Aula 25: Curvas parametrizadas e funções vetoriais

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Curvas parametrizadas do plano
Suponha que x e y são funções de uma terceira variável t (chamada de parâmetro) dadas
pelas equações
x = x(t), y = y(t)
(chamadas de equações paramétricas). Observe que, a cada valor de t, podemos definir um
ponto (x, y) ∈ R2. À medida que variamos o parâmetro t, o ponto (x, y) = (x(t), y(t)) varia no
plano xy e traça uma curva (chamada de curva paramétrica).
Observe que, à medida que aumentamos o valor de t, nós percorremos a curva paramétrica
em um certo sentido.
Na maior parte das aplicações o parâmetro t denota o tempo. Neste caso, podemos pensar
no ponto (x, y) = (x(t), y(t)) como sendo a posição de uma partícula no tempo t e podemos
pensar na curva paramétrica como sendo o caminho percorrido pela partícula.
Em geral, podemos restringir o domínio do parâmetro t para um intervalo real [a, b], Neste
caso, o ponto (x(a), y(a)) é chamado de ponto inicial da curva paramétrica e o ponto (x(b), y(b))
é chamado de ponto final da curva paramétrica. Quando não restringimos o domínio de t
estamos assumindo que o parâmetro pode variar em toda a reta real, isto é, que t ∈ R.
Exemplo 1. Determine a curva paramétrica correspondente às equações paramétricas
x = cos t, y = sen t
onde t ∈ [0, 2pi].
Observe que, como x2 + y2 = 1, então os pontos (x, y) = (cos t, sen t) pertecem ao círculo
centrado na origem de raio 1. A curva paramétrica começa no ponto inicial (x(0), y(0)) = (1, 0)
e à medida que aumentamos o valor de t percorremos o círculo uma vez no sentido anti-horário
até atingirmos o ponto final (x(2pi), y(2pi)) = (1, 0). Neste caso, podemos pensar na curva
paramétrica como sendo o círculo trigonométricoo percorrido uma vez no sentido anti-horário.
Em geral, as equações paramétricas
x = a cos t, y = a sen t
descrevem um círculo centrado na origem de raio a sendo percorrido no sentido anti-horário.
1
Exemplo 2. Esboce a curva com equações paramétricas
x = sen t, y = sen 2t
Observe que, como y = sen 2t = x2, então os pontos (x, y) = ( sen t, sen 2t) pertecem à
parabóla y = x2. Mas, como −1 ≤ sen t ≤ 1, então −1 ≤ x ≤ −1. Como a funçã sen t é
periódica, então o ponto (x, y) = ( sen t, sen 2t) se move infinitamente para frente e para trás
ao longo da parábola y = x2 de (−1, 1) até (1, 1).
Observação 1. Os gráficos das funções y = f(x) podem ser considerados curvas com equações
paramétricas
x = t, y = f(t)
e os gráficos das funções x = g(y) podem ser considerados curvas com equações paramétricas
x = g(t), y = t
Se as funções x e y são deriváveis em t, então
• Se dx
dt
6= 0, a inclinação da reta tangente em t é dada por
y′(t)
x′(t)
=
dy/dt
dx/dt
• Se dx
dt
= 0, então a reta tangente em t é vertical.
Observação 2. A RETA TANGENTE À UMA CURVA PARAMETRIZADA NÃO ESTÁ
ASSOCIADA AO PONTO (x, y) E SIM AO PARÂMETRO t!!!
Exemplo 3. Considere a curva definida pelas equações paramétricas x = t2 e y = t3 − 3t.
• Mostre que a curva C tem duas tangentes no ponto (0, 3) e determine suas equações.
• Encontre todos os pontos onde a tangente é horizontal ou vertical.
;
Temos que
x′(t) = 2t e y′(t) = 3t2 − 3 = 3(t2 − 1)
Observe que a reta tangente é vertical quando x′(t) = 0 e, portanto, quando t = 0. Logo, a reta
tangente é vertical no ponto (x(0), y(0)) = (0, 0).
A reta tangente é horizontal quando y′(t) = 0 e, portanto, quando t = −1 ou t = 1. Logo, a
2
reta tangente é horizontal nos pontos (x(1), y(1)) = (1,−2) e (x(−1), y(−1)) = (1, 2).
No ponto (3, 0) temos que{
x = t2 = 3
y = t3 − 3t = t(t2 − 3) = 0 ⇒ t = −
√
3 ou t =
√
3
A inclinação da reta tangente em t = −√3 é
y′(−√3)
x′(−√3) = −
6
2
√
3
= −
√
3
e a inclinação da reta tangente em t =
√
3 é
y′(
√
3)
x′(
√
3)
=
6
2
√
3
=
√
3
Logo, no ponto (3, 0) temos duas retas tangente: a reta tangente passando pelo ponto (3, 0) com
inclinação −√3 dada pela equação
y = −
√
3 (x− 3)
e a reta tangente passando pelo ponto (3, 0) com inclinação
√
3 dada pela equação
y =
√
3 (x− 3)
Curvas parametrizadas do espaço
Suponha que x, y e z são funções de uma quarta variável t (chamada de parâmetro) dadas
pelas equações
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
(chamadas de equações paramétricas). Observe que, a cada valor de t, podemos definir um
ponto (x, y, z) ∈ R3. À medida que variamos o parâmetro t, o ponto (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t))
varia no espaço tridimensional xyz e traça uma curva espacial (chamada de curva paramétrica).
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Observe que, à medida que aumentamos o valor de t, nós percorremos a curva paramétrica
em um certo sentido.
Na maior parte das aplicações o parâmetro t denota o tempo. Neste caso, podemos pensar
no ponto (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)) como sendo a posição de uma partícula no tempo t e
podemos pensar na curva paramétrica como sendo o caminho percorrido pela partícula.
Em geral, podemos restringir o domínio do parâmetro t para um intervalo real [a, b], Neste
caso, o ponto (x(a), y(a), z(a)) é chamado de ponto inicial da curva paramétrica e o ponto
(x(b), y(b), z(b)) é chamado de ponto final da curva paramétrica. Quando não restringimos o
domínio de t estamos assumindo que o parâmetro pode variar em toda a reta real, isto é, que
t ∈ R.
Exemplo 4. Esboce a curva espacial com equações paramétricas
x = cos t, y = sen t z = t
Como y2 + x2 = 1, então os pontos (x, y, z) = (cos t, sen t, t) da curva pertecem ao cilin-
dro y2 + x2 = 1. Além disso, observamos que o ponto (cos t, sen t, t) está acima do ponto
(cos t, sen t, 0) de tal forma que, à medida que t aumenta, a altura do ponto aumenta. Como
a curva é percorrida no sentido anti-horário (já que (x, y, 0) se move no sentido anti-horário
da circunferência x2 + y2 = 1), então a curva espacial descrita faz uma espiral para cima ao
redor de um cilindro à medida que t aumenta.
Funções vetoriais
Uma função vetorial é uma regra que associa a cada número real de seu domínio, um único
vetor de Rn.
Estaremos mais interessados em funções vetoriais cujas imagens são vetores do R2 ou do
R3. Vamos tratar o caso R3. O caso R2 é obtido de forma completamente análoga.
Seja
−→r (t) uma função vetorial que a cada valor real t associa um vetor de R3. Nesse caso,
podemos escrever
−→r (t) como sendo
−→r (t) = (f(t), g(t), h(t)) = f(t)−→i + g(t)−→j + h(t)−→k
onde f, g e h são funções reais (chamadas de funções componentes de −→r ).
Por convenção, chamamos de domínio de
−→r o conjunto de todos os valores de t para os
quais a expressão
−→r (t) está bem definida (ou seja, para todos os valores de t nos quais f, g e
h estão bem-definidas simultaneamente).
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Exemplo 5. Determine o domínio da função vetorial
−→r (t) = (t3, ln(3− t),√t)
Observamos que a função t3 está definida para todos os reais, a função ln(3 − t) está definida
para 3− t > 0 (ou seja, para t < 3) e a função √t está definida para t ≥ 0. Logo,
Dom(−→r ) = [0, 3)
O limite da função vetorial
−→r (t) = (f(t), g(t), h(t)) é definida como sendo
lim
t→a
−→r (t) =
(
lim
t→a
f(t), lim
t→a
g(t), lim
t→a
h(t)
)
desde que os três limites do lado direito da igualdade existam.
Exemplo 6. Se
−→r (t) = (t3, ln(3− t),√t), então
lim
t→2
−→r (t) =
(
lim
t→2
t3, lim
t→2
ln(3− t), lim
t→2
√
t
)
= (8, 0,
√
2)
Se
−→r (t) = (f(t), g(t), h(t)), onde f, g e h são diferenciáveis, então a derivada da função
vetorial
−→r (t) é definida como sendo a função vetorial
−→r ′(t) = (f ′(t), g′(t), h′(t))
Exemplo 7. Se
−→r (t) = (t3, ln(3− t),√t), então
r′(t) =
(
3t2,− 1
3− t ,
1
2
√
t
)
Observamos que, se considerarmos o representante do vetor
−→r (t) com ponto inicial na
origem, então o ponto final deste vetor traça uma curva parametrizada do espaço tridimensional
à medida que o parâmetro t varia.
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