Lista de exercícios 4

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Lista 4 – Cálculo Diferencial e Integral IV 
 
Sugestão para quem estiver com alguma dificuldade no assunto: 
 Um bom material extra pra quem sabe um pouco de inglês. São aulas ministradas por professores do MIT e que 
foram gravadas através da licença OpenCourseWare: 
 
http://academicearth.org/courses/differential-equations 
 
Equações Homogêneas a Coeficientes Constantes 
 
1 - Para as seguintes equações diferenciais de segunda ordem homogêneas: 
(i) Escreva o operador diferencial L de cada equação tal que a equação seja da forma L[y] =0; 
(ii) Resolva então a equação L[y] =0, escrevendo o polinômio característico associado a estas equações; 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: Não estranhe a forma da resposta, relembre a definição de núcleo. 
 
2-Resolva os seguintes problemas de valor inicial: 
 
a) 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Redução de Ordem 
 
3-Usando o método da redução de ordem, primeiro, verifique que é de fato solução das equações abaixo, e 
em seguida ache a solução geral das equações: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
4- Verifique que se tivermos uma equação da forma e conhecermos uma solução 
particular, não identicamente nula, , ao procurarmos uma solução teremos de fato 
uma equação linear em termos de e ache uma expressão geral para esta equação. 
 
 
 
 
 
 
Extra: É possível usar o método da redução de ordem de uma forma alternativa, se utilizar a identidade de Abel e 
algumas simples considerações sobre as constantes envolvidas. Observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Método dos Coeficientes Constantes 
 
5 - Para as seguintes equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas: 
(i) Escreva o operador diferencial L de cada equação tal que a equação seja da forma L[y] ; 
 (ii) Resolva então L[y] = 0 (homogênea associada) e use-a para resolver L[y] = f(x); 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
 
f) 
 
 
 
 
 
g) 
 
 
h) 
 
i) 
 
 
 
j) 
 
 
 
 
6 – Dar a solução do problema de valor inicial: 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
7 – Dar a solução do problema de valor inicial: ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8-Dar a solução dos seguintes problemas de valor inicial: 
 
a) 
 
 
 
b)