Notas_de_Aulas_Resistencia1

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Centro Universitário de Belo Horizonte 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA - DCET 
ENGENHARIA DE ALIMENTOS 
Prof. Sinthya Gonçalves Tavares 
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 1 – Introdução – Revisão de Estática e Vigas Prismáticas 
 
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1. INTRODUÇÃO – REVISÃO DE ESTÁTICA 
 
1.1 – I NTRODUÇÃO 
 
• Objetivo do estudo da mecânica dos materiais ⇒ proporcionar ao futuro engenheiro os meios 
para analisar e projetar várias máquinas e estruturas de apoio de carga. 
• Tanto a análise quanto o projeto de uma dada estrutura envolvem a determinação das tensões e 
deformações. 
• Na construção mecânica, as peças componentes de uma determinada estrutura devem ter 
dimensões e proporções adequadas para suportarem esforços impostos sobre elas. Exemplos: 
 
 
 
Figura 1.1 – O eixo de transmissão de uma máquina deve ter dimensões adequadas 
para resistir ao torque a ser aplicado; b) A asa de um avião deve suportar às cargas aerodinâmicas 
que aparecem durante o vôo; c) As paredes de um reservatório de pressão 
deve ter resistência apropriada para suportar a pressão interna, etc. 
 
1.2 – CLASSE DE SOLICITAÇÕES 
 
• Quando um sistema de forças atua sobre um corpo, o efeito produzido é diferente segundo a 
direção e sentido e ponto de aplicação destas forças. Os efeitos provocados neste corpo podem 
ser classificados em: 
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Capítulo 1 – Introdução – Revisão de Estática e Vigas Prismáticas 
 
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→ esforços normais ou axiais ⇒ atuam no sentido do eixo de um corpo. Podem ser forças de 
tração, compressão e flexão. 
→ esforços transversais ⇒ atuam na direção perpendicular ao eixo de um corpo. Podem ser de 
cisalhamento e/ou torção. 
• Quando as forças agem para fora do corpo, tendendo a alongá-lo no sentido da sua linha de 
aplicação, a solicitação é chamada de TRAÇÃO; se as forças agem para dentro, tendendo a 
encurtá-lo no sentido da carga aplicada, a solicitação é chamada de COMPRESSÃO. 
 
Figura 1.2 – Pés da mesa submetidos à compressão; b) Cabo de sustentação submetido à tração. 
• A FLEXÃO é uma solicitação transversal em que o corpo sofre uma deformação que tende a 
modificar seu eixo longitudinal. 
 
Figura 1.3 – Viga submetida à flexão; 
• A solicitação de CISALHAMENTO é aquela que ocorre quando um corpo tende a resistir à 
ação de duas forças agindo próxima e paralelamente, mas em sentidos contrários. 
 
Figura 1.4 – Rebite submetido ao cisalhamento 
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Capítulo 1 – Introdução – Revisão de Estática e Vigas Prismáticas 
 
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• A TORÇÃO é um tipo de solicitação que tende a girar as seções de um corpo, uma em relação à 
outra. 
 
Figura 1.5 – Ponta de eixo submetida à torção 
 
• Um corpo é submetido a SOLICITAÇÕES COMPOSTAS quando atuam sobre eles duas ou 
mais solicitações simples. 
 
Figura 1.6 – Árvore de transmissão – Flexo-torção 
 
1.3 – REVISÃO DE ESTÁTICA 
 
• Força é uma grandeza vetorial que necessita para sua definição, além da intensidade, da direção, 
e do sentido, o ponto de aplicação. 
 
Figura 1.7 – Representação de um vetor de força 
• As forças mais conhecidas são os pesos, que tem sempre sentido vertical para baixo, como por 
exemplo, o peso próprio de uma viga, ou o peso de uma laje sobre esta mesma viga. 
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Capítulo 1 – Introdução – Revisão de Estática e Vigas Prismáticas 
 
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• As forças podem ser classificadas em concentradas e distribuídas. 
• No sistema internacional (SI) as forças concentradas são expressas em Newton [N]. As forças 
distribuídas ao longo de um comprimento são expressas com as unidades de força pelo 
comprimento [N/m], [N/cm], [N/mm],etc. 
• Duas ou mais forças constituem um sistema de forças, sendo que cada uma delas é chamada de 
componente. Todo sistema de forças pode ser substituído por uma única força chamada 
resultante, que produz o mesmo efeito das componentes. 
• Sendo dada uma força F num plano “xy”, é possível decompô-la em duas outras forças Fx e Fy , 
como no exemplo abaixo: 
 
Figura 1.8 – Forças atuando em um plano “xy” 
onde: α= F.cos Fx e α= F.sen Fy 
• Momento da força ⇒ é a medida da eficiência de uma força no que se refere à tendência de fazer 
um corpo girar em relação a um ponto fixo. 
• Seja F uma força constante aplicada em um corpo, d a distância entre o ponto de aplicação desta 
força e um ponto qualquer P. Por definição, o momento “M” realizado pela força F em relação 
ao ponto P é dado pelo seguinte produto vetorial: 
 
Figura 1.9 – Representação gráfica do momento de uma força 
onde: α= sen F.d. MP 
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Capítulo 1 – Introdução – Revisão de Estática e Vigas Prismáticas 
 
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• Equilíbrio estático ⇒ considera-se que um corpo está em equilíbrio estático quando o somatório 
das forças atuantes e o somatório dos momentos em relação a um ponto qualquer sejam nulos. 
1.4 – VIGAS PRISMÁTICAS 
• Vigas ⇒ elementos estruturais que suportam forças aplicadas em vários pontos ao longo do 
elemento. 
• Outra definição de vigas ⇒ estrutura linear que trabalha em posição horizontal ou inclinada, 
assentada em um ou mais apoios e que tem a função de suportar os carregamentos normais à sua 
direção (se a direção da viga é horizontal, os carregamentos são verticais). 
• As cargas dispostas verticalmente resultam em esforços de cisalhamento e flexão. Quando cargas 
não verticais são aplicadas a estrutura, surgirão forças axiais, o que tornará mais complexa a 
análise estrutural. 
 
Figura 1.10 – Viga prismática 
• Quanto ao carregamento, uma viga pode estar submetida a cargas concentradas, a cargas 
distribuídas ou a combinação de ambas. 
(a) (b)
 (c) 
Figura 1.11 – Viga submetida à (a) cargas concentradas (b) carga distribuída uniforme 
(c) cargas distribuídas não uniformes 
• As vigas são classificadas de acordo com a maneira como são vinculadas ou apoiadas. 
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Capítulo 1 – Introdução – Revisão de Estática e Vigas Prismáticas 
 
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• Apoios ou vínculos ⇒ componentes ou partes de uma mesma peça que impedem o movimento 
em uma ou mais direções. A Figura 1.12 mostra alguns tipos de vigas, classificadas de acordo 
com o vínculo. 
 
Figura 1.12 – Tipos de apoios em vigas 
• As cargas externas aplicadas sobre as vigas exercem esforços sobre os apoios, que por sua vez 
produzem reações para que seja estabelecido o equilíbrio do sistema. Portanto, estas reações 
devem ser iguais e de sentido oposto às cargas aplicadas. 
• Já os apoios são classificados de acordo com o grau de liberdade, ou seja, os movimentos que 
permitem. Desta forma temos: 
Tabela 1.1 – Graus de liberdade e reações nos apoios de vigas 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 1 – Introdução – Revisão de Estática e Vigas Prismáticas 
 
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 Exercícios – Capítulo 1 
1) A luminária de 80 kg é suportada por duas hastes AB e BC como mostra a figura abaixo. 
Determinara a forçaatuando em cada haste. Considere que o ângulo entre a haste BC e a 
abscissa de um plano xy que tem a sua origem em 
B é igual a 37o. 
 
 RESPOSTA: FAB = 644 N; FBC = 402,5 N 
 
 
 
 
 
2) Determine as reações nos apoios das vigas mostradas. 
(a) 
 
(b) 
 
 
3) Para a viga e o carregamento mostrado nas figuras, determine as reações nos apoios e momento 
fletor no ponto C. 
 (a) 
 
(b) 
 
 
 
 
4) Para as vigas e carregamentos apresentados determine as reações nos apoios e momento fletor 
que atua no ponto especificado para cada caso. 
 
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 1 – Introdução – Revisão de Estática e Vigas Prismáticas 
 
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 (a) Momento fletor em x = a (ponto B) 
 
RESPOSTA: RA = Pb/L; 
 RC = Pa/L; 
 MB = Pba/L 
 (b) Momento fletor em x = L/2 
 
RESPOSTA: RA = wL/2; 
 RB = wL/2; 
 ML/2 = wL2/8 
 (c) Momento fletor em x = L/2 
 
RESPOSTA: RA = ½ w(L – 2a); 
 RD = ½ w (L – 2a); 
 ML/2 = w (L2/8 – a2/2) 
 (d) Momento fletor em x = L/2 
 
RESPOSTA: RA = wa; 
 RD = wa; 
 ML/2 = wa2/2 
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 2 – Forças e Tensões 
 
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2. FORÇAS E TENSÕES 
 
2.1 – CONCEITO DE TENSÃO 
• Os resultados obtidos no capítulo anterior, embora necessários a uma primeira análise da 
estrutura, não dizem se cada um dos componentes vai suportar a carga à qual está submetido. 
• Tensão ⇒ resultado da ação de cargas externas sobre uma unidade de área da seção transversal 
analisada na peça, componente mecânico ou estrutural submetido a solicitações mecânicas, ou 
seja: 
A
P
 =σ
 
onde σ = tensão 
P = carga axial à qual a estrutura está submetida 
 A = área da seção transversal do componente 
• Por convenção, será utilizado sinal positivo para indicar uma tensão de tração e sinal negativo 
para indicar tensão de compressão. 
• A Unidade de tensão (σ) no SI é o Pascal (Pa). Porém, considerando-se que o Pascal é um valor 
extremamente pequeno, na pratica deverão ser usados múltiplos desta unidade. Lembramos que: 
1 kPa = 103 Pa = 103 N/m2 
1 MPa = 106 Pa = 106 N/m2 
1 GPa = 109 Pa = 109 N/m2 
• Observação: em unidades inglesas, a carga P, geralmente, é expressa em libras (lb) ou quilolibras 
(kip), e a área da seção transversal A em polegadas quadradas (in2). A tensão (σ) será então 
expressa em libras por polegada quadrada (psi) ou quilolibras por polegada quadrada (ksi). 
2.2 – TENSÃO ADMISSÍVEL E TENSÃO ÚLTIMA – COEFICIENTE DE SEGURANÇA 
• Em aplicações de engenharia, a determinação das tensões é utilizada pelos profissionais tanto na 
avaliação de estruturas e máquinas já existentes, com o objetivo de prever seu comportamento 
quando submetida à determinada solicitação, quanto no projeto de estruturas e máquinas novas 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 2 – Forças e Tensões 
 
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que executarão determinada função. Tudo isto, levando-se sempre em consideração fatores de 
economia e de segurança. 
• Seja em projetos novos, quanto na análise de estruturas já existentes, um elemento importante a 
ser levado em consideração é como o material selecionado se comportará sob um carregamento. 
• Carga limite ⇒ máxima força que pode ser aplicada em um corpo de prova sem que o mesmo se 
rompa ou apresente perda de resistência, suportando forças menores. 
• Tensão última ⇒ máxima tensão que pode ser aplicada em um corpo de prova sem que o mesmo 
se rompa ou apresente perda de resistência. Também conhecida como limite de resistência. É 
expressa por: 
A
P
 
u
u =σ 
onde: σu = Tensão última à tração 
Pu = carga axial limite 
 A = área da seção transversal do corpo de prova 
• Qualquer elemento estrutural ou componente deve ser projetado de forma que a sua carga limite 
seja sempre consideravelmente superior à carga que este elemento ou componente estará sujeito 
em condições normais de funcionamento. 
• Carga admissível (carga de trabalho, carga de projeto) ⇒ máxima carga que pode ser aplicada 
em um elemento estrutural ou componente quando em funcionamento normal. É sempre menor 
que a carga limite. 
• Tensão admissível ⇒ máxima tensão que pode ser aplicada em um elemento estrutural ou 
componente quando em funcionamento normal. É sempre menor que a tensão última. 
• Coeficiente de segurança ⇒ relação entre a carga limite (ou tensão última) e a carga admissível 
(ou tensão admissível). 
admissível carga
limite carga
 S . C = 
admissível tensão
útlima tensão
 S . C =
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 2 – Forças e Tensões 
 
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• A seleção do coeficiente de segurança a ser usado para várias aplicações é uma das mais 
importantes tarefas da engenharia. Por isto deve sempre ser feito por profissionais com certa 
experiência em projetos, levando-se em consideração fatores como: as variações que podem 
ocorrer nas propriedades do elemento, o número de cargas que podem ser esperadas durante a 
vida da estrutura ou máquina, o tipo de carregamento planejado no projeto e prováveis mudanças 
futuras, o tipo de falha que pode ocorrer, a incerteza do método de análise, a deterioração que 
pode ocorrer durante a vida útil do componente (incluindo falta de manutenção), a importância 
do elemento para a integridade de toda a estrutura, etc. 
2.3 – FORÇA AXIAL E TENSÃO NORMAL 
• Força axial ⇒ força que atua ao longo do eixo da estrutura ou componente analisado. Quando 
um componente está sujeito a uma força axial, dizemos que está sob carga axial. 
• Tensão normal ⇒ tensão resultante de uma força axial atuando sob a área da seção transversal de 
uma estrutura ou componente. 
 
Figura 2.1 – Força axial e tensão normal 
• Apesar de sabermos que a tensão obtida em cada ponto da área da seção transversal é diferente, 
na prática consideraremos que a distribuição das tensões normais em uma componente sob carga 
axial é uniforme (exceto nas vizinhanças imediatas dos pontos de aplicação das cargas). 
• Porém, é importante ressaltar que uma distribuição uniforme da tensão é possível somente se a 
linha de ação das cargas concentradas passarem através do centróide da seção considerada. Esse 
tipo de carregamento é chamado de carga centrada. Consideraremos que ele ocorre em todos os 
elementos de barra retos encontrados em treliças e estruturas conectadas por pinos. 
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 2 – Forças e Tensões 
 
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Figura 2.2 – Variação das tensões na seção transversal de uma barra 
 
 
 
Figura 2.3 – Carga centrada 
• Se um elemento de barra estiver carregado axialmente, mas excentricamente, percebemos, pelas 
condições de equilíbrio, que as forças internas em uma dada seção devem ser equivalentes a uma 
força P aplicada no centróide da seção e um conjugado M, cuja intensidade é dada pelo 
momento M = P.d. Neste caso, a distribuição das forças, bem como a distribuição 
correspondente das tensões, não pode ser uniforme. 
 
Figura 2.4 – Elemento com carregamento excêntrico 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 2 – Forças e Tensões 
 
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2.4 – TENSÃO DE CISALHAMENTO 
• Força de cisalhamento ⇒ força que atua transversalmente ao eixo da estrutura ou componente 
analisado, onde a intensidade P de sua resultante é a força cortante na seção. 
 
Figura 2.5 – Força de cisalhamento 
• Tensão média de cisalhamento ⇒ obtida dividindo-se a força cortante P pela área A da seção 
transversal. 
A
P
 média =τ 
 
onde: τ = Tensão média de cisalhamento 
P
 
= força cortante 
 A = área da seção transversal 
• O valor obtido para a tensão de cisalhamento é um valor médio sobre a seção toda. 
• Tensões de cisalhamento são encontradas comumente em parafusos, pinos e rebites, usados para 
conectar componentes estruturais e de máquinas. Podem estar sujeitos a tensões de cisalhamento 
simples ou duplo. 
 
A
F
A
P
 média ==τ 
Figura 2.6 – Parafuso submetido à tensão de cisalhamento simples 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 2 – Forças e Tensões 
 
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A2
F
A
F/2
A
P
 média ===τ 
 
Figura 2.7 – Parafusos submetidos à tensão de cisalhamento duplo 
2.5 – TENSÃO DE ESMAGAMENTO EM CONEXÕES 
• Parafusos, pinos e rebites criam tensões nos componentes aos quais eles se conectam, ao longo 
da superfície de esmagamento. 
 
d.t
P
A
P
 e ==σ 
 
Figura 2.8 – Tensão de esmagamento em conexões 
• Tensão de esmagamento ⇒ obtida dividindo-se a carga P pela área do retângulo que representa a 
projeção do parafuso sobre a seção da placa 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 2 – Forças e Tensões 
 
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Exercícios – Capítulo 2 
1) O elemento mostrado abaixo está submetido a uma força vertical de 3 kN. Determinar a posição 
x de aplicação da força (distância entre a aplicação 
da força e o ponto A) de modo que a tensão na 
barra AB seja a mesma tensão sofrida pelo apoio C 
(ou seja, σAB= σC). A haste tem uma seção 
transversal de 400 mm2, e a área de contato em C é 
de 650 mm2. 
 RESPOSTA: 124 mm 
2) A barra rígida AB mostrada na figura abaixo é suportada por um bloco de alumínio, que tem 
área da seção transversal de 1.800 m2, e por uma haste de aço AC que tem diâmetro de 20 mm. 
Os pinos de 18 mm em A e C estão submetidos a cisalhamento simples. Considerando a tensão 
última do aço igual a: (σu,aço = 680 MPa); a tensão última do 
alumínio igual a: (σu,al = 70 MPa) e a tensão de cisalhamento 
última de cada pino igual a: (σu, pinos = 900 MPa), determinar 
a maior carga P que pode ser aplicada à barra, se o fator de 
segurança para todo o projeto for igual a 2. 
 RESPOSTA: 168 kN 
 
3) No suporte mostrado na figura, a parte superior do membro ABC tem 9,5 mm de espessura e as 
partes inferiores tem 6,4 mm de espessura cada uma. É usada 
resina epóxi para unir as partes superior e inferior em B. O pino 
A tem 9,5 mm de diâmetro e o pino usado em C tem 6,4 mm de 
diâmetro. Determine (a) a tensão de cisalhamento no pino A 
(b) a tensão de cisalhamento no pino C, (c) a maior tensão 
normal no membro ABC, (d) a tensão de cisalhamento média 
nas superfícies coladas em B, (e) a tensão de esmagamento no 
membro em C. 
 
 
 
RESPOSTA: (a) 47,2 MPa; (b) 52,0 MPa; (c) 17,2 MPa; d) 1,24 MPa; (e) 40,8 MPa 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 2 – Forças e Tensões 
 
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4) São aplicadas duas forças ao suporte BCD mostrado na figura. (a) Sabendo que a barra de 
controle AB deve ser feita de aço tendo um limite de tensão normal de 600 MPa, determine o 
diâmetro da barra para o qual o coeficiente de segurança com relação à falha seja igual a 3,3. 
(b) O pino em C deve ser feito de aço com um limite 
de tensão de cisalhamento 350 MPa. Determine o 
diâmetro do pino C para o qual o coeficiente de 
segurança com relação ao cisalhamento seja também 
igual a 3,3. (c) Determine a espessura necessária para 
as barras de apoio em C sabendo que a tensão de 
esmagamento admissível do aço utilizado é 300 MPa. 
RESPOSTA: (a) 16,74 mm; (b) 22 mm; (c) 6 mm 
5) A viga rígida BCD está presa por parafusos a uma barra de controle em B, a um cilindro 
hidráulico em C e a um suporte fixo em D. Os diâmetros dos parafusos são: dB = dD = 9,5 mm, 
dC = 12,7 mm. Cada parafuso age sob cisalhamento duplo e é feito de um aço para o qual o 
limite de tensão de cisalhamento é τu = 275 MPa. A barra de 
controle AB tem um diâmetro dA = 11 mm e é feita de um 
aço para o qual o limite da tensão de tração é σu = 414MPa. 
Se o coeficiente de segurança mínimo deve ser 3,0 para toda 
a estrutura, determine a maior força ascendente que pode ser 
aplicada pelo cilíndrico hidráulico em C. 
 
 RESPOSTA: 22,75 kN 
 
6) Duas barras cilíndricas cheias AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a um 
carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que d1 = 50 mm e 
d2 = 30 mm, calcule a tensão normal no ponto média da (a) barra AB, (b) 
barra BC. 
 RESPOSTA: (a) 35,7 MPa; (b) 42,4 MPa 
 
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 2 – Forças e Tensões 
 
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7) Considerando a mesma barra do exercício 6 e que a tensão normal média não pode exceder 
140 MPa em nenhuma das duas barras, determine os menores valores admissíveis de d1 e d2. 
 RESPOSTA: d1 = 25,2 mm d2 = 16,52 mm 
8) Cada uma das quatro barras verticais da figura tem uma seção transversal uniforme e retangular 
de 8 x 36 mm e cada um dos pinos têm um diâmetro de 16 mm. 
Determine o valor máximo da tensão normal média nos vínculos 
que conectam (a) os ponto B e D, (b) os pontos C e E. 
 RESPOSTA: (a) 101,6 MPa; (b) – 21,7 MPa 
 
 
9) Para a montagem e carregamento do exercício 8 determine (a) a tensão de cisalhamento média 
no pino B, (b) a tensão de esmagamento média em B no componente BD, (c) a tensão de 
esmagamento média em B no componente ABC, sabendo que essa componente tem uma seção 
transversal retangular uniforme medindo 10 x 50 mm. 
RESPOSTA: (a) 80,8 MPa; (b) 127,0 MPa; (c) 203 MPa 
10) Duas forças horizontais de 22 kN são aplicadas ao pino B do conjunto mostrado na figura. 
Sabendo que é usado um pino de 20 mm de diâmetro em cada 
conexão, determine o valor máximo da tensão normal média (a) 
na barra AB, (b) na barra BC. 
 RESPOSTA: (a) 102,5 MPa; (b) – 69,7 MPa 
 
 
11) Os componentes de madeira A e B devem ser unidas por cobrejuntas de madeira compensada 
que serão totalmente coladas às superfícies em contato. Como parte do projeto da junção, e 
sabendo que a folga entre as extremidades das componentes deve ser de 6,4 mm, determine o 
comprimento mínimo permitido para que a tensão de cisalhamento na cola não exceda 0,8 MPa. 
 RESPOSTA: 308 mm 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 2 – Forças e Tensões 
 
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12) A força axial na coluna que suporta a viga de madeira mostrada na figura é P = 75 kN. 
Determine o menor comprimento L admissível para a chapa 
de contato para que a tensão de contato na madeira não exceda 
3,0 MPa. 
 
 
 
13) A barra AC é feita de um aço com um limite de tensão normal igual a 450 MPa e tem um seção 
transversal retangular uniforme de 6,4 x 12,7 mm. Ela está conectada a um suporte em A e à 
componente BCD em C por pinos com diâmetro de 
7,5 mm. A componente BCD está conectada a seu 
suporteem B por um pino com diâmetro de 8,5 mm. 
Todos os pinos são feitos de um aço com um limite de 
tensão de cisalhamento igual a 172 MPa e sofrem 
cisalhamento simples. Sabendo que se deseja um 
coeficiente de segurança de 2,8, determine a maior 
carga P que pode ser aplicada em D. 
14) Duas barras cilíndricas cheias AB e BC são soldadas uma à outra em B e submetidas a um 
carregamento conforme mostra a figura. 
Determine a tensão normal média no ponto 
médio da barra AB e da barra BC. 
 
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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3. TENSÃO E DEFORMAÇÃO – CARREGAMENTO AXIAL 
 
• Outro aspecto importante da análise e projeto de estruturas relaciona-se com as deformações 
produzidas pelas cargas aplicadas. 
• Nem sempre é possível determinar as forças nos componentes de uma estrutura aplicando 
somente os princípios da estática; isto porque a estática é baseada na hipótese de estruturas 
rígidas e indeformáveis. 
• Considerando as estruturas de engenharia deformáveis e analisando as deformações em seus 
vários componentes, poderemos determinar as forças estaticamente indeterminadas. 
3.1 – DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA NORMAL 
• Vamos considerar a barra BC, de comprimento L e com seção transversal uniforme de área A, 
que está suspensa em B. Se aplicarmos, gradativamente, uma força P à extremidade C, a barra se 
alonga. Com os dados deste ensaio, pode-se gerar o gráfico da força (P) pela deformação (δδδδ). 
 
 
Figura 3.1 – Deformação em uma barra de seção transversal uniforme – gráfico P x δ 
• Embora o gráfico P x δ mostrado na Figura 3.1 contenha informações sobre a barra estudada, ele 
não pode ser utilizado para prever o comportamento de uma barra de mesmo material, mas de 
diâmetro diferente, conforme mostrado na Figura 3.2. 
• Porém, em todos os casos a relação entre deformação e comprimento da barra é a mesma; ela é 
igual a δδδδ/L. 
• Deformação específica normal ⇒ é a deformação por unidade de comprimento de uma barra sob 
carregamento axial. Podemos escrever, então: 
L
 
δ
=ε
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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Figura 3.2 – Deformação em barras de seção transversal uniforme 
Exemplo 3.1: Considere uma barra de comprimento L = 0,600 m, com seção transversal uniforme, 
que sofre uma deformação δ = 150 x 10-6 m. Determine a deformação específica correspondente. 
 
 
 
Exemplo 3.2: Se usarmos unidades inglesas no exemplo 3.1, o comprimento da barra será 23,6 pol 
e a deformação 5,91 x 10-3 pol. Determine a deformação específica correspondente. 
 
 
 
• Construindo o gráfico da tensão, σ = P/A em função da deformação específica, ε = δ/L, obtemos 
a curva característica das propriedades do material, não dependente das dimensões do corpo de 
prova utilizado. Esta curva é chamada de diagrama tensão-deformação. 
3.2 – DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO 
• Para se obter o diagrama tensão-deformação de um material, geralmente se executa um ensaio 
de tração em um corpo de prova do material. A Figura 3.3 apresenta um tipo de corpo de prova 
usado comumente. 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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Figura 3.3 – Corpo de prova típico 
• A área da seção transversal da parte central cilíndrica foi determinada com precisão e foram 
feiras duas marcas de referência naquela parte, a uma distância L0 uma da outra (comprimento de 
referência do corpo de prova). O corpo de prova é então colocado em uma máquina de teste 
usada para aplicar uma carga centrada P. 
 
Figura 3.4 – Máquina de prova 
• À medida que a carga P aumenta, a distância L entre as duas marcas de referência também 
aumenta. Mede-se então, com o extensômetro, o alongamento (δδδδ = L – L0) para cada valor de P. 
• Para cada par de leitura (P e δ), é calculada a tensão, σ, tendo como referência a área original da 
seção transversal do corpo de prova, A0. A deformação específica, ε, é obtida dividindo-se o 
alongamento, δ, pela distância original L0. Obtêm-se, então, o diagrama tensão-deformação. 
• A Figura 3.5 apresenta os principais pontos e áreas representados em um diagrama tensão-
deformação. 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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Figura 3.5 – Pontos importantes do diagrama tensão-deformação 
• Se as deformações específicas provocadas em um corpo de prova pela aplicação de uma dada 
força desaparecem quando a força é removida, dizemos que o material se comporta 
elasticamente. 
• Limite elástico do material ⇒ o maior valor da tensão para o qual o material se comporta 
elasticamente. 
• Se o limite de escoamento for atingido, quando a força for removida, a tensão e a deformação 
diminuem, porém o material não volta às condições iniciais (ε não retorna à zero). Isto significa 
que as deformações no material foram permanentes, ou seja, o material sofreu deformação 
plástica. 
• A parte da deformação plástica que não depende da tensão é conhecida como escoamento. O 
escoamento caracteriza-se por uma deformação permanente do material sem que haja aumento 
de carga, mas com aumento da velocidade de deformação. Durante o escoamento a carga oscila 
entre valores muito próximos uns dos outros. 
• Após o escoamento ocorre o encruamento, que é um endurecimento causado pela quebra dos 
grãos que compõem o material quando deformados a frio. O material resiste cada vez mais à 
tração externa, exigindo uma tensão cada vez maior para se deformar. Nessa fase, a tensão 
recomeça a subir, até atingir um valor máximo num ponto chamado de limite de resistência. 
• Continuando a tração, chega-se à ruptura do material, que ocorre num ponto chamado limite de 
ruptura. Note que a tensão no limite de ruptura é menor que no limite de resistência, devido à 
diminuição da área que ocorre no corpo de prova depois que se atinge a carga máxima. 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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23 
3.3 – LEI DE HOOKE – MÓDULO DE ELASTICIDADE 
• Muitas estruturas de engenharia são projetadas para sofrer deformações relativamente pequenas, 
envolvendo somente a parte reta do diagrama tensão-deformação específica. Para esta parte 
inicial do diagrama, a tensão σ é diretamente proporcional à deformação específica ε e podemos 
escrever: 
ε=σ .E ⇒ Lei de Hooke 
onde: E = módulo de elasticidade do material envolvido – Módulo de Young 
• Como a deformação específica, ε, é uma quantidade adimensional, o módulo de Young é 
expresso nas mesmas unidades de tensão. 
• Tensão de proporcionalidade ⇒ valor máximo da tensão, abaixo do qual o material obedece a lei 
de Hooke. 
• Para cada um dos materiais considerados até agora, a relação entre a tensão normal e deformação 
específica normal, σ=E.ε, é independente da direção de carregamento. Isso porque as 
propriedades mecânicas de cada material, incluindo o módulo de Young, E, são independentes 
da direção considerada. 
• Materiais isotrópicos ⇒ materiais cujas propriedades independem da direção considerada. 
• Materiais anisotrópicos ⇒ materiais cujas propriedades dependem da direção considerada. 
3.4 – CARREGAMENTOSREPETIDOS – FADIGA 
• Nas seções anteriores vimos que se a tensão máxima no corpo não exceder o limite elástico do 
material, o corpo de prova retornará à sua condição inicial quando a carga for removida. 
• Porém, quando a carga é repetida milhares ou milhões de vezes poderá ocorrer a ruptura do 
material a uma tensão muito mais baixa do que a resistência à ruptura estática. Esse fenômeno é 
conhecido com fadiga. 
• A fadiga deve ser levada em conta no projeto de todos os componentes estruturais e de máquinas 
que estão submetidos a cargas repetidas ou flutuantes. Lembrando-se ainda que o número de 
ciclos de carregamento que se pode esperar durante a vida útil de um componente varia 
grandemente. 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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• O numero de ciclos de carregamento necessários para provocar a falha de um corpo de prova 
através da aplicação de cargas cíclicas pode ser determinado experimentalmente para um dado 
nível de tensão máxima. 
• Como resultados destes ensaios obtêm-se uma curva de tensão máxima, σ, pelo número de 
ciclos, n, que a estrutura/material suporta. 
 
Figura 3.6 – Limite de resistência à fadiga 
• Limite de resistência à fadiga ⇒ tensão para a qual não ocorre falha, mesma para um número 
indefinidamente grande de ciclos de carregamento. 
3.5 – DEFORMAÇÕES DE COMPONENTES SOB CARREGAMENTO AXIAL 
• Considere a barra homogênea BC de comprimento L e seção transversal uniforme A submetida a 
uma força axial concentrada P. 
 
Figura 3.7 – Deformações de componentes sob carregamento axial 
• Se a tensão resultante, σ=P/A, não ultrapassar o limite de proporcionalidade do material, 
podemos aplicara lei de Hooke e escrever: 
ε=σ .E 
da qual segue-se que: 
AE
P
E
=
σ
=ε
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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Lembrando que a deformação, ε, foi definida como ε = δ/L, temos: 
L . ε=δ 
Daí: 
E.A
L.P
=δ
 
• Observação: a equação acima só pode ser usada se a barra for homogênea, se tiver seção 
uniforme de área A e se tiver força aplicada em suas extremidades. 
• Para o caso de barras carregadas em outros pontos que não em suas extremidades ou se ela 
consistir em diversas partes, com várias seções transversais e/ou de diferentes materiais, 
precisamos dividi-la em partes componentes que satisfaçam individualmente às condições 
necessárias para a aplicação da equação descrita acima. Nestes casos, a deformação da barra 
inteira pode ser expressa como: 
∑=δ
i ii
ii
E.A
L.P
 
onde: Pi = força interna correspondente à parte i 
Li = comprimento da parte i 
Ai = área da seção transversal da parte i 
Ei = módulo de elasticidade (módulo de Young) da parte i 
Exemplo 3.3: Determine a deformação da varra de aço mostrada abaixo, submetida às forças dadas. 
O módulo de Young do material é igual a 200 GPa. 
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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3.6 – PROBLEMAS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS 
• Nos problemas considerados até agora, sempre podíamos usar diagramas de corpo livre e 
equações de equilíbrio para determinar as forças internas produzidas nas várias partes de um 
componente sob certas condições de carregamento. 
• No entanto, existem problemas em que as forças internas não podem ser determinadas apenas 
por meio da estática. Nestes casos as equações de equilíbrio devem ser complementadas por 
relações envolvendo as deformações obtidas, considerando a geometria do problema. Dizemos 
que os problemas deste tipo são estaticamente indeterminados. 
Exemplo 3.4: Uma barra de comprimento L, seção transversal A1, e módulo de elasticidade E1, foi 
colocada dentro de um tubo do mesmo comprimento L, mas de seção transversal A2 e módulo de 
elasticidade E2. Qual a deformação da barra e do tubo quando uma força P é aplicada em uma placa 
lateral rígida como mostra a figura? 
 
 
 
• Uma estrutura é estaticamente indeterminada se ela é vinculada por mais suportes do que aqueles 
necessários para manter seu equilíbrio. Isto resulta em mais reações desconhecidas do que 
equações de equilíbrio disponíveis. 
• Muitas vezes é conveniente designar uma das reações como redundante e eliminar o suporte 
correspondente. Porém, como as condições estabelecidas no problema não podem ser alteradas 
arbitrariamente, a reação redundante deve ser mantida na solução (mas tratada como força 
desconhecida). 
• Nestes casos, a solução do problema é obtida considerando-se separadamente as deformações 
provocadas pelas forças e pela reação redundante e somando ou superpondo os resultados 
obtidos. 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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Exemplo 3.5: Seja a barra de aço presa em ambas as extremidades por apoios fixos, conforme a 
figura abaixo, submetida ao carregamento indicado. Determine o valor das reações nestes apoios. 
 
 
 
3.7 – PROBLEMAS ENVOLVENDO MUDANÇAS DE TEMPERATURA 
• Consideremos uma barra homogênea AB de seção transversal uniforme, que se apóia livremente 
em uma superfície horizontal livre, submetida à variação de temperatura ∆T. 
 
Figura 3.8 – Barra sujeita a variação de temperatura 
• Se a temperatura da barra for aumentada de ∆T, observamos que a barra se alonga de δT, que é 
proporcional à variação de temperatura ∆T e ao comprimento L da barra. Daí temos: 
L T)( T ∆α=δ 
onde: α = é o coeficiente de dilatação térmica do material 
• A deformação específica causada pela variação de temperatura, εT, é conhecida como a 
deformação específica térmica, dada por: 
 T)( T ∆α=ε 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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• Consideremos a mesma barra homogênea AB de seção transversal uniforme, porém agora 
colocada entre dois apoios fixos a uma distância L. Novamente a barra é submetida à variação de 
temperatura ∆T. 
 
Figura 3.9 – Barra engastada sujeita a variação de temperatura 
• Se a temperatura da barra for aumentada de ∆T, a barra não pode se alongar devido às restrições 
impostas nas extremidades; A deformação δT será, então, igual a zero, assim como a sua 
deformação específica, εT. 
• Por outro lado, os apoios exercerão forças iguais e opostas P e P’ na barra. Concluímos então 
que é criado um estado de tensão (sem a deformação correspondente) na barra. 
• Para resolver um problema deste tipo, consideramos um dos apoios como redundante, 
eliminando-o em um primeiro momento. Com isto, supomos que a barra pode alongar-se 
livremente com a variação de temperatura ∆T. 
 
Figura 3.10 – Solução de problema envolvendo barra engastada sujeita a variação de temperatura 
• A deformação decorrente do aumento da temperatura será, portanto: 
L T)( T ∆α=δ 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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• Aplicando-se agora à extremidade B a força P, representando a reação redundante, obtemos uma 
segunda deformação: 
E.A
L.P
p =δ 
• Considerando que a deformação total, δ, deve ser zero, temos: 
0
A.E
P.LL T)( pT =+∆α=δ+δ=δ 
 
de onde concluímosque: )T(.E.AP ∆α−= 
• A tensão na barra devido à mudança de temperatura será então: 
)T.(.E
A
P ∆α−==σ
 
Exemplo 3.6: Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra de aço mostrada na 
figura abaixo, quando a temperatura da barra é de -45oC, sabendo que ambos os apoios rígidos estão 
ajustados quando a temperatura é de +20oC. Use os valores E = 200 GPa e α = 12 x 10-6/oC para o 
aço. 
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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Exercícios – Capítulo 3 
1) A barra rígida BDE é suspensa por duas barras AB e CD. A barra AB é de alumínio 
(E = 70 GPa) e tem um seção transversal com área de 
500 mm2; a barra CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma 
seção transversal com área de 600 mm2. Para a força de 
30 kN mostrada na figura, determine os deslocamentos dos 
pontos (a) B, (b) D, (c) E. 
 
RESPOSTA: (a) 0,514 mm; (b) 0,300 mm ; (c) 1,928 mm 
2) Um fio de aço de 60 m de comprimento está submetido a uma força de tração de 6 kN. Sabendo 
que E = 200 GPa e que o comprimento do fio deve aumentar, no máximo, 48 mm, determine 
(a) o menor diâmetro que pode ser selecionado para o fio, (b) a tensão normal correspondente. 
RESPOSTA: (a) 6,91 mm; (b) 160 MPa 
3) O cabo BC de 4 mm de diâmetro é feito de aço com E = 200 GPa. Sabendo que a máxima 
tensão no cabo não pode exceder 190 MPa e que a deformação 
do cabo não deve exceder 6 mm, determine a máxima força P 
que pode ser aplicada, conforme a figura. 
RESPOSTA: 1,998 kN 
 
 
4) Uma única força axial de intensidade P = 58 kN é aplicada à extremidade C da barra de latão 
ABC. Sabendo que E = 105 GPa, determine o diâmetro da parte 
BC para o qual o deslocamento do ponto C será de 3 mm. 
 RESPOSTA: 16,52 mm 
 
5) Um bloco de 250 mm de comprimento e seção transversal de 50 x 40 mm deve suportar uma 
força de compressão centrada P. O material usado é uma liga de bronze para o qual E = 95 GPa. 
Determine a maior força que pode ser aplicada, sabendo que a tensão normal não deve exceder 
80 MPa e que a diminuição no comprimento do bloco deverá ser, no máximo, 0,12% de seu 
comprimento original. 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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6) Para a treliça de aço (E = 200 GPa) e o carregamento mostrado, determine as deformações dos 
componentes AB e AD, sabendo que suas áreas de 
seção transversal são, respectivamente, 2600 mm2 e 
1800 mm2. 
RESPOSTA: δAB = 1,95 mm; δAB = 2,03 mm 
 
7) Os elementos ABC e DEF são unidos com barras de aço (E = 200 GPa). Cada barra é feita de 
um par de chapas de 25 x 35 mm. Determine a variação no 
comprimento do elemento BE e do elemento CF. 
RESPOSTA: (a) – 0,0302 mm; (b) 0,01783 mm 
 
 
8) As barras CE de 12 mm de diâmetro e DF de 20 mm de diâmetro estão ligadas à barra rígida 
ABCD conforme a figura. Sabendo que as barras são 
feitas de alumínio e usando E = 70 GPa, determine, (a) 
a força em cada barra provocada pela força mostrada 
na figura, (b) o deslocamento do ponto A. 
 
 RESPOSTA: (a) 35,43 kN; 9,96 kN; (b) 1,16mm 
 
 
9) Duas barras cilíndricas sólidas são unidas em B e carregadas conforme mostra a figura. A barra 
AB é feita de aço (E = 200 GPa) e a barra BC, de latão 
(E = 105 GPa). Determine o deslocamento total da barra 
composta ABC e o deslocamento do ponto B. 
 
 
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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10) A barra AB é feita de aço cujo módulo de Young (E) é igual a 125 GPa, e tem seção transversal 
igual a 150 mm2. A barra CD é feita de alumínio (E = 95 GPa) e tem seção transversal igual a 
220 mm2. Sabendo que a força P é igual a 5 kPa, determine o deslocamento do ponto B e C. 
 
11) A barra rígida CDE está ligada a um pino com apoio em E e apoiada sobre o cilindro BD de 
latão, com 30 mm de diâmetro. Uma barra de aço AC com 
diâmetro de 22 mm passa através de um furo na barra e está 
presa por uma porca que está ajustada quando a temperatura 
do conjunto todo é de 20oC. A temperatura do cilindro de 
latão é então elevada para 50oC enquanto a barra de aço 
permanece a 20oC. Supondo que não havia tensões presentes 
antes da variação de temperatura determine a tensão no 
cilindro. (Barra AC: aço, E = 200 GPa, α = 11,7 x 10-6/oC; 
Barra BD: latão, E = 105 GPa, α = 20,9 x 10-6/oC). 
RESPOSTA: 44,8 MPa 
12) O conjunto mostrado na figura consiste em um tubo de alumínio (Ealumínio = 70 GPa, αlatão = 23,6 
x 10-6/oC) totalmente preso a um núcleo de aço (Eaço = 200 GPa, αaço = 11,7 x 10-6/oC) que está 
livre de tensões a uma temperatura de 20oC. 
Considerando somente deformações axiais, determine 
a tensão no tubo de alumínio quando a temperatura 
atinge 180oC. 
RESPOSTA: – 47,0 MPa 
 
Notas de Aulas – Resistência dos Materiais 
Capítulo 3 – Tensão e deformação – Carregamento Axial 
 
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33 
13) Uma barra consistindo em duas partes cilíndricas AB e BC está impedida de se deformar em 
ambas as extremidades. A parte AB é feita de latão e a 
parte BC é feita de alumínio. Sabendo que a barra está 
inicialmente livre de tensões, determine (a) as tensões 
normais nas partes AB e BC provocadas por um aumento 
de temperatura de 42oC,(b) o deslocamento do ponto B. 
Considere: Elatão = 105 GPa, αlatão = 20,9 x 10-6/oC, 
Ealumínio = 72 GPa, αaluminio = 23,9 x 10-6/oC . 
 RESPOSTA: (a) 44,4 MPa; –100,0 MPa; (b)0,500mm 
 
14) Na temperatura ambiente (20oC) existe um espaçamento de 0,5 mm entre as extremidades das 
barras mostradas na figura. Algum tempo depois, 
quando a temperatura atingir 140oC, determine (a) a 
tensão normal na barra de alumínio, (b) a variação 
do comprimento da barra de alumínio. 
RESPOSTA: (a) – 116,2 MPa; (b) 0,363 mm 
 
15) Um tubo de latão é totalmente preso ao núcleo de aço. Determine o maior aumento permitido na 
temperatura se a tensão no núcleo de aço não deve 
exceder 55 MPa. 
αlatão = 20,9 x 10-6/oC 
αaço = 11,7x10-6/oC 
 
RESPOSTA: 77,71oC