auto valores

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Anotac¸o˜es sobre autovalores e autovetores.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
Universidade Federal Fluminense - UFF-RJ
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Autovalores e autovetores 3
1.1 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Diagonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.1 Equivaleˆncias para operadores diagonaliza´veis . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Formas quadra´ticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2
Cap´ıtulo 1
Autovalores e autovetores
1.1 Autovalores e autovetores
Definic¸a˜o 1 (Autovalores e autovetores). v 6= 0 em V e´ dito autovetor de T : V → V
linear quando existe λ ∈ K tal que
T (v) = λv.
O escalar λ e´ dito autovalor do operador T quando, existe v 6= 0 em V tal que
T (v) = λv.
Dizemos que o autovalor λ corresponde ao autovetor e vice-versa. Um autovalor tambe´m
e´ chamado de valor caracter´ıstico, ra´ızes caracter´ısticas , ra´ızes latentes, valores pro´prios
ou valores espectrais, um autovetor tambe´m e´ chamado de vetor caracter´ıstico.
Definic¸a˜o 2 (Autovalor e autovetor de uma matriz). r ∈ K e´ autovalor da matriz a, n×n
quando r e´ um autovalor do operador A : Kn → Kn cuja matriz na base canoˆnica e´ a,
isto e´, existe v 6= 0 ∈ Kn tal que
A(v) = rv,
neste caso v e´ dito autovetor.
Propriedade 1. Sendo T : V → V linear, V de dimensa˜o finita, enta˜o sa˜o equivalentes
3
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 4
1. λ e´ autovalor de T .
2. T − λI na˜o e´ injetora.
3. det(T − λI) = 0.
Demonstrac¸a˜o. T − λI na˜o e´ injetora pois existe v 6= 0 tal que T (v) = λv da´ı
(T − λI)(v) = 0, isso equivale a` T − λI na˜o ser invert´ıvel e det(T − λI) = 0.
Propriedade 2. Se v e´ autovetor de T , enta˜o S(v) e´ T invariante. Achar um autovetor
do operador T e´ o mesmo que achar subespac¸o de dimensa˜o 1 invariante por A.
Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que T (S(v)) ⊂ S(v). Dado y ∈ S(v) ele e´ da forma
r1v, enta˜o aplicamos T , T (r1v) = r1rv ⊂ S(v), enta˜o o espac¸o e´ T invariante.
Exemplo 1. Seja V = C0(R) e o operador T com
Tf(x) =
∫ x
0
f(t)dt.
T na˜o possui auto-valor . Suponha que exista λ auto-valor, enta˜o existe f func¸a˜o na˜o
nula tal que ∫ x
0
f(t)dt = λf(x)
podemos derivar λf ′(x) = f(x) com f(0) = 0 a soluc¸a˜o de tal equac¸a˜o diferencial e´ do
tipo f(x) = ce
x
λ , λ 6= 0 pois se fosse nula f seria nula, usando a condic¸a˜o inicial f(0) = 0
temos c = 0, enta˜o a func¸a˜o e´ nula e portanto na˜o temos autovalor, pois deveria haver f
na˜o nula tal que Tf = λf e conclu´ımos que caso essa relac¸a˜o se verifique enta˜o f = 0.
Exemplo 2. T : V → V com T = cI satisfaz T (v) = cIv = cv∀v ∈ V , logo todo v e´ auto
vetor.
Exemplo 3. Seja T : V → V transformac¸a˜o na˜o injetiva enta˜o qualquer v ∈ N(v) na˜o
nulo e´ autovetor de T com autovalor λ = 0. Pois
T (v) = 0 = 0v.
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 5
Propriedade 3. Dada base B de V , de dimensa˜o finita, logo λ e´ autovalor de T ⇔
det(A− λIn) = 0
onde A = [T ]β.
Demonstrac¸a˜o. Suponha n = dimV < ∞. λ e´ auto valor de T ⇔ ∃v 6= 0 tal que
T (v) = λv ⇔ T (v) − λv = 0 ⇔ (T − λI)(v) = 0 ⇔ (T − λI) na˜o e´ injetivo ⇔ como
V possui dimensa˜o finita o operador e´ na˜o invert´ıvel det(T − λI) = 0, dada uma base
β = {v1, · · · , vn} de V e [T ]β = A ⇔ det(A− λI) = 0.
Definic¸a˜o 3 ( Polinoˆmio caracter´ıstico de um operador). O polinoˆmio caracter´ıstico de
T e´
FT (x) = det(xIn − A) = det(xIn − [T ]β)
note que colocamos o valor trocado de (A− xIn).
FT (λ) = 0⇔ λ e´ autovalor de T , isto e´, os autovalores do operador T sa˜o as ra´ızes do
polinoˆmio caracter´ıstico .
FT (λ) = 0 = det(λIn − [T ]β) = (−1)ndet([T ]β − λIn) = 0.
Propriedade 4. FT independe da escolha da base B.
Demonstrac¸a˜o. Seja B′ outra base de V ⇔
[T ]β = P [T ]β′P
−1
com P invert´ıvel. Equivalentemente devemos provar que FT e´ invariante por semelhanc¸a
det(xIn − [T ]β) = det(xIn − P [T ]β′P−1) = F βT = det(P (xIn − [T ]β′)P−1) =
= det(P )det(xIn − [T ]β′)det(P )−1 = det(xIn − [T ]β′) = F β′T .
Logo a definic¸a˜o independe da base .
Este resultado nos permite definir o polinoˆmio caracter´ıstico de um operador T como
o polinoˆmio caracter´ıstico de qualquer matriz n×n que represente T em relac¸a˜o a alguma
base ordenada de V .
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 6
Corola´rio 1. FT e´ moˆnico, pois
FT (x) = det

x− t11 t12 · · · t1n
t21 x− t22 · · · t2n
... · · · · · · ...
tn1 · · · · · · x− tnn

=
n∑
k=0
akx
k
an = 1 pois o u´nico termo que gera x
n vem de (x− t11)det
 t12 · · ·
(x− t22)...
· · ·
 .
Ale´m disso possui grau n. Como o polinoˆmio caracter´ıstico possui grau n, enta˜o ele
possui ate´ n ra´ızes, T pode possui ate´ no ma´ximo n autovalores diferentes, pore´m pode
na˜o possui autovalor sobre um dado corpo.
Exemplo 4. Sendo
A =
 a b
c d

enta˜o
FA(x) = det
 x− a −b
−c x− d
 =
= (x− a)(x− d)− cb = x2 − dx− ax+ ad− cb = x2 − tr(A)x+ det(A).
Exemplo 5 (Operador linear sem autovalor). Sendo T : R2 → R2 linear representado
por
A =
 0 −1
1 0

na base canoˆnica, enta˜o seu polinoˆmio caracter´ıstico e´
FA(x) = det(xI − A) = det
 x 1
−1 x
 =
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 7
= x2 + 1,
que na˜o possui ra´ızes reais, logo T na˜o possui autovalores. Se U fosse operador sobre C2
representado pela matriz A na base canoˆnica, ele possuiria dois autovalores, i e −i que
sa˜o as ra´ızes de x2 + 1.
Com esse exemplo chamamos atenc¸a˜o que para determinar os autovalores de uma
matriz precisamos levar em conta as propriedades do corpo envolvido.
Exemplo 6. Em um espac¸o de dimensa˜o n, T : V → V com T (v) = λv temos que seu
polinoˆmio caracter´ıstico e´
F (x) = (x− λ)n.
Se T e´ o operador nulo, enta˜o F (x) = xn.
Propriedade 5. Seja um operador representado por uma matriz triangular em uma certa
base, enta˜o os autovalores desse operador sa˜o os termos da diagonal da matriz.
Demonstrac¸a˜o. Calculamos o polinoˆmio caracter´ıstico
det

x− a1,1 −a1,2 −a1,3 · · · −a1,n
0 x− a2,2 −a2,3 · · · −a2,n
0 0 x− a3,3 · · · −a3,n
...
...
... · · · ...
0 0 0 · · · x− an,n

=
n∏
k=1
(x− ak,k)
por propriedade de determinante de matriz triangular.
1.2 Diagonalizac¸a˜o
Definic¸a˜o 4 (Matriz diagonal). Uma matriz D n×n e´ dita ser diagonal, se possui todos
elementos fora de sua diagonal principal nulos.
Propriedade 6. Sejam D1 e D2 matrizes diagonais n × n enta˜o D1D2 e´ uma matriz
diagonal cuja diagonal e´ o produto dos elementos da diagonal de D1 e D2.
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 8
Demonstrac¸a˜o.
D1D2 = C = (ck,j),
ck,j =
n∑
s=0
ak,sbs,j = ak,kbk,j
se k 6= j enta˜o bk,j = 0 e da´ı ck,j = 0, se k = j, ck,k = ak,kbk,k.
Propriedade 7. A n- e´sima poteˆncia de uma matriz diagonal D = (a(i,j)) e´ uma matriz
diagonal Dn = (an(i,j)) , isto e´, as entradas de D
n sa˜o da forma an(i,j) onde cada a(i,j) e´
entrada de D.
Demonstrac¸a˜o. Aplicamos o resultado anterior.
Corola´rio 2. Podemos generalizar os resultados anteriores para o produto de n matrizes
diagonais, por induc¸a˜o
n∏
k=1
Dk = C
onde C possui cada elemento na diagonal como produto da diagonal das outras matrizes.
Definic¸a˜o 5 (Matrizes similares). Duas matrizes n× n, A e B sa˜o ditas ser similares, se
existe uma P , n× n, invert´ıvel tal que
A = PBP−1.
Definic¸a˜o 6 (Matriz diagonaliza´vel). Uma matriz A, n× n e´ dita ser diagonaliza´vel se e´
similar a uma matriz diagonal D, isto e´,
A = PDP−1.
Propriedade 8 (Poteˆncias de matrizes diagonaliza´veis). Dado n natural vale que
An = PDnP−1.
Demonstrac¸a˜o.
Por induc¸a˜o sobre n.
Corola´rio3. A n-e´sima poteˆncia de uma matriz diagonaliza´vel e´ diagonaliza´vel.
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 9
Propriedade 9. Uma matriz A, n× n, e´ diagonaliza´vel ⇔ A tem n autovetores linear-
mente independentes.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 10. Uma matriz n× n com n autovalores distintos e´ diagonaliza´vel.
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 11. Se W < V e´ T invariante T : V → V enta˜o FT |W |FT .
Demonstrac¸a˜o. Tomamos α = (wk)
r
1 base de W e completemos para uma base de
B = (wk)
n
1 de V , temos
T = [T ]B =
[
Ar×r B
0 C
]
Em especial [T|w]α = Ar×r.
Temos FT (x) = det(xI − A) =
= det
[
xIr×r − Ar×r −B
0 xI − C
]
=
= det(xIr − Ar×r)det(xI − C) = FT |w(x)det(xI − C) = FT (x).
Disso conclu´ımos que seW e´ T invariante enta˜o FT |w divide FT . Ser invariante implica
divisa˜o em termos polinomiais.
Exemplo 7. Sendo T = λI enta˜o FT = det(xI − λI) = (x − λ)n, onde n e´ a dimensa˜o
do espac¸o vetorial. Agora se W < V e´ T invariante ⇒ T |wm = λI ⇒ FT |W = (x − λ)m
m ≤ n.
Definic¸a˜o 7 (Auto-espac¸os). Seja T : V → V . Dado λ ∈ K, o autoespac¸o relativo a λ e´
Wλ = {v ∈ V | T (v) = λv}
Auto-espac¸os tambe´m sa˜o chamados de espac¸os caracter´ısticos.
Propriedade 12. Wλ < V sendo tambe´m T -invariante.
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 10
Demonstrac¸a˜o. 0 ∈ Wλ pois T (0) = λ0 = 0.
Suponha v1, v2 ∈ Wλ e c ∈ K enta˜o c1v1 + v2 ∈ Wλ pois
T (c1v1 + v2) = c1λv1 + λv2 = λ(c1v1 + v2).
Corola´rio 4. Vale que Wλ = N(T − λ) pois v ∈ Wλ ⇔ T (v) = λv ⇔ (T − λ)(v) = 0,
disso temos outra demonstrac¸a˜o de que Wλ e´ subespac¸o de V , pois e´ o nu´cleo de um
operador.
Propriedade 13. Sejam W < V , P : V → V projec¸a˜o, com N(P ) ⊂ W enta˜o W e´ P
invariante.
Demonstrac¸a˜o. Temos que v ∈ W e´ da forma v1 + v2 = v onde v1 ∈ N(P ) ⊂ W
e v2 ∈ Im(P ) pela decomposic¸a˜o que uma projec¸a˜o determina V = N(P ) ⊕ Im(P ) logo
aplicando P a v temos
P (v) = P (v2) = v2 = v − v1 ∈ W
logo W e´ P -invariante.
Propriedade 14. Sejam, A,B;V → V lineares. Se AB = BA enta˜o B(Z) e´ A invariante,
onde Z e´ A- invariante . Tambe´m temos que N(B) e´ A- invariante.
Demonstrac¸a˜o. Seja v ∈ B(Z), enta˜o v = B(vz), vz ∈ Z, temos AB(vz) = B(Avz) =
B( v′z︸︷︷︸
∈Z
) ∈ B(Z) logo temos o desejado.
Seja v ∈ N(B) enta˜o vamos mostrar que A(v) ∈ N(B), B(A(v)) = A(B(v)) = 0 logo
A(v) ∈ N(B) como quer´ıamos demonstrar.
Corola´rio 5. Em especial B(V ) e B(N(A)) sa˜o A -invariantes .
Propriedade 15. Sejam (λk)
m
1 ∈ K os distintos autovalores de T , em espac¸o vetorial V
de dimensa˜o n ( enta˜o m ≤ n ).
Tome
W =
m∑
k=1
Wλk .
Enta˜o a soma anterior e´ uma soma direta.
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 11
Demonstrac¸a˜o.[1]
Vamos provar que
Wλk ∩ (
m∑
s=1,s 6=k
Wλs) = {0}
com k arbitra´rio. Tomemos um v elemento na intersec¸a˜o desses conjuntos
v = vk =
m∑
s=1,s 6=k
vs
suponha por absurdo que vk 6= 0, enta˜o temos que ter pelo menos um vs na˜o nulo, pois
se na˜o vk seria nulo, sejam (vks)
t
1 os elementos na˜o nulos em {v1, · · · , vs} \ {vk} tais que
vk =
t∑
s=1
vks
aplicando T temos
λk
t∑
s=1
vks =
t∑
s=1
λksvks ⇒
da´ı
t∑
s=1
(λk − λks)︸ ︷︷ ︸
6=0
vks︸︷︷︸
6=0
= 0
com t elementos na˜o nulos somando zero ,
t∑
s=2
(λk − λks)vks︸ ︷︷ ︸
v′ks
= −(λk − λ1)v1︸ ︷︷ ︸
v′1
t∑
s=2
v′ks = v
′
1
aplicando novamente T , temos
t∑
s=2
λ1v
′
ks =
t∑
s=2
λksv
′
ks ⇒
t∑
s=2
(λks − λ1)v′ks = 0
com t− 1 elementos, se continuamos tal processo chegaremos em um ponto com apenas 1
vetor, que tera´ que ser o vetor nulo e da´ı chegamos num absurdo pois os vetores tomados
inicialmente foram vetores na˜o nulos, enta˜o um elemento da intersec¸a˜o deve ser nulo.
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 12
Demonstrac¸a˜o.[2] Vamos mostrar outra equivaleˆncia de soma direta que e´ se
m∑
k=1
vk = 0
onde vk ∈ Wλk enta˜o cada vk = 0.
Seja f um polinoˆmio arbitra´rio, T (vk) = λkvk enta˜o
0 = f(T )(0) =
m∑
k=1
f(T )vk =
m∑
k=1
f(λk)vk.
Sejam (fk)
m
1 os polinoˆmios tais que fj(λk) = δk,j enta˜o
0 = fj(T )(0) =
m∑
k=1
f(T )vk =
m∑
k=1
fj(λk)vk = vj
enta˜o a soma
m∑
k=1
Wλk e´ direta.
Propriedade 16. Se W =
n⊕
k=1
Ak enta˜o dimW =
n∑
k=1
dimAk.
Demonstrac¸a˜o. Sendo Bk base de Ak, vamos mostrar que
n⋃
k=1
Bk e´ base de W , basta
mostrar que os elementos dessa base sa˜o LI, pois ja´ sabemos que gera W por propriedade
de soma direta. Suponha
m1∑
k=1
ck,1vk,1︸ ︷︷ ︸
Da base B1
+ · · ·+
mt∑
k=1
ck,tvk,t︸ ︷︷ ︸
Da base Bt
+ · · ·+
mn∑
k=1
ck,nvk,n︸ ︷︷ ︸
Da base Bn
= 0
logo
m1∑
k=1
ck,1vk,1︸ ︷︷ ︸
Da base B1
+ · · ·+
mn∑
k=1
ck,nvk,n︸ ︷︷ ︸
Da base Bn
= −
mt∑
k=1
ck,tvk,t︸ ︷︷ ︸
Da base Bt
e da´ı tal elemento de At pertence a
n∑
k=1,k 6=t
Ak
⋂
At = {0} por hipotese de soma direta
logo
mt∑
k=1
ck,tvk,t = 0
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 13
o que implica ck,t = 0 ∀k por elementos da base serem LI, como t tomado foi arbitra´rio
segue que para qualquer t ou k vale ck,t = 0, da´ı os elementos de
n⋃
k=1
Bk, sa˜o LI. O que
prova o desejado.
Perceba que a rec´ıproca tambe´m vale se Bk e´ base de Ak e
n⋃
k=1
Bk e´ base deW =
n∑
k=1
Ak
enta˜o a soma e´ direta, pois pelos vetores da base serem LI, uma soma qualquer de
elementos de W seria da forma
m1∑
k=1
ck,1vk,1︸ ︷︷ ︸
Da base B1
+ · · ·+
mt∑
k=1
ck,tvk,t︸ ︷︷ ︸
Da base Bt
+ · · ·+
mn∑
k=1
ck,nvk,n︸ ︷︷ ︸
Da base Bn
= 0
o que por condic¸a˜o LI garante que cada coeficiente e´ nulo.
Corola´rio 6. Se W =
m∑
k=1
Wλk , Bk base de Wλk , B =
m⋃
k=1
Bk e´ base de W a soma e´ direta
e dimW =
m∑
k=1
dimWλk .
Exemplo 8. Seja V , dimV = n sobre F , α = (vk)
n
1 base de V seWk e´ o subespac¸o gerado
por vk enta˜o V =
n⊕
k=1
Wk, pois se
n∑
k=1
wk = 0
com wk ∈ Wk enta˜o wk = ckvk para alguma constante ck ∈ F
n∑
k=1
ckvk = 0
como base e´ LI segue que ck = 0 ∀k logo cada wk = 0 e temos a soma direta.
Propriedade 17. Se um operador linear T e´ definido sobre um espac¸o de dimensa˜o n e
possui n autovalores distintos, enta˜o T e´ diagonaliza´vel.
Demonstrac¸a˜o. Sabemos que
Wn =
n⊕
k=1
Wλk < V
como cada autoespac¸o possui um elemento na˜o nulo vale dimWλk ≥ 1, da´ı
dimWn =
n∑
k=1
dimWλk ≥ n ≤ dimV = n
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 14
por isso a dimensa˜o de Wn e´ exatamente n e o espac¸o e´ V , por isso
n⊕
k=1
Wλk = V
e da´ı V e´ diagonaliza´vel.
Corola´rio 7.
[T |wλk ]BK =

λk · · · 0
... · · · ...
0 · · · λk

onde Bk = (vs)
rk
1 e´ base de wλk , logo T (vs) = λkvs, por isso a matriz assume a forma
acima. Temos em geral
[T | m⊕
k=1
wλk
]B =

[T |wλ1 ]B1 · · · 0
... · · · ...
0 · · · [T |wλm ]Bm

onde B =
n⋃
k=1
Bk.
Propriedade 18. A autovalores distintos do mesmo operador correspondem autovetores
linearmente independentes .
Demonstrac¸a˜o. Sejam (vk)
s
1 autovetores associados a autovalores distintos, suponha
s∑
k=1
ckvk = 0
enta˜o
s∑
k=1,k 6=t
ckvk = −ctvt
como vt 6= 0 temos ct = 0, por propriedade de soma direta, isso para t arbitra´rio, enta˜o
cada ct = 0 e os vetores sa˜o LI.
Definic¸a˜o 8 (Operador diagonaliza´vel). T : V → V linear e´ dito diagonaliza´vel Se
V =
m⊕
k=1
Wλk ,
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 15
, isto e´, o espac¸o vetorial e´ soma direta dos auto espac¸os, neste caso
[T ]B =

[T |wλ1 ]B1 · · · 0
... · · · ...
0 · · · [T |wλm ]Bm

onde B =
n⋃
k=1
Bk, Bk = (vs)
rk
1 e´ base de wλk , isto e´, existe uma base de V com respeito a
qual a matriz de T e´ diagonal.
Definic¸a˜o 9 (Soma direta de operadores). Se V =
m⊕
k=1Wλk onde cadaWλk e´ T -invariante,
T induz operadores lineares Tk : Wλk →Wλk , dado v =
m∑
k=1
wk onde wk ∈ Wλk temos
T (v) =
m∑
k=1
T (wk) =
m∑
k=1
Tk(wk)
nesse tipo de caso dizemos que T e´ soma direta dos operadores Tk : Wλk →Wλk .
Propriedade 19. Sejam V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n, T : V → V linear que
possui n autovalores distintos, enta˜o T possui exatamente 2n subespac¸os invariantes por
T .
Demonstrac¸a˜o. Sabemos que
V =
n⊕
k=1
Wλk .
Cada Wλk possui dimensa˜o 1, pois cada um possui 1 elemento na˜o nulo por λk ser auto-
valor. Seja vk 6= 0 ∈ Wλk enta˜o (vk)n1 = B e´ base de V , qualquer conjunto Hs gerado por
s elementos da base B e´ T -invariante, pois dado v ∈ Hs temos
v =
s∑
k=1
ckvks
aplicando T temos
T (v) =
s∑
k=1
ckT (vks) =
s∑
k=1
ckλksvks ∈ Hs
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 16
logo Hs e´ T -invariante. Temos no total 2
n tipos desses subconjuntos, pois temos para s
fixo
(
n
s
)
tipos diferentes destes subespac¸os, somando todos
2n =
n∑
s=0
(
n
s
)
.
Agora seja A < V, T -invariante, (vk)
n
1 gera A, da´ı podemos tomar uma base desses
elementos que e´ base de A, possuindo s elementos, que ja´ foi contado na contagem que
fizemos anteriormente, portanto contamos todos subespac¸os invariantes.
Propriedade 20. Sejam T : V → V linear, dimV = n. Suponha V = U ⊕W , ambos
T -invariantes. T e´ diagonaliza´vel ⇔ T |U e T |W sa˜o diagonaliza´veis.
Demonstrac¸a˜o. ⇒).
Vamos usar que L : A → A e´ diagonaliza´vel ⇔ existe base de A formada por auto-
vetores de L. No caso sem perda de generalidade vamos mostrar que existe base de W
formada por autovetores de T |W .
Como T e´ diagonaliza´vel, sabemos que
V =
m⊕
k=1
Wλk , B =
m⋃
k=1
Bk
e´ base de V , onde Bk e´ base de Wλk . Como W < V , B gera W de onde podemos tomar
uma base para W formada por autovetores, como W e´ T invariante tais autovetores sa˜o
autovetores de T |W , enta˜o tal operador e´ diagonaliza´vel, o mesmo para T |U .
⇐).
Supondo T |U e T |V diagonaliza´veis enta˜o
U =
s⊕
k=1
Wλk , W =
m⊕
k=1+s
Wλk
logo
U ⊕W =
m⊕
k=1
Wλk = V
por isso T e´ diagonaliza´vel.
Propriedade 21. Um operador A e´ invert´ıvel ⇔ na˜o tem autovalor nulo. Caso A seja
invert´ıvel os autovetores de A e A−1 coincidem .
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 17
Demonstrac¸a˜o. A e´ invert´ıvel ⇔ A e´ injetiva ⇔ N(A) = {0} ⇔ na˜o existe v 6= 0
tal que Av = 0⇔ A na˜o possui 0 como autovalor.
Com A invert´ıvel temos
A(v) = λv ⇔ A−1Aλv = v = A−1λv ⇔ A−1v = 1
λ
v
logo temos mesmos autovetores e autovalores inversos.
⇒). Se A possui autovalor nulo, enta˜o existe v 6= 0 tal que A(v) = 0.v, da´ı A na˜o e´
injetiva e por isso na˜o e´ invert´ıvel (Usamos a contrapositiva). Temos ainda que, na˜o ter
autovalor nulo acontece ⇔ o termo constante a0 do polinoˆmio caracter´ıstico na˜o e´ nulo
⇔ o termo constante a0 do polinoˆmio mı´nimo na˜o e´ nulo, pois polinoˆmios caracter´ıstico
e mı´nimo possuem as mesmas ra´ızes.
Definic¸a˜o 10 (Multiplicidade alge´brica e geome´trica de um autovalor ). Sejam T : V → V
e λ autovalor de T , λ e´ raiz de FT (x) e da´ı (x − λ)|FT . Seja d o ma´ximo inteiro tal que
(x − λ)d|FT , enta˜o FT (x) = (x − λ)dG(x) com G(λ) 6= 0. Dizemos nesse caso que d e´ a
multiplicidade alge´brica de λ e o denotamos por
d = uA(λ).
A multiplicidade geome´trica de λ e´ a dimensa˜o de Wλ, denotada por uG(λ).
Propriedade 22. Vale que
uG(λ) ≤ uA(λ).
Demonstrac¸a˜o. Temos que Wλ e´ T invariante, logo FT |Wλ |FT , T |Wλ : Wλ → Wλ,
como T |Wλ = λIWλ isso implica
[T |Wλ ]B =

λ · · · 0
... · · · ...
0 · · · λ

c×c
com B base de Wλ, c = dimWλ ⇒ FT |Wλ = (x− λ)c que divide FT . por isso
c = uG(λ) ≤ d = uA(λ).
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 18
1.2.1 Equivaleˆncias para operadores diagonaliza´veis
Propriedade 23. Sejam T : V → V linear e (λk)m1 autovalores distintos de T , enta˜o sa˜o
equivalentes
1. T e´ diagonaliza´vel.
2. Existe uma base de V formada por autovetores de T .
3. Existe uma base de V com respeito a qual a matriz de T e´ diagonal.
4. O polinoˆmio caracter´ıstico e´ Ft(x) =
m∏
k=1
(x−λk)dk onde dk = dimWλk , λk 6= λj, k 6=
j.
5. dimV =
m∑
k=1
dimWλk .
Demonstrac¸a˜o.
Lembramos que T : V → V e´ diagonaliza´vel se V =
m⊕
k=1
Wλk , isto e´, V e´ gerado pelos
seus autoespac¸os.
ˆ 1) ⇒ 2). Como V =
m⊕
k=1
Wλk , enta˜o temos um conjunto de geradores de V for-
mado por autovetores de T , logo um subconjunto deste conjunto e´ uma base de
autovetores.
2) ⇒ 1). Seja uma base de V formada por autovetores de T , ordenamos por auto-
valores que definem os autoespac¸os
w1,1, · · · , wd1,1︸ ︷︷ ︸
∈Wλ1
, · · · , w1,m, · · ·wdm,m︸ ︷︷ ︸
∈Wλm
o que implica V =
m∑
k=1
Wλk . Como a soma de autoespac¸os e´ direta segue o resultado.
ˆ 2)⇒ 3). Seja B uma base de autovetores. Logo B = (vk)n1 e T (vk) = ukvk enta˜o
[T ]B =

u1 · · · 0
0
... 0
0 · · · un

CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 19
a matriz do operador nessa base e´ diagonal.
3) ⇒ 2). Seja B base de V tal que [T ]B e´ diagonal. Isto significa que B = (vk)n1 ,
T (vk) = ukvv pela matriz ser diagonal, logo B e´ uma base formada por autovetores
de T .
ˆ 3)⇒ 4). Seja B uma base de V tal que [T ]B e´ diagonal, isto e´,
[T ]B =

[λ1]D · · · 0
... · · · ...
0 · · · [λm]D

onde [λk]D e´ um bloco com λk na diagonal e outros elementos nulos. Onde cada
matriz bloco e´ do tipo dk × dk, logo
FT (x) =
m∏
k=1
(x− λk)dk .
dk o nu´mero de vezes que λk e´ repetido como raiz de FT e´ igual a` dimensa˜o de Wλk ,
pois a nulidade de uma matriz diagonal e´ igual ao nu´mero de zeros que ela possui
na sua diagonal principal e a matriz T − λk na base de autovetores tem dk zeros na
sua diagonal principal, onde estamos usando que Wλk = N(T − λk).
ˆ 4)⇒ 5). ∂Ft =
∑
dk =
∑
Wλk = dim(V ).
ˆ 5)⇒ 1). dimV =
∑
Wλk logo dimV = dim(
m⊕
k=1
Wλk) da´ı
V =
m⊕
k=1
Wλk .
Exemplo 9. Qualquer projec¸a˜o E : V → V , dimV = n e´ diagonaliza´vel, se (vk)m1 e´ base
de Im(E) e (vk)
n
m+1 e´ base de N(E) enta˜o (vk)
n
1 e´ uma base de V que diagonaliza E,
sendo
[E]B =
 I 0
0 0

onde I e´ um bloco r × r unidade.
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 20
Exemplo 10. Seja A : R2 → R2 com
A =
 0 1
−1 0

enta˜o
FA(x) = x
2 + 1
que e´ irredut´ıvel em R, na˜o possuindo autovalores reais, logo na˜o possui subespac¸os in-
variantes, A na˜o e´ diagonaliza´vel. Se fosse A : C2 → C2. Enta˜o ter´ıamos x = i e x = −i
como autovalores.
Corola´rio 8. Suponha que A : V → W , dimV = n, dimW = m operador linear possua
polinoˆmio caracter´ıstico xn enta˜o A e´ diagonaliza´vel ⇔ A = 0.
A so´ possui autovalores nulos e´ diagonaliza´vel ⇔ possui base de autovetores (vk)n1 ,
aplicando A temos A(vk) = 0vk = 0 como e´ nula em todos elementos da base enta˜o e´ um
operador nulo.
Exemplo 11.
A =
 1 0
1 1

e´ diagonaliza´vel? Calculamos o polinoˆmio caracter´ıstico de LA : K
2 → K2
FA(x) = det(xI − A) = det
 x− 1 0
1 x− 1
 = (x− 1)2.
Para que seja triangulariza´vel devemos ter que dim(W1) = 2.
W1 = {v ∈ K2 | LA(v) = v} = ker{LA − I}
 0 0
1 0
 x
y
 =
 0
0
 =
 0
x

por isso o nu´cleo e´ o conjunto dos pontos da forma (0, y), y ∈ K, que possui dimensa˜o
1, que deveria ser 2 para que a matriz fosse diagonaliza´vel .
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 21
Definic¸a˜o 11 (Operador triangulariza´vel). Um operador linear T : V → V linear e´ dito
triangulariza´vel se existe uma base B de V , com respeito a qual T e´ triangular superior,
isto e´,
[T ]B = (ai,j)
onde ai,j = 0 com i > j.
Definic¸a˜o 12 (Matriz triangulariza´vel).Uma matriz A ∈Mn×n(K) e´ triangulariza´vel se
e´ semelhante a uma matriz triangular.
Propriedade 24. Se T e´ diagonaliza´vel, enta˜o T e´ triangulariza´vel.
Demonstrac¸a˜o. Pois T e´ similar a uma matriz diagonal, que e´ triangular superior,
por isso T e´ triangulariza´vel.
Propriedade 25. Se B = (vk)
n
1 e´ base de V e B
′ = (vn+1−k)n1 . [T ]B e´ triangular superior
⇔ [T ]′B e´ triangular inferior
Demonstrac¸a˜o.
Propriedade 26. Seja V de dimensa˜o finita. T : V → V linear e´ triangulariza´vel ⇔ FT
e´ produto de fatores lineares, isto e´, o polinoˆmio caracter´ıstico pode ser escrito como
FT (x) = det

x− λ1 a · · · b
0 x− λ2 · · · c
... · · · ... d
0 · · · · · · x− λn

=
n∏
k=1
(x− λk).
Demonstrac¸a˜o.
⇒).
Por definic¸a˜o existe uma base B tal que [T ]B e´ triangular superior, enta˜o
FT (x) =
n∏
k=1
(x− xk)
onde xk = ak,k sa˜o os elementos da diagonal principal da matriz, por propriedade de
determinante de matriz triangular.
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 22
⇐). Supondo FT (x) =
n∏
k=1
(x− λk).
FT (λ1) = 0 ⇔ λ1 e´ um autovalor de T ⇔ ∃v1 6= 0 tal que T (v1) = λ1v1. Seja
B = (vk)
n
1 , base de V , enta˜o
[T ]B =
(
λ1 bB
0B B
)
AB sendo um bloco em geral. Vamos mostrar que [T ]B e´ semelhante a uma matriz
triangular superior, note que
FT (x) = det
[
x− λ1 bB
0B (B − xI)B
]
= (x− λ1) det(B − xI)︸ ︷︷ ︸
FB(x)
.
logo FB(x) =
n∏
k=2
(x − λk). Completamos agora a prova por induc¸a˜o sobre n = dimV,
para n = 1 vale. Suponha verdade do teorema para espac¸os vetoriais com dimensa˜o
< n. Por hipo´tese indutiva, podemos supor que, como FB e´ produto de fatore lineares,
logo B e´ triangulariza´vel, isto e´, existe P invert´ıvel tal que PBP−1 e´ triangular superior.
Afirmamos que o resultado da multiplicac¸a˜o
[
1 0B
0B PB
][
λ1 0B
0B B
][
1 0B
0B P
−1
B
]
=
[
λ1 aB
0B PBP
−1
B
]
pois temos [
1 0B
0B P
−1
B
]
=
[
1 0B
0B PB
]−1
logo [T ]B e´ triangulariza´vel.
Propriedade 27. Um T : V → V na˜o nulo triangulariza´vel possui pelo menos um
autovetor na˜o nulo.
Demonstrac¸a˜o. Pois
[T ]B =

λ1 · · · · · · a
0 λ2 · · · b
... · · · · · · c
0 · · · · · · λn

onde B = (vk)
n
1 , T (v1) = λ1v1, se λ1 6= 0 acabamos, se na˜o T (v2) = λ2v2, se λ2 6= 0
terminamos, se na˜o continuamos, algum deles deve ser na˜o nulo, pois se na˜o T e´ nula.
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 23
Corola´rio 9. Em um corpo algebricamente fechado K todo operador T : V → V , com
V espac¸o vetorial sobre K e´ triangulariza´vel. Logo a matriz do operador e´ semelhante a
uma triangular superior, um exemplo e´ quando temos K = C.
Propriedade 28. Se A ∈Mn(R) e´ sime´trica logo seu polinoˆmio mı´nimo possui somente
ra´ızes reais. Em especial o operador associado so´ possui autovalores reais.
Demonstrac¸a˜o. A ∈Mn(R) ⊂Mn(C), temos que PA se decompo˜e em fatores lineares
em C. Seja λ ∈ C uma raiz de PA, queremos mostrar que λ ∈ R.
Como λ e´ autovalor existe v 6= 0 ∈ Cn tal que A(v) = λv
vT = (xk)
n
1 , v
T = (xk)
n
1
vT .v =
n∑
k=1
xkxk =
n∑
k=1
|xk|2 6= 0
(acima temos o produto de uma matriz linha por uma matriz coluna) pois v na˜o e´ nulo.
Multiplicando por λ temos
λvTv = (λv)Tv = (Av)Tv = vTATv =
por A ser sime´trica e real A = A temos
= vTAv = vTAv = vTλv ⇒
(λ− λ)vTv = 0
isso implica λ = λ portanto λ e´ real .
Propriedade 29. AB e BA possuem os mesmos autovalores.
Demonstrac¸a˜o. Caso um deles seja invert´ıvel, digamos A, temos que
A−1ABA = BA
logo AB e BA sa˜o similares e da´ı possuem mesmo polinoˆmio caracter´ıstico , portanto
possuem mesmos autovalores. O mesmo vale caso nenhum deles seja invert´ıvel.
Exemplo 12. Se A e´ uma matriz tal que A2 = A enta˜o A e´ diagonal? Aplicando o
determinante temos que detA2 = detA , logo det(A) = 0 ou 1, procuramos enta˜o contra
exemplo de matriz com determinante nulo, por exemplo 0 1
0 1

CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 24
multiplicando por si mesma temos  0 1
0 1
 0 1
0 1

e a matriz na˜o e´ diagonal.
Propriedade 30. Seja A e B diagonais. A ∼ B ⇔ A e B possuem elementos na diagonal
permutados .
Demonstrac¸a˜o.
⇐).
Suponha que A e B possuam elementos na diagonal permutados, enta˜o as duas ma-
trizes sa˜o semelhantes, basta trocar a ordem da base dos operadores associados.
⇒). Se A ∼ B enta˜o existe P invert´ıvel tal que
A = P−1BP
A e B possuem mesmo polinoˆmio caracter´ıstico
n∏
k=1
(x − ak) onde cada ak e´ elemento da
diagonal de ambas matrizes a menos da ordem, pois as matrizes sa˜o diagonais, logos seus
elementos na diagonal sa˜o iguais exceto por uma permutac¸a˜o.
Exemplo 13. Seja
B =

0 1 0
0 −1 0
1 1 1

Encontre os autovalores de B e calcule Bn. Primeiro encontramos o polinoˆmio carac-
ter´ıstico.
det(xI −B) = det

x −1 0
0 x+ 1 0
−1 −1 x− 1
 = x(x+ 1)(x− 1)
enta˜o temos autovalores 0, 1 e −1 . Encontramos base para os autoespac¸os associados
calculando N(B), N(B−I), N(B+I), respectivamente gerados por (1, 0,−1)T , (0, 0, 1)T ,
(1,−1, 0) enta˜o temos
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 25
B = PDP−1
a matriz D e´ formada pelos autovalores na diagonal a matriz P e´ formada por elementos
das bases dos autoespac¸os correspondentes, no caso temos enta˜o
B =

1 0 1
0 0 −1
−1 1 0


0︸︷︷︸
λ1=0
0 0
0 1︸︷︷︸
λ2=1
0
0 0 −1︸︷︷︸
λ3=−1


1 0 1
0 0 −1
−1 1 0

−1
para achar a inversa de P , usamos o procedimento
[P |I]→ [I|P−1]
partimos da matriz ampliada [P |I] onde I e´ a identidade e efetuando operac¸o˜es elemen-
tares (soma de linhas, produto de linha por constante e troca de linhas) ao chegarmos
em I no lugar de P chegaremos na inversa de P no lugar de I . Para calcular a n-e´sima
poteˆncia, basta usar que
Bn = PDnP−1
onde Dn e´ a matriz cada elemento de D (diagonal) elevado a n .
Exemplo 14. Se T e´ diagonaliza´vel ele na˜o precisa possuir todos autovalores distintos,
como e´ o caso do operador T = λI, T : V → V , dimV = n que possui como autovalor
apenas λ sendo o polinoˆmio caracter´ıstico (x − λ)n e o polinoˆmio mı´nimo x − λ. Pore´m
o operador e´ diagonaliza´vel posi ja´ se encontra na forma diagonal.
Propriedade 31. Suponha que V = V1 ⊕ V2, ambas V1 e V2 T -invariantes enta˜o PT =
M1.M2 onde MK = PT |Vk .
Demonstrac¸a˜o. (continuar depois) Seja B1 uma base de V1 e B2 uma base de V2
enta˜o B1 ∪B2 = B (ordenadamente) e´ uma base de V , temos que
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 26
[T ]B =
(
[M1]B1 0
0 [M2]B2
)
logo PT (T ) e´ o operador que na base B tem matriz
PT =
(
P [M1]B1 0
0 P [M2]B2
)
isso implica que M1.M2 =
Propriedade 32. Se todo vetor na˜o nulo de V for um autovetor do operador T : V → V ,
enta˜o T = λI, para algum λ ∈ K, V de dimensa˜o finita.
Demonstrac¸a˜o. Seja (vk)
n
1 base de V , temos que
T (vk) = λkvk
T (
n∑
k=1
vk) = λ
n∑
k=1
vk =
n∑
k=1
λkvk
por independeˆncia linear temos λk = λ para cada k, disso temos
T (
n∑
k=1
ckvk) =
n∑
k=1
ckT (vk) = λ
n∑
k=1
ckvk
por isso vale para qualquer v, T (v) = λv.
Exemplo 15. Seja
A =

−1 0 0 −1
−2 0 0 −1
−4 1 0 −3
−2 0 1 1

A : R4 → R4. Podemos calcular o polinoˆmio caracter´ıstico x4 − 1 = FA. Que possui
duas ra´ızes reais 1 e −1 podemos encontrar os espac¸os invariantes W1 = S(1, 0, 2, 2),
W−1 = S(1, 2, 2, 0) (verificar se as contas esta˜o corretas). O operador na˜o e´ diagonaliza´vel
sobre R, pois na˜o podemos escrever V como soma direta dos subespac¸os. Caso fosse um
operador sobre C poder´ıamos pois temos 4 autovalores distintos. O polinoˆmio mı´nimode
A e´ o pro´prio polinoˆmio caracter´ıstico, pois todas suas ra´ızes sa˜o distintas. O operador
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 27
na˜o e´ triangulariza´vel em R pois FT na˜o e´ produto de fatores lineares (pore´m em C e´
triangulariza´vel )
Exemplo 16. Considere a matriz
A =

6 −3 −2
4 −1 −2
10 −5 −3

A e´ semelhante sobre R a alguma matriz diagonal? e sobre C?. Veremos se a matriz
e´ diagonaliza´vel. Podemos calcular o polinoˆmio caracter´ıstico, que e´ (x − 2)(x2 + 1), o
operador na˜o possui todos autovalores reais, logo na˜o e´ diagonaliza´vel sobre R, pore´m em
C ela possui todos os autovalores distintos −2, i,−i enta˜o e´ diagonaliza´vel sobre C.
Exemplo 17. Determine a forma de Jordan do operador D2 = T (derivada segunda)
no espac¸o P4 = V dos polinoˆmios de grau ≤ 4., A derivada e´ um operador nilpotente,
dimV = 5, por propriedade de derivada temos dimT (V ) = 3, dimT 2(V ) = 1, dimT 3(V ) =
0. Logo temos o sistema de invariantes inicial h1 = 1, dando base para T
2(V ),
h′1 = 2
para completar uma base de T (V ) com dimensa˜o 3 precisamos de um elemento do nu´cleo,
logo ficamos com o sistema de invariantes
h′1 = 2, h
′
2 = 1
continuamos o processo
h′′2 = 3, h
′
2 = 2
completa uma base para V , enta˜o a forma de Jordan possui os blocos N3 e N2.
1.3 Formas quadra´ticas
Definic¸a˜o 13 (Forma quadra´tica). Seja A uma matriz quadrada de ordem n. A forma
quadra´tica associada a A e´ a expressa˜o Q(x) = xtAX onde
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 28
x =

x1
...
xn

x e´ matriz n× 1 .
Propriedade 33. Toda forma quadra´tica esta´ associada a uma matriz sime´trica.
Demonstrac¸a˜o. O produto xTAx e´ um escalar pois e´ produto de xTA que e´ 1 × n
vezes n × n gerando matriz 1 × n, que multiplicada por A, n × 1 gera matriz 1 × 1, por
isso temos que
(xTAx)T = xTAx = xTATx⇒
xTAx =
xTAx+ xTATx
2
= xT
(A+ AT )
2
x
onde sabemos que
(A+ AT )
2
e´ sime´trica pois e´ igual a sua transposta.
Para colocar uma forma quadra´tica na forma matricial podemos perceber que os ter-
mos quadrados tem coeficientes na diagonal da matriz (ordenadamente), e o coeficiente
de xjxk aparecem nos elementos aj,k e ak,j da matriz , podemos tomar por exemplo cada
um desses elementos da matriz como metade do coeficiente de xjxk .
Propriedade 34. Toda forma quadra´tica e´ ortogonalmente diagonaliza´vel .
Demonstrac¸a˜o. Considere xTAx comA sime´trica, podemos escrever xTAx = xPDP Tx
onde P e´ a matriz ortogonal dos autovetores e D matriz diagonal dos autovalores, tem-se
xTAx = xTPDP Tx =
sendo y = P Tx, escrevemos como
= yTDy = λ1y
2
1 + · · ·+ λnyn2
y = P Tx e (λk)
n
1 sa˜o os autovalores.
Exemplo 18. Expresse na forma matricial a forma quadra´tica
2x21 + 2x
2
3 + 5x
2
2 − 4x1x2 − 2x1x3 + 4x2x3.
Usando as observac¸o˜es acima temos que a forma quadra´tica e´ dada por
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 29
(
x1 x2 x3
)
2 −2 −1
−2 5 2
−1 2 2


x1
x2
x3

Vamos calcular os autovalores e base dos autoespac¸os, para calcular o polinoˆmio ca-
racter´ıstico e autovalores calculamos o determinante
det

x− 2 2 1
2 x− 5 −2
1 −2 −2
 = x3 − 9x2 + 15x− 7 = (x− 7)(x− 1)2
a fatorac¸a˜o pode ser feita procurando ra´ızes racionais do polinoˆmio. Com isso temos os
autovalores 1 e 7, resolvendo o sistema
2 −2 −1
−2 5 2
−1 2 2


x1
x2
x3
 = λ

x1
x2
x3

com λ = 1 ou 7 achamos os autoespac¸os relativos, relacionado ao autovalor λ = 7 temos
a base (1,−2 − 1) que normalizamos para (1,−2,−1)√
6
, relativo ao autovalor 1 pode-
mos encontrar o autoespac¸o com base (1, 0, 1), (0, 1,−2) e aplicar o processo de orto-
gonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt achando a base (1, 0, 1), (1, 1,−1) que normalizamos para
(1, 0, 1)√
2
,
(1, 1,−1)√
3
, podemos montar enta˜o a matriz P com os autovetores
P =

1√
2
0
1√
2
1√
3
1√
3
−1√
3
1√
6
−2√
6
−1√
6

x = Py, y = P Tx, simbolizando y = (x′, y′, z′) e usando essas relac¸o˜es temos
x′ =
x√
2
+
z√
2
y′ =
x√
3
+
y√
3
− z√
3
CAPI´TULO 1. AUTOVALORES E AUTOVETORES 30
z′ =
x√
6
− 2y√
6
− z√
6
.
A matriz D com diagonal formada pelos autovalores, com isso temos
(
x′1 x
′
2 x
′
3
)
1 0 0
0 1 0
0 0 7


x′1
x′2
x′3
 = x′2 + y′2 + 7z′2.