3(2, 4, 0) = (0, 0, 0)
A = { (2, 4), (6, 12) }
a1(2, 4) + a2(6, 12) = (0, 0)
Obs. 1: Sempre que o conjunto A tiver elementos múltiplos, teremos um conjunto L.D.
No caso anterior, .
A = { (1, 0, 2), (2, 0, 4) } é L.D.
A = { (0, 0, 0), (2, 3, 4), (5, 6, 7) } 
Obs. 2: Para gerar o V = 2 é preciso de 2 vetores
AUTOVALORES E AUTOVETORES
 Determinar os autovalores e autovetores do operador linear:
T : 3 3, T(x,y,z) = (3x – y + z, -x + 5y + z, x – y + 3z)
Em forma matricial:
Cálculo numérico:
 = 0 -36 = 0 logo 1 > 0
 = 1 -10 = 0 logo 1 > 1
 = 2 0 = 0 logo 1 = 2
Dividindo por ( – 2):
( – 2) (2 - 9 + 18) = 0 2 = 6 e 3 = 3
Os autovalores são 1 = 2, 2 = 6 e 3 = 3
Para achar os autovetores basta substituir cada um dos autovalores na equação (A – I) v = 0:
Para 1 = 2:
. Escalonando:
Logo, v1 = (x,0,-x) = x (1,0,-1)
Assim, qualquer múltiplo do vetor (1,0,-1) é um autovetor que tem como autovalor associado 1 = 2, v1 = (1,0,-1)
Para 2 = 3:
Assim, v2 = (x,x,x) = x (1,1,1).
v2 = (1,1,1) ou seus múltiplos.
Para 3 = 6:
v3 = (z,-2z,z) = z (1,-2,1)
v3 = (1,-2,1) ou seus múltiplos.
Unama-Universidade Da Amazônia
Álgebra Linear
Unama-Universidade da Amazônia
Coordenador: Isaias Barbosa
Professora: Eliete Barroso 
Aluna: Alana Carla Miranda Araújo
Curso: Engenharia Mecânica 
Turno: Manhã