673379 calc2lista32015 (1)

Prévia do material em texto

Disciplina:Calculo III Curso: Física Lista de exercícios
Prof.: Loester Sá 22/04/2016
Aluno(a): Nota:
Todas as questões devem ser devidamente justificadas com explicações ou cálculos. Questões escritas
com grafite não serão revisadas.
1. Verifique que a hipérbole dada em coordenadas por (ch t, sh t), cosseno hiperblico (ch t = e
x+e−x
2
)
e seno hiperblico sh t = e
x−e−x
2
, verifica as afirmações:
a) A derivada de sh é ch e virce versa.
b) ch e sh satisfazem a relação x2 − y2 = 1, a qual define a hipérbole.
c) Calcule a área da região rachurada na figura em funçao de t.
d) Verifique que o valor do parâmetro t é exatamente o dobro da área.
2. Calcule:
a)
∫ 1
0
F (x)dx, onde F (x) =
∫ x
1
e−t
2
dt. (sugest: Integre por partes) b)
∫ +∞
1
1
x3
dx.
c)
∫ +∞
1
1√
x
dx d)
∫ +∞
1
1
x3
dx e)
∫ +∞
−∞ e
−|x|dx f)
∫ +∞
0
e−t sin tdx
g)
∫ +∞
0
e−sttndx h)
∫ +∞
0
e−st sin αtdx, onde α e s > 0 são reais dados.
3. a) questão 5 pág. 44 Guidorizzi vol.2 b) questão 6 pág. 44 Guidorizi vol.2
4. Uma função f é dita uma densidade de probabilidade se as seguintes condiçõessão satisfeitas:
i)f(x) ≥ 0 para todo x;
ii)
∫ +∞
−∞ f(x)dx = 1.
a) Verifique que: f(x) =
{
e
− x
β
β
, x ≥ 0
0, x < 0
é uma função densidade de probabilidade.
b) Dizemos que uma variável aleatória X tem função densidade de probabilidade f se a probabilidade
de X pertencer a um intervalo (a, b) é a integral de f neste intervalo, P (a < X < b) =
∫ b
a
f(x)dx.
Calcule P (X < 0), P (X > 0) e P (−1 < X < 2), assumindo que X é uma variável aleatória com a
funçao densidade de probabilidade dada no item anterior.
5. Determine as fórmulas para os cálculos dos volumes dos sólidos gerados pela rotação do gráfico de
uma função f : [a, b] −→ R em torno do eixo x e do eixo y. Dê exemplos e esboce os desenhos dos
sólidos.
6. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x, dos seguintes conjuntos de
pontos (x, y) tais que:
a) 1 ≤ x2 + y2 ≤ 3 e y ≥ 0 b) 1
x
≤ x ≤ 1 e 1 ≤ x ≤ 2.
7. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, dos seguintes conjuntos de
pontos (x, y) tais que:
a) 0 ≤ x ≤ 6 e 0 ≤ y ≤ 3√x. b) y2 ≤ 2x− x2 e y ≥ 0.
8. Guidorizzi Vol 1; (5
a
edição). Página 412, questão 2.
9. Calcule o comprimento do g¯afico de uma função C1 vista como uma curva parametrizada. Dê
exemplos.
10. Calcule a área da região limitada por:
a) ρ = 1− cos θ e 0 ≤ θ ≤ pi. (coordenadas polares)
b) ρ = cos 2θ.
11. Guidorizzi Vol 1; (5
a
edição). Página 438, questões 1 e 4.
2