Rotacional e divergente

Prévia do material em texto

Aula 21
Rotacional e Divergente
MA211 - Cálculo II
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Introdução
I Rotacional e divergente são duas operações essenciais
nas aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos
fluidos, eletricidade e magnetismo, entre outras áreas.
I Em termos gerais, o rotacional e o divergente lembram a
derivada mas produzem, respectivamente, um campo
vetorial e um campo escalar.
I Ambas operações são descritas em termos do operador
diferencial ∇.
Operador Diferencial e o Vetor Gradiente
Definição 1 (Operador Diferencial)
O operador diferencial é definido como:
∇ =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
= i
∂
∂x
+ j
∂
∂y
+ k
∂
∂z
.
Exemplo 2 (Vetor Gradiente)
O vetor gradiente é obtido aplicando o operador diferencial ∇
num campo escalar f , ou seja,
∇f =
(
∂f
∂x
,
∂f
∂y
,
∂f
∂z
)
= i
∂f
∂x
+ j
∂f
∂y
+ k
∂f
∂z
.
Definição 3 (Rotacional)
Se F = Pi+ Qj+ Rk é um campo vetorial em R3, então o
rotacional de F, denotado por rot F, é o campo vetorial dado
pelo produto vetorial do operador diferencial com F, ou seja,
rot F = ∇× F.
Em outras palavras,
rot F = ∇× F =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
× (P,Q,R)
=
∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
∣∣∣∣∣∣
=
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
i+
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)
j+
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
k.
Definição 4 (Divergente)
Se F = Pi+ Qj+ Rk é um campo vetorial em R3, então o
divergente de F, denotado por div F, é o campo escalar dado
pelo produto escalar do operador diferencial com F, ou seja,
div F = ∇ · F.
Em outras palavras,
div F = ∇ · F =
(
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
)
· (P,Q,R)
=
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
Exemplo 5
Determine o rotacional e o divergente de
F(x , y , z) = xzi+ xyzj− y2k.
Exemplo 5
Determine o rotacional e o divergente de
F(x , y , z) = xzi+ xyzj− y2k.
Resposta: O rotacional é
rot F = −y(x + 2)i+ x j+ yzk.
O divergente é
div F = z + xz.
Teorema 6
Se f é uma função de três variáveis que tem derivadas parciais
de segunda ordem contínuas, então o rotacional do gradiente
de f é o vetor nulo, ou seja,
rot (∇f ) = 0.
Demonstração.
Pelo teorema de Clairaut, temos
rot (∇f ) =
∣∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
∂f
∂x
∂f
∂y
∂f
∂z
∣∣∣∣∣∣∣ =
(
∂2f
∂y∂z
− ∂
2f
∂z∂y
)
i
+
(
∂2f
∂z∂x
− ∂
2f
∂x∂z
)
j+
(
∂2f
∂x∂y
− ∂
2f
∂y∂x
)
k
= 0i+ 0j+ 0k
Lembre-se que F é um campo vetorial conservativo se F = ∇f
para alguma função escalar f . Logo,
Coroário 7
Se F é um campo vetorial conservativo, então rot F = 0.
Desse modo, se rot F 6= 0, F não é um campo vetorial
conservativo.
Exemplo 8
O campo vetorial
F(x , y , z) = xzi+ xyzj− y2k,
do Exemplo 5 não é conservativo porque
rot F = −y(x + 2)i+ x j+ yzk,
é diferente do vetor nulo.
A recíproca do Teorema 6 pode ser enunciada da seguinte
forma:
Teorema 9
Se F = Pi+ Qj+ Rk for um campo vetorial definido sobre todo
R3 cujas funções componentes P,Q e R tenham derivadas
parciais de segunda ordem contínuas e rot F = 0, então F será
um campo vetorial conservativo.
Exemplo 10
a) Mostre que o campo vetorial
F(x , y , z) = y2z3i+ 2xyz3j+ 3xy2z2k,
é conservativo.
b) Determine uma função potencial f tal que F = ∇f .
Exemplo 10
a) Mostre que o campo vetorial
F(x , y , z) = y2z3i+ 2xyz3j+ 3xy2z2k,
é conservativo.
b) Determine uma função potencial f tal que F = ∇f .
Resposta:
a) Como rot F = 0 e o domínio de F é todo R3, F é um campo
vetorial conservativo.
b) A função
f (x , y , z) = xy2z3 + K ,
em que K é uma constante, é tal que ∇f = F.
Teorema 11
Se F = Pi+ Qj+ Rk é um campo vetorial sobre R3 e P, Q e R
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, então
div rot F = 0.
Demonstração.
Pela definição de divergente e rotacional, temos que
div rot F = ∇ · (∇× F) = ∂
∂x
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)
+
∂
∂y
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)
+
∂
∂z
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
=
∂2R
∂x∂y
− ∂
2Q
∂x∂z
+
∂2P
∂y∂z
− ∂
2R
∂y∂x
+
∂2Q
∂z∂x
− ∂
2P
∂z∂y
= 0
pelo teorema de Clairaut.
Exemplo 12
O campo vetorial
F(x , y , z) = xzi+ xyzj− y2k,
do Exemplo 5 não pode ser escrito como o rotacional de outro
campo vetorial porque div F 6= 0. Com efeito, se existisse G tal
que F = rot G, então div F = div (rot G) = 0.
O divergente do vetor gradiente de uma função de três
variáveis f é
div (∇f ) = ∇ · (∇f ) = ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
.
Definição 13 (Operador e Equação de Laplace)
O operador de Laplace ou laplaciano, denotado por ∇2, para
funções de três variáveis é
∇2 = ∂
2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
.
A equação de Laplace é
∇2f = 0 ou seja ∂
2f
∂x2
+
∂2f
∂y2
+
∂2f
∂z2
= 0.
Formas vetoriais do teorema de Green
O teorema de Green afirma que∫
C
Pdx + Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dA.
Considerando um campo vetorial F = P(x , y)i+ Q(x , y)j+ 0k,
temos∫
C
F · dr =
∫ b
a
(
P
dx
dt
+ Q
dy
dt
)
dt =
∫
C
Pdx + Qdy .
Além disso,
rot F =
∣∣∣∣∣∣
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P(x , y) Q(x , y) 0
∣∣∣∣∣∣ =
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
k.
Logo,
(rot F) · k =
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
k · k =
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
.
Concluindo, o teorema de Green pode ser escrito na forma
vetorial como ∫
C
F · dr =
∫∫
D
(rot F) · kdA.
De forma alternativa, podemos descrever a curva C como
r(t) = x(t)i+ y(t)j, a ≤ t ≤ b.
O vetor tangente unitário a curva no ponto (x(t), y(t)) é
T(t) =
x ′(t)
‖r′(t)‖ i+
y ′(t)
‖r′(t)‖ .
E mais, o vetor normal unitário externo a curva C é
n(t) =
y ′(t)
‖r′(t)‖ i−
x ′(t)
‖r′(t)‖ .
Por um lado, a integral de linha com relação ao comprimento
do arco de F · n satisfaz∫
C
F · nds =
∫ b
a
(F · n)(t)‖r′(t)‖dt
=
∫ b
a
(
P
y ′(t)
‖r′(t)‖ −Q
x ′(t)
‖r′(t)‖
)
‖r′(t)‖dt
=
∫ b
a
(
P
dy
dt
−Q dx
dt
)
dt =
∫ b
a
Pdy −Qdx .
Por outro lado, podemos escrever∫∫
D
(
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
)
dA =
∫∫
D
(div F)dA.
Desse modo, pelo teorema de Green podemos escrever:∫
C
F · nds =
∫∫
D
(div F)dA.
Concluindo, as duas versões vetoriais do teorema de Green
são: ∫
C
F · dr =
∫∫
D
(rot F) · kdA,
e ∫
C
F · nds =
∫∫
D
(div F)dA.