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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito AP1 – Me´todos Determin´ısticos II Questa˜o 1: (2,0pts) Seja f : R − {−2} −→ R dada pela expressa˜o f(x) = x−2 x+2 . Encontre um nu´mero real x tal que f(f(x)) = −1. Soluc¸a˜o: (vale 2,0pt) Para determinarmos o valor de x tal que f(f(x)) = −1, precisamos determinar f(f(x)) = x− 2 x+ 2 = x−2 x+2 − 2 x−2 x+2 + 2 = − x+ 6 3x+ 2 . Enta˜o, − x+ 6 3x+ 2 = −1⇐⇒ x+ 6 = 3x+ 2⇐⇒ 4 = 2x⇐⇒ x = 2. Questa˜o 2: (2,5pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x−3 e g(x) = { x2 se x ≥ 0 x se x < 0 . Determine: a) Determine (g ◦ f) (5); b) A lei de definic¸a˜o de g ◦ f . Soluc¸a˜o: a) (vale 1,0pt) (g ◦ f) (5) = g(f(5)) = g(2) = 4. b) (vale 1,5pt) Precisamos determinar os valores de x tais que x− 3 ≥ 0 e quando x− 3 < 0. x− 3 ≥ 0⇐⇒ x ≥ 3 e x− 3 < 0⇐⇒ x < 3. Logo, g(x) = { (x− 3)2 se x ≥ 3 x− 3 se x < 3 Questa˜o 3: (3,0pts) a) Considere g(x) = logx−2(x 2 − 7x+ 12). Determine o dom´ınio da func¸a˜o g(x). b) Sabendo que logx a = 4, logx b = 2 e logx c = 1, calcule logx ( a3 b2c2 ) . Soluc¸a˜o: a) ( Vale 1,5pt) Precisamos que x−2 > 0 e que x−2 6= 1, e tambe´m, que x2−7x+12 > 0. A primeira parte devemos ter que x > 2 e x 6= 2. A outra condic¸a˜o, segue da observac¸a˜o: x2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4) > 0, desde que, x < 3 ou x > 4. Todas essas condic¸o˜es juntas obtemos: {x ∈ R : 2 < x < 3 e x > 4}. b) (vale 1,5pt) logx ( a3 b2c2 ) = logx(a 3)− logx(b2c2) = logx(a 3)− (logx(b2) + logx(c2)) = 3 logx(a)− (2 logx(b) + 2 logx(c)) 3 logx(a)− 2(logx(b) + logx(c)) = 3 · 4− 2(2 + 1) = 6 Questa˜o 4 (2,5pts) Calcule os seguintes limites: Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2 a) lim x→1 x− 1√ x− 1 b) Determine o valor de a tal que lim x→2 x2 + ax2 − 3x− 2ax+ 2 x2 − 4 = 3 4 Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt) lim x→1 x− 1√ x− 1 = limx→1 ( x− 1√ x− 1 )(√ x+ 1√ x+ 1 ) = lim x→1 (x− 1)(√x+ 1) x− 1 = 2. b) (Vale 1,5pt) Observe que se avaliarmos os polinoˆmios x3 − 5x2 + 8x − 4 e x4 − 5x − 6 em x = 2, ambos se anulam. Logo x − 2 divide a ambos. Dividindo obtemos: x3 − 5x2 + 8x − 4 = (x− 2)(x2 − 3x+ 2) e x4 − 5x− 6 = (x− 2)(x3 + 2x2 + 4x+ 3). Logo, lim x→2 x3 − 5x2 + 8x− 4 x4 − 5x− 6 = limx→2 (x− 2)(x2 − 3x+ 2) (x− 2)(x3 + 2x2 + 4x+ 3) = lim x→2 x2 − 3x+ 2 x3 + 2x2 + 4x+ 3 = 0 27 = 0. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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