AD2 Q3 Gabarito

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ME´TODOS ESTATI´STICOS I
2a AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA - QUESTA˜O 3
1o Semestre de 2016
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. (AD2 - Questa˜o 3)* - (2,5 pontos) 10% das pec¸as em uma linha de produc¸a˜o sa˜o produzidas
pela ma´quina I, 40%, pela ma´quina II, 20% pela ma´quina III e os 30% demais, pela ma´quina
IV. De experieˆncias anteriores, sabe-se que estas quatro ma´quinas teˆm um percentual de pec¸as
produzidas com defeito. Os percentuais de pec¸as com defeito das ma´quinas I, II, III e IV,
respectivamente, sa˜o: 2%, 3%, 3,5% e 2,5%. Uma pec¸a sera´ sorteada para averiguac¸a˜o.
(a) Determine a probabilidade de a pec¸a sorteada ser defeituosa;
(b) Uma vez que se verifica que a pec¸a sorteada na˜o e´ defeituosa, qual a probabilidade de ela
ter sido produzida pela ma´quina III?
Soluc¸a˜o:
Considere os eventos:
I : A pec¸a foi produzida pela ma´quina I ;
II : A pec¸a foi produzida pela ma´quina II ;
III : A pec¸a foi produzida pela ma´quina III ;
IV : A pec¸a foi produzida pela ma´quina IV ;
D : A pec¸a e´ defeituosa.
Os dados do enunciado indicam as seguntes probabilidades:
P (I) = 0, 10, P (II) = 0, 40, P (III) = 0, 20, P (IV ) = 0, 30.
P (D|I) = 0, 020, P (D|II) = 0, 030, P (D|III) = 0, 035, P (D|IV ) = 0, 025.
(a) Para determinar esta probabilidade vamos utilizar o Teorema da Probabilidade Total.
P (D) = P (I)P (D|I) + P (II)P (D|II) + P (III)P (D|III) + P (IV )P (D|IV )
= (0, 10× 0, 020) + (0, 40× 0, 030) + (0, 20× 0, 035) + (0, 30× 0, 025)
= 0, 002 + 0, 012 + 0, 007 + 0, 0075
= 0,0285
(b) Neste caso utilizamos o Teorema de Bayes. Queremos:
P (III|D) = P (III)P (D|III)
P (D)
Com as informac¸o˜es acima, encontramos as probabilidades complementares:
P (D) = 1− P (D) = 1− 0, 0285 = 0, 9715
P (D|III) = 1− P (D|III) = 1− 0, 035 = 0, 965
1
Logo:
P (III|D) = P (III)P (D|III)
P (D)
=
0, 20× 0, 965
0, 9715
=
0, 1943
0, 9715
= 0,2
2