Lista Espaços Vetoriais e Subespaços

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Espac¸os vetoriais e subespac¸os vetoriais
28 de fevereiro de 2013
1. Determine se o conjunto equipado com as operac¸o˜es dadas e´ um espac¸o
vetorial. Para os que na˜o sa˜o espac¸os determinem os axiomas que falham.
a) O conjunto de todos os nu´meros reais com as operac¸o˜es padra˜o de adic¸a˜o
e multiplicac¸a˜o.
b) O conjunto de todos os pares de nu´meros reais da forma (x, 0) com as
operac¸o˜es padra˜o de R2.
c) O conjunto de todos os nu´meros reais da forma (x, y) em que x ≥ 0, com as
operac¸o˜es padra˜o de R2.
d) O conjunto de todas as func¸o˜es reais f definidas em cada ponto da reta
e tais que f(1) = 0, com as seguintes operac¸o˜es (f + g)(x) = f(x) + g(x) e
(af)(x) = af(x). O conjunto V com essas operac¸o˜es e´ denotado F (−∞,∞)
e) O conjunto de todos os polinoˆmios da forma a0 + a1x com as operac¸o˜es
(a0 + a1x) + (b0 + b1x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x e k(a0 + a1x) = (ka0) + k(a1x).
2) Prove que se u for um vetor arbitra´rio em um espac¸o vetorial V e a um
escalar tais que au = 0, enta˜o a = 0 ou u = 0
3) Determine quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os de Rn?
a) Todos os vetores da forma (a, 0, 0)
b) Todos os vetores da forma (a, 1, 1)
c) Todos os vetores da forma (a, b, c) com b = a + c
d) Todos os vetores da forma (a, b, c) com b = a + c + 1
c) Todos os vetores da forma (a, b, 0)
4) Quais dos seguintes conjuntos sa˜o subespac¸os de F (−∞,∞)?
a) Todas as func¸o˜es f em F (−∞,∞) tais que f(0) = 0.
b) Todas as func¸o˜es f em F (−∞,∞) tais que f(0) = 1.
c) Todas as func¸o˜es f em F (−∞,∞) tais que f(−x) = f(x).
d) Todos os polinoˆmios de grau 2.
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