Apostila de Conceitos Básicos de Calculo

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Marcelo Roberto Mana - Janeiro 2013
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Capı´tulo1
Conceitos Ba´sicos
Este material trata de um modo resumido alguns dos principais conceitos ba´sicos
de matema´tica. Para um maior aprofundamento consulte livros e apostilas.
1.1 Equac¸o˜es e Func¸o˜es do Primeiro Grau
1.1.1 Equac¸o˜es do Primeiro Grau
Definimos como equac¸a˜o do primeiro grau toda equac¸a˜o da forma:
ax+ b = 0, a 6= 0
onde x = − b
a
e´ raiz dessa equac¸a˜o.
Exemplo i. Resolva a equac¸a˜o
3x− 6 = 0 ⇐⇒ 3x = 6 ⇐⇒ x = 6
3
⇐⇒ x = 2
S = {2}
h
Exemplo ii. Ache a soluc¸a˜o da equac¸a˜o
2x− 8 = 3x− 10 ⇐⇒ 2x− 3x = −10 + 8 ⇐⇒ −x = −2 ⇐⇒ x = 2
S = {2}
h
3
4 CAPI´TULO 1. CONCEITOS BA´SICOS
1.1.2 Func¸o˜es do Primeiro Grau
Chama-se func¸a˜o polinomial do 1.o grau a qualquer func¸a˜o f : R −→ R dada por
uma lei da forma f(x) = ax+ b com a ∈ R∗ e b ∈ R.
Se b = 0, dizemos que a func¸a˜o f e´ linear e se b 6= 0 denomina-se func¸a˜o afim.
Obs: No caso em que a = 0 a func¸a˜o e´ dita constante, ou seja, do tipo f(x) =
k, ∀x ∈ R.
O gra´fico de uma func¸a˜o constante e´ uma reta paralela ao eixo dos x.
Propriedades de uma func¸a˜o do 1.o Grau:
a) o gra´fico de uma func¸a˜o do 1o grau e´ sempre uma reta.
b) o gra´fico intercepta o eixo dos x na raiz da equac¸a˜o, ou seja, em x = − b
a
c) o gra´fico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b e´ chamado coeficiente
linear.
d) a e´ chamado coeficiente angular e da´ a inclinac¸a˜o da reta.
e) se a > 0 enta˜o a func¸a˜o e´ crescente
f) se a < 0 enta˜o a func¸a˜o e´ decrescente
1.2. EQUAC¸O˜ES E FUNC¸O˜ES DO SEGUNDO GRAU 5
1.2 Equac¸o˜es e Func¸o˜es do Segundo Grau
1.2.1 Equac¸o˜es do Segundo Grau
Definimos como equac¸a˜o do segundo grau toda equac¸a˜o da forma:
ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0
As ra´ızes de uma equac¸a˜o do segundo grau podem ser calculadas atrave´s da
fo´rmula de Bhaskara, dada a seguir:
x =
−b±√∆
2a
onde ∆ = b2 − 4ac.
Exemplo i. Ache a soluc¸a˜o da equac¸a˜o do segundo grau:
x2 − 5x+ 6 = 0
Soluc¸a˜o:
Temos a = 1, b = −5 e c = 6. Calculando-se ∆, obtemos:
∆ = b2 − 4ac→ ∆ = (−5)2 − 4.1.6→ ∆ = 25− 24→ ∆ = 1
Aplicando-se a fo´rmula de Bhaskara,
x =
−b±√∆
2a
→ x = −(−5)±
√
1
2.1
→ x = 5± 1
2
→ x =

5+1
2
→ x1 = 3
5−1
2
→ x2 = 2
S = {2; 3}
Obs: Tambe´m podemos calcular as ra´ızes utilizando as relac¸o˜es de Girard envol-
vendo a soma e o produto das ra´ızes da equac¸a˜o.
S = x1 + x2 = − ba e P = x1.x2 = ca
1.2.2 Func¸o˜es do Segundo Grau
Uma func¸a˜o e´ dita do 2.o grau quando e´ do tipo f(x) = ax2 + bx+ c, com a 6= 0. O
gra´fico da func¸a˜o do 2o grau e´ sempre uma para´bola de eixo vertical.
Propriedades de uma func¸a˜o do 2.o Grau:
a) o ve´rtice da para´bola e´ o ponto V = (xv, yv), onde xv = − b2a e yv = −∆4a
b) se a > 0 a para´bola tem um ponto de mı´nimo.
6 CAPI´TULO 1. CONCEITOS BA´SICOS
c) se a < 0 a para´bola tem um ponto de ma´ximo.
d) a para´bola intercepta o eixo dos x nas ra´ızes (x1 e x2)
e) a para´bola intercepta o eixo dos y no ponto (0, c)
f) x = − b
a
e´ o eixo de simetria da para´bola (reta vertical)
g) a forma fatorada de f(x) = ax2 + bx+ c e´ f(x) = a.(x− x1).(x− x2)
1.3 Inequac¸o˜es
1.3.1 Inequac¸o˜es de Primeiro Grau
Definimos como inequac¸a˜o toda sentenc¸a matema´tica relacionada por uma desi-
gualdade.
As inequac¸o˜es do primeiro grau com uma varia´vel podem ser escritas numa das
seguintes formas:
ax+ b > 0 ax+ b < 0 ax+ b ≥ 0 ax+ b ≤ 0
com a, b ∈ R, a 6= 0.
Exemplo 2.1.1 Resolva as inequac¸o˜es em R:
a)2x− 6 ≥ 0 ⇐⇒ 2x ≥ 6 ⇐⇒ x ≥ 3 ⇐⇒ S = {x ∈ R| x ≥ 3}
Representac¸a˜o Gra´fica de uma Inequac¸a˜o de 1.o Grau - Semiplano
Procedimento:
- Substitua a desigualdade por uma igualdade.
- Esboce o gra´fico da reta no plano cartesiano.
1.3. INEQUAC¸O˜ES 7
- Escolha um ponto auxiliar e verifique se o mesmo satisfaz ou na˜o a desigualdade
inicial.
- Em caso positivo, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o corresponde ao semiplano ao qual
pertence o ponto auxiliar. Em caso negativo, a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o corresponde
ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar.
Exemplo i. Determine o semiplano que representado pela inequac¸a˜o 2x+y ≤ 4.
Substituindo o ponto auxiliar (0, 0),por exemplo, na inequac¸a˜o 2x+y ≤ 4, temos
que 2.0 + 0 ≤ 4 (afirmativa verdadeira). Logo a soluc¸a˜o da inequac¸a˜o corresponde
ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0). Observe na figura abaixo
1.3.2 Inequac¸o˜es de Segundo Grau
De um modo bem simplificado, podemos resolver inequac¸o˜es de segundo grau atrave´s
das ra´ızes e esboc¸o da para´bola, realizando o estudo do sinal.
Exemplo i. Resolva a inequac¸a˜o 3x2 + 10x+ 7 < 0
Ra´ızes: −1 e −7
3
Sendo assim, S =
{
x ∈ R| − 7
3
< x < −1} h
Exemplo ii. Resolva a inequac¸a˜o −2x2 − x+ 1 ≤ 0
Ra´ızes: −1 e 1
2
8 CAPI´TULO 1. CONCEITOS BA´SICOS
E portanto, S =
{
x ∈ R|x ≤ −1 ou x ≥ 1
2
}
h
A resoluc¸a˜o de desigualdades polinomiais, ou equivalentemente, estudo de sinal
de func¸o˜es polinomiais sera´ feita atrave´s da multiplicidade das ra´ızes, obedecendo o
seguinte crite´rio:
• Se a raiz tem multiplicidade PAR, enta˜o o sinal de f nas vizinhanc¸as desta
raiz e´ o mesmo.
• Se a raiz tem multiplicidade I´MPAR, enta˜o o sinal de f nas vizinhanc¸as
desta raiz alterna-se.
Exemplos e resoluc¸o˜es detalhadas sera˜o apresentadas no to´pico sobre polinoˆmios:
multiplicidades de ra´ızes.
Obs: Uma func¸a˜o f : R −→ R definida por:
f(x) =
n∑
i=0
aix
i = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn
e´ denominada func¸a˜o polinomial em x.
1.4 Valor absoluto (mo´dulo) de um nu´mero real
O mo´dulo de um nu´mero real e´ igual a` distaˆncia do ponto que o representa ate´
o ponto que representa zero, considerando-o na reta real orientada. Denota-se o
1.5. PRODUTOS NOTA´VEIS 9
mo´dulo de x por |x|.
Exemplo i. | − 30| = 30
Exemplo ii. |8| = 8
De um modo mais anal´ıtico, temos:
|x| =
{ −x se x ≤ 0
x se x > 0
1.4.1 Propriedades:
Algumas propriedades importantes:
I) |x| ≥ 0,∀x ∈ R e |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
II) |x| = |y| ⇐⇒ x = y ou x = −y
III) |x| = a ⇐⇒ x = a ou x = −a, a ≥ 0
IV) |x.y| = |x|.|y|
V)
∣∣∣xy ∣∣∣ = |x||y| , y 6= 0
VI)
√
x2 = |x| A importante e perigoso A
VII)
√
x2n = |x2n| = x2n, n ∈ N
VIII) |x| < a ⇐⇒ −a < x < a, a ≥ 0
IX) |x| > a ⇐⇒ x > a ou x < −a, a ≥ 0
1.5 Produtos Nota´veis
No ca´lculo frequentemente nos deparamos com expresso˜es alge´bricas com leis especi-
ais de formac¸a˜o. Essas expresso˜es sa˜o denominadas, em alguns casos, de produtos
nota´veis e sua utilizac¸a˜o permite agilizar determinados tipos de ca´lculos.
Sejam x, y ∈ R. Temos as seguintes identidades alge´bricas:
I) (x+ y)2 = x2 + 2xy + y2 (quadrado da soma)
II) (x− y)2 = x2 − 2xy + y2 (quadrado da diferenc¸a)
III) (x+ y).(x− y) = x2 − y2 (produto da soma pela diferenc¸a)
IV) (x+ y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3 (cubo da soma)
V) (x− y)3 = x3 − 3x2y + 3xy2 − y3 (cubo da diferenc¸a)
10 CAPI´TULO 1. CONCEITOS BA´SICOS
1.6 Fatorac¸a˜o
Fatorar e´ transformar expresso˜es de soma alge´brica para produto, de modo a obter
uma expressa˜o equivalente a` inicial. A seguir veremos alguns casos de fatorac¸a˜o.
Fatorac¸a˜o de expresso˜es alge´bricas polinomias mais elaboradas sera˜o vistas em po-
linoˆmios.
1.6.1 Fator comum
Exemplos:
i) x.a+ x.b+ x.c = x.(a+ b+ c)
ii) 3x3y3 + 5xy2 = xy2.(3x2y + 5)
1.6.2 Agrupamento
Exemplo:
ax+ ay + bx+ by = a.(x+ y) + b.(x+ y) = (x+ y).(a+ b)
1.6.3 Diferenc¸a de Quadrados
x2 − y2 = (x+ y).(x− y)
1.6.4 Trinoˆmio Quadrado Perfeito
Casos:
i) x2 + 2xy + y2 = (x+ y)2
ii) x2 − 2xy + y2 = (x− y)2
1.6.5 Trinoˆmio do Segundo Grau
Sejam x1 e x2 as ra´ızes do trinoˆmio de segundo grau ax
2 + bx + c, a 6= 0. Assim,
temos:
ax2 + bx+ c = a.(x−x1).(x− x2)
Mais adiante veremos como fatorar expresso˜es com grau mais elevado, conhecendo-
se suas ra´ızes.
1.7. POLINOˆMIOS 11
1.6.6 Soma e Diferenc¸a de Cubos
Casos:
I) x3 + y3 = (x+ y).(x2 − xy + y2)
II) x3 − y3 = (x− y).(x2 + xy + y2)
1.7 Polinoˆmios
1.7.1 Definic¸a˜o:
Um polinoˆmio a uma varia´vel x e´ uma expressa˜o do tipo:
P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn
onde:
x e´ uma varia´vel complexa.
a0, a1, . . . , an sa˜o constantes complexas ditas coeficientes
n e´ um nu´mero natural (n ∈ N)
1.7.2 Valor nume´rico de um polinoˆmio
Consideremos um polinoˆmio P (x). Ao substituirmos x por um nu´mero α, obteremos
P (α), o qual chamaremos de valor nume´rico de P (x) para x = α e indicaremos por
P (α)
Exemplo Seja P (x) = 2x3 − x2 + 1. Para x = 2, temos:
P (2) = 2.23 − 22 + 1 = 13
1.7.3 Raiz ou zero
Um nu´mero β e´ raiz ou zero de um polinoˆmio P (x) se e somente se o valor nume´rico
de P (x) para x = β for zero. Ou seja,
β e´ raiz ⇐⇒ P (β) = 0
Exemplo Consideremos P (x) = x2 − 5x + 6. Temos que x = 2 e x = 3 sa˜o as
ra´ızes de P (x)
1.7.4 Polinoˆmios Nulos
Dizemos que P (x) e´ um polinoˆmio nulo se e somente se todos os seus coeficientes
sa˜o iguais a zero.
P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn = 0 ⇐⇒ an = an−1 = · · · = a0 = 0
Notac¸a˜o utilizada: P (x) ≡ 0
12 CAPI´TULO 1. CONCEITOS BA´SICOS
1.7.5 Grau de um polinoˆmio
Define-se grau de um polinoˆmio na˜o nulo, o maior expoente da varia´vel, de modo
que o coeficiente do termo correspondente seja diferente de zero. Denotaremos o
grau de um polinoˆmio P (x) por deg(P ).
Exemplo i
P (x) = 2x4 + 3x3 − 2x+ 1 −→ deg(P ) = 4
Exemplo ii
Q(x) = 12 −→ deg(Q) = 0
1.7.6 Identidade de dois polinoˆmios
Dois polinoˆmios de mesmo grau sa˜o ideˆnticos se e somente se possuem os coeficientes
de mesma poteˆncia iguais. Sejam
P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn e Q(x) = b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bnxn
Dizemos que P (x) ≡ Q(x) ⇐⇒ ak = bk,∀k ∈ {0, 1, 2, . . . , n}
1.7.7 Operac¸o˜es com polinoˆmios
• Adic¸a˜o
Consideremos
P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn e Q(x) = b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bnxn
A adic¸a˜o destes dois polinoˆmios, denotada por P (x) +Q(x), sera´ dada por:
P (x) +Q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x+ · · ·+ (an + bn)xn
Exemplo. Sejam P (x) = 2x3 − 3x2 + 4x− 1 e Q(x) = 2x2 + 5x. Temos:
P (x) +Q(x) = 2x3 − x2 + 9x− 1
• Subtrac¸a˜o
Consideremos
P (x) = a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn e Q(x) = b0 + b1x+ b2x2 + · · ·+ bnxn
A subtrac¸a˜o destes dois polinoˆmios, denotada por P (x)−Q(x), sera´ dada por:
P (x)−Q(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x+ · · ·+ (an − bn)xn
Exemplo. Sejam P (x) = 2x3 − 5x+ 1 e Q(x) = x3 − 2x2 + 3. Temos:
P (x)−Q(x) = x3 + 2x2 − 5x− 2
1.7. POLINOˆMIOS 13
• Multiplicac¸a˜o
O produto de dois polinoˆmios P (x) e Q(x) realiza-se atrave´s da adic¸a˜o dos resul-
tados do produto de cada termo de um polinoˆmio pelo outro polinoˆmio. Em resumo,
multiplica-se os termos e agrupa-se os de mesmo grau. Denotaremos por P (x).Q(x)
Exemplo. Sejam P (x) = x3 − 2x2 + 1 e Q(x) = x+ 2. Temos:
P (x).Q(x) = x4 − 4x2 + x+ 2
• Divisa˜o
Dados dois polinoˆmios D(x) e d(x), d(x) 6= 0, existe um u´nico par de polinoˆmios
[Q(x), R(x)], tal que:
D(x) = d(x).Q(x) +R(x)
onde deg(R) < deg(d) ou R(x) = 0
D(x): dividendo, d(x): divisor, Q(x): quociente e R(x): resto.
Observac¸o˜es:
i) Se D(x) = 0 e d(x) 6= 0, temos Q(x) = 0 e R(x) = 0
ii) Se D(x) e d(x) sa˜o polinoˆmios na˜o nulos e deg(D) ≥ deg(d), temos:
deg(Q) + deg(d) = deg(D) e deg(R) < deg(d)
Me´todo da Chave
O me´todo a seguir baseia-se na divisa˜o de nu´meros inteiros. Vamos obter o
quociente Q(x) e o resto R(x) da divisa˜o de P (x) = 2x3 + 7x2 + 4x− 4 por
d(x) = x2 + 2x− 3
Dividimos o primeiro fragmento do dividendo pelo primeiro fragmento do divisor,
obtendo assim a primeira parcela do quociente, e logo depois o primeiro resto parcial.
14 CAPI´TULO 1. CONCEITOS BA´SICOS
Em seguida, dividimos o primeiro fragmento do primeiro resto parcial pelo pri-
meiro fragmento do divisor, obtendo assim o pro´ximo fragmento do quociente, e logo
depois o segundo resto parcial.
Como o grau do divisor e´ maior do que o grau do segundo resto parcial, podemos
dizer que a divisa˜o foi conclu´ıda. Assim, temos:
Q(x) = 2x+ 3 eR(x) = 4x+ 5
1.7.8 Teorema do Resto
O resto da divisa˜o de P (x) por (ax+ b) vale P
(
− b
a
)
Demonstrac¸a˜o
Escrevendo a divisa˜o de P (x) por (ax+ b), temos:
P (x) = (ax+ b).Q(x) +R(x) ⇐⇒
⇐⇒ P
(
− b
a
)
=
[
a.
(
− b
a
)
+ b
]
.Q
(
− b
a
)
+R
(
− b
a
)
⇐⇒ P
(
− b
a
)
= R
(
− b
a
)
h
Exemplo:
i) O resto da divisa˜o de P (x) = 4x3 + 2x− 1 por (x− 2) e´:
R(x) = P (2) = 4(2)3 + 2.(2)− 1 = 35
ii) O resto da divisa˜o de P (x) = x2 + 3x+ 4 por (x+ 1) e´:
R(x) = P (−1) = (−1)2 + 3(−1) + 4 = 2
1.8. ALGORITMO DE BRIOT-RUFFINI 15
1.7.9 Teorema de D’Alambert
P (x) e´ divis´ıvel por (ax+ b) se e somente se P
(
− b
a
)
= 0
Demonstrac¸a˜o:
(=⇒)
P (x) e´ divis´ıvel por (ax+ b) =⇒ R(x) = P
(
− b
a
)
= 0
(⇐=)
P
(
− b
a
)
= 0 = R(x) =⇒ P (x) e´ divis´ıvel por (ax+ b)
Exemplo:
i) O polinoˆmio P (x) = x3 + 2x2 − 3 e´ divis´ıvel por x− 1, pois:
P (1) = 13 + 2.12 − 3 = 0
1.8 Algoritmo de Briot-Ruffini
Este algoritmo esta´ baseado no me´todo da chave, e com ele obte´m-se rapidamente o
quociente e o resto da divisa˜o de um polinoˆmio P (x) por (x− a). Para exemplificar
e explicar esse algoritmo, vamos obter o quociente Q(x) e o resto R(x) da divisa˜o
de D(x) = 2x3 + 4x2 + 3x+ 5 por d(x) = x− 1.
Passo 1
Calculamos a raiz do divisor e, numa mesma linha, escrevemos esta raiz, separando-
a por uma barra dos coeficientes do dividendo colocados em ordem decrescente dos
expoentes da varia´vel.
Passo 2
Abaixamos o primeiro coeficiente de D(x) e este sera´ o primeiro coeficiente de
Q(x).
16 CAPI´TULO 1. CONCEITOS BA´SICOS
Passo 3
Multiplicamos o primeiro coeficiente obtido pela raiz do divisor e adicionamos o
resultado ao segundo coeficiente do dividendo, obtendo-se assim o segundo coefici-
ente do quociente.
Passo 4
Novamente multiplicamos o coeficiente obtido pela raiz do divisor e adicionamos
o resultado ao pro´ximo coeficiente do dividendo, obtendo assim o terceiro coeficiente
do quociente.
Passo 5
Multiplicando o terceiro coeficiente obtido pela raizdo divisor e, adicionando o
resultado ao u´ltimo coeficiente do dividendo, obtemos o resto da divisa˜o.
Assim, temos que: Q(x) = 2x2 + 6x+ 9 e R(x) = 14
• Consequeˆncia:
Aplicando o algoritmo de Briot-Ruffini, podemos obter o quociente Q(x) e o resto
R(x) da divisa˜o de P (x) por (ax − b) se dividirmos P (x) por
(
x− b
a
)
e, depois,
por a o quociente Q1(x) obtido. Com efeito, temos que:
P (x) = (ax− b).Q(x) +R(x)
P (x) =
(
x− b
a
)
. a.Q(x)︸ ︷︷ ︸
Q1(x)
+R(x) =⇒ Q(x) = 1
a
.Q1(x)
1.9. TEOREMA DA DIVISA˜O PELO PRODUTO 17
1.9 Teorema da Divisa˜o pelo Produto
Se um polinoˆmio P (x) e´ divis´ıvel por (x − a) e tambe´m por (x − b), com a 6= b,
enta˜o e´ divis´ıvel pelo produto (x− a).(x− b)
Exemplo: Obtenha a e b a fim de que o polinoˆmio P (x) = x3 + ax2 + bx seja
divis´ıvel por x2 − 2x− 3.
Resoluc¸a˜o:
Temos que x2−2x−3 = (x+1)(x−3). Desse modo, para que P (x) seja divis´ıvel
e´ suficiente impormos que P (x) seja divis´ıvel por (x+ 1) e tambe´m por (x− 3), ou
seja,
P (−1) = 0 =⇒ (−1)3 + a(−1)2 + b(−1) = 0 =⇒ a− b = 1
P (3) = 0 =⇒ 33 + a32 + b3 = 0 =⇒ 9a+ 3b = −27
Assim, temos que: {
a− b = 1
9a+ 3b = −27
E portanto, a = −2 e b = −3
1.10 Teorema da Divisa˜o sucessiva
Se o polinoˆmio P (x) e´ divis´ıvel por (x − a) e o quociente desta divisa˜o tambe´m e´
divis´ıvel por (x− a), enta˜o P (x) e´ divis´ıvel por (x− a)2.
Exemplo: Obtenha a e b a fim de que o polinoˆmio P (x) = x3 − 5x2 + ax+ b
seja divis´ıvel por (x− 1)2.
Resoluc¸a˜o:
Primeiro, devemos impor que P (x) seja divis´ıvel por (x− 1), ou seja:
P (1) = 0 =⇒ 13 − 5.12 + a.1 + b = 0 =⇒ a+ b = 4 (I)
Em seguida, devemos impor que o quociente Q(x) da divisa˜o de P (x) por (x − 1)
tambe´m seja divis´ıvel por (x− 1). Assim,
figura pagina 52
Q(x) = x2 − 4x+ a− 4. Logo Q(1) = 0 =⇒ 12 − 4.1 + a− 4 = 0 =⇒ a = 7
Substituindo em (I), temos 7 + b = 4 =⇒ b = −3 h
18 CAPI´TULO 1. CONCEITOS BA´SICOS
1.11 Equac¸o˜es Polinomiais
1.11.1 Definic¸a˜o:
Definimos equac¸a˜o polinomial ou equac¸a˜o alge´brica, na varia´vel x, toda equac¸a˜o
que pode ser escrita na forma:
a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn = 0
O grau de uma equac¸a˜o polinomial P (x) = 0 e´ o grau de P (x).
1.11.2 Raiz
Define-se raiz ou zero de uma equac¸a˜o polinomial P (x) = 0 todo nu´mero complexo
z tal que P (z) = 0
1.11.3 Teorema Fundamental da A´lgebra
Toda equac¸a˜o polinomial de grau n, n ≥ 1 admite pelo menos uma raiz
complexa.
Podemos enunciar este teorema de outra forma:
Toda equac¸a˜o polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, no
campo complexo, exatamente n ra´ızes, sendo n o grau da equac¸a˜o.
1.11.4 Teorema da Decomposic¸a˜o
Todo polinoˆmio P (x) = a0 + a1x + a2x
2 + · · · + anxn, de grau n ≥ 1, pode ser
decomposto em n fatores do primeiro grau multiplicados pelo coeficiente a0
a0 + a1x+ a2x
2 + · · ·+ anxn = a0(x− x1)(x− x2) . . . (x− xn)
onde x1, x2, . . . , xn sa˜o as ra´ızes de P (x) = 0.
1.11.5 Multiplicidade de uma Raiz
Se um polinoˆmio P (x) e´ tal que P (x) = (x− r)m.Q(x), com Q(r) 6= 0, dizemos que
r e´ raiz de multiplicidade m da equac¸a˜o P (x) = 0.
Deste modo, dizemos que:
r e´ raiz simples quando m = 1
r e´ raiz dupla quando m = 2
r e´ raiz tripla quando m = 3, e assim, sucessivamente.
1.11. EQUAC¸O˜ES POLINOMIAIS 19
1.11.6 Relac¸o˜es de Girard
Sendo a0x
n + a1x
n−1 + · · · + an = 0 uma equac¸a˜o polinomial de grau n, n ≥ 1 e de
ra´ızes x1, x2, x3, . . . , xn, podemos escrever:
x1 + x2 + · · ·+ xn = −a1
a0
x1x2 + x1x3 + x1x4 + · · ·+ xn−1xn = a2
a0
x1x2x3 + x1x2x4 + · · ·+ xn−2xn−1xn = −a3
a0.
.
.
x1x2x3 . . . xn = (−1)nan
a0
Exemplo:
Sendo x1, x2 e x3 as ra´ızes da equac¸a˜o 2x
3 + 4x2 − 5x+ 8 = 0, temos:
x1 + x2 + x3 = −4
2
= −2
x1x2 + x1x3 + x2x3 = −5
2
x1x2x3 = −8
2
= −4
20 CAPI´TULO 1. CONCEITOS BA´SICOS
Capı´tulo2
Func¸o˜es e Trigonometria
2.1 Func¸o˜es - Definic¸a˜o.
Consideremos uma correspondeˆncia especial entre dois conjuntos dados, A e B que,
nesta ordem, possui as seguintes propriedades:
• Todo elemento do conjunto A possui um elemento correspondente no conjunto
B.
• Qualquer que seja o elemento de A, verifica-se que so´ existe um u´nico corres-
pondente em B.
Esta correspondeˆncia especial relaciona os conjuntos A e B de um modo muito
espec´ıfico. Formalmente, definiremos uma func¸a˜o como um relac¸a˜o bina´ria un´ıvoca
entre os conjuntos A e B, de modo que todo elemento x ∈ A tem em correspondeˆncia
um u´nico elemento y ∈ B, que sera´ chamado de imagem de x.
Nomenclaturas importantes:
a) A: domı´nio da func¸a˜o; (D)
b) B: contradomı´nio da func¸a˜o (CD)
c) o subconjunto do contradomı´nio formado por todas as imagens dos elementos
do domı´nio e´ chamado de conjunto imagem (Im), o qual e´ um subconjunto de B.
Na figura, Im = {a, b, c}.
21
22 CAPI´TULO 2. FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
Para um formalismo maior, podemos definir func¸a˜o atrave´s de s´ımbolos da teoria
de conjuntos. A saber,
f : A −→ B e´ uma func¸a˜o ⇐⇒ ∀x ∈ A,∃! y ∈ B | f(x) = y
onde
Imf = {y ∈ B | y = f(x), x ∈ A}
d) Gra´fico de uma func¸a˜o (Gf ) e´ a unia˜o de todos os pontos, no plano cartesiano,
(x, y), em que x e´ um elemento do domı´nio da func¸a˜o e y, a respectiva imagem.
Formalmente,
Gf = {(x, y) ∈ R2 | y = f(x), x ∈ A}
2.2 Domı´nios de Func¸o˜es Ba´sicas
I) f(x) =
E1(x)
E2(x)
Df = {x ∈ R | E2(x) 6= 0}
II) g(x) = 2n
√
E(x), com n ∈ N∗
Dg = {x ∈ R | E(x) ≥ 0}
Exemplos:
i) f(x) =
2− x
x+ 1
Df = {x ∈ R | x 6= −1}
ii) g(x) =
√
x+ 1
3
√
1− x2
x+ 1 ≥ 0 e 1− x2 6= 0 −→ Dg = {x ∈ R | x > −1 e x 6= 1}
2.3 Func¸a˜o crescente, decrescente e constante
I) Func¸a˜o crescente:
f : A −→ B e´ crescente ⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ A, x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2)
II) Func¸a˜o decrescente:
f : A −→ B e´ decrescente ⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ A, x1 < x2 =⇒ f(x1) > f(x2)
III) Func¸a˜o constante:
f : A −→ B e´ constante ⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ A =⇒ f(x1) = f(x2)
2.4. FUNC¸A˜O EXPONENCIAL 23
2.4 Func¸a˜o Exponencial
Definimos a func¸a˜o exponencial como a func¸a˜o com domı´nio e contradomı´nio no
conjunto dos reais e expressa pela lei f(x) = ax, onde a ∈ R, a > 0 e a 6= 1 com
Im = R∗+. Se 0 < a < 1 a func¸a˜o sera´ estritemente decrescente. Se a > 1 sera´
estritamente crescente.
Exemplos:
• f(x) = 2x
• f(x) =
(
1
2
)x
24 CAPI´TULO 2. FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
Algumas Propriedades:
Seja a ∈ R, sendo n e k nu´meros naturais.
1) a1 = a
2) a0 = 1, com a 6= 0
3) a−n =
1
an
com a 6= 0
4) a
n
k = k
√
an, com a > 0 e k 6= 0
Consideremos b e a nu´meros reais diferentes de zero; n e m sa˜o nu´meros inteiros.
5) bn.bm = bn+m
6)
bn
bm
= bn−m
7) (bn)m = bn.m
8) (b.a)n = bn.an
9)
(
b
a
)n
=
bn
an
2.5. FUNC¸A˜O LOGARI´TMICA 25
2.5 Func¸a˜o Logar´ıtmica
Definimos a func¸a˜o logar´ıtmica no conjunto dos reais positivos (domı´nio) e contra-
domı´nio os reais, pela lei f(x) = loga x, com a ∈ R, a > 0 e a 6= 1. Se 0 < a < 1 a
func¸a˜o sera´ estritemente decrescente. Se a > 1 sera´ estritamente crescente.
Observac¸a˜o: logb a = x ⇐⇒ bx = a
Exemplos:
• f(x) = log2 x
• f(x) = log 1
2
x
26 CAPI´TULO 2. FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
Propriedades Ba´sicas:
Consideremos que os nu´meros b, p e q sejam reais positivos, b 6= 1 e n e k sa˜o
nu´meros inteiros e positivos.
1) logb(p.q) = logb p+ logb q
2) logb
(
p
q
)
= logb p− logb q
3) logb(p
k) = k. logb p
4) logb a =
logc a
logc b
, onde c ∈ R∗+, c 6= 1
2.6 Func¸a˜o Composta
Sejam f e g duas func¸o˜es reais, definidas pelas leis f(x) = 2x + 7 e g(x) = x2 − 1.
Assim, temos que f(−2) = 3 e g(3) = 8. Note que:
g(3) = g[f(−2)] = 8
A func¸a˜o composta de f e g e´ uma func¸a˜o h capaz de conduzir diretamente o
elemento -2 ate´ a imagem 8.
A notac¸a˜o usual para indicar a composic¸a˜o da func¸a˜o g(x) com a func¸a˜o f(x) e´
g ◦ f(x). Assim, temos que: g ◦ f(x) = g[f(x)]
2.7. TRIGONOMETRIA 27
2.7 Trigonometria
2.7.1 Introduc¸a˜o
Definiremos a seguir algumas relac¸o˜es envolvendo a medida dos lados de um triaˆngulo
retaˆngulo com seus aˆngulos internos. Para tal, consideremos o triaˆngulo ABC abaixo
Definimos seno, cosseno e tangente de um aˆngulo agudo de um triaˆngulo
retaˆngulo pelas relac¸o˜es apresentadas a seguir:
seno do aˆngulo =
cateto oposto ao aˆngulo
hipotenusa
cosseno do aˆngulo =
cateto adjacente ao aˆngulo
hipotenusa
tangente do aˆngulo =
cateto oposto ao aˆngulo
cateto adjacente ao aˆngulo
Desta forma, temos:
sinα =
b
a
cosα =
c
a
tanα =
b
c
sin β =
c
a
cos β =
b
a
tan β =
c
b
Note que sinα = cos β e que α + β = 900. Temos que o seno de um aˆngulo e´
igual ao cosseno de seu complementar e vice-versa.
28 CAPI´TULO 2. FUNC¸O˜ES E TRIGONOMETRIA
2.7.2 Cotangente, secante e cossecante
cotangente do aˆngulo =
cateto adjacente ao aˆngulo
cateto oposto ao aˆngulo
secante do aˆngulo =
hipotenusa
cateto adjacente ao aˆngulo
cossecante do aˆngulo =
hipotenusa
cateto oposto ao aˆngulo
Assim, temos que:
cotα =
c
b
secα =
a
c
cscα =
a
b
cot β =
b
c
sec β =
a
b
csc β =
a
c
2.7.3 Seno, cosseno e tangente dos aˆngulos nota´veis
2.7. TRIGONOMETRIA 29
2.7.4Algumas Identidades Trigonome´tricas
1) sin2 x+ cos2 x = 1
2) tan x =
sinx
cosx
(cosx 6= 0)
3) cot x =
1
tanx
=
cosx
sinx
(sinx 6= 0)
4) sec x =
1
cosx
(cosx 6= 0)
5) csc x =
1
sinx
(sinx 6= 0)
6) sec2 x = tan2 x+ 1
7) csc2 x = cot2 x+ 1