matemática financeira

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Universidade Comunitária da Região de Chapecó 
 
Sistemas de Informação 
 
 
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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
(MATERIAL DE APOIO E EXERCÍCIOS) 
 
 
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 Beno Nicolau Bieger 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Juro é o prêmio pela espera”. 
“Desconto é o preço da impaciência”. 
 (Prof. Rochadelli – PPGEF/UFPR) 
 
Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 
2 
UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ 
Área: Área de Ciências Exatas e Ambientais 
Curso: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO - Matriz 346 Período: 5 
Componente Curricular: MATEMÁTICA FINANCEIRA Carga horária: 72 h/a 
Professor: 10245 - Beno Nicolau Bieger 
 
PLANO DE ENSINO 
 
1. EMENTA 
Regimes de capitalização de juros e descontos. Séries uniformes. Equivalência de 
Capitais. Tópicos de Análise de Investimentos. 
 
2. JUSTIFICATIVA 
A disciplina justifica-se pela necessidade que o aluno tem em entender as relações financeiras que 
envolvem a atividade profissional bem como no uso diário como cidadão, dos cálculos matemáticos e 
financeiros. 
Ainda justifica-se pela ênfase empreendedora que caracteriza este profissional egresso da 
Universidade. 
 
3. OBJETIVOS 
3.1 OBJETIVO GERAL 
Aprofundar o estudo da matemática nos conteúdos iniciais da matemática financeira, preparando o 
aluno para as transações comerciais e financeiras. Preparar o futuro profissional no domínio dos 
cálculos financeiros objetivando uma visão clara e sistêmica das relações financeiras do mundo do 
trabalho. 
 
3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
- Interpretar corretamente os problemas financeiros: juros, descontos, regimes de capitalização, 
periodicidade. 
- Identificar corretamente as variáveis que envolvem cálculos financeiros. 
- Sistematizar as soluções para os problemas financeiros. 
- Usar adequadamente os instrumentos disponibilizados para a solução de problemas financeiros. 
- Utilizar adequadamente os equipamentos e ferramentas disponibilizadas para a solução de problemas 
e cálculos financeiros. 
- Ter conhecimento e capacidade de analisar ofertas comerciais sob o enfoque financeiro. 
- Ter capacidade e competência para efetuar renegociações financeiras entre pessoas físicas e 
jurídicas. 
- Ter uma visão clara e sistêmica das relações financeiras do mundo comercial e do trabalho. 
- Usar a lógica para a solução de problemas e situações inéditas nas relações comerciais e financeiras. 
- Ter noções importantes sobre a viabilidade econômica e financeira de empreendimentos. 
 
 
4. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
- Juros simples: Conceitos. Cálculo do juro simples. Cálculo do montante. 
- Juros compostos: Conceitos. Cálculo do Montante. Tabelas 
- Estudo de taxas: Nominal, proporcional, média, acumulada, efetiva, equivalente, real. 
- Descontos simples: Conceito. Desconto comercial ou por fora ; cálculo do valor atual. Desconto 
racional ou por dentro ; cálculo do valor atual. Comparação de desconto comercial e racional. 
- Descontos compostos. Conceitos. Desconto composto Real. Cálculo do Valor Atual. Desconto composto 
Bancário. Cálculo do Valor Atual. 
 
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3 
- Séries Uniformes: Classificação. Cálculo do valor atal, do montante e da prestação de séries 
antecipadas, postecipadas e diferidas. Séries perpétuas: Cálculo do valor atual, da prestação e da 
taxa. 
Equivalência de capitais diferidos: permuta de títulos, formação de fundos, alongamento de dívidas. 
- Tópicos de Análise de Investimentos (conceitos, métodos, aplicações). 
 
5. METODOLOGIA 
5.1 Aulas expositivas 
5.2 Solução individual e coletiva de problemas e exercícios. Estudos de Casos. Estudo e solução dos 
aspectos financeiros de anúncios comerciais. 
5.3 Pequenos grupos para trabalhos e solução de problemas. 
 
6. CRONOGRAMA (proposto) 
 
Aula Conteúdo programado Obs 
1ª Discussão do Plano de Ensino. 
Exercício de verificação de conhecimentos. 
Revisão dos conteúdos necessários à disciplina. 
 
2ª Juros simples: Conceitos. Cálculo do juro simples. Cálculo do 
montante. Exercícios. 
 
3ª Juros compostos: Conceitos. Cálculo do Montante. Exercícios. 
4ª Estudo de taxas. Exercícios 
5ª Descontos simples: Conceito.Desconto comercial ou “por fora; 
cálculo do valor atual. Desconto racional ou “por dentro; cálculo do 
valor atual. Exercícios 
 
6ª Descontos compostos: Conceitos. Desconto composto Real. Cálculo 
do Valor Atual. Exercícios. 
 
7ª Desconto composto Bancário. Cálculo do Valor Atual. 
Exercícios. 
 
8ª Avaliação G1 
9ª Séries uniformes. Conceitos. Classificação. Séries postecipadas. 
Cálculo do valor atual. Cálculo do Montante. Séries antecipadas. 
Cálculo do valor atual. Cálculo do Montante. Exercícios. 
 
10ª Séries perpétuas. Cálculo do valor atual. Cálculo da prestação. 
Séries diferidas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Montante. 
Exercícios. 
 
11ª Aula de Exercícios. 
12ª Equivalência de capitais com capitalização composta. 
Exercícios. 
 
13ª Equivalência de capitais com capitalização composta. 
Exercícios. 
 
14ª Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
15ª Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 
16ª Avaliação G1. 
17ª Revisão. Exercícios. 
18ª Avaliação G2. 
19ª Avaliação G3. 
 
Data da Aula Dia da Semana 
Hora 
Inicial Hora Final Obs 
19/02/2013 Terça-Feira 19:00 19/02/2013 
26/02/2013 Terça-Feira 19:00 26/02/2013 
05/03/2013 Terça-Feira 19:00 05/03/2013 
12/03/2013 Terça-Feira 19:00 12/03/2013 
 
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4 
19/03/2013 Terça-Feira 19:00 19/03/2013 
26/03/2013 Terça-Feira 19:00 26/03/2013 
02/04/2013 Terça-Feira 19:00 02/04/2013 
09/04/2013 Terça-Feira 19:00 09/04/2013 
16/04/2013 Terça-Feira 19:00 16/04/2013 
23/04/2013 Terça-Feira 19:00 23/04/2013 
30/04/2013 Terça-Feira 19:00 30/04/2013 
14/05/2013 Terça-Feira 19:00 14/05/2013 
21/05/2013 Terça-Feira 19:00 21/05/2013 
28/05/2013 Terça-Feira 19:00 28/05/2013 
04/06/2013 Terça-Feira 19:00 04/06/2013 
11/06/2013 Terça-Feira 19:00 11/06/2013 
18/06/2013 Terça-Feira 19:00 18/06/2013 
25/06/2013 Terça-Feira 19:00 25/06/2013 
 
 
 
7. AVALIAÇÃO 
7.1 Presença, participação e exercícios em sala de aula. 
7.2 - G1: (três notas compõem a G1) Duas avaliações em sala de aula sobre os conteúdos parciais mais 
uma G1 composta de mini avaliações de uma questão no final de cada aula (a soma destas mini 
avaliações será a 3a. nota G1). 
 - G 2 - Uma, com conteúdo cumulativo, conforme as orientações/normas da Instituição. 
7.3 Exames - G3 - para aqueles alunos que não alcançarem a pontuação normatizada pela Instituição . 
7.4 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO 
- Participação nas discussões, debates, e trabalhos individuais ou em grupo. 
- Solução dos problemas e exercícios (intra e extra classe) propostos. 
 
8. REFERÊNCIAS 
 
8.1. Referência Básica 
* CARVALHO, Thales Mello. Matemática comercial e financeira: complementos de matemática. 5. ed. 
Rio de Janeiro: FENAME, 1980. 438 p. 
* FRANCISCO, Walter de. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 1991-1993. 319 p. ISBN 
85-224-0707-X. 
* PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 
1999. 440 p. ISBN 85-02-02719-0 
 
8.2. Referência Complementar 
* CASAROTTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de investimentos. 9. ed. São 
Paulo: Atlas, 2000. 458 p. : ISBN 8522425728 
* MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 3. ed.São Paulo: 
Atlas, 2002. 455 p. ISBN 8522431043 
* SHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuários do excel 5.0. São Paulo: Atlas, 1998. 167 
p. ISBN 85-224-1837-3 
* TOSI, Armando José. Matemática financeira com utilização do excel 2000: aplicável às versões 
5.0, 7.0 e 97. São Paulo: Atlas, 2000. 218 p. ISBN 8522424373 
* ZDANOWICZ, José Eduardo. Orçamento de capital: a decisão de impacto. Porto Alegre: Sagra 
Luzzatto, 1990. 240 p. 
 
9. OBS PROFESSOR 
Seguindo a possibilidade prevista na Resolução CONSUN 144/08, poderá ser aplicado trabalho 
acadêmico efetivo universitário extra classe, conforme carga horária prevista na legislação. 
 
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"Muitos pensam que sabem; poucos sabem que não sabem; quem sabe, sabe que sabe muito pouco". 
Alexandre Canalini 
 
 
AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA Nota: 
 
Questão Solução “Gabarito” 
a. 12 + 7 x 2 
 
 
b. 10 – 5 x 2 
 
 
c. 2 x 4 – 1 
 
 
d. 4 – 1 ÷ 2 
 
 
e. 360 ÷ 12 x 0,5 
 
 
f. 30 ÷ 12 – 2 
 
 
g. 1 – 0,5 x 3 
 
 
h. 5/8 – 4/5 x 23 
 
 
i. 23 + 7 ÷ 21/3 
 
 
j. log 1,75 – ln 1,75 
 
 
k. log (32/16) 
 
 
l. log 32 / log16 
 
 
 
m. 
 
 
 
n. 
30
3605 2 + 
o. 52 + (360/30)1/2 
 
 
p. 0,5 - 8,3333 . 0,52 
 
 
q. (1 – 0,52 ) 2 
 
 
r. (1 – 0,25.2) 2 
 
 
s. Qual é o inverso de 54 ? 
 
 
t. Qual é o valor da constante 
"e" ? 
 
 
u. 
5/3
5/3
 
 
 
v. 
3/5
5/3
 
 
 
 
x. Calcular a área do 
triângulo retângulo 
 Hipotenusa = 5m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cateto base = 3m 
 
 
 m2 
25
30
360
+
 
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JUROS SIMPLES 
 
$ Quanto vale hoje um ativo ou passivo formado em uma data do passado? 
$ Quanto valerá, em um futuro conhecido, uma aplicação realizada hoje? 
$ Porque muitas dívidas contraídas na compra de bens acabam ficando maiores do que o valor do próprio bem? 
 
Conceitos de juros 
 - Juro é a remuneração do capital. 
 - “Juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo, a uma 
taxa previamente combinada”. 
“Juro é o prêmio pela espera”. 
(Prof. Rochadelli – PPGEF/UFPR) 
 
 Juro simples é um artifício matemático para simplificar o cálculo de juros compostos. 
 
 O juro é simples quando é produzido unicamente pelo capital inicial. Em todos os períodos considerados, o 
valor será sempre igual. 
 
 
Cálculo de juros simples ( j ) 
 
 Calcula-se o juro (j) multiplicando-se o capital (C ou PV) com a taxa (i) e com o número de períodos (n) 
considerado, ou seja: 
 
 j = C. i . n ou j = PV . i . n 
 
 É importante lembrar que sempre usaremos a taxa (i) já dividida por 100, ou seja, uma taxa de 15% 
entra nesta fórmula como 0,15; uma taxa de 20% como 0,2 e assim sucessivamente. Este procedimento será adotado 
em todas as fórmulas aqui abordadas. 
 Um procedimento imprescindível é trabalharmos sempre com as mesmas unidades em todos os 
cálculos, ou seja: se a taxa for anual o número do período deve necessariamente ser em anos; se for mensal, os 
períodos serão em meses; se a taxa for diária, os períodos serão em dias e assim por diante. 
 
Exemplo : 
Determinar os juros de um capital de R$ 2.000,0 aplicado durante oito meses a uma taxa de 18% a.a. 
 
 Temos: 
C = 2.000 
i = 18 / 12 meses/ 100 = 0,015 
n = 8 meses 
 j = C i n 
 j = 2.000 x 0,015 x 8 
 j = 240,00 
 
 
 Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar: 
 
2000 x 18 ÷ 12 ÷ 100 x 8 = (e no visor aparecerá 240,00) 
 
 
Na HP 12C teclar: 
 
 2000 CHS PV 18 i 8 ↑↑↑↑ 30 x n f INT 
 
 
Obs: Na HP a taxa utilizada sempre deverá ser anual e o período sempre em dias. 
 
 
Cálculo do Montante (Cn) 
 
 Chama-se de Montante (Cn ou FV) o capital somado aos seus juros produzidos. 
 
 
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7 
 Se Cn = C + j e j = C.i.n então Cn = C + C.i.n 
 
e colocando-se o “C” em evidência teremos Cn = C . ( 1 + i . n ) ou ).1.( niPVFV += 
 
Exemplo : 
 Calcular o Montante do exemplo anterior. 
1ª Solução 2ª Solução 
Cn = 2.000 + 240 
 
Cn = 2.240,00 
 Cn = 2.000 ( 1 + 0,015 x 8 ) 
 Cn = 2.000 x 1,12 
 Cn = 2.240,00 
 
 
 Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar: 
 
(Dando seqüência ao cálculo do juro simples) 
 
2000 x 18 ÷ 12 ÷ 100 x 8 = 240,00 + 2.000 = 2.240,00 
 
 
 
Na HP 12C basta teclar + (após o cálculo dos juros) e aparecerá no visor o Montante. 
 
 
ou seja 
 
2000 CHS PV 18 i 240 n f INT + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Quando parecia que nada iria acontecer, uma novidade aparece; e o mundo se transforma. 
 Este é o momento propício para você aprender que sempre é possível ir além do que pensaria poder.” (Anônimo) 
 
 
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8 
 
EXERCÍCIOS – JUROS SIMPLES 
1. Calcular os juros de um capital de R$ 1.500,00, à taxa de 24% ao ano, durante um ano e três meses. 
2. Um capital produziu juros de R$ 32,00 em cinco meses a 7,5% ao semestre. Qual foi o capital? 
3. A que taxa mensal o capital de R$ 3.200,00 produzirá o montante de R$ 4.184,00 em trezentos dias? 
4. O capital de R$ 840,00 rendeu R$ 120,00 de juros, à taxa de 10% ao ano. Qual foi o tempo da 
transação? 
5. Você aplicou em uma instituição financeira um valor equivalente a R$ 13.200,00 que proporcionou um 
montante de R$ 15.758,16 à uma taxa mensal 5,7%. Qual foi o tempo de aplicação? 
6. O seu pai aplicou em sua conta um capital de R$ 1.200,00 que rendeu R$ 450,80 de juros aplicado à 
uma taxa mensal 7%. Qual foi o tempo desta aplicação? 
7. Você como gerente financeiro de sua empresa aplicou um capital de R$ 3.450,00 a uma taxa anual de 
juros de 37% por um trimestre. Qual o montante produzido? 
8. Qual será o montante de uma aplicação de R$ 735,00 à taxa de 0,5% ao mês durante 135 dias? 
9. Um determinado capital produziu o montante de R$ 5.789,00 aplicado a uma taxa de 1,41% ao mês 
durante sete trimestres. Qual foi o valor da aplicação? 
10. Um capital aplicado no mercado financeiro triplicou de valor em dois anos três trimestres e meio mês. 
Qual foi a taxa anual desta aplicação? 
11. Um capital triplicou de valor aplicado a uma taxa de 5% ao mês. Qual foi o tempo desta aplicação? 
12. Você aplica R$ 30.000,00 por quatro anos na poupança que rende 0,5% ao mês (liquido). Quanto terá 
no fim deste período? 
RESPOSTAS 
 
1 2 3 4 5 6 
R$ 450,00 R$ 512,00 3,075% a.m. 1 ano, 5 meses e 4 dias 3 meses e 12 dias 5 meses e 11 dias 
7 8 9 10 11 12 
R$ 3.769,13 R$ 751,54 R$ 4.466,48 71,64% a.a. 3 anos e 4 meses R$ 37.200,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A única segurança que o homem pode ter na sua vida é sua reserva de conhecimento. (Henry Ford) 
 
 
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9 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
Relembrando: 
$ Quanto vale hoje um ativo ou passivo formado em uma data do passado? 
$ Quanto valerá, em um futuro conhecido, uma aplicação realizada hoje? 
$ Porque muitas dívidas contraídas na compra de bens acabam ficando maiores do que o valor do próprio bem?Conceitos de juros 
 - Juro é a remuneração do capital. 
 - “Juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo, a uma taxa previamente 
combinada”. 
 
Conceito de juros compostos 
Juro composto é a transação financeira em que um capital é aplicado por diversos períodos, mas, a cada novo 
período, os juros produzidos no período anterior são incorporados ao capital para o cálculo dos juros do novo período. 
 Pelo conceito acima se percebe que, no primeiro período, os juros simples e os compostos são os mesmos, pois não há 
capitalização. Conclui-se também que a formação do montante com juros simples é linear apresentando o comportamento de uma 
progressão aritmética (PA) ao passo que, com juros compostos é exponencial, apresentando o comportamento de um progressão 
geométrica (PG). 
 
Cálculo do Montante em juros compostos (Cn ou FV) 
 
O Montante é a soma do juro (j) com o capital (C ou PV). Extrapolando este conceito para “n” períodos chega-se à seguinte 
fórmula: 
 
 Cn = C . ( 1 + i )
n ou 
niPVFV )1.( += 
 
 É extremamente importante estar atento para o regime de capitalização. Se a capitalização for anual, as variáveis “n” 
(número de períodos) e “i” (taxa) devem necessariamente estar expressas em anos. Se a capitalização for mensal, devem estar 
expressas em meses, e assim por diante. 
 Também é importante lembrar que sempre usaremos a taxa (i) já dividida por 100, ou seja, uma taxa de 15% entra na 
fórmula como 0,15; uma taxa de 20% como 0,2, etc, como visto em juros e descontos simples. 
 
Exemplo: 
Determinar os juros de um capital de R$ 2.000,0 aplicado durante dois anos a uma taxa de 18%a.a., capitalizado 
trimestralmente. 
 
 Temos: 
C = 2.000 
k = trimestral 
n = 2 anos x 4 = 8 trimestres 
i = 18 / 4 trimestres/ 100 = 0,045 
Cn = C . ( 1 + i )n 
Cn = 2000 (1+ 0,045)8 
Cn = 2000(1,422100613) 
Cn = 2.844,20 
 
Como: j = Cn - C 
Teremos: 
j = 2.844,20 – 2.000,00 
j = 844,20 
 
 Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar: 
 
2000 x (1 +0,045)8 y x = (no visor aparecerá) 2.844,20 – 2000 = 844,20 
 
Na HP 12C teclar: 
 
2000 CHS PV 18 ↑↑↑↑ 4 ÷ i 2 ↑↑↑↑ 4 x n FV 2000 ̶ (no visor aparecerá) 844,20 
 
 
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Capitalização contínua 
 
 Matematicamente pode-se imaginar uma capitalização ainda mais intensa do que a diária. A essa capitalização chamamos de 
contínua. A fórmula desenvolvida para calcular o montante é: 
 
Cn = C.(e)i.n onde “e” é uma constante matemática de valor igual a 2,718281828. 
 
 
Obs: Neste caso específico as variáreis “i” e “n” também devem estar expressas na mesma periodicidade (não importando qual). 
 
 
ESTUDO DE TAXAS 
 
1. Taxa Nominal – é a taxa de juros expressa nos contratos ou documentos. Normalmente é anual. Não significa que 
a capitalização deva ser desta periodicidade. Ex.; 10% a.a., 18% a.a. 
 
2. Taxas proporcionais – é a mesma taxa de juros expressa em períodos diferentes, mas guardando a 
proporcionalidade entre si. Por ex.: 24% ao ano é proporcional a: 12% ao semestre, que é proporcional a 6% ao 
trimestre, que é proporcional a 4% ao bimestre, que é proporcional a 2% ao mês e vice e versa. 
 
3. Taxa Acumulada de juros – Quando se tem um determinado capital aplicado por diversos períodos a taxas (i1, i2 
...in) diferentes (ou não) em cada período, a taxa capitalizada resultante pode ser expressa com a seguinte fórmula: 
100].1)1...()1.()1[( 21 −+++= nnnnac iiii 
Por ex: Um capital permaneceu aplicado por períodos iguais às seguintes taxas: 2,1%, 1,9%, 3,4% e 2,6%. Qual foi a 
taxa acumulada? 
100].1)026,01.()034,01.()019,01.()021,01[( 11.11 −++++=aci 
100].1)026,1).(034,1).(019,1).(021,1[( −=aci 
100].1)103742653,1[( −=aci ∴ %3743,10=aci 
 
4. Taxa média de juros – Para saber a taxa média de juros de um determinado período torna-se necessário calcular 
primeiro a taxa acumulado (item anterior) e depois extrair a raíz “n” desta taxa encontrada. É expressa com a seguinte 
fórmula: 
100].1)1([ −+= n acii 
Para o mesmo exemplo do item anterior, teremos: 
100].1)103742653,01([4 −+=i 
100].1)103742653,1([ 4 −=i 
100).1024983694,1( −=i ∴ %4984,2=i 
 
5. Taxas equivalentes – Quando se tem a necessidade de saber qual foi a taxa que produziu determinada taxa 
capitalizada, extrai-se a raíz “n” desta taxa (expressa em um período maior). O procedimento e a fórmula são similares 
aos da taxa média. 
Por ex: Qual é a taxa mensal equivalente a 30% ao ano? 
 
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11
100].1)1([
.
−+= neq ii 
100].1)30,01([12
.
−+=eqi 
100].1)30,1([12
.
−=eqi 
100).1022104451,1(
.
−=eqi ∴ ..%.2104,2. maieq = 
 
6. Taxa efetiva – Quando se quer saber a taxa capitalizada de um contrato ou documento, o cálculo a efetuar é 
semelhante ao das taxas acumuladas, ou seja, capitaliza-se “(1+i)” tantas vezes quantas forem os períodos de 
capitalização contidos no período maior que se quer saber. 
Por ex: Qual é a taxa anual efetiva de 3% ao mês? 
100].1)1[(
.
−+= nef ii 
100].1)03,01[( 12
.
−+=efi 
100].1)425760887,1[(
.
−=efi 
..%.5761,42
.
aai ef = 
 
7. Taxa real de juros – Normalmente nos valores resultantes das aplicações estão embutidas as taxas da inflação do 
período. Para se expurgar a inflação, ou saber qual a taxa que efetivamente remunerou o capital procedemos da 
seguinte maneira aplicada ao exemplo. 
Ex: Uma aplicação rendeu em um determinado período 7,3%. Qual foi a taxa real de juros, sabendo que a inflação do 
mesmo período foi de 4%? 
Da fórmula : )1).(1()1( inf laçãoreal iii ++=+ 
pode-se deduzir: 100.1)1
)1(
inf 







−
+
+
=
lação
real i
ii 
100.1)04,01
)073,01(






−
+
+
=reali 
 
100).1031730769,1( −=reali 
 
%1731,3=reali 
 
 
 
 
 
 
 
“Essa crise não passa de uma marolinha”. 
(Presidente Lula, em outubro/08, desdenhando o vendaval financeiro que se aproximava.) 
 
 
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12
 
EXERCÍCIOS – JUROS COMPOSTOS E TAXAS 
 
1. Você empresta para seu colega R$ 1.000,00. Quanto ele lhe devolverá no fim de três anos, à taxa de 16% a ano, 
sendo que vocês combinaram que a capitalização seria semestral? 
2. Qual será o rendimento de R$ 2.000,00 no fim de dois anos e meio, a 20% ao ano capitalizados trimestralmente? 
3. Você aplicou o capital de R$ 1.500,00 a 12%a.a. durante quatro anos. Qual foi o montante produzido? 
4. Uma aplicação de R$ 1.000,00 produziu um montante de R$ 1.695,88 em três anos. Qual foi a taxa trimestral de 
juros desta aplicação? 
5. Em quanto tempo um capital dobrará de valor se for aplicado a 18% a.a., capitalizado trimestralmente? 
6. Determinar o montante de R$ 1.200,00 no fim de quatro anos, a 12% a.a., capitalizado mensalmente. 
7. Qual é a taxa anual de juros que, capitalizada semestralmente, faz com que o capital de R$ 2.500,00 produza R$ 
2.000,00 de juros em três anos e seis meses? 
8. Durante quanto tempo um capital de R$ 2.500,00 produzirá R$ 1.484,62 de juros, a 24% a.a. capitalizado 
trimestralmente? 
9. Dois capitais que somam R$ 11.000 foram aplicados em instituições financeiras diferentes. O primeiro capital foi 
colocado a 20% a.a., capitalizado trimestralmente e o outro foi colocado a 18% a.a. capitalizado mensalmente. No fim 
de três anos e novemeses produziram juros iguais. Quais foram esses capitais? 
10. Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a.a. capitalizado trimestralmente e o restante, a 20% a.a. 
capitalizado semestralmente. No fim de dois anos e seis meses retirou o montante de R$ 2.061,88. Qual foi o capital 
aplicado? 
11. Uma instituição financeira paga juros de 24% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual é a taxa efetiva? 
12. Qual é a taxa trimestral de juros equivalente a 22% a.a.? 
13. Um capital é aplicado a 1,5% a.m. Qual é a taxa anual efetiva? 
14. Qual é a taxa mensal de juros equivalente a 20% a.a.? 
15. O capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante um ano e três meses a uma taxa trimestral de juros. Se a taxa fosse 
de 2% ao mês, os juros produzidos seriam R$ 69,58 maiores. Qual foi a taxa da aplicação? 
16. Você empresta para seu colega um capital equivalente a R$ 1.235,00. Se a taxa desta transação for de 35% a.a. e 
a capitalização mensal, qual será o rendimento (juros) após quinhentos e dez dias? 
17. Você aplicou em uma instituição financeira um determinado valor. Após nove meses e quinze dias você retirou um 
montante igual a R$ 5.321,00. Qual foi o capital aplicado se a taxa que a instituição paga é de 22,80% a.a. e a 
capitalização foi contínua? 
 
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13
18. Você aplica o seu dinheiro a 7% ao mês. Qual é a taxa anual efetiva de juros? 
19. Você aplicou um determinado valor por vários períodos iguais e com taxas diferentes de juros. No primeiro período 
a taxa foi de 1,88%. No período seguinte você obteve uma taxa 20% menor que aquela. Num terceiro período a taxa 
foi apenas 10% menor do que a primeira e, no último período a taxa foi 15% maior do que a primeira. Considerando 
que os períodos foram iguais, qual foi a taxa acumulada de juros? 
20. Você aplicou em uma instituição financeira um capital equivalente a R$ 5.235,00. Após duzentos e setenta dias 
você retirou um montante 35% maior do que este capital. Qual foi a taxa anual proporcional que a instituição pagou se 
a capitalização foi mensal? 
21. Você fez uma aplicação financeira por sete meses e obteve um rendimento de 15%. O Banco Central divulga que, 
neste mesmo período, a inflação alcançou 6,43%. Qual foi o seu rendimento real nesta aplicação? 
22. você fez uma aplicação financeira para dez meses. A taxa mensal da transação foi de 1,47%. Qual foi a taxa efetiva 
desta aplicação? 
23. Você fez uma aplicação financeira por nove meses e obteve um rendimento de 9,34%. O Banco Central divulga 
que, neste mesmo período, a inflação alcançou 6,43%. Qual foi o seu rendimento real nesta aplicação? 
24. Você está exercendo a função de caixa de uma loja de eletroeletrônicos. À sua frente está um cliente renegociando 
um carnê de compras que está atrasado em quatro meses e a quinta prestação vence hoje. O valor de cada prestação 
é de R$ 93,75. A taxa anual que a loja pratica é igual sessenta porcento. Para prestações atrasadas há uma multa de 
3% sobre o valor da prestação mais 1,5% a.m. de juros. Qual será o valor que cliente deve pagar para deixar o seu 
carnê em dia? 
25. Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 19,37% a.a. capitalizado trimestralmente, 1/3 deste mesmo capital à taxa 
taxa anual igual a 19% mas, capitalizado mensalmente, e o restante, a 21,33% a.a. capitalizado semestralmente. No 
fim de dois anos e meio retirou o montante equivalente R$ 9.152,00. Qual foi o capital aplicado? 
RESPOSTAS 
1 2 3 4 5 6 
R$ 1.586,87 R$ 1.257,79 R$ 2.360,28 4,5% ao trimestre Três anos, 11 meses e 7 dias. R$ 1.934,67 
7 8 9 10 11 12 13 
17,52% a.a. 2 anos C1= 5.162,62 e C2= 5.837,38 R$ 1.323,07 26,24% a.a. 5,097% ao trimestre 19,56% a.a. 
14 15 16 17 18 19 
1,5309% a.m. 5% ao trimestre R$ 778,37 R$ 4.442,25 125,22% a.a. 7,4356 % 
20 21 22 23 24 25 
40,69% a.a 8,0522% 15,7115% 2,7342% 494,28 5.654,71 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, transformam“A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, transformam“A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, transformam“A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, transformam----se em oportunidades”. se em oportunidades”. se em oportunidades”. se em oportunidades”. 
(Maxwell Maltz) 
 
 
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14
DESCONTOS SIMPLES 
 
Conceito 
 
 - Desconto é o abatimento (em dinheiro) que um determinado título sofre quando é resgatado 
antes do seu vencimento. 
“Desconto é o preço da impaciência”. 
 (Prof. Rochadelli – PPGEF/UFPR) 
 
Desconto Comercial ou “por fora” (d) 
 
 - equivale aos juros simples, onde na fórmula substituímos o capital (C) pelo valor nominal do título 
(N ou FV). Assim teremos: 
 
 d = N . i . n d = FV . i . n 
 
Exemplo : 
 Uma Nota Promissória de valor nominal equivalente a R$ 1.800,00 foi resgatada dois meses antes do seu vencimento à taxa 
de 24% a.a. Qual foi o desconto ? 
Dados : N = 1.800 
 i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 
 n = 2 
 d = N . i . n 
 d = 1.800 x 0,02 x 2 
 d = 72,00 
 
Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar: 
 
 1.800 x 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 = 72,00 
 
Na HP 12C teclar: 1800 CHS PV 24 i 60 n f INT 
Obs.: A taxa utilizada sempre deverá ser anual e o período em dias. (Mesmo procedimento dos juros simples). 
 
 
Valor Atual ou Valor Presente (An ou PV) 
 
 - O valor atual de um título é o seu valor nominal menos o desconto. 
 
 Se An = N - d e d = N i n então An = N - N i n 
 
Colocando “N” em evidência teremos então An = N ( 1 - i n ) 
 
Exemplo : 
 Calcular o Valor Atual do exemplo anterior. 
1ª solução 2ª solução 
 An = N - d 
 An = 1.800 - 72 
 An = 1.728,00 
 An = N ( 1 - i n ) 
 An = 1.800 ( 1 - 0,02 x 2 ) 
 An = 1.800 x 0,96 
 An = 1.728,00 
 
 Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar: 
 
(Dando seqüência ao cálculo do desconto simples basta diminuir o valor do título) 
 
 1.800 x 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 = 72,00 - 1.800 = -1.728,00 
 
 
Na HP 12C basta teclar − (após o cálculo dos descontos) e aparecerá no visor o Valor Atual. 
 
 
 
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15
 
Desconto Racional ou “por dentro” (d’) 
 
 - O desconto racional é equivalente ao juro simples calculado sobre o valor atual de um 
título. Por esta definição teríamos: d’ = An . i . n 
 
 Substituindo e isolando as incógnitas teremos: 
ni
niNd
.1
..
'
+
= 
 
Exemplo : 
 Calcular o desconto racional do exemplo anterior. 
Temos : N = 1.800 
 i = 0,02 
 n = 2 
d’ = 1.800 . 0,02 . 2 
 1 + 0,02 . 2 
 d’ = 72 . = 69,23 
 1,04 
Obs.: Concluímos facilmente que o desconto racional será sempre menor do que o desconto comercial. 
 
 Nas calculadores científicas, após o cálculo do desconto comercial ou “por fora” continuamos 
teclando : 
 
 ÷ ( 1 + 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 ) = 69,23 
 
 
Valor Atual ou Valor Presente 
 
 Novamente temos o mesmo raciocínio : O valor atual é o valor do título menos o desconto. 
 
An = N - d’ 
 
 Substituindo d’ pelo seu valor e transformando a fórmula chegaremos a : 
 
 
ni
NAn
.1+
= 
Exemplo : 
 Calcular o Valor Atual do exemplo anterior. 
 
1ª solução 2ª soluçãoAn = N - d’ 
An = 1.800 - 69,23 
An = 1.730,77 
An = . 1.800 . 
 1 + 0,02 . 2 
 An = 1.800 = 1.730,77 
 1,04 
 
 Na calculadora científica basta diminuir o desconto calculado acima do valor do título ou, fazendo 
toda a operação: 
 
 
 1800 ÷ ( 1 + 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 ) = 1.730,77 
 
 
 Na HP 12C teclar: 
 
 1800 Enter 1 Enter 24 Enter 12 ÷ 100 ÷ 2 x + ÷ 
 
 
 
 
 
“Siga em frente, corajosamente, porque a vitória sorri somente àqueles que não param no meio da estrada”. 
 
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16
 
EXERCÍCIOS – DESCONTOS SIMPLES 
 
Obs: Os exercícios de 1 a 8 são transcritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p. 36-37) 
 
1. Qual o desconto comercial de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 220,00, resgatada três meses antes 
do vencimento, à taxa de 18% ao ano? 
2. Uma nota promissória cujo valor de face é de R$ 860,00 foi paga três meses e quinze dias antes do vencimento com 
desconto comercial de 1,5% ao mês. Qual o valor do resgate ? 
3. O valor Atual (Presente) de um título, pelo desconto comercial de 2% ao mês, cinco mêses antes do vencimento, é 
igual a R$ 720,00. Qual será o valor atual desse título se o desconto for racional? 
4. A diferença entre os descontos comercial e racional de um título para quatro meses, à taxa de 18% ao ano, é de 
R$ 3,40. Qual o valor nominal do título? 
5. Um título de valor nominal igual a R$ 315,00 para noventa dias deverá ser quitado hoje juntamente com outro para 
cento e cinqüenta dias cujo valor nominal é igual a R$ 477,80. Calcular o valor que será desembolsado por esta 
quitação se a taxa de desconto comercial que envolve a transação é de 2,5% ao mês. 
6. Você tem uma dívida de R$ 560,00 e que você pretende pagar antecipadamente em 75 dias. A taxa que envolve a 
transação é 1,99% a.m. Qual será o valor do resgate pelo desconto racional? 
7. Você tem uma dívida que foi resgatada por R$ 560,00 com 75 dias de antecedência. A taxa que envolveu a 
transação foi de 1,99% a.m. Qual era o valor do título se o desconto foi comercial? 
8. Uma Letra de Câmbio de valor nominal igual a R$ 2.500,00 foi resgatada dois meses e dezesseis dias antes do 
vencimento a uma taxa de 2,7%a.m. Calcular o valor do resgate: 
 a) Pelo desconto comercial. 
 b) Pelo desconto racional. 
9. Você tem uma dívida de R$ 860,00 e que você pretende pagar antecipadamente em 45 dias. A taxa bimestral que 
envolve a transação é 2,5%. Qual será o valor do resgate: 
a) pelo desconto comercial; 
b) pelo desconto racional? 
10. A diferença entre os descontos comercial e racional de um título para cento e trinta dias, à taxa de 21,80% ao ano, 
é de R$31,54. Qual o valor nominal do título? 
11. A diferença entre o desconto comercial e racional é igual a R$ 77,55. Qual é o valor do título sabendo-se que a taxa 
da transação foi de 37%a.a., o vencimento é para cento e quinze dias? 
12. A diferença entre os valores de resgate pelo desconto comercial e racional é igual a R$ 117,55. Qual é o valor do 
título sabendo-se que a taxa da transação foi de 37,35%a.a., o vencimento é para quinze meses? 
13. Você tem em mãos as duplicatas abaixo para serem descontadas no Banco BCB. A taxa que o banco oferece hoje é 
de 19%a.a Complete a planilha: 
 
 
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17
 
 
Duplicata 
 
Valor 
(em R$) 
Vencimento 
(em dias) 
Desconto 
(em R$) 
Valor do Resgate 
(em R$) 
 
 
01 129,75 37 
02 347,50 23 
03 297,55 41 
04 411,50 18 
Total 
 
RESPOSTAS 
1 2 3 4 5 6 
R$ 9,90 R$ 814,85 R$ 727,27 R$ 1.001,11 R$ 709,45 R$ 533,46 
7 8.a 8.b 9.a 9.b 
R$ 589,32 R$ 2.329,00 R$ 2.339,95 R$ 843,88 R$ 844,17 
10 11 12 13 
R$ 5.490,05 R$ 6.207,33 R$ 791,07 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Na adversidade conhecemos os recursos de que dispomos”. (Horácio) 
 
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18
 
 
DESCONTOS COMPOSTOS 
 
Conceito de desconto 
 
- Desconto é o abatimento (em dinheiro) que um determinado título sofre quando é resgatado antes do seu vencimento. 
 
Conceito de Desconto Composto 
 
“Desconto composto equivale à soma dos descontos simples, calculados isoladamente em cada um dos períodos que faltam 
para o vencimento do título”. (Francisco, 1994, p. 71). 
Da mesma forma como em juros compostos, incorpora-se agora mais uma variável que é o regime de capitalização. Em 
cada situação (exercício, negócio ou transação) deve estar expresso qual é o regime de capitalização (anual, semestral, trimestral, 
mensal, etc). 
 
Desconto Composto REAL 
 
O desconto composto real equivale à soma dos descontos racionais, calculados sucessivamente em cada um dos períodos 
que faltam para o vencimento do título. Assim, aplicando a fórmula do desconto racional 
ni
niNd
.1
..
'
+
= e a de seu valor atual 
ni
NAn
.1+
= , desenvolvemos a fórmula para o cálculo do valor atual (valor do resgate): 
 
nn i
NA )1( += ou, passando o denominador para o numerador 
n
n iNA
−+= )1.( 
 
Exemplo: 
 Uma Nota Promissória de valor nominal equivalente a R$ 1.800,00 foi resgatada noventa dias antes do seu vencimento à 
taxa de 24% a.a. Qual foi o desconto real se a capitalização é mensal? 
Dados: 
N = 1.800 
k = mensal 
i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 
n = 90 dias = 3 meses 
n
n iNA
−+= )1.( então 33 )02,01.(1800 −+=A 
)942322335,0.(18003 =A e, finalmente 18,696.13 =A 
se d = N – An então d = 1800 – 1.696,18 = 103,82 
 
Nas calculadoras comuns ou científicas (algumas) teclar: 
 
 1.800 x (1 + 0,02)xy 3 ±±±± = 1.696,18 
 
Na HP 12C teclar: 
1800 CHS FV 24 g i 3 n PV 
 
Obs: O período e a taxa utilizada (sempre percentual) deverão estar de acordo com a capitalização. 
 
Desconto Composto Bancário 
 
O desconto composto bancário equivale à soma dos descontos comerciais, calculados sucessivamente em cada um dos 
períodos que faltam para o vencimento do título. Assim, aplicando a fórmula do desconto racional d = N.i.n e a de seu valor 
atual An = N.(1-i.n), desenvolvemos a fórmula para o cálculo do valor atual (valor do resgate): 
 
n
n iNA )1.( −= 
Exemplo: 
 Calcular o desconto bancário do exemplo anterior. 
Dados: 
N = 1.800 
k = mensal 
i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 
n = 90 dias = 3 meses 
n
n iNA )1.( −= e substituindo, 3)02,01.(1800 −=nA 
)941192,0.(1800=nA chegaremos a: 15,694.1=nA 
se d = N – An então d = 1800 – 1.694,15 = 105,85 
Obs: Concluímos que o desconto bancário será sempre maior do que o desconto real. Com os seus valores atuais ocorre o contrário, 
obviamente. 
 
 
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19
 
Nas calculadoras comuns ou científicas (algumas) teclar: 
 
 1.800 x (1 – 0,02)yx 3 = 1.694,15 – 1800 = 105,85 
 
Na HP 12C teclar: 
1800 Enter 1 Enter 0,02 – 3 yx X 1800 – 
 
Obs: A calculador HP 12C não tem teclas financeiras para este cálculo. 
 
Capitalização contínua – Cálculo do valor Atual 
 
 A situação específica de capitalização contínua é matematicamente possível e chega-se à solução pela seguinte fórmula: 
 
An = N.(e) – i.n onde “e” é uma constante matemática de valor igual a 2,718281828. 
 
 
Obs: Também neste caso asvariáreis “i” e “n” devem estar expressas na mesma periodicidade (não importando qual). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Para o autônomo que optou por abrir uma empresa, a ajuda de um contador é fundamental desde o começo”. 
(Maurício Oliveira – editor de Você S/A) 
 
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20
 
EXERCÍCIOS – DESCONTOS COMPOSTOS 
 
Os exercícios de 1 a 8 são transcritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p.91 e 262). 
1. Calcular o valor atual de um título de R$ 200,00 que sofreu um desconto real de 18% a.a., capitalizados 
trimestralmente, dois anos antes do vencimento. 
2. O desconto real de um título, pagável em dois anos e três meses, é igual a R$ 187,20. Calcular o valor nominal do 
título, sabendo-se que a taxa empregada na transação é de 20% a.a., capitalizada trimestralmente. 
3. Qual é o desconto bancário de um título de R$ 500,00, exigível em três anos, a 20% a.a., capitalizados 
semestralmente? 
4. Calcular o valor atual de um título de R$ 10.000,00, resgatando dois anos e seis meses antes do vencimento, à taxa 
de desconto real de 20% a.a. capitalizados semestralmente. 
5. Qual é o desconto bancário de um título de R$ 5.000,00 pagável em dois anos a 20% a.a. capitalizados 
semestralmente? 
6. O desconto real de um título, pagável em um ano e três meses é de 432,95. Calcular o valor nominal deste título, 
sabendo-se que a taxa empregada foi de 20% a.a. com capitalizações trimestrais. 
7. Um título, pagável em um ano e três meses, sofreu um desconto bancário de R$ 3.921,47 a 24% a.a. capitalizados 
mensalmente. Determinar o valor nominal deste título. 
8. Calcular o valor atual de um título de R$ 5.000,00, resgatado cinco anos e 4 meses antes do vencimento, a 12% 
a.a., capitalizados continuamente. 
9. Você deve para seu colega um valor equivalente a R$ 1.235,00. Se a taxa desta transação for de 34% a.a. e a 
capitalização mensal, qual será o valor do desconto real se a antecipação desta dívida for de cento e cinqüenta dias? 
10. Você deve para seu colega um valor equivalente a R$ 1.235,00. Se a taxa desta transação for de 34% a.a. e a 
capitalização mensal, qual será o valor do desconto bancário se a antecipação deste título for de cento e cinqüenta 
dias? 
11. Você assumiu em uma instituição financeira um determinado título. Cinco meses e quinze dias antes do vencimento 
você resgatou este título por um valor equivalente a R$ 5.584,00. Qual foi o valor do desconto concedido se a taxa da 
transação foi de 21,80% a.a. e a capitalização foi contínua? 
12. Você negociou pelo desconto bancário, em uma instituição financeira, um título equivalente a R$ 4.855,00, por um 
valor 35% menor do que o valor original. Qual foi a taxa anual proporcional envolvida se a capitalização foi mensal e a 
antecipação de cento e vinte dias? 
13. O desconto real de um título, pagável em 1 ano e três meses, é de R$ 432,95. Calcular o valor nominal do título, 
sabendo-se que a taxa mensal empregada na transação foi 2,7% e as capitalizações trimestrais. 
14. Você deve pagar um título de R$ 12.345,00 com vencimento para dois bimestres e meio. Qual será o valor do 
resgate pelo desconto composto real considerando uma taxa de 30% a.a. e capitalizações mensais? 
15. A diferença entre os valores de resgate, calculados pelo desconto composto real e bancário, sobre o valor de um 
título é igual a R$ 27,50. Qual é o valor deste título se a antecipação foi de oito meses, a taxa de 2,9% a.m. e a 
capitalização bimestral? 
16. Uma duplicata no valor equivalente a R$ 573,54 sofreu um desconto composto bancário igual a cinqüenta reais, 
três bimestres antes do vencimento. Qual foi a taxa anual proporcional se as capitalizações foram mensais? 
 
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21
17. Você deve para seu colega um valor equivalente a R$ 7.431,00. Se a taxa da transação é igual a 47%a.a. e a 
capitalização mensal, qual será o valor do desconto real se a antecipação deste título for de cento e cinqüenta dias? 
18. Você assumiu em uma instituição financeira um determinado título. Nove meses e quinze dias antes do vencimento 
você resgatou este título por um valor equivalente a R$ 7.431,00. Qual foi o valor nominal deste título se a taxa da 
transação é igual a 47%a.a. e a capitalização é contínua? 
19. Uma letra de câmbio de valor monetário equivalente a R$ 1.347,00 será antecipada em quatro meses à taxa anual 
47%. Qual será o valor do resgate se as capitalizações forem bimestrais e o desconto for bancário? 
20. A diferença entre os valores de resgate pelo desconto real e bancário é igual R$ 121,68. Qual é o valor do título 
sabendo-se que a taxa da transação é de 47%a.a., o vencimento é para dezoito meses e a capitalização é trimestral? 
21. Uma duplicata no valor equivalente a R$ 7.431,00, sofreu um desconto composto bancário igual a R$ 350,00, sete 
meses antes do vencimento. Qual foi a taxa anual proporcional se as capitalizações foram bimestrais? 
22. Você teve que apelar para um “agiota” para resolver um problema financeiro inusitado. Tomou emprestada uma 
determinada quantia que foi resgatada por um valor equivalente a R$ 111.465,00 e que venceria daqui a dois bimestres 
e meio. Qual era o valor da dívida se a taxa de desconto foi igual a 47%a.a., o desconto foi real e as capitalizações 
mensais? 
RESPOSTAS 
1 2 3 4 5 6 7 
R$ 140,64 R$ 526,74 R$ 234,28 R$ 6.209,21 R$ 1.719,50 R$ 2.000,00 R$ 15.000,00 
8 9 10 11 12 13 14 15 
R$ 2.636,46 R$ 161,02 R$ 165,32 R$ 586,76 122,52% a.a. R$ 1.342,24 R$ 10.911,18 R$ 2.573,66 
16 17 18 19 20 21 22 
18,1049% a.a. 1.298,73 10.780,55 1.144,24 2.961,07 8,2139% 135.071,76 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Saber não é absolutamente nada, imaginar é tudo” (Analote France) 
 
 
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22
 
SÉRIES UNIFORMES 
 
 As séries uniformes também são definidas por alguns autores como RENDAS. Significam pagamentos ou 
recebimentos periódicos gerados em uma transação. A série uniforme pode ser de prestações ou depósitos e que são 
chamados de termos (T ou PMT). Denomina-se “n” o número de termos (pagamentos/receitas) e “i” a taxa de juros. 
 Se o objetivo da série é formar ou constituir um capital, este será então chamado de Montante da renda ou 
série. Se, no entanto o objetivo é amortizar uma dívida, o valor desta dívida será chamado de Valor Atual ou Valor 
Presente da série. 
 
 As Rendas, ou séries uniformes, podem ser genérica e esquematicamente classificadas em: 
 
 1. Perpétuas 
 2. Temporárias Não periódicas 
 Periódicas Variáreis 
 Constantes Imediatas / Postecipadas 
 Antecipadas 
 Diferidas 
 
 Daremos aqui um enfoque para as Rendas Temporárias Periódicas, Constantes ou perpétuas, Imediatas, 
antecipadas e diferidas, visto que são as formas mais comuns no ambiente comercial. As demais podem ser facilmente 
entendidas com base na literatura deste mesmo assunto aqui tratado. 
 
 
Valor Atual de uma Renda Unitária imediata ou postecipada (fator de valor atual) 
 
 Para se chegar à fórmula partimos do mesmo cálculo do Valor Atual calculado pelo desconto composto real, 
considerando “n” termos, para um título de valor nominal igual a um (1) e uma taxa “i”. 
 
 Assim sendo , se An = N ( 1 + i )- n e aplicando sucessivamente este raciocínio para os “n” termos e 
transformando a fórmula chegaremos finalmente a : 
 
 
an i = 
ii
i
n
n
.)1(
1)1(
+
−+
 
Variáveis: 
an┐i = Valor Atual de uma Renda Unitária imediatan = número de termos 
i = taxa considerada ( i / 100) 
 
 
Valor Atual das Rendas Imediatas ou postecipadas 
 
 Se “T” for o valor do termo (prestação, depósito, etc.), o cálculo para se saber o Valor Atual de uma série 
uniforme de Rendas imediatas (com valor da prestação diferente de uma unidade ou valor monetário) será 
simplesmente multiplicar o valor do termo (valor da prestação) pelo Valor Atual de Uma Renda Unitária imediata, ou 
seja : 
 An┐i = T . an┐i 
 
Exemplo : 
 Calcular o Valor Atual de uma dívida constituída de quinze prestações mensais de R$ 750,00, considerando 
juros de 3,5% a.m.. 
 
Temos : n = 15 
 i = 3,5 /100 
 T = 750 
 an i = 
ii
i
n
n
.)1(
1)1(
+
−+ 5174109,11
035,0.)035,01(
1)035,01(
15
15
=
+
−+
=
 
 
 
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23
 
 
 
 An┐i = T . an┐i 
An┐i = 750 x 11,5174109 
 
 An┐i = 8.638,058175 = R$ 8.638,06 
 
Obs.: 
1. Os valores de an┐i são encontrados em tabelas próprias nos livros de Matemática Financeira. Após identificá-lo 
basta multiplicar pelo valor do termo (T). 
2. Para calcular o valor de an┐i na HP 12C basta teclar : 
 
 
1 CHS PMT 15 n 3,5 i PV 
 
Para calcular toda a operação na HP 12C: 
 
750 CHS PMT 15 n 3,5 i PV 
 
 
Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos: 
 
 
An┐i 





+
−+
=
ii
iT
n
n
.)1(
1)1(
. 
 
 
Valor Atual das Rendas antecipadas 
 
 Analogamente às Rendas imediatas calculamos o seu valor atual pela fórmula : 
 
 
A n┐i aT .= n┐i onde (nesta situação) a n┐i 
ii
i
n
n
.)1(
1)1(
1−+
−+
= 
 
Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos: 
 
 
A n┐i 





+
−+
=
− ii
iT
n
n
.)1(
1)1(
. 1 
 
 
Para calcular a operação do exemplo anterior na HP 12C : 
 
750 CHS PMT 15 n 3,5 i g BEG PV 
 
 
 
"A esperança tem duas filhas lindas, a indignação e a coragem; a indignação nos ensina a não aceitar as coisas como 
estão; a coragem, a mudá-las!” (Anônimo) 
 
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Montante de uma Renda Unitária Imediata (fator de montante) 
 
 
 O Montante de uma renda unitária (por ex. R$1,00) imediata equivale à soma dos montantes dos depósitos / 
prestações unitárias, durante “n” períodos a uma taxa “i”. 
 Calculando o montante de cada termo (onde C = 1), pela fórmula dos juros compostos, ou seja, 
 
Cn = C ( 1 + i )
n 
 
e, desenvolvendo para “n” termos à taxa “i” chegaremos à fórmula genérica : 
 
sn┐i 
i
i n 1)1( −+
= 
 
Montante de uma série uniforme de Rendas Imediatas 
 
 Seguindo o mesmo raciocínio (e forma de calcular) utilizado no Valor Atual, simplesmente multiplicamos o 
valor dos termos / prestações / depósitos pelo valor de sn┐i calculado pela fórmula acima, ou seja 
 
 
Sn┐i = T . sn┐i 
 
Exemplo : 
 Calcular o Montante do exemplo anterior. 
 
Temos : T = 750 
 n = 15 
 i = 3,5 ÷ 100 
sn┐i 
i
i n 1)1( −+
= 
035,0
1)035,01( 15 −+
= 
sn┐i = 19,29568088 
 
Sn┐i = T . sn┐i 
 
Sn┐i = 750 x 19,29568088 = 14.471,76066 
 
 Sn┐i = 14.471,76 
 
 Obs.: 
1. Os valores de sn┐i são encontrados em tabelas próprias nos livros de Matemática Financeira. Após identificá-lo basta multiplicar 
pelo valor do termo (T). 
2. Para calcular o valor de sn┐i na HP 12C basta teclar : 
 
1 CHS PMT 15 n 3,5 i FV 
 
 
Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos: 
 
 
 
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25
Sn┐i 




 −+
=
i
iT
n 1)1(
. 
 
 
 
Para calcular toda a operação na HP 12C : 
 
750 CHS PMT 15 n 3,5 i FV 
 
 
 
Montante das Rendas antecipadas 
 
 Analogamente às Rendas imediatas calculamos o seu montante pela fórmula: 
 
 
s n┐i sT .= n┐i onde (nesta situação) s n┐i 
i
ii
n 1)1().1( −++= 
 
 
 
Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos: 
 
 
Sn┐i 




 −+
+=
i
iiT
n 1)1().1(. 
 
 
Para calcular a operação do exemplo anterior na HP 12C : 
 
 
750 CHS PMT 15 n 3,5 i g BEG FV 
 
 
 
 
 
Rendas Perpétuas 
 
 
1. Valor Atual (Séries Perpétuas postecipadas) 
A
 oo┐i
i
T
= 
 
2. Valor Atual (Séries Perpétuas Antecipadas) 
 
A oo┐i = 
i
TT + 
 
 
Rendas Diferidas 
 
Obs: Podemos resolver as situações e/ou exercícios sobre séries/rendas diferidas, com os conhecimentos 
adquiridos até aqui, empregando juros ou descontos compostos para o período de carência e as demais fórmulas de 
séries uniformes para o(s) período(s) em que há o pagamento/recebimento das prestações. 
 
 
 
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Importante: 
 
Sobre o Capítulo de Séries Uniformes (assim como nos demais), é imprescindível aprofundar os 
estudos utilizando a bibliografia recomendada no Plano de Ensino. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Obs: Os exercícios de 1 a 08 são transcritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São 
Paulo: Atlas. 1994. (p.163). 
 
01. Qual é o valor atual de uma renda imediata de quinze termos trimestrais de R$ 5.000,00 à taxa de 6% ao 
trimestre? 
02. Um aparelho de televisão foi comprado com dez prestações mensais antecipadas de R$ 100,00. Sabendo-se que os 
juros são de 2% ao mês, qual foi o preço à vista do televisor? 
03. Uma máquina foi comprada com uma entrada de R$ 2.000,00 e mais doze prestações trimestrais de R$ 800,00, 
diferidas de um ano. Se os juros foram de 8% ao trimestre, qual foi o preço à vista da máquina? 
04. Uma pessoa deposita em uma instituição, no fim de cada trimestre, a quantia de R$ 6.000,00, durante três anos. 
Calcular o montante, considerando uma taxa de 24% ao ano. 
05. Uma empresa deposita R$ 20.000,00 no início de cada semestre, a 20% ao ano, durante cinco anos. Qual será o 
montante? 
06. Quanto se deve depositar no início de cada trimestre, a 20% ao ano, durante três anos, para, no fim de quatro 
anos, retirar o montante de R$ 100.000,00? 
07. Qual é o valor atual de uma renda perpétua imediata mensal de R$ 540,00 à taxa de 3% ao mês? 
08. Qual o termo trimestral antecipado, à taxa de 20% ao ano, de uma renda perpétua cujo valor atual é de R$ 
2.500,00? 
09. Calcular quanto uma pessoa deve depositar no início de cada mês em uma determinada aplicação a juros de 18% 
a.a. para ter ao final de 30 anos R$ 50.000,00. 
10. Calcular a prestação mensal para amortizar um empréstimo de R$ 25.000,00 em 48 pagamentos com juros de 39% 
a.a. 
11. Calcular o Valor Atual de uma renda mensal imediata de R$ 320,00 com 240 termos a 2,5% a.m. 
12. Um trabalhador deposita mensalmente R$ 9,50 para sua aposentadoria. Calcular o montante destes depósitos após 
25 anos considerando uma taxa de 21% a.a. 
13. Uma pessoa deposita em um fundo de investimentos - no fim de cada semestre - a importância de R$ 6.500,00, 
durante 5 anos. Qual será o montante deste fundo, considerando uma taxa de 20% a.a.? 
14. Quantouma pessoa deve depositar mensalmente em uma determinada conta para, no fim de 10 anos possuir R$ 
120.000,00, considerando uma taxa de 16% a.a. ? 
15. Um televisor foi comprado com dez prestações mensais (1 + 9) de R$ 134,00. Sabendo-se que os juros praticados 
na loja são de 5% a.m. calcular o preço à vista do aparelho e o montante destas prestações. 
 
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27
16. Uma concessionária de automóveis vende um veículo com uma entrada e mais 47 prestações mensais de R$ 
680,00. Aceitando que a taxa de juros cobrada é de 2% a.m., calcular o valor do veículo (à vista) e também o 
montante que será pago por ele. 
17. Qual o montante do salário mensal de R$ 4.600,00 de um determinado vereador se, capitalizado mensalmente, 
durante os quatro anos do mandato? (Considerar taxa de 6% a.a.). 
18. Calcular o montante do salário mensal de R$ 14.200,00 (de um determinado Prefeito) , colocado em uma 
poupança durante os 4 anos do seu mandato a 6% a.a. capitalizado mensalmente. 
19. Você vendeu um veículo e receberá por ele R$ 685,00 por mês, durante trinta e seis meses. Este valor 
deverá ser depositado integralmente (no dia do vencimento) em uma caderneta de poupança que rende 6% 
ao ano. Como você só vai retirar o dinheiro meio ano após o término dos pagamentos/depósitos, qual 
deverá ser o valor do montante nesta poupança? R: 27.763,76 
20. Você está fazendo, por três anos e meio, uma aplicação financeira mensal imediata no valor de R$ 
483,00 (cada uma). Calcular o valor do montante ao final de cinco anos, considerando uma taxa anual de 
dezenove porcento. R: 37.818,62 
 
RESPOSTAS 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 
R$ 48.561,25 R$ 916,22 R$ 6.431,39 R$ 101.219,64 R$ 350.623,34 R$ 4.922,53 R$ 18.000,00 R$ 119,05 R$ 3,49 
10 11 12 13 14 15 16 17 18 
R$ 1.035,58 R$ 12.765,84 R$ 98.314,94 R$ 103.593,26 R$ 410,16 R$ 1.086,45 
R$ 1.769,71 
R$ 21.274,88 
R$ 55.039,60 
R$ 248.850,03 R$ 768.189,22 
Recomenda-se a solução de mais exercícios disponibilizados no livro: FRANCISCO, W. de, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Não são as idéias bonitas que valem; o que valem são as ações práticas. 
Não fique parado de braços cruzados. Vá à luta”. 
 
 
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28
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
(renegociação de créditos/débitos, formação de fundos, etc) 
 
1. Permuta de títulos 
 
 Quando dois ou mais títulos tem vencimentos diferentes, eles são chamados de capitais 
diferidos. Já vimos que, em capitalização simples, estes títulos ou capitais são equivalentes se, 
descapitalizados para o seu valor de resgate (valor atual) os valores forem iguais. 
 Ou seja: An = A’n ou PV = PV 
 
 Já em capitalização composta, esta equivalência pode se dar a qualquer momento. Sob 
esta ótica ou conceito, dois ou mais títulos ou capitais podem ter a sua equivalência calculada 
tanto nos seus valores atuais como nos seus montantes ou em posições intermediárias do seu 
fluxo de caixa. Para tanto, estabelece-se o ponto focal da renegociação e projeta-se todo o fluxo 
de caixa para aquele momento, capitalizando ou descontando os valores. 
 
Exemplo: 
 Um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00 vencível em trinta dias pretende ser substituído por outro com 
vencimento para daqui a seis meses. Admitindo-se uma taxa de negociação de 3% a.m. e capitalização mensal, qual 
será o valor nominal do novo título? 
 
1a. Solução – equivalência no momento “zero’”. 
 A1 = A6 
A1 5.000 Usando a fórmula do desconto composto real: 
| | | | | | | nn iNA
−+= )1.( 
0 1 2 3 4 5 6 
A6 N 
 
A1 = 5.000 ( 1 + 0,03)- 1 
A1 = 5.000 (0,970873786) 
A1 = 4.854,37 
como A 1 = A6 
 
4.854,37 = N.0,837484257 
 
A6 = N ( 1 + 0,03)- 6 
A6 = N .(0,837484257) 
 N=
83748257,0
37,854.4
 então N = 5.796,37 
 
 
 
 
2a. Solução – equivalência no “momento focal seis”. 
 C5 = C0 
 5.000 C5 Usando a fórmula de juros compostos: 
| | | | | | | n
n iCC )1.( += 
0 1 2 3 4 5 6 C0 
 N 
C5= 5.000 ( 1 + 0,03)5 
C5 = 5.000 (1,159274074) 
C5 = 5.796,37 
como C5 = C0 = N 
 
N = 5.796,37 
 
 
 
3a. solução – equivalência no “momento focal três”. Usaremos as fórmulas do desconto composto real e dos juros, pois: 
 
A1 5.000 C2 C2 = A3 
| | | | | | | 
0 1 2 3 4 5 6 
A6 A3 N 
 
 
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29
 
C2= 5.000 ( 1 + 0,03)
2 
C2 = 5.000 (1,0609) 
C2 = 5.304,50 
como C2= A3 então 
 
5.304,50= N.0,915141659 
 
A3 = N ( 1 + 0,03)
- 3 
A3 = N .(0,915141659) 
 N=
915141659,0
50,304.5
 e, finalmente, 
N = 5.796,37 
 
 
 
2. Formação de Fundos 
 
Exemplo 
Suponha que você queira assegurar que será possível pagar a faculdade da sua filha 
daqui a 14 anos. Você estima que o custo mensal será de aproximadamente R$ 500,00 por 
mês durante 4 anos. Suponha que ela resgatará este valor de uma caderneta de poupança no 
início de cada mês. 
 
a) Quanto você precisará depositar nessa conta quando ela começar a faculdade, se a 
conta paga 6% ao ano com capitalização mensal? 
 
 
 PV = ? PMT = T = é R$ 500 
 
 | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...... 46 47 48 
 
n: número de períodos de capitalização = 4 anos × 12 períodos por ano, portanto, n = 48 períodos. 
i: taxa de juros por período de capitalização; i é 6% ao ano ÷ 12 períodos por ano = 0,5% por período. 
PV = A n┐i = valor presente do capital = valor atual. 
PV é o valor a ser calculado — o valor presente no início das retiradas. 
PMT: valor do pagamento periódico. PMT = T = R$ 500. 
 
A n┐i aT .= n┐i onde (nesta situação) a n┐i 
ii
i
n
n
.)1(
1)1(
1−+
−+
= 
A n┐i 






+
−+
=
005,0.)005,01(
1)005,01(
.500 47
48
= 21.396,61 Na HP 12c basta teclar: 500 CHS PMT 6 g i g BEG 48 n PV 
 
 
 
b) Quanto você teria que depositar hoje (um único valor) para atender àquela situação? 
 
Esse é um exemplo de um cálculo de juros / descontos compostos associado a séries uniformes. 
 
 PV = 21.396,61PMT = T = é R$ 500 
C = An = PV 
 | ( 14 anos = 168 meses) | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...... 46 47 48 
 
n
n iNA
−+= )1.( e, 168)005,01.(61,396.21 −+=nA = 9.256,50 
 
Na HP 12c, na seqüência do cálculo anterior: f FIN CHS FV 14 g n 6 g i PV 
 
 
 
c) Quanto você teria que depositar por mês para ter aquele mesmo fundo no início da faculdade de sua filha? 
 
 
 
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30
 
 
 PMT = T = ? FV = PV = 21.396,61 PMT = T = é R$ 500 
 
 | | | | | | | -------( 14 anos = 168 meses) ---- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...... 46 47 48 
 
 
Nesta situação o montante (FV) dos depósitos deverá ser o valor presente (PV) dos resgates/retiradas. 
Considerando que o primeiro depósito seria hoje, a série dos depósitos também será antecipada. Assim sendo, 
teremos: 
 
 
s n┐i sT .= n┐i onde (nesta situação de série antecipada) s n┐i 
i
ii
n 1)1().1( −++= 





 +
+=
005,0
)005,01().005,01(.61,396.21
168
T onde T = 81,17 
 
 
 
Na HP 12c, na seqüência do cálculo do item “a”: f FIN CHS FV 14 g n 6 g i PMT 
 
 
 
3. “Alongamento” de dívidas 
 
Exemplo 
 Uma empresa fez determinado negócio cujos pagamentos deverão ser quitados em doze parcelas mensais 
iguais e imediatas no valor de R$ 8.270,00. Após pagar quatro parcelas propõe que o restante da dívida seja diluída em 
vinte e quatro parcelas mensais iguais. Qual será o valor da nova parcela, considerando uma taxa de 24% a. a.? 
 
Lançando os valores em um fluxo de caixa teremos: 
 
 
PV = ? PMT = T = R$ 8.270,00 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 
 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 
 
 
PMT = T = ? 
 
Inicialmente calcula-se o valor da dívida no “momento zero”: 
 
An┐i = T . an┐i onde an i = 
ii
i
n
n
.)1(
1)1(
+
−+ 
 
 
An┐i






+
−+
=
02,0.)02,01(
1)02,01(
.270.8 8
8
 = 60.581,73 
 
 
Essa dívida será então calculada para ser paga em 24 parcelas mensais, ou seja: 
 
 
60.581,73 





+
−+
=
02,0.)02,01(
1)02,01(
. 24
24
T onde T = 3.203,02 
 
 
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Na HP 12c, para efetuar todo o cálculo, teclar em seqüência: 
 
 
8270 CHS PMT 24 g i g END 8 n PV f FIN CHS PV 24 n 24 g i PMT 
 
 
 “Um bom líder não apenas reconhece as boas idéias, mas também assume riscos por seu time”. 
(Arthur Diniz) 
 
EXERCÍCIOS – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS (RENEGOCIAÇÃO) 
 
Obs: Alguns dos exercícios abaixo (1 a 10) foram adaptados de: 
 FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p.91, 92, 263 e 264). 
1. Um título de valor nominal de R$ 1.000,00 com vencimento para dois anos será substituído por 
outro título para três anos. Calcular o valor nominal do novo titulo, empregando a taxa de 16% a.a. com capitalizações 
semestrais. 
2. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 5.000,00 para ser pago no fim de três anos com juros de 18% a.a. capitalizados 
trimestralmente. Após algum tempo, o devedor propõe saldar a dívida com quatro pagamentos anuais iguais, realizáveis no 
fim do 2o., 3o., 4o. e 5 o anos, respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos. 
3. Uma empresa toma R$ 2.000,00 emprestados por três anos com juros de 20% a.a. capitalizados bimestralmente. Um ano 
após, a empresa propõe pagar R$ 1.000,00 imediatamente e liquidar o saldo no fim de quatro anos a partir desta data. 
Calcular o valor do resgate. 
4. Um empréstimo obtido com juros de 19% a.a. capitalizados mensalmente, deverá ser resgatado com dois pagamentos de 
R$ 3.200,00 realizáveis no fim de dois e quatro anos, respectivamente. Entretanto após um ano, o devedor propõe pagar R$ 
2.500,00 imediatamente e saldar o débito com um único pagamento a realizar-se no fim de quatro anos, a partir desta data. 
Calcular o valor desse pagamento. 
5. Uma empresa deve pagar três títulos R$ 1.000,00, exigíveis no fim do 1o., 2o. e 3o. anos respectivamente. Entretanto , a 
empresa pretende substituir os três títulos por um único de R$ 2.500,00. Calcular o prazo desse título empregando a taxa de 
20% a.a. capitalizados semestralmente para essa transação. 
6. Um empréstimo de R$ 8.700,00 deve ser pago no fim de três anos com juros de 12% a.a. capitalizados semestralmente. 
Entretanto o devedor porpõe pagar a dívida com três pagamentos anuais iguais, realizáveis no fim do 2o., 3o. e 5o anos 
respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos. 
7.Uma empresa devedora de dois títulos de R$ 2.000,00 para o fim de dois e quatro anos, respectivamente, propõe resgatar a 
dívida com três pagamentos anuais iguais, realizáveis no fim do 2o., 3o. e 4o anos respectivamente. Calcular o valor desses 
pagamentos, sabendo-se que a taxa do desconto real empregada nessa transação é de 20% a.a. capitalizados 
trimestralmente. 
8. Uma empresa toma R$ 20.000,00 emprestados por cinco anos a 22% a.a. capitalizados semestralmente. Passados dois 
anos, a empresa resgata a dívida com desconto real de 20% a.a. capitalizados trimestralmente. Quanto pagou? 
 
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9. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 30.000,00 por cinco anos a 20% a.a. capitalizados semestralmente. Após algum 
tempo, a empresa propõe resgatar a dívida com três pagamentos anuais iguais e antecipados. Calcular o valor desses 
pagamentos. 
10. Uma pessoa toma um empréstimo de R$ 27.350,00 por três meses a 18% a.a., capitalizados mensalmente. Após alguns 
dias o devedor propõe saldar a dívida com quatro pagamentos mensais iguais, realizáveis no fim do 2o., 3o. 4o e 5 o mês 
respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos. 
11. Três títulos de R$ 10.000,00 cada, vencíveis em um, dois e três anos respectivamente, serão substituídos por um único 
título para quatro anos. Calcular o valor deste título empregando a taxa da transação de 12% a.a., capitalizados mensalmente. 
12. Uma empresa contraiu um empréstimo por cinco anos com juros de 23% a.a. capitalizados semestralmente. Passados dois 
anos, a empresa propõe resgatar a dívida com três pagamentos anuais de R$ 20.000,00, realizáveis no fim do 3o., 4o. e 5o. 
anos. Calcular o valor do empréstimo. 
13. Você tem o Fluxo de Caixa abaixo, onde “M” representa um valor monetário equivalente a R$ 1.000,00 e “MQ” 
representa um valor monetário equivalente a R$ 1.500,00. Transforme este fluxo em uma série uniforme antecipada (para o 
mesmo período), considerando uma taxa anual de juros igual a 17,55%. Qual será o valor da nova prestação? 
 
M MQ M MQ M MQ M MQ M MQ M MQ M 
 � � � � � � � � � � � � � 
 | | | | | | | | | | | | | 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (meses) 
14. Uma máquina industrial cujo valor à vista está fixado em R$ 53.235,00 foi comprada por sua empresa com uma entrada de 
20% e mais 24 prestações mensais iguais e antecipadas, diferidas de dezoitomeses com uma taxa anual de 27%. Após pagar 
nove parcelas (no dia em que pagou esta nona parcela) você decidiu renegociar a dívida. A proposta é pagar o saldo 
remanescente em quarenta e oito parcelas mensais iguais e postecipadas. Você ainda conseguiu reduzir a taxa para 16% a.a. 
Qual deverá ser o valor da nova parcela? 
15. Você fez determinada compra em uma loja de material de construção de sua cidade e assumiu pagar seis prestações 
mensais iguais (sem entrada) no valor de R$ 1.234,56 (cada uma). Você paga a 1a, a 2ª e a 3ª no vencimento e, no dia em 
que pagou a terceira prestação, você renegocia a dívida restante em dezoito prestações mensais iguais e antecipadas. Qual 
será o valor de cada uma destas novas prestações, considerando que a loja cobra uma taxa anual de juros igual a 49%? 
6. Um empréstimo de custeio agrícola no valor equivalente a vinte e cinco mil reais deveria ser pago após dez meses e foi 
obtido com uma taxa anual de juros igual a dezenove porcento, capitalizado mensalmente. A seca frustrou a safra e você 
renegociou a dívida (no vencimento) para ser quitada em oito pagamentos semestrais iguais. Qual será o valor de cada um 
destes pagamentos? 
17. Você comprou um veículo nas seguintes condições: entrada de 50% e restante financiado em 48 
parcelas mensais iguais e postecipadas de R$ 563,95. Após pagar quatro parcelas, no dia em que 
vencia a quinta parcela você propõe que a dívida restan te seja refinanciada em 24 parcelas mensais 
iguais e postecipadas. Considerando que nesta renegociação não haja a cobrança de nenhuma outra 
taxa, qual será o valor da nova parcela se o custo financeiro é de 2,78% a.m.? 
18. Você está exercendo a função de gerente financeiro em uma grande loja de material de construção. À sua frente está um 
cliente propondo um plano de pagamentos para as suas compras. O valor total das compras é de R$ 23.530,00. A proposta do 
cliente é pagar sessenta prestações mensais uniformes postecipadas. A sua proposta é aceitar os sessenta pagamentos 
propostos, mas, acrescido de reforços trimestrais (sendo o primeiro hoje) no valor (cada um) equivalente a R$ 2.353,00 e que 
 
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ocorrerão durante o mesmo período de pagamento das prestações. A taxa anual que a loja pratica é igual a 42%. Qual será o 
valor da prestação neste Plano de pagamentos? 
19. Você está exercendo a função de caixa de uma loja de eletroeletrônicos. À sua frente está um cliente renegociando um 
carnê de compras que está atrasado em três meses e a quarta prestação vence hoje. O valor de cada prestação é de R$ 
63,75. A taxa anual que a loja pratica é igual sessenta porcento. Para prestações atrasadas há uma multa de 1,5% sobre o 
valor da prestação mais 1% a.m. de juros. Qual será o valor que cliente deve pagar? 
20. Uma máquina industrial cujo valor à vista está fixado em R$ 15.235,00 foi comprada por sua empresa com uma entrada de 
20% e mais 24 prestações mensais iguais e antecipadas, diferidas de doze meses com uma taxa anual de 17%. Qual será o 
valor da prestação? 
21. Continuando a questão anterior: Após pagar nove parcelas (no dia em que pagou esta nona parcela) você decidiu 
renegociar a dívida. A proposta é pagar o saldo remanescente em quarenta parcelas mensais iguais e postecipadas. Você 
ainda conseguiu reduzir a taxa para 12% a.a. Qual deverá ser o valor da nova parcela? 
22. Você tem cinco títulos (notas promissórias) com valor equivalente a R$ 839,45 (cada um) com vencimentos em 30, 60, 90, 
120 e 150 dias respectivamente. A intenção é trocar estes títulos por um único de R$ 4.197,25. Qual será o prazo do novo 
título considerando que a taxa anual de juros nesta transação é igual a 49% e considerando capitalizações mensais? 
23. Você tem uma loja de material de construção. À sua frente está um cliente propondo um plano de pagamentos para as 
suas compras. O valor total das compras é de R$ 23.530,00. A proposta do cliente é pagar sessenta prestações mensais 
uniformes postecipadas. A sua proposta é aceitar os sessenta pagamentos propostos, mas, acrescido de reforços trimestrais 
(sendo o primeiro hoje) no valor (cada um) equivalente a R$ 1.500,00 e que ocorrerão durante o mesmo período de 
pagamento das prestações. A taxa anual que a loja pratica é igual a 42%. Qual será o valor da prestação neste Plano de 
pagamentos? 
24. Você está exercendo a função de caixa de uma loja de eletroeletrônicos. À sua frente está um cliente renegociando um 
carnê de compras que está atrasado em quatro meses e a quinta prestação vence hoje. O valor de cada prestação é de R$ 
83,75. A taxa anual que a loja pratica é igual sessenta porcento. Para prestações atrasadas há uma multa de 2,5% sobre o 
valor da prestação mais 1,5% a.m. de juros. Qual será o valor que cliente deve pagar para deixar o seu carnê em dia? 
25. Você tem em mãos um título de R$ 6.396,50 com vencimento para quatro meses. Como bom gerente financeiro você 
propõe que este título seja parcelado em seis pagamentos mensais com o primeiro vencimento para daqui a 60 dias. Qual será 
o valor de cada um destes pagamentos se a taxa da transação é de 12% ao semestre? 
 
RESPOSTAS 
1 2 3 4 5 6 
R$ 1.166,40 R$ 2.270,70 R$ 3.151,94 R$ 4.183,13 11 meses e 23 dias R$ 4.232,65 
7 8 9 10 11 12 
R$ 1.341,72 R$ 31.621,92 R$ 17.502,97 R$ 7.202,25 R$ 38.273,27 R$ 25.514,49 
13 14 15 16 17 18 
R$ 1230,71 R$ 1.208,37 R$ 261,37 R$ 5.460,11 R$ 842,41 R$ 103,42 
19 20 21 22 23 24 25 
R$ 261,72 R$ 703,45 R$ 287,69 2meses e 29 dias R$ 407,88 R$ 439,88 R$ 1.076,08 
 
 
“Inovar a administração não é um projeto para seis meses. É uma busca persistente e permanente pelos melhores 
métodos para liberar e potencializar a capacidade humana”. (Gary Hamel) 
 
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MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
 
RESUMORESUMORESUMORESUMO 
 
1.1.1.1. Método do Payback Método do Payback Método do Payback Método do Payback –––– Por este método busca-se saber quanto tempo o projeto levará para 
devolver o dinheiro investido nele. 
1.1.1.1.1.1.1.1. Payback Simples (PBS)Payback Simples (PBS)Payback Simples (PBS)Payback Simples (PBS) –––– Por este método, diminui-se os lucros líquidos a serem gerados pelo 
investimento do desembolso inicial, independente se for uma série uniforme ou não. O resultado será o 
número de períodos necessários para que “o Projeto devolva o valor ($) investido nele”. 
Ex.Ex.Ex.Ex.: Um investimento de $ 25.000,00 gerará retornos anuais de $ 5.000,00 durante 10 anos. Qual é o 
seu PBS? 
Vantagens:Vantagens:Vantagens:Vantagens: 
- Informação rápida praticamente sem cálculos. 
- Fornece uma idéia aproximada do prazo de recuperação do capital investido. 
DesvantDesvantDesvantDesvantagens:agens:agens:agens: 
- Não considerada o valor do dinheiro no tempo. 
- Não considerada o fluxo de caixa após o PB. 
 
1.2.1.2.1.2.1.2. Payback Descontado (PBD) Payback Descontado (PBD) Payback Descontado (PBD) Payback Descontado (PBD) ---- Nesta variante do Payback, utiliza-se uma taxa de juros para 
descontar até o momento focal zero, os lucros líquidos de cada período previsto no investimento. Para 
fazer o cálculo pode-se utilizar qualquer taxa de interesse. Lapponi (1996, p.24) sugere que seja usada a 
taxa do custo do capital, ou seja, se o investimento for financiado, utiliza-se a taxa do financiamento. 
Casarotto (1998), considera este método como não exato e o chama de Payback Time. Zdanowicz sugere 
que deva ser usada a TMA, pelas suas características intrínsecas. A subtração dos valores descontados do 
investimento inicial fornece o número de períodos necessários para que “o investimento se pague”. 
Ex.Ex.Ex.Ex.: Um investimento de