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POLINÔMIOS Definição: Um polinômio de grau n é uma função que pode ser escrita na forma ∑ = =+++++= n 0i i i n n 3 3 2 210 xaxa...xaxaxaa)x(P em que cada ai é um número complexo (ou real) tal que n é um número natural e an ≠ 0. Os números ai são denominados coeficientes do polinômio P(x). O termo a0 é chamado coeficiente constante ou termo independente. Exemplos: 1) P(x) = x3+2 x2 - 3x + 10 é um polinômio de grau 3. Note que segundo a notação acima temos a0=10, a1 = -3, a2 = 2 e a3 = 1. 2) Q(x) = x2 + 1 é um polinômio de grau 2 tal que a0 = 1, a1 = 0 e a2 = 1. 3) R(x) = 7 é um polinômio de grau zero tal que a0=7. Observe que P(x) = x2 + x + x ½ +2 não é um polinômio devido ao expoente ½. Similarmente, Q(X) = x3 +2x +x-2 +3 não é polinômio devido ao expoente –2. Definição: Dado o número complexo (ou real) a, o número P(a) é chamado valor numérico do polinômio P(x) em x = a. Além disso, se P(a) = 0 então dizemos que a é uma raiz do polinômio P(x). Exemplos: 1) Se P(x) = x2 -3x + 2 então P(3) = 32 - 3 3 + 2 = 9 – 9 + 2 = 2 é o valor numérico de P(x) em x=3. Além disso, x = 1 e x = 2 são raízes do polinômio P(x) já que P(1) = 12 – 3 ⋅ 1 + 2 = 1 – 3 +2 = 0 e P(2) = 22 – 3 ⋅ 2 + 2 = 4 – 6 + 2 = 0. 2) As raízes do polinômio Q(x) = x2 +1 são os números complexos i e –i, já que Q(i) = i2 + 1 = -1 + 1 =0 e Q(-i) = (-i)2 + 1 = -1 + 1 =0. Teorema: Se x = a é uma raiz do polinômio P(x) então P(x) pode ser reescrito como o produto de x - a por um certo polinômio Q(x), ou seja, se x = a é raiz de P(x) então existe um polinômio Q(x) tal que )x(Q)ax()x(P −= . Exemplo: Já vimos que x = 1 é raiz do polinômio P(x) = x2 -3x + 2 então P(x) pode ser reescrito por )x(Q)1x()x(P −= . No caso, o polinômio Q(x) é dado por 2x)x(Q −= , já que )2x)(1x(2x3x)x(P 2 −−=+−= . Observe que o polinômio Q(x) pode ser encontrado fazendo-se a divisão do polinômio P(x) pelo polinômio x–a, ou seja, ax )x(P)x(Q − = . No exemplo acima, 2x 1x 2x3x)x(Q 2 −= − +− = . Observe ainda que, neste caso, o grau de Q(x) é um a menos do que o grau de P(x). Divisão de polinômios - algoritmo de Briot-Ruffini Quando dividimos dois polinômios, obtemos um quociente e um resto da divisão. Isto é, se dividirmos P(x) por D(x) (o divisor), vamos obter dois novos polinômios Q(x) (o quociente) e R(x) (o resto), de modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= . Existem algumas técnicas para dividirmos polinômios. Uma das mais utilizadas é o algoritmo de Briot-Ruffini. Esta é uma técnica prática, mas que só deve ser utilizada para efetuarmos a divisão do polinômio P(x) por um binômio da forma x–a. A explicação do algoritmo será feita através de um exemplo. Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = x2 –3x + 2 pelo polinômio 1x)x(D −= . Sendo 1 a raiz do binômio D(x), pois D(1) = 0, temos que )x(R)x(Q)1x()x(P +⋅−= . Escreva o polinômio P(x) com as potências em x, ordenadas decrescentemente. Assim, os coeficientes do polinômio P(x) = x2 – 3x + 2 ordenado e completo são 1, -3 e 2. Escreva estes números em uma tabela do seguinte modo: raiz de D(x) = x–1 coeficientes de P(x) 1 1 -3 2 Copie o primeiro coeficiente de P(x) na linha abaixo: 1 1 -3 2 1 Multiplique a raiz de D(x) (ou seja, 1) por este coeficiente que foi copiado (ou seja, 1) e adicione ao segundo coeficiente de P(x) (ou seja, -3). Coloque o resultado na segunda linha, abaixo do segundo coeficiente de P(x). Temos: 231)3(11 −=−=−+⋅ e na tabela: 1 1 -3 2 1 -2 Repita o procedimento para o próximo número: multiplique a raiz de D(x) (ou seja, 1) pelo novo número que foi colocado na segunda linha (ou seja, -2) e adicione ao terceiro coeficiente de P(x) (ou seja, 2). Coloque o resultado na segunda linha, abaixo do terceiro coeficiente de P(x). Temos: 0222)2(1 =+−=+−⋅ e na tabela: 1 1 -3 2 1 -2 0 Para ler o resultado obtido, temos que separar o último número calculado (ou seja, 0). Este é o resto da divisão. Assim, R(x) = 0. Os outros números calculados são os coeficientes do quociente Q(x) da divisão, na ordem em que aparecem. Note que como o grau de Q(x) é um a menos que o grau de P(x), então Q(x) é um polinômio de grau 1, pois P(x) é de grau 2. No exemplo acima, os coeficientes do quociente são 1 e -2, ou seja, o quociente é o polinômio Q(x) = 1x + (-2) = x – 2. Assim, ao dividirmos P(x) = x2 -3x + 2 pelo binômio D(x) = x – 1, vamos obter o quociente 2x)x(Q −= e o resto R(x) = 0. De modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= é 0)2x)(1x(2x3x2 +−−=+− . Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = – 4x3 + 2x + 10 pelo binômio 2x)x(D += . Note que A raiz do binômio D(x) é x = -2. Os coeficientes ordenados e completos do polinômio P(x) = -4x3 +2x + 10 = -4x3 + 0x2 + 2x + 10 são -4, 0, 2 e 10 (lembre de considerar o coeficiente de x2). -2 -4 0 2 10 -4 8 -14 38 Assim, ao dividirmos P(x) = -4x3 +2x + 10 pelo binômio D(x) = x + 2, vamos obter o quociente Q(x) = -4x2 + 8x – 14 e o resto R(x) = 38. De modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= é 38)14x8x4)(2x(10x2x4 23 +−+−+=++− . Exemplo: Determine o quociente e o resto da divisão do polinômio P(x) = x4 - 1 pelo polinômio 1x)x(D 2 −= . Note que não podemos aplicar diretamente o dispositivo de Briott-Ruffini, já que o polinômio D(x) = x2 -1 não é da forma x-a. Mas, sabemos que D(x)=x2 –1=(x+1)(x–1), e então para dividir do polinômio P(x) = x4 - 1 pelo polinômio D(x) = x2 –1, basta dividir P(x) = x4 –1 pelo polinômio x + 1, e em seguida dividir o resultado obtido por x – 1. Dividindo dividir P(x) = x4 - 1 pelo polinômio x + 1: -1 1 0 0 0 -1 1 -1 1 -1 0 Ou seja, 1xxx 1x 1x 234 −+−= + − , e o resto da divisão foi zero. O próximo passo é dividir x3 - x2 + x - 1 por x – 1: 1 1 -1 1 -1 1 0 1 0 Ou seja, 1x 1x 1xxx 223 += − −+− e o resto da divisão foi zero. Portanto 1x 1x 1xxx )1x)(1x( 1x 1x 1x 2234 2 4 += − −+− = −+ − = − − . Divisão de polinômios - Divisão pelo método das chaves Muitas vezes, não podemos aplicar o dispositivo acima, ou sua aplicação passa a ser trabalhosa. Nesses casos, podemos optar por usar o método básico da divisão (método das chaves) que se parece bastante com a divisão algébrica. Este método consiste em fazermos a divisão no seguinte formato P(x) D(x) R(X) Q(x) em que, se dividirmos P(x) por D(x) (o divisor), vamos obter dois novos polinômios Q(x) (o quociente) e R(x) (o resto), de modo que )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= . Exemplo: Divida P(x) = 3x3 – 9x2 + 9x - 3 por D(x) = x2 – 2x + 1. Primeiro, organizamos os dois polinômios como em uma conta usual de divisão. 3x3 - 9x2 + 9x - 3 x2 – 2x + 1 Divida o termo de maior grau de P(x) pelo de maior grau de D(x): x3 x x3 2 3 = , obtendo-se o primeiro termo de Q(x). Em seguida, multiplica-se o quociente obtido (3x) por D(x). O resultado é colocado, com o sinal trocado, sob os termos semelhantes de P(x). 3x3 -9x2 + 9x - 3 x2 - 2x + 1 -3x3 +6x2 - 3x 3x Na coluna da esquerda, somam-se os termos semelhantes. 3x3 -9x2 + 9x - 3 x2 - 2x + 1 -3x3 +6x2 - 3x 3x -3x2 +6x -3 Repete-se o procedimento, dividindo-se o termo de maior grau de –3x2+6x–3 pelo de maior grau de D(x): 3 x x3 2 2 −= − , obtendo-se o segundo termo de Q(x). Em seguida, multiplica-se o quociente obtido (-3) por D(x). O resultado é colocado, com o sinal trocado, sobos termos semelhantes de –3x2+6x–3, para então somarmos os termos semelhantes. 3x3 -9x2 + 9x - 3 x2 - 2x + 1 -3x3 +6x2 - 3x 3x -3 -3x2 +6x -3 3x2 +6x -3 0 O procedimento se encerra quando o polinômio da “esquerda” (que será o resto da divisão) tiver grau menor que do polinômio D(x). Assim, pelo procedimento acima, temos que o resto da divisão de P(x)=3x3 -9x2 + 9x – 3 por D(x)=x2 - 2x + 1 é zero (R(x)=0) e o quociente é Q(x)=3x -3. Portanto, escrevendo, como antes, na forma )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= , temos 3x3 –9x2 + 9x – 3 = (x2 - 2x + 1)( 3x -3)+0, ou seja, 3x3 -9x2 + 9x – 3 = (x2 - 2x + 1)( 3x -3). Note que neste caso, ao dividirmos 3x3 – 9x2 + 9x – 3 por x2 - 2x + 1, obtemos 3x –3, ou seja, 3x3 12x-x 39x9x-3x 2 23 −= + ++ . Exemplo: Divida 6x3 – x + 10 por 2x2 – 3x: 6x3 – x + 10 2x2 – 3x O procedimento é análogo ao exemplo anterior, lembrando que para somar polinômios temos que somar os coeficientes dos termos com o mesmo grau, isto é, somar x3 com x3, x2 com x2... 6 x3 +0x2 – x + 10 2x2 – 3x -6x3+9x2 3x 9x2 –x +10 E, então: 6 x3 +0x2 – x + 10 2x2 – 3x -6x3+9x2 3x + 4,5 9x2 – x +10 -9x2 + 13,5x 12,5 x +10 Como o grau de 12,5 x +10 é menor do que o grau de 2x2 – 3x então a divisão está terminada e temos que 6x3 – x + 10 = (2x2 – 3x)( 3x + 4,5) + 12,5 x +10. PRODUTOS NOTÁVEIS Na multiplicação de expressões algébricas, algumas vezes é possível determinar o produto sem efetuar a operação. Nesses casos, os resultados são conhecidos como produtos notáveis. Quadrado da soma de dois termos ou quadrado perfeito Observe a figura ABCD formada por dois quadrados e dois retângulos. O quadrado ABCD tem 5cm de lado e sua área é: A B 52 = 25cm2 C D Podemos desdobrar o quadrado ABCD em quatro quadriláteros: 3cm 3cm 2cm 2cm 333 3cm 2cm 3cm 2cm Comparando a área do quadrado ABCD com a soma das áreas dos quatros quadriláteros, podemos escreve, ( 3 + 2 )2 = 32 + 2 . 3 . 2 + 22 Portanto: O quadrado da soma de dois termos ( a + b )2 é igual ao quadrado do primeiro termo (a2) , mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo ( +2ab), mais o quadrado do segundo termo (+b2). Escrevemos: ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 Exemplos: 1x2x11x2x)1x( 222 ++=+⋅⋅+=+ 25x20x455)x2(2)x2()5x2( 36232323 ++=+⋅⋅+=+ Exemplo: Fatore 4x2+4x+1. Note que 2222 )1x2(11x22)x2(1x4x4 +=+⋅⋅+=++ Assim, 22 )1x2(1x4x4 +=++ . Quadrado da diferença de dois termos O quadrado da diferença de dois termos (a – b)2 é igual ao quadrado do primeiro termo (a2), menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo (-2ab), mais o quadrado do segundo termo (+b2). Escrevemos: ( a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Exemplos: 16x8x44x2x)4x( 2222 +−=+⋅⋅−=− 9y12y433y22)y2()3y2( 2222 +−=+⋅⋅−=− Produto da soma pela diferença: O produto da soma pela diferença de dois termos (a+b) . (a-b) é igual ao quadrado do primeiro termo (a2) menos o quadrado do segundo termo (-b2). Escrevemos: (a+b) (a –b) = a2 – b2 Note que expressão acima é verdadeira visto que se fizermos a distributiva de ( a – b)(a + b) obteremos 2222 babababa)ba)(ba( −=−+−=+− . Exemplos: (x-2). (x+2)= x2 - 22 = x2 – 4 (x-y) (x+y)=x2 – y2 242222 1x1)x()1x)(1x( −=−=+− Cubo da soma de dois termos ou cubo perfeito Observe o desenvolvimento das potências a seguir: (x+1)3 = (x + 1)2 (x+1)= (x2 +2x +1) (x+1)= = x2 .x + x2 .1 + 2x . x + 2x . 1 + 1.x + 1.1= = x3 + x2 + 2x2 + 2x + x + 1= = x3 + 3x2 + 3x + 1 O cubo da soma de dois termos (a+b)3 é igual ao cubo do primeiro termo (a3), mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo (+3 a2b), mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo (+3 ab2), mais o cubo do segundo termo (+b3). Escrevemos: (a + b )3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3 Exemplos: 3232233 xx6x128xx23x232)x2( +++=+⋅⋅+⋅⋅+=+ 9 1 3 xxx 3 1 3 1x3 3 1x3x 3 1x 23 32 23 3 +++= + ⋅⋅+⋅⋅+= + Cubo da diferença de dois termos Observe o desenvolvimento a seguir: (x – 1)3 = (x-1)2 (x-1) = (x2 – 2x + 1) (x-1)= = x2 .x – x2 .1 – 2x . x – 2x(-1) + 1.x + 1. (-1)= = x3 – x2 – 2x2 + 2x + x –1= x3 – 3x2 + 3x -1 O cubo da diferença de dois termos (a – b)3 é igual ao cubo do primeiro termo (a3), menos três vezes o quadrado do primeiro termo pelo segundo (-3 a2b), mais três vezes o primeiro termo pelo quadrado do segundo (+3 ab2), menos o cubo do segundo termo (-b3). Escrevemos: (a – b)3 = a3 – 3 a2b + 3 ab2 - b3 Exemplos: 8y12y6y22y32y3y)2y( 2332233 −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=− ( ) 3232233 bb3b31bb13b131b1 −+−=−⋅⋅+⋅⋅−=− FATORAÇÃO Definição: Fatorar é transformar uma expressão algébrica em um produto de fatores. Em geral, quando se é pedido para “fatorar” uma expressão, queremos que a expressão seja reescrita como produto de fatores os mais simples possíveis. Temos algumas regras muito utilizadas para fatorar polinômios e que merecem destaque. Fator Comum ax + bx = (a+b) x Ex: 2x2 + 4x – 6xy = 2x(x + 2 - 3y) (fator comum = 2x) Agrupamento ax + bx + ay + by = (a+b) x + (a+b) y = (a+b) (x+y) Ex: 2ay2 + bx + 2by2 + ax = 2y2(a + b) + x(b + a) = (a + b)(2y2 + x) Trinômio Quadrado Perfeito ( )222 babab2a +=++ ( )222 babab2a −=+− Ex: 2222 )3x(33x2x9x6x +=+⋅⋅+=++ 2222 )1x2(11x22)x2(1x4x4 −=+⋅⋅−=+− Trinômio do Segundo Grau Sejam x1 e x2 raízes da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), com 0≥∆ . A soma S dessas raízes é S = x1 + x2 = – b/a O produto P dessas raízes é P = x1.x2 = c/a Observando esses resultados, podemos escrever a equação do 2º grau citada: ax2 + bx + c = 0 (dividindo por a) x2 + b/a x + c/a = 0 Assim: x2 – Sx + P = 0 Ex: )3x)(2x(6x5x2 ++=++ , já que 325 += e 326 ⋅= . Diferença de dois Quadrados ( )( )yxyxyx 22 −+=− Ex: )7x)(7x(7x49x 222 −+=−=− )1x3)(1x3(1)x3(1x9 222 −+=−=− )1x)(1x)(1x()1x)(1x(1)x(1x 2222224 −++=−+=−=− Soma e Diferença de Dois Cubos ( )( )2233 yxyxyxyx +−+=+ ( )( )2233 yxyxyxyx ++−=− Ex: )4x2x)(2x()22xx)(2x(2x8x 222333 +−+=+⋅−+=+=+ ( ) )9x6x4)(3x2(33x2)x2()3x2(3)x2(27x8 222333 ++−=+⋅+−=−=− Cubo Perfeito ( )33223 yxyxy3yx3x +=+++ ( )33223 yxyxy3yx3x −=−+− Ex: 3322323 )1x(11x31x3x1x3x3x +=+⋅⋅+⋅⋅+=+++ 3322323 )2x(22x32x3x8x12x6x −=−⋅⋅+⋅⋅−=−+− Polinômio de segundo grau )rx)(rx(acbxax 21 2 −−=++ , onde r1 e r2 são as raízes (complexas ou reais) do polinômio cbxax2 ++ , que podem ser encontradas facilmente pela fórmula de Baskara a2 ac4bbr 2 −±− = . Ex: Como 2r1 = e 3r2 = são raízes do polinômio 6x5x 2 +− então )3x)(2x(6x5x2 −−=+− . Como 1r1 −= e 4r2 = são raízes do polinômio 4x3x 2 −− então )4x)(1x()4x))(1(x(4x3x2 −+=−−−=−− . SIMPLIFICAÇÔES DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS MDC (máximo divisor comum) é dado pelo produto dos fatores com os menoresexpoentes. MMC (mínimo múltiplo comum) é dado pelo produto dos fatores comuns tomados com os maiores expoentes. Exemplo: Simplificar, efetuando as operações indicadas: 22 yx xy2 yx y yx x − + − + + = MMC = ( )( ) ( )22 yxyxyx −=−+ ( ) ( )( ) ( )( ) yx yx yxyx yxyx yx yx yx xy2yxyxyx yx xy2 yx )yx(y yx )yx(x 22 2 22 22 222222 − + = +− ++ = = − + = − +++− = − + − + + − − = NÃO COMETAM MAIS ESTES ERROS CERTO ERRADO ( )2ba − ( ) 222 bab2aba +−=− ( )( ) 22 bababa −=+− ( ) 222 baba −=− ( )2ba + ( ) 222 bab2aba ++=+ ( ) 222 baba +=+ ( )ba +− ( ) baba −−=+− ( ) baba +−=+− ( )ba −− ( ) baba +−=−− ( ) baba −−=−− b ba + 1 b a b b b a b ba +=+= + a b ba = + b 1 a 1 + ab ab b 1 a 1 + =+ ba 1 b 1 a 1 + =+ b 1 a 1 − ab ab b 1 a 1 − =− ba 1 b 1 a 1 − =− . a ba − a b1 a b a a a ba −=−= − b a ba −= − ba + ( ) 21baba +=+ baba +=+ Bibliografia: 1) Iezzi G, Dolce O, Gegenszain D, Périgo R. Matemática. Volume único. Atual editora. São Paulo, 2002. 2) Iezzi G. Fundamentos da Matemática Elementar – vol.6. Atual editora. São Paulo, 2000. EXERCÍCIOS SOBRE POLINÔMIOS 1) Encontre as raízes dos polinômios abaixo. a) 8x2x)x(P 2 −+= b) xx2x)x(G 23 +−= c) 2x3x)x(F 2 +−= 2) Divida o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) e apresente o resultado na forma )x(R)x(Q)x(D)x(P +⋅= onde R(x) é o resto e Q(x) é o quociente. a) 1x4x2x)x(P 23 +−+= e 1x)x(D −= b) 4x3x)x(P 24 −−= e 2x)x(D += c) 2x3xx)x(P 23 −+−= e 3x2x)x(D 2 +−= d) 2xx)x(P 34 −+= e 5xx)x(D 2 +−= 3) Utilize produtos notáveis para expandir as expressões abaixo. a) ( x + 1 )2 b) ( a + 5 )2 c) ( a2 + 1 )2 d) ( 3y + 2 )2 e) 2 4 y 2 x + f) ( 2a + 10 )2 g) ( x2 + y2 ) 2 h) ( 2xy + 5 )2 i) ( 2 – s )2 j) (2m – n )2 k) 2 3 y 2 x − l) (a2 – b2 )2 m) 2 2 1a − n) ( )223 ab3a − o) (2+m) (2-m) p) − + 2 d 3 c 2 d 3 c q) ( 1 – 3v) (1 + 3v) r) ( 1 + a )3 s) 3 3 s 2 x + t) ( 2c + 3d)3 u) (2 – x)3 v) (a2 – 2)3 w) 3 s 2 1 − x) (3m – 2n )3 y) (2m –b) (2m + b) z) 3 4 3 a + 4) Fatore (ao máximo) os polinômios abaixo. a) 222232 zx3zyx5zx2zx +−− b) 2222222 yt3zy5xyt12xyz20tx12zx20 −+−+− c) ( ) ( ) ( )22 cz5)cz5(yx2yx ++++−+ d) 4 3 x 12 63 x9 2 ++ e) ( ) ( ) 2222 36191219 xxxx ++−+ f) nn xx 236 + g) 22 22 363 16 ybabxyxa +− 5) Simplifique as expressões abaixo utilizando as operações necessárias. a) xy yx yx yx yx yx yx yx yx yx 22 22 . + + − + − + + − − − + b) 2 22 44 22 22 2 4 . 42 x yx yx yx yx x yx x yx x − − + + + + + − c) 2222 22 xa bx ba xa + ÷ − d) b b aba 1 1 11 3 +− + RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS DE POLINÔMIOS 1) a) x = - 4 e x = 2 b) x = 0 e x = 1 (raiz dupla) c)x = 1 e x = 2 2) a) 1x3x)x(Q 2 −+= ; 0)x(R = portanto, ( )( ) 01x3x1x1x4x2x 223 +−+−=+−+ b) 2xx2x)x(Q 23 −+−= ; 0)x(R = portanto, ( )( ) 02xx2x2x4x3x 2324 +−+−+=−− c) 1x)x(Q += ; 5x2)x(R −= portanto, ( )( ) 5x21x3x2x2x3xx 223 −+++−=−+− d) 3x2x)x(Q 2 −+= ; 13x13)x(R +−= portanto, ( )( ) 13133252 2234 +−−++−=−+ xxxxxxx 3) a) x2 + 2x + 1 b) a2 + 10a + 25 c) a4 + 2 a2 + 1 d) 9y2 + 12y + 4 e) 16 y 4 xy 4 x 22 ++ f) 4 a2 +40a + 100 g) x4 + 2x2y2 + y4 h) 4x2y2 + 20xy + 25 i) 4 – 4s + s2 j) 4m2 – 4mn + n2 k) 2 2 4 3 9 x xy y − + l) a4 – 2a2b2 + b4 m) 2 1 4 a a− + n) 6 4 2 2 46 9a a b a b− + o) 4-m2 p) 2 2 9 4 c d − q) 1 – 9v2 r) 1 + 3 a + 3 a2 + a3 s) 3 2 2 3 8 4 6 27 x x s xs s + + + t) 8c3 + 36c2d + 54cd2 + 27d3 u) 8 – 12x + 6x2 – x3 v) a6 – 6 a4 + 12 a2 – 8 w) 2 31 3 3 8 4 2 s s s− + − x) 27m3-54m2n+36mn2-8n3 y) 4m2 – b2 z) 3 21 4 16 64 27 3 a a a+ + + 4) a) x2z(1 – 2xz – 5y + 3z) b) 2 2(2 ) (5 3 )x y z t+ − c) 2( 5 )x y z c+ − − d) + + 4 1x 3 1x9 e) 4(3 1)x − f) 2 (6 1)n nx x + g) 2 by6 4 ax − 5)a) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2( ) 2 2 2( )( )( ). . . ( ) ( ) 2 2 ( )( ) 4 2( ) . 4 2( ) x y x y x y x y x y x y x xy y x xy y x yx y x y x y x y x y x y xy xy xyx y x y x xy y x xy y x y x y x y x y xy x y xyx y + − + − − − + + + + − + − +− + + − = = = + − + + − + + + − ++ − + + − + = + b) x4 – y4 = (x2 – y2 ). (x2 +y2) = ( x+y).(x-y). (x2 +y2) 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 4 ( ). 4 x x x x y x y x y x y x y x y x − + + + = − + + − = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 2 ( )( ) 4 ( )( ) ( ). ( )( )( ) 4 x x y x y x x y x y x x y x y x y x y x y x y x y x y x + + + − + + + − + + − + − + = = 4 2 2 3 3 4 2 2 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 ( ). 4 x x y x y xy x x y x y xy x x y x y x y x + + + + + − − + − + + = = 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 1 4 ( ) 1 ( ). . 1 4 4 x x y x x y x y x x y x + + = = + + c) 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 3 . a x bx a x a x a x bxa b a x a b a b x − − + − ÷ = = + d) 3 3 23 3 2 3 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1)( 1) 1 . 1 1 1 ( 1)1 b a b b b b b bab ab b b ab b b ab b b abb b b + + + + − + + = = = = − + − + − + − +
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