Regra da cadeia

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Professora: Tânia Cabral 
Regra da Cadeia página 1 de 4 
FT – Regra da Cadeia1 
A regra da cadeia para função real de uma única variável fornece uma regra para derivar uma função 
composta: Se ( )y f x= e ( )x g t= , onde f e g são funções diferenciáveis, então y é, indiretamente, uma 
função diferenciável de t e 
dy dy dx
dt dx dt
= × 
Para funções de mais do que uma variável, a Regra da Cadeia tem muitas versões, cada uma delas 
fornecendo uma regra de diferenciação de uma função composta. 
Regra da Cadeia (Caso 1) 
Suponha que ( , )z f x y= seja uma função derivável de x e y, com derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas, onde ( )x g t= e ( )y h t= são funções diferenciáveis de t. Então z é uma função diferenciável 
de t e 
dz f dx f dy
dt x dt y dt
∂ ∂= × + ×
∂ ∂
 
Como frequentemente escrevemos z
x
∂
∂
 no lugar de f
x
∂
∂
, podemos reescrever a Regra da Cadeia na 
forma: 
dz z dx z dy
dt x dt y dt
∂ ∂= × + ×
∂ ∂
 
Exemplo 1: Se 2 43z x y xy= + , onde x(t) = sin(2t) e y(t) = cos(t) , determine 
dz
dt
 quando 0t = 
Da regra da cadeia vem: 
 
dz
dt
= ∂z
∂x
× dx
dt
+ ∂z
∂y
× dy
dt
= (2xy + 3y4 )(2cos(2y))+ (x2 +12xy3)(−sin(t)) 
Nesse exemplo as expressões de x e y em função de t 
não foram substituídas. Quando 0t = , x(0) = sin(0) = 0 
e y(0) = cos(0) = 1 . Portanto, 
 
dz
dt t=0
= (0+ 3)(2cos(0))+ (0+ 0)(−sin(0)) = 6 
Esta derivada pode ser interpretada como a taxa de 
variação de z com relação a t quando o ponto (x, y) se 
move ao longo da curva C com equações paramétricas 
 x(t) = sin(2t) e y = cos(t) . (Ver fig. 1). Em particular, 
 
1 Texto produzido por Os Cabraldinos (Tânia CABRAL – PUCRS e Roberto BALDINO – UERGS). Todos os 
direitos reservados; reprodução e distribuição não autorizadas. Watermark: Owl of Minerva – GNU FDL. 
Figura 1 
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quando 0t = , o ponto (x, y) é (0,1) , e 6
dz
dt
= . Se, por exemplo, 2 4( , ) 3z T x y x y xy= = + representa a 
temperatura no ponto (x, y) , então a função composta T (sin(2t),cos(t)) representa a temperatura dos 
pontos da curva C, e sua derivada dz
dt
 representa a taxa de variação de temperatura ao longo da curva C 
Exemplo 2: A pressão P (em quilopascals), o volume V ( em litros) e a temperatura T (em kelvins) de 
um mol de um gás ideal estão relacionados por meio da fórmula 8,31PV T= . Determine a taxa de 
variação da pressão quando a temperatura é de 300 K e está aumentando com a taxa de variação de 0,1 
K/s e o volume é de 100 L e está aumentando com a taxa de 0,2 L/s. 
Solução: Se t representa o tempo decorrido, medido em segundos, então, a um dado instante t, temos 
300T = , 0,1dT
dt
= , 100V = e 0,2dV
dt
= . 
Como 8,31TP
V
= , pela regra da cadeia: 
 
dP
dt
= ∂P
∂T
dT
dt
+ ∂P
∂V
dV
dt
= 8,31
V
dT
dt
− 8,31T
V 2
dV
dt
= 8,31
100
(0,1)− 8,31(300)
1002
(0,2) ≈ −0,042 
A pressão está decrescendo com uma taxa de aproximadamente 0,042 kPa/s 
Regra da Cadeia (Caso 2) 
Suponha que ( , )z f x y= seja uma função derivável de x e y, com derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas, onde ( , )x g s t= e ( , )y h s t= também tenham derivadas parciais de primeira ordem 
contínuas. Então 
t
y.
y
z
t
x.
x
z
t
ze
s
y.
y
z
s
x.
x
z
s
z
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂=
∂
∂ 
Exemplo 3: Se z = e
x sin( y) , onde 2( )x t st= e 2y s t= , determine z
s
∂
∂
 e z
t
∂
∂
. 
Solução: Aplicando o caso 2 da regra da cadeia, temos: 
 
∂z
∂s
= ∂ f
∂x
∂x
∂s
+ ∂ f
∂y
∂y
∂s
= (ex sin( y))t2 + (ex cos( y))2st =
= t2est
2
sin(s2t)+ 2stest
2
cos(s2t) = t2est
2
sin(s2t)+ 2stest
2
cos(s2t) 
 
 
 
∂z
∂t
= ∂ f
∂x
∂x
∂t
+ ∂ f
∂y
∂y
∂t
= (ex sin( y))(2st)+ (ex cos( y))s2 = 2stest
2
sin(s2t)+ s2est
2
cos(s2t)
 
O Caso 2 da regra da cadeia contém três tipos de variáveis: s e t, que são variáveis independentes; x e y, 
chamadas variáveis intermediárias; e z, que é a variável dependente. 
 
 
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Para lembrar da regra da cadeia, é útil desenhar a árvore: 
 
Desenhamos os ramos da árvore saindo da variável dependente 
z para as variáveis intermediárias x e y, a fim de indicar que z é 
uma função de x e y. Então, desenhamos os ramos saindo de x 
e y para as variáveis independentes s e t. Em cada ramo, 
indicamos a derivada parcial correspondente. Para achar z
s
∂
∂
, 
determinamos o produto das derivadas parciais ao longo de 
cada caminho de z a s e somamos esses produtos. Da mesma 
forma, para determinar z
t
∂
∂
, usamos os caminhos de z a t. 
Regra da Cadeia (Caso Geral) 
Suponha que 1 2 3( , , ,..., )nu f x x x x= tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas, e que 
1 2 3( , , ,..., )j mx g t t t t= também tenha derivadas parciais de primeira ordem contínuas, para cada 
1,2,3,...,j n= Então 
1 2
1 2
... n
i i i n i
xx xu u u u
t x t x t x t
∂∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
para cada 1,2,3,...,i m= . 
Exemplo 4: Escreva a regra da cadeia para o caso em que ( , , , )w f x y z t= com ( , )x x u v= , ( , )y y u v= , 
( , )z z u v= e ( , )t t u v= . 
Solução: Aplicamos o caso geral com 4n = e 2m = . A figura ao lado mostra o grafo correspondente. 
Apesar de não estarem escritas nos ramos as derivadas, 
entende-se que, em um ramo que liga as folhas y e u, a 
derivada parcial omitida é y
u
∂
∂
. Com ajuda do grafo da 
árvore, podemos escrever as expressões pedidas: 
 
w w x w y w z w t
u x u y u z u t u
w w x w y w z w t
v x v y v z v t v
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
Exemplo 5: Se 4 2 3u x y y z= + , onde ( ) tx t rse= , 2( ) ty t rs e−= e z(t) = r
2ssin(t) , determine o valor de 
u
s
∂
∂
 quando 2r = , 1s = e 0t = . 
Solução: Com o auxílio da árvore: 
 
∂u
∂s
= ∂u
∂x
∂x
∂s
+ ∂u
∂y
∂y
∂s
+ ∂u
∂z
∂z
∂s
= 4x3 y( ) ret( ) + x4 + 2yz3( ) 2rse– t( ) + 3y2z2( )(r 2 sin(t)) 
z 
 
∂z/∂x ∂z/∂y 
 
 
x y 
 
∂x/∂s ∂x/∂t ∂y/∂s ∂t/∂t 
 
 
s t s t 
 
w 
 
 
x y z t 
 
 
 
u v u v u v u v 
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Quando 2r = , 1s = e 0t = , temos 2x = , 2y = e 0z = . Portanto: 
( )( ) ( )( ) ( )( )64 2 16 4 0 0 192u
s
∂ = + + =
∂
 
 
 
 
 
 
Exemplo 6: Mostre que 2 2 2 2( , ) ( , )g s t f s t t s= − − satisfaz a equação 0g gt s
s t
∂ ∂+ =
∂ ∂
. 
Solução: Seja 2 2( )x t s t= − e 2 2y t s= − . Então ( , ) ( , )g s t f x y= , e a regra da cadeia fornece 
(2 ) ( 2 )
( 2 ) (2 )
g f x f y f fs s
s x s y s x y
g f x f y f ft t
t x t y t x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = + −
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + = − +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
Portanto 
2 2 2 2 0g g f f f ft s st st st st
s t x y x y
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 
u 
 
 
x y z 
 
 
r s t r s t r s t