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5a Prova ASD 2012

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UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu 
CECE – Centro de Engenharia e Ciências Exatas 
Engenharia Elétrica 
Análise de Sistemas Dinâmicos [ ASD 2012] 
Nota 
 
Quinta Prova 31.10.12 
Nome: _________________________________________________________________ 
 
1. A Figura 1 mostra um sistema dinâmico do tipo 
MIMO (Multiple Input Multiple Output), submetido às 
excitações senoidais: )cos()( 0101011 φ+Ω⋅= tXtx e 
)cos()( 0202022 φ+Ω⋅= tXtx Para este sistema: a) 
explique o que são, qual a ordem e quais os elementos da 
matriz de transferência (MT) e da matriz das funções de 
resposta em frequência (MFRF) do sistema (5 pontos); Figura 1 Sistema dinâmico 
 
b) determine as saídas )(1 ty e )(2 ty
 
a partir dos elementos da matriz de funções de resposta em 
frequência do sistema (5 pontos); c) explique para que condição operativa e para que tipo de 
sistema dinâmico esta determinação é válida (5 pontos); d) explique como pode ser determinado 
experimentalmente o termo )(12 ωjH da matriz MFRF (5 pontos). 
2. A Figura 2 mostra um sistema dinâmico do tipo 
MMA (Massa-Mola-Amortecedor) de 1GL (grau de 
liberdade) ou 1DoF (one degree of freedom). 
Considere m = 300 kg, k = 0,3 MN/m e fator de 
amortecimento de 0,20. O sistema é excitado por 
uma força senoidal: )cos()( 00 tFtF Ω⋅= , com 0F = 
200 N e 0Ω = 10pi rad/s. Determine a vibração deste 
sistema em regime permanente (20 pontos). A 
 
Figura 2 Sistema dinâmico 1 DoF 
 
 
 
3. A Figura 3 mostra o sistema dinâmico do 
problema anterior, modificado para funcionar como 
um absorvedor de vibração, isto é, o corpo de massa 
m deve parar de vibrar. Para este caso: a) determine 
detalhadamente o modelo matemático, fazendo os 
diagramas de corpo livre necessários, deixando 
explícitas as leis, as relações constitutivas e os 
princípios utilizados (10 pontos); b) determine a 
matriz de transferência e a matriz de funções de res- Figura 3 Sistema dinâmico 2 DoF 
 
 
 
posta em frequência do sistema, deixando-as indicadas em função dos parâmetros do sistema 
(Nota: recomendo que proceda assim porque os resultados obtidos poderão ser utilizados na 
próxima questão) (10 pontos); c) determine am e ak de forma que o sistema seja o mais eficiente 
 
v(t)
Filtro
H(jω)
v0(t)Sistema 
Dinâmico
)(1 tx )(1 ty
)(2 tx )(2 ty
kc
m
y(t)
F(t)
ka
maya kc
m
y(t)
F(t)
 
UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu 
CECE – Centro de Engenharia e Ciências Exatas 
Engenharia Elétrica 
Análise de Sistemas Dinâmicos [ ASD 2012] 
Nota 
 
Quinta Prova 31.10.12 
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possível ( 0)( =ty ) (10 pontos), justificando o seu cálculo e explicando o que está acontecendo 
com o sistema (5 pontos); d) determine também a vibração do corpo de massa am , ou seja, 
determine )(ty a (5 pontos); 
4. Considere agora uma situação completamente diferente na qual o sistema passa a ser 
conservativo, isto é, passa a não dissipar energia. Ele é alterado de modo que mma = e kka 2= . 
Definindo-se mkn /=ω , determine: a) a função de resposta em frequência )(11 ωjH , verificando a 
possibilidade de utilizar resultados anteriores (5 pontos); b) faça em escala (5 pontos) o diagrama 
de amplitude da FRF, identificando polo(s) e zero(s), se houver (10 pontos). 
 
Boa sorte! 
 
 
UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu 
CECE – Centro de Engenharia e Ciências Exatas 
Engenharia Elétrica 
Análise de Sistemas Dinâmicos [ ASD 2012] 
Nota 
 
Quinta Prova 31.10.12 
Nome: _________________________________________________________________ 
 
1. A Figura 1 mostra um sistema dinâmico do tipo 
MIMO (Multiple Input Multiple Output), submetido às 
excitações senoidais: )cos()( 0101011 φ+Ω⋅= tXtx e 
)cos()( 0202022 φ+Ω⋅= tXtx Para este sistema: a) 
explique o que são, qual a ordem e quais os elementos da 
matriz de transferência (MT) e da matriz das funções de 
resposta em frequência (MFRF) do sistema (5 pontos); Figura 4 Sistema dinâmico 
 
b) determine as saídas )(1 ty e )(2 ty
 
a partir dos elementos da matriz de funções de resposta em 
frequência do sistema (5 pontos); c) explique para que condição operativa e para que tipo de 
sistema dinâmico esta determinação é válida (5 pontos); d) explique como pode ser determinado 
experimentalmente o termo )(12 ωjH da matriz MFRF (5 pontos). 
2. A Figura 2 mostra um sistema dinâmico do tipo 
MMA (Massa-Mola-Amortecedor) de 1GL (grau de 
liberdade) ou 1DoF (one degree of freedom). 
Considere m = 200 kg, k = 0,3 MN/m e fator de 
amortecimento de 0,10. O sistema é excitado por 
uma força senoidal: )cos()( 00 tFtF Ω⋅= , com 0F = 
200 N e 0Ω = 12pi rad/s. Determine a vibração deste 
sistema em regime permanente (20 pontos). B 
 
Figura 5 Sistema dinâmico 1 DoF 
 
 
 
3. A Figura 3 mostra o sistema dinâmico do 
problema anterior, modificado para funcionar como 
um absorvedor de vibração, isto é, o corpo de massa 
m deve parar de vibrar. Para este caso: a) determine 
detalhadamente o modelo matemático, fazendo os 
diagramas de corpo livre necessários, deixando 
explícitas as leis, as relações constitutivas e os 
princípios utilizados (10 pontos); b) determine a 
matriz de transferência e a matriz de funções de res- Figura 6 Sistema dinâmico 2 DoF 
 
 
 
posta em frequência do sistema, deixando-as indicadas em função dos parâmetros do sistema 
(Nota: recomendo que proceda assim porque os resultados obtidos poderão ser utilizados na 
próxima questão) (10 pontos); c) determine am e ak de forma que o sistema seja o mais eficiente 
possível ( 0)( =ty ) (10 pontos), justificando o seu cálculo e explicando o que está acontecendo 
 
v(t)
Filtro
H(jω)
v0(t)Sistema 
Dinâmico
)(1 tx )(1 ty
)(2 tx )(2 ty
kc
m
y(t)
F(t)
ka
maya kc
m
y(t)
F(t)
 
UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu 
CECE – Centro de Engenharia e Ciências Exatas 
Engenharia Elétrica 
Análise de Sistemas Dinâmicos [ ASD 2012] 
Nota 
 
Quinta Prova 31.10.12 
Nome: _________________________________________________________________ 
 
com o sistema (5 pontos); d) determine também a vibração do corpo de massa am , ou seja, 
determine )(ty a (5 pontos); 
4. Considere agora uma situação completamente diferente na qual o sistema passa a ser 
conservativo, isto é, passa a não dissipar energia. Ele é alterado de modo que mma = e kka 2= . 
Definindo-se mkn /=ω , determine: a) a função de resposta em frequência )(11 ωjH , verificando a 
possibilidade de utilizar resultados anteriores (5 pontos); b) faça em escala (5 pontos) o diagrama 
de amplitude da FRF, identificando polo(s) e zero(s), se houver (10 pontos). 
 
Boa sorte! 
 
 
 
UNIOESTE – Campus de Foz do Iguaçu 
CECE – Centro de Engenharia e Ciências Exatas 
Engenharia Elétrica 
Análise de Sistemas Dinâmicos [ ASD 2012] 
Nota 
 
Quinta Prova 31.10.12 
Nome: _________________________________________________________________ 
 
1. A Figura 1 mostra um sistema dinâmico do tipo 
MIMO (Multiple Input Multiple Output), submetido às 
excitações senoidais: )cos()( 0101011 φ+Ω⋅= tXtx e 
)cos()( 0202022 φ+Ω⋅= tXtx Para este sistema: a) 
explique o que são, qual a ordem e quais os 
elementos da matriz de transferência (MT) e da 
matriz das funções de resposta em frequência 
(MFRF) do sistema (5 pontos); 
Figura 7 Sistema dinâmico 
 
b) determine as saídas )(1 ty e )(2 ty
 
a partir dos elementos da matriz de funções de resposta em 
frequência do sistema (5 pontos); c) explique para que condição operativa e para que tipo de 
sistema dinâmico esta determinação é válida (5 pontos); d) explique como pode ser determinado 
experimentalmente o termo )(12 ωjH da matriz MFRF (5 pontos).