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Universidade Comunitária da Região de Chapecó Sistemas de Informação $$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ MATEMÁTICA FINANCEIRA (MATERIAL DE APOIO E EXERCÍCIOS) $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $$$$$$$$$$$$ Beno Nicolau Bieger “Juro é o prêmio pela espera”. “Desconto é o preço da impaciência”. (Prof. Rochadelli – PPGEF/UFPR) Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 2 UNIVERSIDADE COMUNITÁRIA DA REGIÃO DE CHAPECÓ Área: Área de Ciências Exatas e Ambientais Curso: SISTEMAS DE INFORMAÇÃO - Matriz 346 Período: 5 Componente Curricular: MATEMÁTICA FINANCEIRA Carga horária: 72 h/a Professor: 10245 - Beno Nicolau Bieger PLANO DE ENSINO 1. EMENTA Regimes de capitalização de juros e descontos. Séries uniformes. Equivalência de Capitais. Tópicos de Análise de Investimentos. 2. JUSTIFICATIVA A disciplina justifica-se pela necessidade que o aluno tem em entender as relações financeiras que envolvem a atividade profissional bem como no uso diário como cidadão, dos cálculos matemáticos e financeiros. Ainda justifica-se pela ênfase empreendedora que caracteriza este profissional egresso da Universidade. 3. OBJETIVOS 3.1 OBJETIVO GERAL Aprofundar o estudo da matemática nos conteúdos iniciais da matemática financeira, preparando o aluno para as transações comerciais e financeiras. Preparar o futuro profissional no domínio dos cálculos financeiros objetivando uma visão clara e sistêmica das relações financeiras do mundo do trabalho. 3.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS - Interpretar corretamente os problemas financeiros: juros, descontos, regimes de capitalização, periodicidade. - Identificar corretamente as variáveis que envolvem cálculos financeiros. - Sistematizar as soluções para os problemas financeiros. - Usar adequadamente os instrumentos disponibilizados para a solução de problemas financeiros. - Utilizar adequadamente os equipamentos e ferramentas disponibilizadas para a solução de problemas e cálculos financeiros. - Ter conhecimento e capacidade de analisar ofertas comerciais sob o enfoque financeiro. - Ter capacidade e competência para efetuar renegociações financeiras entre pessoas físicas e jurídicas. - Ter uma visão clara e sistêmica das relações financeiras do mundo comercial e do trabalho. - Usar a lógica para a solução de problemas e situações inéditas nas relações comerciais e financeiras. - Ter noções importantes sobre a viabilidade econômica e financeira de empreendimentos. 4. CONTEÚDO PROGRAMÁTICO - Juros simples: Conceitos. Cálculo do juro simples. Cálculo do montante. - Juros compostos: Conceitos. Cálculo do Montante. Tabelas - Estudo de taxas: Nominal, proporcional, média, acumulada, efetiva, equivalente, real. - Descontos simples: Conceito. Desconto comercial ou por fora ; cálculo do valor atual. Desconto racional ou por dentro ; cálculo do valor atual. Comparação de desconto comercial e racional. - Descontos compostos. Conceitos. Desconto composto Real. Cálculo do Valor Atual. Desconto composto Bancário. Cálculo do Valor Atual. Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 3 - Séries Uniformes: Classificação. Cálculo do valor atal, do montante e da prestação de séries antecipadas, postecipadas e diferidas. Séries perpétuas: Cálculo do valor atual, da prestação e da taxa. Equivalência de capitais diferidos: permuta de títulos, formação de fundos, alongamento de dívidas. - Tópicos de Análise de Investimentos (conceitos, métodos, aplicações). 5. METODOLOGIA 5.1 Aulas expositivas 5.2 Solução individual e coletiva de problemas e exercícios. Estudos de Casos. Estudo e solução dos aspectos financeiros de anúncios comerciais. 5.3 Pequenos grupos para trabalhos e solução de problemas. 6. CRONOGRAMA (proposto) Aula Conteúdo programado Obs 1ª Discussão do Plano de Ensino. Exercício de verificação de conhecimentos. Revisão dos conteúdos necessários à disciplina. 2ª Juros simples: Conceitos. Cálculo do juro simples. Cálculo do montante. Exercícios. 3ª Juros compostos: Conceitos. Cálculo do Montante. Exercícios. 4ª Estudo de taxas. Exercícios 5ª Descontos simples: Conceito.Desconto comercial ou “por fora; cálculo do valor atual. Desconto racional ou “por dentro; cálculo do valor atual. Exercícios 6ª Descontos compostos: Conceitos. Desconto composto Real. Cálculo do Valor Atual. Exercícios. 7ª Desconto composto Bancário. Cálculo do Valor Atual. Exercícios. 8ª Avaliação G1 9ª Séries uniformes. Conceitos. Classificação. Séries postecipadas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Montante. Séries antecipadas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Montante. Exercícios. 10ª Séries perpétuas. Cálculo do valor atual. Cálculo da prestação. Séries diferidas. Cálculo do valor atual. Cálculo do Montante. Exercícios. 11ª Aula de Exercícios. 12ª Equivalência de capitais com capitalização composta. Exercícios. 13ª Equivalência de capitais com capitalização composta. Exercícios. 14ª Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 15ª Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos 16ª Avaliação G1. 17ª Revisão. Exercícios. 18ª Avaliação G2. 19ª Avaliação G3. Data da Aula Dia da Semana Hora Inicial Hora Final Obs 19/02/2013 Terça-Feira 19:00 19/02/2013 26/02/2013 Terça-Feira 19:00 26/02/2013 05/03/2013 Terça-Feira 19:00 05/03/2013 12/03/2013 Terça-Feira 19:00 12/03/2013 Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 4 19/03/2013 Terça-Feira 19:00 19/03/2013 26/03/2013 Terça-Feira 19:00 26/03/2013 02/04/2013 Terça-Feira 19:00 02/04/2013 09/04/2013 Terça-Feira 19:00 09/04/2013 16/04/2013 Terça-Feira 19:00 16/04/2013 23/04/2013 Terça-Feira 19:00 23/04/2013 30/04/2013 Terça-Feira 19:00 30/04/2013 14/05/2013 Terça-Feira 19:00 14/05/2013 21/05/2013 Terça-Feira 19:00 21/05/2013 28/05/2013 Terça-Feira 19:00 28/05/2013 04/06/2013 Terça-Feira 19:00 04/06/2013 11/06/2013 Terça-Feira 19:00 11/06/2013 18/06/2013 Terça-Feira 19:00 18/06/2013 25/06/2013 Terça-Feira 19:00 25/06/2013 7. AVALIAÇÃO 7.1 Presença, participação e exercícios em sala de aula. 7.2 - G1: (três notas compõem a G1) Duas avaliações em sala de aula sobre os conteúdos parciais mais uma G1 composta de mini avaliações de uma questão no final de cada aula (a soma destas mini avaliações será a 3a. nota G1). - G 2 - Uma, com conteúdo cumulativo, conforme as orientações/normas da Instituição. 7.3 Exames - G3 - para aqueles alunos que não alcançarem a pontuação normatizada pela Instituição . 7.4 CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO - Participação nas discussões, debates, e trabalhos individuais ou em grupo. - Solução dos problemas e exercícios (intra e extra classe) propostos. 8. REFERÊNCIAS 8.1. Referência Básica * CARVALHO, Thales Mello. Matemática comercial e financeira: complementos de matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: FENAME, 1980. 438 p. * FRANCISCO, Walter de. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Atlas, 1991-1993. 319 p. ISBN 85-224-0707-X. * PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 1999. 440 p. ISBN 85-02-02719-0 8.2. Referência Complementar * CASAROTTO FILHO, Nelson; KOPITTKE, Bruno Hartmut. Análise de investimentos. 9. ed. São Paulo: Atlas, 2000. 458 p. : ISBN 8522425728 * MATHIAS, Washington Franco; GOMES, José Maria. Matemática financeira. 3. ed.São Paulo: Atlas, 2002. 455 p. ISBN 8522431043 * SHINODA, Carlos. Matemática financeira para usuários do excel 5.0. São Paulo: Atlas, 1998. 167 p. ISBN 85-224-1837-3 * TOSI, Armando José. Matemática financeira com utilização do excel 2000: aplicável às versões 5.0, 7.0 e 97. São Paulo: Atlas, 2000. 218 p. ISBN 8522424373 * ZDANOWICZ, José Eduardo. Orçamento de capital: a decisão de impacto. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 1990. 240 p. 9. OBS PROFESSOR Seguindo a possibilidade prevista na Resolução CONSUN 144/08, poderá ser aplicado trabalho acadêmico efetivo universitário extra classe, conforme carga horária prevista na legislação. Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 5 "Muitos pensam que sabem; poucos sabem que não sabem; quem sabe, sabe que sabe muito pouco". Alexandre Canalini AVALIAÇÃO DE CONHECIMENTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICA Nota: Questão Solução “Gabarito” a. 12 + 7 x 2 b. 10 – 5 x 2 c. 2 x 4 – 1 d. 4 – 1 ÷ 2 e. 360 ÷ 12 x 0,5 f. 30 ÷ 12 – 2 g. 1 – 0,5 x 3 h. 5/8 – 4/5 x 23 i. 23 + 7 ÷ 21/3 j. log 1,75 – ln 1,75 k. log (32/16) l. log 32 / log16 m. n. 30 3605 2 + o. 52 + (360/30)1/2 p. 0,5 - 8,3333 . 0,52 q. (1 – 0,52 ) 2 r. (1 – 0,25.2) 2 s. Qual é o inverso de 54 ? t. Qual é o valor da constante "e" ? u. 5/3 5/3 v. 3/5 5/3 x. Calcular a área do triângulo retângulo Hipotenusa = 5m Cateto base = 3m m2 25 30 360 + Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 6 JUROS SIMPLES $ Quanto vale hoje um ativo ou passivo formado em uma data do passado? $ Quanto valerá, em um futuro conhecido, uma aplicação realizada hoje? $ Porque muitas dívidas contraídas na compra de bens acabam ficando maiores do que o valor do próprio bem? Conceitos de juros - Juro é a remuneração do capital. - “Juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo, a uma taxa previamente combinada”. “Juro é o prêmio pela espera”. (Prof. Rochadelli – PPGEF/UFPR) Juro simples é um artifício matemático para simplificar o cálculo de juros compostos. O juro é simples quando é produzido unicamente pelo capital inicial. Em todos os períodos considerados, o valor será sempre igual. Cálculo de juros simples ( j ) Calcula-se o juro (j) multiplicando-se o capital (C ou PV) com a taxa (i) e com o número de períodos (n) considerado, ou seja: j = C. i . n ou j = PV . i . n É importante lembrar que sempre usaremos a taxa (i) já dividida por 100, ou seja, uma taxa de 15% entra nesta fórmula como 0,15; uma taxa de 20% como 0,2 e assim sucessivamente. Este procedimento será adotado em todas as fórmulas aqui abordadas. Um procedimento imprescindível é trabalharmos sempre com as mesmas unidades em todos os cálculos, ou seja: se a taxa for anual o número do período deve necessariamente ser em anos; se for mensal, os períodos serão em meses; se a taxa for diária, os períodos serão em dias e assim por diante. Exemplo : Determinar os juros de um capital de R$ 2.000,0 aplicado durante oito meses a uma taxa de 18% a.a. Temos: C = 2.000 i = 18 / 12 meses/ 100 = 0,015 n = 8 meses j = C i n j = 2.000 x 0,015 x 8 j = 240,00 Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar: 2000 x 18 ÷ 12 ÷ 100 x 8 = (e no visor aparecerá 240,00) Na HP 12C teclar: 2000 CHS PV 18 i 8 ↑↑↑↑ 30 x n f INT Obs: Na HP a taxa utilizada sempre deverá ser anual e o período sempre em dias. Cálculo do Montante (Cn) Chama-se de Montante (Cn ou FV) o capital somado aos seus juros produzidos. Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 7 Se Cn = C + j e j = C.i.n então Cn = C + C.i.n e colocando-se o “C” em evidência teremos Cn = C . ( 1 + i . n ) ou ).1.( niPVFV += Exemplo : Calcular o Montante do exemplo anterior. 1ª Solução 2ª Solução Cn = 2.000 + 240 Cn = 2.240,00 Cn = 2.000 ( 1 + 0,015 x 8 ) Cn = 2.000 x 1,12 Cn = 2.240,00 Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar: (Dando seqüência ao cálculo do juro simples) 2000 x 18 ÷ 12 ÷ 100 x 8 = 240,00 + 2.000 = 2.240,00 Na HP 12C basta teclar + (após o cálculo dos juros) e aparecerá no visor o Montante. ou seja 2000 CHS PV 18 i 240 n f INT + “Quando parecia que nada iria acontecer, uma novidade aparece; e o mundo se transforma. Este é o momento propício para você aprender que sempre é possível ir além do que pensaria poder.” (Anônimo) Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 8 EXERCÍCIOS – JUROS SIMPLES 1. Calcular os juros de um capital de R$ 1.500,00, à taxa de 24% ao ano, durante um ano e três meses. 2. Um capital produziu juros de R$ 32,00 em cinco meses a 7,5% ao semestre. Qual foi o capital? 3. A que taxa mensal o capital de R$ 3.200,00 produzirá o montante de R$ 4.184,00 em trezentos dias? 4. O capital de R$ 840,00 rendeu R$ 120,00 de juros, à taxa de 10% ao ano. Qual foi o tempo da transação? 5. Você aplicou em uma instituição financeira um valor equivalente a R$ 13.200,00 que proporcionou um montante de R$ 15.758,16 à uma taxa mensal 5,7%. Qual foi o tempo de aplicação? 6. O seu pai aplicou em sua conta um capital de R$ 1.200,00 que rendeu R$ 450,80 de juros aplicado à uma taxa mensal 7%. Qual foi o tempo desta aplicação? 7. Você como gerente financeiro de sua empresa aplicou um capital de R$ 3.450,00 a uma taxa anual de juros de 37% por um trimestre. Qual o montante produzido? 8. Qual será o montante de uma aplicação de R$ 735,00 à taxa de 0,5% ao mês durante 135 dias? 9. Um determinado capital produziu o montante de R$ 5.789,00 aplicado a uma taxa de 1,41% ao mês durante sete trimestres. Qual foi o valor da aplicação? 10. Um capital aplicado no mercado financeiro triplicou de valor em dois anos três trimestres e meio mês. Qual foi a taxa anual desta aplicação? 11. Um capital triplicou de valor aplicado a uma taxa de 5% ao mês. Qual foi o tempo desta aplicação? 12. Você aplica R$ 30.000,00 por quatro anos na poupança que rende 0,5% ao mês (liquido). Quanto terá no fim deste período? RESPOSTAS 1 2 3 4 5 6 R$ 450,00 R$ 512,00 3,075% a.m. 1 ano, 5 meses e 4 dias 3 meses e 12 dias 5 meses e 11 dias 7 8 9 10 11 12 R$ 3.769,13 R$ 751,54 R$ 4.466,48 71,64% a.a. 3 anos e 4 meses R$ 37.200,00 A única segurança que o homem pode ter na sua vida é sua reserva de conhecimento. (Henry Ford) Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 9 JUROS COMPOSTOS Relembrando: $ Quanto vale hoje um ativo ou passivo formado em uma data do passado? $ Quanto valerá, em um futuro conhecido, uma aplicação realizada hoje? $ Porque muitas dívidas contraídas na compra de bens acabam ficando maiores do que o valor do próprio bem?Conceitos de juros - Juro é a remuneração do capital. - “Juro é uma compensação em dinheiro pelo uso de um capital financeiro, por determinado tempo, a uma taxa previamente combinada”. Conceito de juros compostos Juro composto é a transação financeira em que um capital é aplicado por diversos períodos, mas, a cada novo período, os juros produzidos no período anterior são incorporados ao capital para o cálculo dos juros do novo período. Pelo conceito acima se percebe que, no primeiro período, os juros simples e os compostos são os mesmos, pois não há capitalização. Conclui-se também que a formação do montante com juros simples é linear apresentando o comportamento de uma progressão aritmética (PA) ao passo que, com juros compostos é exponencial, apresentando o comportamento de um progressão geométrica (PG). Cálculo do Montante em juros compostos (Cn ou FV) O Montante é a soma do juro (j) com o capital (C ou PV). Extrapolando este conceito para “n” períodos chega-se à seguinte fórmula: Cn = C . ( 1 + i ) n ou niPVFV )1.( += É extremamente importante estar atento para o regime de capitalização. Se a capitalização for anual, as variáveis “n” (número de períodos) e “i” (taxa) devem necessariamente estar expressas em anos. Se a capitalização for mensal, devem estar expressas em meses, e assim por diante. Também é importante lembrar que sempre usaremos a taxa (i) já dividida por 100, ou seja, uma taxa de 15% entra na fórmula como 0,15; uma taxa de 20% como 0,2, etc, como visto em juros e descontos simples. Exemplo: Determinar os juros de um capital de R$ 2.000,0 aplicado durante dois anos a uma taxa de 18%a.a., capitalizado trimestralmente. Temos: C = 2.000 k = trimestral n = 2 anos x 4 = 8 trimestres i = 18 / 4 trimestres/ 100 = 0,045 Cn = C . ( 1 + i )n Cn = 2000 (1+ 0,045)8 Cn = 2000(1,422100613) Cn = 2.844,20 Como: j = Cn - C Teremos: j = 2.844,20 – 2.000,00 j = 844,20 Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar: 2000 x (1 +0,045)8 y x = (no visor aparecerá) 2.844,20 – 2000 = 844,20 Na HP 12C teclar: 2000 CHS PV 18 ↑↑↑↑ 4 ÷ i 2 ↑↑↑↑ 4 x n FV 2000 ̶ (no visor aparecerá) 844,20 Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 10 Capitalização contínua Matematicamente pode-se imaginar uma capitalização ainda mais intensa do que a diária. A essa capitalização chamamos de contínua. A fórmula desenvolvida para calcular o montante é: Cn = C.(e)i.n onde “e” é uma constante matemática de valor igual a 2,718281828. Obs: Neste caso específico as variáreis “i” e “n” também devem estar expressas na mesma periodicidade (não importando qual). ESTUDO DE TAXAS 1. Taxa Nominal – é a taxa de juros expressa nos contratos ou documentos. Normalmente é anual. Não significa que a capitalização deva ser desta periodicidade. Ex.; 10% a.a., 18% a.a. 2. Taxas proporcionais – é a mesma taxa de juros expressa em períodos diferentes, mas guardando a proporcionalidade entre si. Por ex.: 24% ao ano é proporcional a: 12% ao semestre, que é proporcional a 6% ao trimestre, que é proporcional a 4% ao bimestre, que é proporcional a 2% ao mês e vice e versa. 3. Taxa Acumulada de juros – Quando se tem um determinado capital aplicado por diversos períodos a taxas (i1, i2 ...in) diferentes (ou não) em cada período, a taxa capitalizada resultante pode ser expressa com a seguinte fórmula: 100].1)1...()1.()1[( 21 −+++= nnnnac iiii Por ex: Um capital permaneceu aplicado por períodos iguais às seguintes taxas: 2,1%, 1,9%, 3,4% e 2,6%. Qual foi a taxa acumulada? 100].1)026,01.()034,01.()019,01.()021,01[( 11.11 −++++=aci 100].1)026,1).(034,1).(019,1).(021,1[( −=aci 100].1)103742653,1[( −=aci ∴ %3743,10=aci 4. Taxa média de juros – Para saber a taxa média de juros de um determinado período torna-se necessário calcular primeiro a taxa acumulado (item anterior) e depois extrair a raíz “n” desta taxa encontrada. É expressa com a seguinte fórmula: 100].1)1([ −+= n acii Para o mesmo exemplo do item anterior, teremos: 100].1)103742653,01([4 −+=i 100].1)103742653,1([ 4 −=i 100).1024983694,1( −=i ∴ %4984,2=i 5. Taxas equivalentes – Quando se tem a necessidade de saber qual foi a taxa que produziu determinada taxa capitalizada, extrai-se a raíz “n” desta taxa (expressa em um período maior). O procedimento e a fórmula são similares aos da taxa média. Por ex: Qual é a taxa mensal equivalente a 30% ao ano? Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 11 100].1)1([ . −+= neq ii 100].1)30,01([12 . −+=eqi 100].1)30,1([12 . −=eqi 100).1022104451,1( . −=eqi ∴ ..%.2104,2. maieq = 6. Taxa efetiva – Quando se quer saber a taxa capitalizada de um contrato ou documento, o cálculo a efetuar é semelhante ao das taxas acumuladas, ou seja, capitaliza-se “(1+i)” tantas vezes quantas forem os períodos de capitalização contidos no período maior que se quer saber. Por ex: Qual é a taxa anual efetiva de 3% ao mês? 100].1)1[( . −+= nef ii 100].1)03,01[( 12 . −+=efi 100].1)425760887,1[( . −=efi ..%.5761,42 . aai ef = 7. Taxa real de juros – Normalmente nos valores resultantes das aplicações estão embutidas as taxas da inflação do período. Para se expurgar a inflação, ou saber qual a taxa que efetivamente remunerou o capital procedemos da seguinte maneira aplicada ao exemplo. Ex: Uma aplicação rendeu em um determinado período 7,3%. Qual foi a taxa real de juros, sabendo que a inflação do mesmo período foi de 4%? Da fórmula : )1).(1()1( inf laçãoreal iii ++=+ pode-se deduzir: 100.1)1 )1( inf − + + = lação real i ii 100.1)04,01 )073,01( − + + =reali 100).1031730769,1( −=reali %1731,3=reali “Essa crise não passa de uma marolinha”. (Presidente Lula, em outubro/08, desdenhando o vendaval financeiro que se aproximava.) Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 12 EXERCÍCIOS – JUROS COMPOSTOS E TAXAS 1. Você empresta para seu colega R$ 1.000,00. Quanto ele lhe devolverá no fim de três anos, à taxa de 16% a ano, sendo que vocês combinaram que a capitalização seria semestral? 2. Qual será o rendimento de R$ 2.000,00 no fim de dois anos e meio, a 20% ao ano capitalizados trimestralmente? 3. Você aplicou o capital de R$ 1.500,00 a 12%a.a. durante quatro anos. Qual foi o montante produzido? 4. Uma aplicação de R$ 1.000,00 produziu um montante de R$ 1.695,88 em três anos. Qual foi a taxa trimestral de juros desta aplicação? 5. Em quanto tempo um capital dobrará de valor se for aplicado a 18% a.a., capitalizado trimestralmente? 6. Determinar o montante de R$ 1.200,00 no fim de quatro anos, a 12% a.a., capitalizado mensalmente. 7. Qual é a taxa anual de juros que, capitalizada semestralmente, faz com que o capital de R$ 2.500,00 produza R$ 2.000,00 de juros em três anos e seis meses? 8. Durante quanto tempo um capital de R$ 2.500,00 produzirá R$ 1.484,62 de juros, a 24% a.a. capitalizado trimestralmente? 9. Dois capitais que somam R$ 11.000 foram aplicados em instituições financeiras diferentes. O primeiro capital foi colocado a 20% a.a., capitalizado trimestralmente e o outro foi colocado a 18% a.a. capitalizado mensalmente. No fim de três anos e novemeses produziram juros iguais. Quais foram esses capitais? 10. Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 16% a.a. capitalizado trimestralmente e o restante, a 20% a.a. capitalizado semestralmente. No fim de dois anos e seis meses retirou o montante de R$ 2.061,88. Qual foi o capital aplicado? 11. Uma instituição financeira paga juros de 24% a.a. capitalizados trimestralmente. Qual é a taxa efetiva? 12. Qual é a taxa trimestral de juros equivalente a 22% a.a.? 13. Um capital é aplicado a 1,5% a.m. Qual é a taxa anual efetiva? 14. Qual é a taxa mensal de juros equivalente a 20% a.a.? 15. O capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante um ano e três meses a uma taxa trimestral de juros. Se a taxa fosse de 2% ao mês, os juros produzidos seriam R$ 69,58 maiores. Qual foi a taxa da aplicação? 16. Você empresta para seu colega um capital equivalente a R$ 1.235,00. Se a taxa desta transação for de 35% a.a. e a capitalização mensal, qual será o rendimento (juros) após quinhentos e dez dias? 17. Você aplicou em uma instituição financeira um determinado valor. Após nove meses e quinze dias você retirou um montante igual a R$ 5.321,00. Qual foi o capital aplicado se a taxa que a instituição paga é de 22,80% a.a. e a capitalização foi contínua? Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 13 18. Você aplica o seu dinheiro a 7% ao mês. Qual é a taxa anual efetiva de juros? 19. Você aplicou um determinado valor por vários períodos iguais e com taxas diferentes de juros. No primeiro período a taxa foi de 1,88%. No período seguinte você obteve uma taxa 20% menor que aquela. Num terceiro período a taxa foi apenas 10% menor do que a primeira e, no último período a taxa foi 15% maior do que a primeira. Considerando que os períodos foram iguais, qual foi a taxa acumulada de juros? 20. Você aplicou em uma instituição financeira um capital equivalente a R$ 5.235,00. Após duzentos e setenta dias você retirou um montante 35% maior do que este capital. Qual foi a taxa anual proporcional que a instituição pagou se a capitalização foi mensal? 21. Você fez uma aplicação financeira por sete meses e obteve um rendimento de 15%. O Banco Central divulga que, neste mesmo período, a inflação alcançou 6,43%. Qual foi o seu rendimento real nesta aplicação? 22. você fez uma aplicação financeira para dez meses. A taxa mensal da transação foi de 1,47%. Qual foi a taxa efetiva desta aplicação? 23. Você fez uma aplicação financeira por nove meses e obteve um rendimento de 9,34%. O Banco Central divulga que, neste mesmo período, a inflação alcançou 6,43%. Qual foi o seu rendimento real nesta aplicação? 24. Você está exercendo a função de caixa de uma loja de eletroeletrônicos. À sua frente está um cliente renegociando um carnê de compras que está atrasado em quatro meses e a quinta prestação vence hoje. O valor de cada prestação é de R$ 93,75. A taxa anual que a loja pratica é igual sessenta porcento. Para prestações atrasadas há uma multa de 3% sobre o valor da prestação mais 1,5% a.m. de juros. Qual será o valor que cliente deve pagar para deixar o seu carnê em dia? 25. Uma pessoa colocou 2/5 de seu capital a 19,37% a.a. capitalizado trimestralmente, 1/3 deste mesmo capital à taxa taxa anual igual a 19% mas, capitalizado mensalmente, e o restante, a 21,33% a.a. capitalizado semestralmente. No fim de dois anos e meio retirou o montante equivalente R$ 9.152,00. Qual foi o capital aplicado? RESPOSTAS 1 2 3 4 5 6 R$ 1.586,87 R$ 1.257,79 R$ 2.360,28 4,5% ao trimestre Três anos, 11 meses e 7 dias. R$ 1.934,67 7 8 9 10 11 12 13 17,52% a.a. 2 anos C1= 5.162,62 e C2= 5.837,38 R$ 1.323,07 26,24% a.a. 5,097% ao trimestre 19,56% a.a. 14 15 16 17 18 19 1,5309% a.m. 5% ao trimestre R$ 778,37 R$ 4.442,25 125,22% a.a. 7,4356 % 20 21 22 23 24 25 40,69% a.a 8,0522% 15,7115% 2,7342% 494,28 5.654,71 “A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, transformam“A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, transformam“A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, transformam“A vida está cheia de desafios que, se aproveitados de forma criativa, transformam----se em oportunidades”. se em oportunidades”. se em oportunidades”. se em oportunidades”. (Maxwell Maltz) Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 14 DESCONTOS SIMPLES Conceito - Desconto é o abatimento (em dinheiro) que um determinado título sofre quando é resgatado antes do seu vencimento. “Desconto é o preço da impaciência”. (Prof. Rochadelli – PPGEF/UFPR) Desconto Comercial ou “por fora” (d) - equivale aos juros simples, onde na fórmula substituímos o capital (C) pelo valor nominal do título (N ou FV). Assim teremos: d = N . i . n d = FV . i . n Exemplo : Uma Nota Promissória de valor nominal equivalente a R$ 1.800,00 foi resgatada dois meses antes do seu vencimento à taxa de 24% a.a. Qual foi o desconto ? Dados : N = 1.800 i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 n = 2 d = N . i . n d = 1.800 x 0,02 x 2 d = 72,00 Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar: 1.800 x 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 = 72,00 Na HP 12C teclar: 1800 CHS PV 24 i 60 n f INT Obs.: A taxa utilizada sempre deverá ser anual e o período em dias. (Mesmo procedimento dos juros simples). Valor Atual ou Valor Presente (An ou PV) - O valor atual de um título é o seu valor nominal menos o desconto. Se An = N - d e d = N i n então An = N - N i n Colocando “N” em evidência teremos então An = N ( 1 - i n ) Exemplo : Calcular o Valor Atual do exemplo anterior. 1ª solução 2ª solução An = N - d An = 1.800 - 72 An = 1.728,00 An = N ( 1 - i n ) An = 1.800 ( 1 - 0,02 x 2 ) An = 1.800 x 0,96 An = 1.728,00 Nas calculadoras comuns ou científicas basta teclar: (Dando seqüência ao cálculo do desconto simples basta diminuir o valor do título) 1.800 x 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 = 72,00 - 1.800 = -1.728,00 Na HP 12C basta teclar − (após o cálculo dos descontos) e aparecerá no visor o Valor Atual. Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 15 Desconto Racional ou “por dentro” (d’) - O desconto racional é equivalente ao juro simples calculado sobre o valor atual de um título. Por esta definição teríamos: d’ = An . i . n Substituindo e isolando as incógnitas teremos: ni niNd .1 .. ' + = Exemplo : Calcular o desconto racional do exemplo anterior. Temos : N = 1.800 i = 0,02 n = 2 d’ = 1.800 . 0,02 . 2 1 + 0,02 . 2 d’ = 72 . = 69,23 1,04 Obs.: Concluímos facilmente que o desconto racional será sempre menor do que o desconto comercial. Nas calculadores científicas, após o cálculo do desconto comercial ou “por fora” continuamos teclando : ÷ ( 1 + 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 ) = 69,23 Valor Atual ou Valor Presente Novamente temos o mesmo raciocínio : O valor atual é o valor do título menos o desconto. An = N - d’ Substituindo d’ pelo seu valor e transformando a fórmula chegaremos a : ni NAn .1+ = Exemplo : Calcular o Valor Atual do exemplo anterior. 1ª solução 2ª soluçãoAn = N - d’ An = 1.800 - 69,23 An = 1.730,77 An = . 1.800 . 1 + 0,02 . 2 An = 1.800 = 1.730,77 1,04 Na calculadora científica basta diminuir o desconto calculado acima do valor do título ou, fazendo toda a operação: 1800 ÷ ( 1 + 24 ÷ 12 ÷ 100 x 2 ) = 1.730,77 Na HP 12C teclar: 1800 Enter 1 Enter 24 Enter 12 ÷ 100 ÷ 2 x + ÷ “Siga em frente, corajosamente, porque a vitória sorri somente àqueles que não param no meio da estrada”. Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 16 EXERCÍCIOS – DESCONTOS SIMPLES Obs: Os exercícios de 1 a 8 são transcritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p. 36-37) 1. Qual o desconto comercial de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 220,00, resgatada três meses antes do vencimento, à taxa de 18% ao ano? 2. Uma nota promissória cujo valor de face é de R$ 860,00 foi paga três meses e quinze dias antes do vencimento com desconto comercial de 1,5% ao mês. Qual o valor do resgate ? 3. O valor Atual (Presente) de um título, pelo desconto comercial de 2% ao mês, cinco mêses antes do vencimento, é igual a R$ 720,00. Qual será o valor atual desse título se o desconto for racional? 4. A diferença entre os descontos comercial e racional de um título para quatro meses, à taxa de 18% ao ano, é de R$ 3,40. Qual o valor nominal do título? 5. Um título de valor nominal igual a R$ 315,00 para noventa dias deverá ser quitado hoje juntamente com outro para cento e cinqüenta dias cujo valor nominal é igual a R$ 477,80. Calcular o valor que será desembolsado por esta quitação se a taxa de desconto comercial que envolve a transação é de 2,5% ao mês. 6. Você tem uma dívida de R$ 560,00 e que você pretende pagar antecipadamente em 75 dias. A taxa que envolve a transação é 1,99% a.m. Qual será o valor do resgate pelo desconto racional? 7. Você tem uma dívida que foi resgatada por R$ 560,00 com 75 dias de antecedência. A taxa que envolveu a transação foi de 1,99% a.m. Qual era o valor do título se o desconto foi comercial? 8. Uma Letra de Câmbio de valor nominal igual a R$ 2.500,00 foi resgatada dois meses e dezesseis dias antes do vencimento a uma taxa de 2,7%a.m. Calcular o valor do resgate: a) Pelo desconto comercial. b) Pelo desconto racional. 9. Você tem uma dívida de R$ 860,00 e que você pretende pagar antecipadamente em 45 dias. A taxa bimestral que envolve a transação é 2,5%. Qual será o valor do resgate: a) pelo desconto comercial; b) pelo desconto racional? 10. A diferença entre os descontos comercial e racional de um título para cento e trinta dias, à taxa de 21,80% ao ano, é de R$31,54. Qual o valor nominal do título? 11. A diferença entre o desconto comercial e racional é igual a R$ 77,55. Qual é o valor do título sabendo-se que a taxa da transação foi de 37%a.a., o vencimento é para cento e quinze dias? 12. A diferença entre os valores de resgate pelo desconto comercial e racional é igual a R$ 117,55. Qual é o valor do título sabendo-se que a taxa da transação foi de 37,35%a.a., o vencimento é para quinze meses? 13. Você tem em mãos as duplicatas abaixo para serem descontadas no Banco BCB. A taxa que o banco oferece hoje é de 19%a.a Complete a planilha: Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 17 Duplicata Valor (em R$) Vencimento (em dias) Desconto (em R$) Valor do Resgate (em R$) 01 129,75 37 02 347,50 23 03 297,55 41 04 411,50 18 Total RESPOSTAS 1 2 3 4 5 6 R$ 9,90 R$ 814,85 R$ 727,27 R$ 1.001,11 R$ 709,45 R$ 533,46 7 8.a 8.b 9.a 9.b R$ 589,32 R$ 2.329,00 R$ 2.339,95 R$ 843,88 R$ 844,17 10 11 12 13 R$ 5.490,05 R$ 6.207,33 R$ 791,07 “Na adversidade conhecemos os recursos de que dispomos”. (Horácio) Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 18 DESCONTOS COMPOSTOS Conceito de desconto - Desconto é o abatimento (em dinheiro) que um determinado título sofre quando é resgatado antes do seu vencimento. Conceito de Desconto Composto “Desconto composto equivale à soma dos descontos simples, calculados isoladamente em cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título”. (Francisco, 1994, p. 71). Da mesma forma como em juros compostos, incorpora-se agora mais uma variável que é o regime de capitalização. Em cada situação (exercício, negócio ou transação) deve estar expresso qual é o regime de capitalização (anual, semestral, trimestral, mensal, etc). Desconto Composto REAL O desconto composto real equivale à soma dos descontos racionais, calculados sucessivamente em cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título. Assim, aplicando a fórmula do desconto racional ni niNd .1 .. ' + = e a de seu valor atual ni NAn .1+ = , desenvolvemos a fórmula para o cálculo do valor atual (valor do resgate): nn i NA )1( += ou, passando o denominador para o numerador n n iNA −+= )1.( Exemplo: Uma Nota Promissória de valor nominal equivalente a R$ 1.800,00 foi resgatada noventa dias antes do seu vencimento à taxa de 24% a.a. Qual foi o desconto real se a capitalização é mensal? Dados: N = 1.800 k = mensal i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 n = 90 dias = 3 meses n n iNA −+= )1.( então 33 )02,01.(1800 −+=A )942322335,0.(18003 =A e, finalmente 18,696.13 =A se d = N – An então d = 1800 – 1.696,18 = 103,82 Nas calculadoras comuns ou científicas (algumas) teclar: 1.800 x (1 + 0,02)xy 3 ±±±± = 1.696,18 Na HP 12C teclar: 1800 CHS FV 24 g i 3 n PV Obs: O período e a taxa utilizada (sempre percentual) deverão estar de acordo com a capitalização. Desconto Composto Bancário O desconto composto bancário equivale à soma dos descontos comerciais, calculados sucessivamente em cada um dos períodos que faltam para o vencimento do título. Assim, aplicando a fórmula do desconto racional d = N.i.n e a de seu valor atual An = N.(1-i.n), desenvolvemos a fórmula para o cálculo do valor atual (valor do resgate): n n iNA )1.( −= Exemplo: Calcular o desconto bancário do exemplo anterior. Dados: N = 1.800 k = mensal i = 24 / 12 meses / 100 = 0,02 n = 90 dias = 3 meses n n iNA )1.( −= e substituindo, 3)02,01.(1800 −=nA )941192,0.(1800=nA chegaremos a: 15,694.1=nA se d = N – An então d = 1800 – 1.694,15 = 105,85 Obs: Concluímos que o desconto bancário será sempre maior do que o desconto real. Com os seus valores atuais ocorre o contrário, obviamente. Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 19 Nas calculadoras comuns ou científicas (algumas) teclar: 1.800 x (1 – 0,02)yx 3 = 1.694,15 – 1800 = 105,85 Na HP 12C teclar: 1800 Enter 1 Enter 0,02 – 3 yx X 1800 – Obs: A calculador HP 12C não tem teclas financeiras para este cálculo. Capitalização contínua – Cálculo do valor Atual A situação específica de capitalização contínua é matematicamente possível e chega-se à solução pela seguinte fórmula: An = N.(e) – i.n onde “e” é uma constante matemática de valor igual a 2,718281828. Obs: Também neste caso asvariáreis “i” e “n” devem estar expressas na mesma periodicidade (não importando qual). “Para o autônomo que optou por abrir uma empresa, a ajuda de um contador é fundamental desde o começo”. (Maurício Oliveira – editor de Você S/A) Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 20 EXERCÍCIOS – DESCONTOS COMPOSTOS Os exercícios de 1 a 8 são transcritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p.91 e 262). 1. Calcular o valor atual de um título de R$ 200,00 que sofreu um desconto real de 18% a.a., capitalizados trimestralmente, dois anos antes do vencimento. 2. O desconto real de um título, pagável em dois anos e três meses, é igual a R$ 187,20. Calcular o valor nominal do título, sabendo-se que a taxa empregada na transação é de 20% a.a., capitalizada trimestralmente. 3. Qual é o desconto bancário de um título de R$ 500,00, exigível em três anos, a 20% a.a., capitalizados semestralmente? 4. Calcular o valor atual de um título de R$ 10.000,00, resgatando dois anos e seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto real de 20% a.a. capitalizados semestralmente. 5. Qual é o desconto bancário de um título de R$ 5.000,00 pagável em dois anos a 20% a.a. capitalizados semestralmente? 6. O desconto real de um título, pagável em um ano e três meses é de 432,95. Calcular o valor nominal deste título, sabendo-se que a taxa empregada foi de 20% a.a. com capitalizações trimestrais. 7. Um título, pagável em um ano e três meses, sofreu um desconto bancário de R$ 3.921,47 a 24% a.a. capitalizados mensalmente. Determinar o valor nominal deste título. 8. Calcular o valor atual de um título de R$ 5.000,00, resgatado cinco anos e 4 meses antes do vencimento, a 12% a.a., capitalizados continuamente. 9. Você deve para seu colega um valor equivalente a R$ 1.235,00. Se a taxa desta transação for de 34% a.a. e a capitalização mensal, qual será o valor do desconto real se a antecipação desta dívida for de cento e cinqüenta dias? 10. Você deve para seu colega um valor equivalente a R$ 1.235,00. Se a taxa desta transação for de 34% a.a. e a capitalização mensal, qual será o valor do desconto bancário se a antecipação deste título for de cento e cinqüenta dias? 11. Você assumiu em uma instituição financeira um determinado título. Cinco meses e quinze dias antes do vencimento você resgatou este título por um valor equivalente a R$ 5.584,00. Qual foi o valor do desconto concedido se a taxa da transação foi de 21,80% a.a. e a capitalização foi contínua? 12. Você negociou pelo desconto bancário, em uma instituição financeira, um título equivalente a R$ 4.855,00, por um valor 35% menor do que o valor original. Qual foi a taxa anual proporcional envolvida se a capitalização foi mensal e a antecipação de cento e vinte dias? 13. O desconto real de um título, pagável em 1 ano e três meses, é de R$ 432,95. Calcular o valor nominal do título, sabendo-se que a taxa mensal empregada na transação foi 2,7% e as capitalizações trimestrais. 14. Você deve pagar um título de R$ 12.345,00 com vencimento para dois bimestres e meio. Qual será o valor do resgate pelo desconto composto real considerando uma taxa de 30% a.a. e capitalizações mensais? 15. A diferença entre os valores de resgate, calculados pelo desconto composto real e bancário, sobre o valor de um título é igual a R$ 27,50. Qual é o valor deste título se a antecipação foi de oito meses, a taxa de 2,9% a.m. e a capitalização bimestral? 16. Uma duplicata no valor equivalente a R$ 573,54 sofreu um desconto composto bancário igual a cinqüenta reais, três bimestres antes do vencimento. Qual foi a taxa anual proporcional se as capitalizações foram mensais? Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 21 17. Você deve para seu colega um valor equivalente a R$ 7.431,00. Se a taxa da transação é igual a 47%a.a. e a capitalização mensal, qual será o valor do desconto real se a antecipação deste título for de cento e cinqüenta dias? 18. Você assumiu em uma instituição financeira um determinado título. Nove meses e quinze dias antes do vencimento você resgatou este título por um valor equivalente a R$ 7.431,00. Qual foi o valor nominal deste título se a taxa da transação é igual a 47%a.a. e a capitalização é contínua? 19. Uma letra de câmbio de valor monetário equivalente a R$ 1.347,00 será antecipada em quatro meses à taxa anual 47%. Qual será o valor do resgate se as capitalizações forem bimestrais e o desconto for bancário? 20. A diferença entre os valores de resgate pelo desconto real e bancário é igual R$ 121,68. Qual é o valor do título sabendo-se que a taxa da transação é de 47%a.a., o vencimento é para dezoito meses e a capitalização é trimestral? 21. Uma duplicata no valor equivalente a R$ 7.431,00, sofreu um desconto composto bancário igual a R$ 350,00, sete meses antes do vencimento. Qual foi a taxa anual proporcional se as capitalizações foram bimestrais? 22. Você teve que apelar para um “agiota” para resolver um problema financeiro inusitado. Tomou emprestada uma determinada quantia que foi resgatada por um valor equivalente a R$ 111.465,00 e que venceria daqui a dois bimestres e meio. Qual era o valor da dívida se a taxa de desconto foi igual a 47%a.a., o desconto foi real e as capitalizações mensais? RESPOSTAS 1 2 3 4 5 6 7 R$ 140,64 R$ 526,74 R$ 234,28 R$ 6.209,21 R$ 1.719,50 R$ 2.000,00 R$ 15.000,00 8 9 10 11 12 13 14 15 R$ 2.636,46 R$ 161,02 R$ 165,32 R$ 586,76 122,52% a.a. R$ 1.342,24 R$ 10.911,18 R$ 2.573,66 16 17 18 19 20 21 22 18,1049% a.a. 1.298,73 10.780,55 1.144,24 2.961,07 8,2139% 135.071,76 “Saber não é absolutamente nada, imaginar é tudo” (Analote France) Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 22 SÉRIES UNIFORMES As séries uniformes também são definidas por alguns autores como RENDAS. Significam pagamentos ou recebimentos periódicos gerados em uma transação. A série uniforme pode ser de prestações ou depósitos e que são chamados de termos (T ou PMT). Denomina-se “n” o número de termos (pagamentos/receitas) e “i” a taxa de juros. Se o objetivo da série é formar ou constituir um capital, este será então chamado de Montante da renda ou série. Se, no entanto o objetivo é amortizar uma dívida, o valor desta dívida será chamado de Valor Atual ou Valor Presente da série. As Rendas, ou séries uniformes, podem ser genérica e esquematicamente classificadas em: 1. Perpétuas 2. Temporárias Não periódicas Periódicas Variáreis Constantes Imediatas / Postecipadas Antecipadas Diferidas Daremos aqui um enfoque para as Rendas Temporárias Periódicas, Constantes ou perpétuas, Imediatas, antecipadas e diferidas, visto que são as formas mais comuns no ambiente comercial. As demais podem ser facilmente entendidas com base na literatura deste mesmo assunto aqui tratado. Valor Atual de uma Renda Unitária imediata ou postecipada (fator de valor atual) Para se chegar à fórmula partimos do mesmo cálculo do Valor Atual calculado pelo desconto composto real, considerando “n” termos, para um título de valor nominal igual a um (1) e uma taxa “i”. Assim sendo , se An = N ( 1 + i )- n e aplicando sucessivamente este raciocínio para os “n” termos e transformando a fórmula chegaremos finalmente a : an i = ii i n n .)1( 1)1( + −+ Variáveis: an┐i = Valor Atual de uma Renda Unitária imediatan = número de termos i = taxa considerada ( i / 100) Valor Atual das Rendas Imediatas ou postecipadas Se “T” for o valor do termo (prestação, depósito, etc.), o cálculo para se saber o Valor Atual de uma série uniforme de Rendas imediatas (com valor da prestação diferente de uma unidade ou valor monetário) será simplesmente multiplicar o valor do termo (valor da prestação) pelo Valor Atual de Uma Renda Unitária imediata, ou seja : An┐i = T . an┐i Exemplo : Calcular o Valor Atual de uma dívida constituída de quinze prestações mensais de R$ 750,00, considerando juros de 3,5% a.m.. Temos : n = 15 i = 3,5 /100 T = 750 an i = ii i n n .)1( 1)1( + −+ 5174109,11 035,0.)035,01( 1)035,01( 15 15 = + −+ = Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 23 An┐i = T . an┐i An┐i = 750 x 11,5174109 An┐i = 8.638,058175 = R$ 8.638,06 Obs.: 1. Os valores de an┐i são encontrados em tabelas próprias nos livros de Matemática Financeira. Após identificá-lo basta multiplicar pelo valor do termo (T). 2. Para calcular o valor de an┐i na HP 12C basta teclar : 1 CHS PMT 15 n 3,5 i PV Para calcular toda a operação na HP 12C: 750 CHS PMT 15 n 3,5 i PV Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos: An┐i + −+ = ii iT n n .)1( 1)1( . Valor Atual das Rendas antecipadas Analogamente às Rendas imediatas calculamos o seu valor atual pela fórmula : A n┐i aT .= n┐i onde (nesta situação) a n┐i ii i n n .)1( 1)1( 1−+ −+ = Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos: A n┐i + −+ = − ii iT n n .)1( 1)1( . 1 Para calcular a operação do exemplo anterior na HP 12C : 750 CHS PMT 15 n 3,5 i g BEG PV "A esperança tem duas filhas lindas, a indignação e a coragem; a indignação nos ensina a não aceitar as coisas como estão; a coragem, a mudá-las!” (Anônimo) Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 24 Montante de uma Renda Unitária Imediata (fator de montante) O Montante de uma renda unitária (por ex. R$1,00) imediata equivale à soma dos montantes dos depósitos / prestações unitárias, durante “n” períodos a uma taxa “i”. Calculando o montante de cada termo (onde C = 1), pela fórmula dos juros compostos, ou seja, Cn = C ( 1 + i ) n e, desenvolvendo para “n” termos à taxa “i” chegaremos à fórmula genérica : sn┐i i i n 1)1( −+ = Montante de uma série uniforme de Rendas Imediatas Seguindo o mesmo raciocínio (e forma de calcular) utilizado no Valor Atual, simplesmente multiplicamos o valor dos termos / prestações / depósitos pelo valor de sn┐i calculado pela fórmula acima, ou seja Sn┐i = T . sn┐i Exemplo : Calcular o Montante do exemplo anterior. Temos : T = 750 n = 15 i = 3,5 ÷ 100 sn┐i i i n 1)1( −+ = 035,0 1)035,01( 15 −+ = sn┐i = 19,29568088 Sn┐i = T . sn┐i Sn┐i = 750 x 19,29568088 = 14.471,76066 Sn┐i = 14.471,76 Obs.: 1. Os valores de sn┐i são encontrados em tabelas próprias nos livros de Matemática Financeira. Após identificá-lo basta multiplicar pelo valor do termo (T). 2. Para calcular o valor de sn┐i na HP 12C basta teclar : 1 CHS PMT 15 n 3,5 i FV Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos: Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 25 Sn┐i −+ = i iT n 1)1( . Para calcular toda a operação na HP 12C : 750 CHS PMT 15 n 3,5 i FV Montante das Rendas antecipadas Analogamente às Rendas imediatas calculamos o seu montante pela fórmula: s n┐i sT .= n┐i onde (nesta situação) s n┐i i ii n 1)1().1( −++= Juntando as duas expressões (fórmulas) teremos: Sn┐i −+ += i iiT n 1)1().1(. Para calcular a operação do exemplo anterior na HP 12C : 750 CHS PMT 15 n 3,5 i g BEG FV Rendas Perpétuas 1. Valor Atual (Séries Perpétuas postecipadas) A oo┐i i T = 2. Valor Atual (Séries Perpétuas Antecipadas) A oo┐i = i TT + Rendas Diferidas Obs: Podemos resolver as situações e/ou exercícios sobre séries/rendas diferidas, com os conhecimentos adquiridos até aqui, empregando juros ou descontos compostos para o período de carência e as demais fórmulas de séries uniformes para o(s) período(s) em que há o pagamento/recebimento das prestações. Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 26 Importante: Sobre o Capítulo de Séries Uniformes (assim como nos demais), é imprescindível aprofundar os estudos utilizando a bibliografia recomendada no Plano de Ensino. EXERCÍCIOS Obs: Os exercícios de 1 a 08 são transcritos e adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p.163). 01. Qual é o valor atual de uma renda imediata de quinze termos trimestrais de R$ 5.000,00 à taxa de 6% ao trimestre? 02. Um aparelho de televisão foi comprado com dez prestações mensais antecipadas de R$ 100,00. Sabendo-se que os juros são de 2% ao mês, qual foi o preço à vista do televisor? 03. Uma máquina foi comprada com uma entrada de R$ 2.000,00 e mais doze prestações trimestrais de R$ 800,00, diferidas de um ano. Se os juros foram de 8% ao trimestre, qual foi o preço à vista da máquina? 04. Uma pessoa deposita em uma instituição, no fim de cada trimestre, a quantia de R$ 6.000,00, durante três anos. Calcular o montante, considerando uma taxa de 24% ao ano. 05. Uma empresa deposita R$ 20.000,00 no início de cada semestre, a 20% ao ano, durante cinco anos. Qual será o montante? 06. Quanto se deve depositar no início de cada trimestre, a 20% ao ano, durante três anos, para, no fim de quatro anos, retirar o montante de R$ 100.000,00? 07. Qual é o valor atual de uma renda perpétua imediata mensal de R$ 540,00 à taxa de 3% ao mês? 08. Qual o termo trimestral antecipado, à taxa de 20% ao ano, de uma renda perpétua cujo valor atual é de R$ 2.500,00? 09. Calcular quanto uma pessoa deve depositar no início de cada mês em uma determinada aplicação a juros de 18% a.a. para ter ao final de 30 anos R$ 50.000,00. 10. Calcular a prestação mensal para amortizar um empréstimo de R$ 25.000,00 em 48 pagamentos com juros de 39% a.a. 11. Calcular o Valor Atual de uma renda mensal imediata de R$ 320,00 com 240 termos a 2,5% a.m. 12. Um trabalhador deposita mensalmente R$ 9,50 para sua aposentadoria. Calcular o montante destes depósitos após 25 anos considerando uma taxa de 21% a.a. 13. Uma pessoa deposita em um fundo de investimentos - no fim de cada semestre - a importância de R$ 6.500,00, durante 5 anos. Qual será o montante deste fundo, considerando uma taxa de 20% a.a.? 14. Quantouma pessoa deve depositar mensalmente em uma determinada conta para, no fim de 10 anos possuir R$ 120.000,00, considerando uma taxa de 16% a.a. ? 15. Um televisor foi comprado com dez prestações mensais (1 + 9) de R$ 134,00. Sabendo-se que os juros praticados na loja são de 5% a.m. calcular o preço à vista do aparelho e o montante destas prestações. Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 27 16. Uma concessionária de automóveis vende um veículo com uma entrada e mais 47 prestações mensais de R$ 680,00. Aceitando que a taxa de juros cobrada é de 2% a.m., calcular o valor do veículo (à vista) e também o montante que será pago por ele. 17. Qual o montante do salário mensal de R$ 4.600,00 de um determinado vereador se, capitalizado mensalmente, durante os quatro anos do mandato? (Considerar taxa de 6% a.a.). 18. Calcular o montante do salário mensal de R$ 14.200,00 (de um determinado Prefeito) , colocado em uma poupança durante os 4 anos do seu mandato a 6% a.a. capitalizado mensalmente. 19. Você vendeu um veículo e receberá por ele R$ 685,00 por mês, durante trinta e seis meses. Este valor deverá ser depositado integralmente (no dia do vencimento) em uma caderneta de poupança que rende 6% ao ano. Como você só vai retirar o dinheiro meio ano após o término dos pagamentos/depósitos, qual deverá ser o valor do montante nesta poupança? R: 27.763,76 20. Você está fazendo, por três anos e meio, uma aplicação financeira mensal imediata no valor de R$ 483,00 (cada uma). Calcular o valor do montante ao final de cinco anos, considerando uma taxa anual de dezenove porcento. R: 37.818,62 RESPOSTAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R$ 48.561,25 R$ 916,22 R$ 6.431,39 R$ 101.219,64 R$ 350.623,34 R$ 4.922,53 R$ 18.000,00 R$ 119,05 R$ 3,49 10 11 12 13 14 15 16 17 18 R$ 1.035,58 R$ 12.765,84 R$ 98.314,94 R$ 103.593,26 R$ 410,16 R$ 1.086,45 R$ 1.769,71 R$ 21.274,88 R$ 55.039,60 R$ 248.850,03 R$ 768.189,22 Recomenda-se a solução de mais exercícios disponibilizados no livro: FRANCISCO, W. de, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. “Não são as idéias bonitas que valem; o que valem são as ações práticas. Não fique parado de braços cruzados. Vá à luta”. Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 28 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS (renegociação de créditos/débitos, formação de fundos, etc) 1. Permuta de títulos Quando dois ou mais títulos tem vencimentos diferentes, eles são chamados de capitais diferidos. Já vimos que, em capitalização simples, estes títulos ou capitais são equivalentes se, descapitalizados para o seu valor de resgate (valor atual) os valores forem iguais. Ou seja: An = A’n ou PV = PV Já em capitalização composta, esta equivalência pode se dar a qualquer momento. Sob esta ótica ou conceito, dois ou mais títulos ou capitais podem ter a sua equivalência calculada tanto nos seus valores atuais como nos seus montantes ou em posições intermediárias do seu fluxo de caixa. Para tanto, estabelece-se o ponto focal da renegociação e projeta-se todo o fluxo de caixa para aquele momento, capitalizando ou descontando os valores. Exemplo: Um título de valor nominal igual a R$ 5.000,00 vencível em trinta dias pretende ser substituído por outro com vencimento para daqui a seis meses. Admitindo-se uma taxa de negociação de 3% a.m. e capitalização mensal, qual será o valor nominal do novo título? 1a. Solução – equivalência no momento “zero’”. A1 = A6 A1 5.000 Usando a fórmula do desconto composto real: | | | | | | | nn iNA −+= )1.( 0 1 2 3 4 5 6 A6 N A1 = 5.000 ( 1 + 0,03)- 1 A1 = 5.000 (0,970873786) A1 = 4.854,37 como A 1 = A6 4.854,37 = N.0,837484257 A6 = N ( 1 + 0,03)- 6 A6 = N .(0,837484257) N= 83748257,0 37,854.4 então N = 5.796,37 2a. Solução – equivalência no “momento focal seis”. C5 = C0 5.000 C5 Usando a fórmula de juros compostos: | | | | | | | n n iCC )1.( += 0 1 2 3 4 5 6 C0 N C5= 5.000 ( 1 + 0,03)5 C5 = 5.000 (1,159274074) C5 = 5.796,37 como C5 = C0 = N N = 5.796,37 3a. solução – equivalência no “momento focal três”. Usaremos as fórmulas do desconto composto real e dos juros, pois: A1 5.000 C2 C2 = A3 | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 A6 A3 N Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 29 C2= 5.000 ( 1 + 0,03) 2 C2 = 5.000 (1,0609) C2 = 5.304,50 como C2= A3 então 5.304,50= N.0,915141659 A3 = N ( 1 + 0,03) - 3 A3 = N .(0,915141659) N= 915141659,0 50,304.5 e, finalmente, N = 5.796,37 2. Formação de Fundos Exemplo Suponha que você queira assegurar que será possível pagar a faculdade da sua filha daqui a 14 anos. Você estima que o custo mensal será de aproximadamente R$ 500,00 por mês durante 4 anos. Suponha que ela resgatará este valor de uma caderneta de poupança no início de cada mês. a) Quanto você precisará depositar nessa conta quando ela começar a faculdade, se a conta paga 6% ao ano com capitalização mensal? PV = ? PMT = T = é R$ 500 | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...... 46 47 48 n: número de períodos de capitalização = 4 anos × 12 períodos por ano, portanto, n = 48 períodos. i: taxa de juros por período de capitalização; i é 6% ao ano ÷ 12 períodos por ano = 0,5% por período. PV = A n┐i = valor presente do capital = valor atual. PV é o valor a ser calculado — o valor presente no início das retiradas. PMT: valor do pagamento periódico. PMT = T = R$ 500. A n┐i aT .= n┐i onde (nesta situação) a n┐i ii i n n .)1( 1)1( 1−+ −+ = A n┐i + −+ = 005,0.)005,01( 1)005,01( .500 47 48 = 21.396,61 Na HP 12c basta teclar: 500 CHS PMT 6 g i g BEG 48 n PV b) Quanto você teria que depositar hoje (um único valor) para atender àquela situação? Esse é um exemplo de um cálculo de juros / descontos compostos associado a séries uniformes. PV = 21.396,61PMT = T = é R$ 500 C = An = PV | ( 14 anos = 168 meses) | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...... 46 47 48 n n iNA −+= )1.( e, 168)005,01.(61,396.21 −+=nA = 9.256,50 Na HP 12c, na seqüência do cálculo anterior: f FIN CHS FV 14 g n 6 g i PV c) Quanto você teria que depositar por mês para ter aquele mesmo fundo no início da faculdade de sua filha? Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 30 PMT = T = ? FV = PV = 21.396,61 PMT = T = é R$ 500 | | | | | | | -------( 14 anos = 168 meses) ---- | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ...... 46 47 48 Nesta situação o montante (FV) dos depósitos deverá ser o valor presente (PV) dos resgates/retiradas. Considerando que o primeiro depósito seria hoje, a série dos depósitos também será antecipada. Assim sendo, teremos: s n┐i sT .= n┐i onde (nesta situação de série antecipada) s n┐i i ii n 1)1().1( −++= + += 005,0 )005,01().005,01(.61,396.21 168 T onde T = 81,17 Na HP 12c, na seqüência do cálculo do item “a”: f FIN CHS FV 14 g n 6 g i PMT 3. “Alongamento” de dívidas Exemplo Uma empresa fez determinado negócio cujos pagamentos deverão ser quitados em doze parcelas mensais iguais e imediatas no valor de R$ 8.270,00. Após pagar quatro parcelas propõe que o restante da dívida seja diluída em vinte e quatro parcelas mensais iguais. Qual será o valor da nova parcela, considerando uma taxa de 24% a. a.? Lançando os valores em um fluxo de caixa teremos: PV = ? PMT = T = R$ 8.270,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 PMT = T = ? Inicialmente calcula-se o valor da dívida no “momento zero”: An┐i = T . an┐i onde an i = ii i n n .)1( 1)1( + −+ An┐i + −+ = 02,0.)02,01( 1)02,01( .270.8 8 8 = 60.581,73 Essa dívida será então calculada para ser paga em 24 parcelas mensais, ou seja: 60.581,73 + −+ = 02,0.)02,01( 1)02,01( . 24 24 T onde T = 3.203,02 Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 31 Na HP 12c, para efetuar todo o cálculo, teclar em seqüência: 8270 CHS PMT 24 g i g END 8 n PV f FIN CHS PV 24 n 24 g i PMT “Um bom líder não apenas reconhece as boas idéias, mas também assume riscos por seu time”. (Arthur Diniz) EXERCÍCIOS – EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS (RENEGOCIAÇÃO) Obs: Alguns dos exercícios abaixo (1 a 10) foram adaptados de: FRANCISCO, W. De, Matemática Financeira. 7a. ed. São Paulo: Atlas. 1994. (p.91, 92, 263 e 264). 1. Um título de valor nominal de R$ 1.000,00 com vencimento para dois anos será substituído por outro título para três anos. Calcular o valor nominal do novo titulo, empregando a taxa de 16% a.a. com capitalizações semestrais. 2. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 5.000,00 para ser pago no fim de três anos com juros de 18% a.a. capitalizados trimestralmente. Após algum tempo, o devedor propõe saldar a dívida com quatro pagamentos anuais iguais, realizáveis no fim do 2o., 3o., 4o. e 5 o anos, respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos. 3. Uma empresa toma R$ 2.000,00 emprestados por três anos com juros de 20% a.a. capitalizados bimestralmente. Um ano após, a empresa propõe pagar R$ 1.000,00 imediatamente e liquidar o saldo no fim de quatro anos a partir desta data. Calcular o valor do resgate. 4. Um empréstimo obtido com juros de 19% a.a. capitalizados mensalmente, deverá ser resgatado com dois pagamentos de R$ 3.200,00 realizáveis no fim de dois e quatro anos, respectivamente. Entretanto após um ano, o devedor propõe pagar R$ 2.500,00 imediatamente e saldar o débito com um único pagamento a realizar-se no fim de quatro anos, a partir desta data. Calcular o valor desse pagamento. 5. Uma empresa deve pagar três títulos R$ 1.000,00, exigíveis no fim do 1o., 2o. e 3o. anos respectivamente. Entretanto , a empresa pretende substituir os três títulos por um único de R$ 2.500,00. Calcular o prazo desse título empregando a taxa de 20% a.a. capitalizados semestralmente para essa transação. 6. Um empréstimo de R$ 8.700,00 deve ser pago no fim de três anos com juros de 12% a.a. capitalizados semestralmente. Entretanto o devedor porpõe pagar a dívida com três pagamentos anuais iguais, realizáveis no fim do 2o., 3o. e 5o anos respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos. 7.Uma empresa devedora de dois títulos de R$ 2.000,00 para o fim de dois e quatro anos, respectivamente, propõe resgatar a dívida com três pagamentos anuais iguais, realizáveis no fim do 2o., 3o. e 4o anos respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos, sabendo-se que a taxa do desconto real empregada nessa transação é de 20% a.a. capitalizados trimestralmente. 8. Uma empresa toma R$ 20.000,00 emprestados por cinco anos a 22% a.a. capitalizados semestralmente. Passados dois anos, a empresa resgata a dívida com desconto real de 20% a.a. capitalizados trimestralmente. Quanto pagou? Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 32 9. Uma empresa toma um empréstimo de R$ 30.000,00 por cinco anos a 20% a.a. capitalizados semestralmente. Após algum tempo, a empresa propõe resgatar a dívida com três pagamentos anuais iguais e antecipados. Calcular o valor desses pagamentos. 10. Uma pessoa toma um empréstimo de R$ 27.350,00 por três meses a 18% a.a., capitalizados mensalmente. Após alguns dias o devedor propõe saldar a dívida com quatro pagamentos mensais iguais, realizáveis no fim do 2o., 3o. 4o e 5 o mês respectivamente. Calcular o valor desses pagamentos. 11. Três títulos de R$ 10.000,00 cada, vencíveis em um, dois e três anos respectivamente, serão substituídos por um único título para quatro anos. Calcular o valor deste título empregando a taxa da transação de 12% a.a., capitalizados mensalmente. 12. Uma empresa contraiu um empréstimo por cinco anos com juros de 23% a.a. capitalizados semestralmente. Passados dois anos, a empresa propõe resgatar a dívida com três pagamentos anuais de R$ 20.000,00, realizáveis no fim do 3o., 4o. e 5o. anos. Calcular o valor do empréstimo. 13. Você tem o Fluxo de Caixa abaixo, onde “M” representa um valor monetário equivalente a R$ 1.000,00 e “MQ” representa um valor monetário equivalente a R$ 1.500,00. Transforme este fluxo em uma série uniforme antecipada (para o mesmo período), considerando uma taxa anual de juros igual a 17,55%. Qual será o valor da nova prestação? M MQ M MQ M MQ M MQ M MQ M MQ M � � � � � � � � � � � � � | | | | | | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (meses) 14. Uma máquina industrial cujo valor à vista está fixado em R$ 53.235,00 foi comprada por sua empresa com uma entrada de 20% e mais 24 prestações mensais iguais e antecipadas, diferidas de dezoitomeses com uma taxa anual de 27%. Após pagar nove parcelas (no dia em que pagou esta nona parcela) você decidiu renegociar a dívida. A proposta é pagar o saldo remanescente em quarenta e oito parcelas mensais iguais e postecipadas. Você ainda conseguiu reduzir a taxa para 16% a.a. Qual deverá ser o valor da nova parcela? 15. Você fez determinada compra em uma loja de material de construção de sua cidade e assumiu pagar seis prestações mensais iguais (sem entrada) no valor de R$ 1.234,56 (cada uma). Você paga a 1a, a 2ª e a 3ª no vencimento e, no dia em que pagou a terceira prestação, você renegocia a dívida restante em dezoito prestações mensais iguais e antecipadas. Qual será o valor de cada uma destas novas prestações, considerando que a loja cobra uma taxa anual de juros igual a 49%? 6. Um empréstimo de custeio agrícola no valor equivalente a vinte e cinco mil reais deveria ser pago após dez meses e foi obtido com uma taxa anual de juros igual a dezenove porcento, capitalizado mensalmente. A seca frustrou a safra e você renegociou a dívida (no vencimento) para ser quitada em oito pagamentos semestrais iguais. Qual será o valor de cada um destes pagamentos? 17. Você comprou um veículo nas seguintes condições: entrada de 50% e restante financiado em 48 parcelas mensais iguais e postecipadas de R$ 563,95. Após pagar quatro parcelas, no dia em que vencia a quinta parcela você propõe que a dívida restan te seja refinanciada em 24 parcelas mensais iguais e postecipadas. Considerando que nesta renegociação não haja a cobrança de nenhuma outra taxa, qual será o valor da nova parcela se o custo financeiro é de 2,78% a.m.? 18. Você está exercendo a função de gerente financeiro em uma grande loja de material de construção. À sua frente está um cliente propondo um plano de pagamentos para as suas compras. O valor total das compras é de R$ 23.530,00. A proposta do cliente é pagar sessenta prestações mensais uniformes postecipadas. A sua proposta é aceitar os sessenta pagamentos propostos, mas, acrescido de reforços trimestrais (sendo o primeiro hoje) no valor (cada um) equivalente a R$ 2.353,00 e que Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 33 ocorrerão durante o mesmo período de pagamento das prestações. A taxa anual que a loja pratica é igual a 42%. Qual será o valor da prestação neste Plano de pagamentos? 19. Você está exercendo a função de caixa de uma loja de eletroeletrônicos. À sua frente está um cliente renegociando um carnê de compras que está atrasado em três meses e a quarta prestação vence hoje. O valor de cada prestação é de R$ 63,75. A taxa anual que a loja pratica é igual sessenta porcento. Para prestações atrasadas há uma multa de 1,5% sobre o valor da prestação mais 1% a.m. de juros. Qual será o valor que cliente deve pagar? 20. Uma máquina industrial cujo valor à vista está fixado em R$ 15.235,00 foi comprada por sua empresa com uma entrada de 20% e mais 24 prestações mensais iguais e antecipadas, diferidas de doze meses com uma taxa anual de 17%. Qual será o valor da prestação? 21. Continuando a questão anterior: Após pagar nove parcelas (no dia em que pagou esta nona parcela) você decidiu renegociar a dívida. A proposta é pagar o saldo remanescente em quarenta parcelas mensais iguais e postecipadas. Você ainda conseguiu reduzir a taxa para 12% a.a. Qual deverá ser o valor da nova parcela? 22. Você tem cinco títulos (notas promissórias) com valor equivalente a R$ 839,45 (cada um) com vencimentos em 30, 60, 90, 120 e 150 dias respectivamente. A intenção é trocar estes títulos por um único de R$ 4.197,25. Qual será o prazo do novo título considerando que a taxa anual de juros nesta transação é igual a 49% e considerando capitalizações mensais? 23. Você tem uma loja de material de construção. À sua frente está um cliente propondo um plano de pagamentos para as suas compras. O valor total das compras é de R$ 23.530,00. A proposta do cliente é pagar sessenta prestações mensais uniformes postecipadas. A sua proposta é aceitar os sessenta pagamentos propostos, mas, acrescido de reforços trimestrais (sendo o primeiro hoje) no valor (cada um) equivalente a R$ 1.500,00 e que ocorrerão durante o mesmo período de pagamento das prestações. A taxa anual que a loja pratica é igual a 42%. Qual será o valor da prestação neste Plano de pagamentos? 24. Você está exercendo a função de caixa de uma loja de eletroeletrônicos. À sua frente está um cliente renegociando um carnê de compras que está atrasado em quatro meses e a quinta prestação vence hoje. O valor de cada prestação é de R$ 83,75. A taxa anual que a loja pratica é igual sessenta porcento. Para prestações atrasadas há uma multa de 2,5% sobre o valor da prestação mais 1,5% a.m. de juros. Qual será o valor que cliente deve pagar para deixar o seu carnê em dia? 25. Você tem em mãos um título de R$ 6.396,50 com vencimento para quatro meses. Como bom gerente financeiro você propõe que este título seja parcelado em seis pagamentos mensais com o primeiro vencimento para daqui a 60 dias. Qual será o valor de cada um destes pagamentos se a taxa da transação é de 12% ao semestre? RESPOSTAS 1 2 3 4 5 6 R$ 1.166,40 R$ 2.270,70 R$ 3.151,94 R$ 4.183,13 11 meses e 23 dias R$ 4.232,65 7 8 9 10 11 12 R$ 1.341,72 R$ 31.621,92 R$ 17.502,97 R$ 7.202,25 R$ 38.273,27 R$ 25.514,49 13 14 15 16 17 18 R$ 1230,71 R$ 1.208,37 R$ 261,37 R$ 5.460,11 R$ 842,41 R$ 103,42 19 20 21 22 23 24 25 R$ 261,72 R$ 703,45 R$ 287,69 2meses e 29 dias R$ 407,88 R$ 439,88 R$ 1.076,08 “Inovar a administração não é um projeto para seis meses. É uma busca persistente e permanente pelos melhores métodos para liberar e potencializar a capacidade humana”. (Gary Hamel) Sistemas de Informação - MATEMÁTICA FINANCEIRA – Beno Nicolau Bieger 34 MÉTODOS DE ANÁLISE DE INVESTIMENTOS RESUMORESUMORESUMORESUMO 1.1.1.1. Método do Payback Método do Payback Método do Payback Método do Payback –––– Por este método busca-se saber quanto tempo o projeto levará para devolver o dinheiro investido nele. 1.1.1.1.1.1.1.1. Payback Simples (PBS)Payback Simples (PBS)Payback Simples (PBS)Payback Simples (PBS) –––– Por este método, diminui-se os lucros líquidos a serem gerados pelo investimento do desembolso inicial, independente se for uma série uniforme ou não. O resultado será o número de períodos necessários para que “o Projeto devolva o valor ($) investido nele”. Ex.Ex.Ex.Ex.: Um investimento de $ 25.000,00 gerará retornos anuais de $ 5.000,00 durante 10 anos. Qual é o seu PBS? Vantagens:Vantagens:Vantagens:Vantagens: - Informação rápida praticamente sem cálculos. - Fornece uma idéia aproximada do prazo de recuperação do capital investido. DesvantDesvantDesvantDesvantagens:agens:agens:agens: - Não considerada o valor do dinheiro no tempo. - Não considerada o fluxo de caixa após o PB. 1.2.1.2.1.2.1.2. Payback Descontado (PBD) Payback Descontado (PBD) Payback Descontado (PBD) Payback Descontado (PBD) ---- Nesta variante do Payback, utiliza-se uma taxa de juros para descontar até o momento focal zero, os lucros líquidos de cada período previsto no investimento. Para fazer o cálculo pode-se utilizar qualquer taxa de interesse. Lapponi (1996, p.24) sugere que seja usada a taxa do custo do capital, ou seja, se o investimento for financiado, utiliza-se a taxa do financiamento. Casarotto (1998), considera este método como não exato e o chama de Payback Time. Zdanowicz sugere que deva ser usada a TMA, pelas suas características intrínsecas. A subtração dos valores descontados do investimento inicial fornece o número de períodos necessários para que “o investimento se pague”. Ex.Ex.Ex.Ex.: Um investimento de
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