1ª lista de exercicios - algebra 1

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Universidade Estadual de Montes Claros-Unimontes
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas-CCET
Departamento de Matema´tica
Exerc´ıcios
1- Resolver o sistema
(a)

2x+ 3y − z = 0
x− 4y + z = 0
3x+ y − 2z = 0
(b)

log2(x+ y + z) = 0
logy(x+ z) = 1
log3 5 + log3 x = log3(y − z)
(c)

x+ 2t− z = 0
2x− y + 3z = 0
4x+ 3y + z = 0
(d)

2x · 2y · 2z = 8
3x · 3z = 39 · 9y
125 · 5x = 5z
(e)

x− y cosα− z cos β = 0
y − z cos γ − x cosα = 0
z − x cos β − y cos γ = 0
(f)

x+ y + z + w = 1
2x− y + z = 2
−x+ y − z + w = 0
2x+ 2z + w = −1
2- Discutir os seguintes sistemas nas inco´gnitas x e y.
(a)
{
x+ y = 3
2x+my = 6
(b)
{ −x− 2y = −ax
−2x+ ay = y
(c)
{
2x+ ay = a
6x− 3y = 2
(d)
{
ax− y = 1
(a− 1)x+ 2ay = 4
3- Apresente 3 valores de a para os quais o sistema:
{
x+ y = a
a2x+ y = a
seja, respectivamente, indetermi-
nado, incompat´ıvel, determinando.
4- Discutir, segundo os valores do paraˆmetro m, os sistemas
(a)

x+ y + z = 0
mx+ 3y + 5z = 0
m2x+ 9y + 25z = 0
(b)

m(x+ y) + z = 0
m(y + z) + x = 0
m(z + x) + y = 0
5- Para que valores de a sa˜o equivalentes os sistemas{
x = 1
y = 1
{
ax+ y = a+ 1
x+ y = 2
6- Calcular as matrizes 2A,
1
3
B e
1
2
(A+B), sendo dadas A =
[
1 = 1
5 = 7
]
e B =
[
0 = 6
9 = 3
]
.
7- Se A =
[
1 = 7
2 = 6
]
, B =
[
2 = 1
4 = 3
]
. e C =
[
0 = 2
2 = 0
]
. determinar X em cada uma das equac¸o˜es
abaixo:
(a) 2X + A = 3B + C
(b) x+ A =
1
2
(B − C)
(c) 3X + A = B −X
(d)
1
2
(X − A−B) = 1
3
(X − C)
8- Determinar as matrizes X e Y que satisfazem o sistema:
(a)
{
X + Y = A
X − Y = B , sendo dadas A =
[
1 4 7
]
e B =
[
2 1 5
]
,
Prof: Renno Guedes 1 Disciplina: A´lgebra Linear Per´ıodo: 2o
Universidade Estadual de Montes Claros-Unimontes
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas-CCET
Departamento de Matema´tica
(b)
{
2X + 3Y = A+B
3X + 4Y = A−B , sendo dadas A =
 13
9
 e B =
 25
0
 ,
9- Calcule
(a) A2, A3, A4 e An(n ∈ N n ≥ 1), sendo A =
[
1 1
0 1
]
.
(b) AB,BA,A2 e B2, sabendo que A =
[
2 1
−4 −2
]
e B =
[
2 1
1 0
]
.
(c) ABC, sabendo que A =
[
1 2
5 1
]
, B =
[
1 1 1
3 2 1
]
e C =
 3 11 0
2 −1

10- Provas que se A e B sa˜o matrizes comuta´veis, enta˜o valem as seguintes igualdades
(a) (A+B)(A−B) = A2 −B2.
(b) (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
(c) (A−B)2 = A2 − 2AB +B2.
(d) (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 +B3.
(e) (A−B)3 = A3 − 3A2B + 3AB2 −B3.
(f) (AB)n = AnBn.
11- Calcular todas as matrizes X, quadradas de ordem 2, tais que X2 = 0.
12- Determinar, em cada caso, a matriz X.
(a) X =
[
1 2 5
−1 7 2
]t
(b) 2X =
[
1 1 1
2 3 4
]t (c) X +
[
1 2
5 1
]
=
[
0 0
2 3
]t
(d) 3X =
[
1 1
2 7
]
−
[
1 4
7 2
]
13- Provar que se A e B sa˜o matrizes sime´tricas de ordem n, enta˜o A+B tambe´m e´ sime´trica.
14- Determinar x, y, z para que a matriz
(a) A =
 1 x 52 7 −4
y z −3
 seja sime´trica. (b) B =
 0 −4 2x 0 1− z
y 2z 0
 seja anti-sime´trica.
15- Determinar a inversa de cada matriz abaixo
(a) A =
 1 1 01 0 1
0 1 1
 (b) B =
 1 0 11 2 3
1 2 4
 (c) C =
 1 9 53 1 2
6 4 4

16- Escrever X em func¸a˜o de A,B e C, sabendo que A,B e C sa˜o matrizes quadradas de ordem n invers´ıveis
e AXB = C.
17- Sendo A e B matrizes invers´ıveis de ordem n, encontre X.
(a) AX = B
(b) AXB = In
(c) (AX)−1 = B
(d) BAX = A
(e) (AX)t = B
(f) (A+X)t = B
Prof: Renno Guedes 2 Disciplina: A´lgebra Linear Per´ıodo: 2o
Universidade Estadual de Montes Claros-Unimontes
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas-CCET
Departamento de Matema´tica
18- Provar que se A,B e C sa˜o matrizes invers´ıveis de ordem n, enta˜o (ABC)−1 = C−1B−1A−1.
Prof: Renno Guedes 3 Disciplina: A´lgebra Linear Per´ıodo: 2o