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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA Lista 8 – Me´todos de integrac¸a˜o e aplicac¸o˜es 1. Calcule as integrais abaixo escolhendo um me´todo adequado: a) ∫ x3√ 4 + x2 dx b) ∫ tan5(x) sec3(x) dx c) ∫ −3x2 + x+ 2 x3 + 2x2 + x dx d) ∫ dx (4 + x2) 3 2 e) ∫ x3 ln(2x) dx f) ∫ 2 √ 2 0 x3√ 16− x2 dx g) ∫ 3x+ 2 x3 + x2 dx h) ∫ dx x2 √ 16− x2 i) ∫ x2 cos(3x) dx j) ∫ √ 4− x2 dx 2. Em cada caso decida se a integral impro´pria converge ou diverge, e caso convirja encontre seu valor. a) ∫ +∞ 1 ln(x) x2 dx b) ∫ +∞ 1 8x3 (x4 + 2)3 dx c) ∫ +∞ e 6 x (ln x)3 dx d) ∫ +∞ 2 xe−2x dx e) ∫ +∞ 1/2 x−3 ln (2x) dx f) ∫ 0 −∞ ex 8 + ex dx 3. Siga o roteiro: a) Determine ∫ 1 x2(x− 2) dx, usando uma te´cnica de integrac¸a˜o. b) Justifique que ∫ 2 1 1 x2(x− 2) dx e´ uma integral impro´pria. c) Determine ∫ 2 1 1 x2(x− 2) dx. 4. Na figura ao lado, esta˜o representadas as curvas y = x2 e y = (x− 4)2 . a) Calcule a a´rea da regia˜o sombreada. b) Escreva e calcule uma integral (ou soma de in- tegrais) que fornece o volume do so´lido obtido quando giramos a regia˜o sombreada em torno do eixo y. 1 2 3 4 1 2 3 4 5−1 x y 5. Na figura ao lado, esta˜o representadas as curvas y = 4− (x− 2)2 e y = x. a) Calcule a a´rea da regia˜o hachurada A. b) Escreva e calcule uma integral (ou soma de integrais) que fornece o volume do so´lido ob- tido quando giramos a regia˜o hachurada B em torno do eixo x. A B 1 2 3 4 1 2 3 4 5−1 x y 6. No sistema de coordenadas abaixo, esta˜o desenhadas as curvas de equac¸o˜es xy = 4, x = 3 e y = 4 e tambe´m esta´ hachurada a regia˜o R. a) Calcule a a´rea da regia˜o R. -1 0 1 2 3 4 5 -1 0 1 2 3 4 5 6 R x y b) Calcule o volume do so´lido S obtido quando a regia˜o R gira em torno do eixo y (eixo vertical). Respostas 1. a) A mudanc¸a e´ x = 2 tan θ e a integral e´ (x2 + 4)3/2 3 − 4(x2 + 4)1/2 + C. b) A mudanc¸a e´ u = sec x e a integral e´ sec7(x) 7 − 2sec 5(x) 5 + sec3(x) 3 + C. c) A decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´ 2 x − 5 x+ 1 + 2 (x+ 1)2 e a integral e´ 2 ln |x| − 5 ln |x+ 1| − 2 x+ 1 + C. d) A mudanc¸a e´ x = 2 tan θ e a integral e´ 1 4 x√ 4 + x2 + C. e) A integrac¸a˜o e´ por partes e a integral e´ x4 4 ln 2x− x 4 16 + C. f) A mudanc¸a e´ x = 4 sen θ e a integral e´ 43 ∫ pi/4 0 sen θ(1− cos2 θ) dθ = 16 3 (8− 5 √ 2). g) A decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´ 1 x + 2 x2 − 1 x+ 1 e a integral e´ ln |x|− 2 x − ln |x+1|+C. h) A mudanc¸a e´ x = 4 sen (θ) e a integral e´ − √ 16− x2 16x + C. i) A integrac¸a˜o e´ por partes e a integral e´ x3sen (3x) 3 + 2 9 x cos(3x) + C. j) A mudanc¸a e´ x = 2 sen (θ) e a integral e´ 2 arcsen (x 2 ) + x √ 4− x2 2 + C. 2. a) 1 b) 1/9 c) 3 d) 5 4e4 e) 1 f) ln(9/8). 3. a)A decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais e´ − 1 4x − 1 2x2 + 1 4(x− 1) e a integral e´ − 1 4 ln |x|+ 1 2x + 1 4 ln |x− 2|+ C. b)A func¸a˜o na˜o e´ cont´ınua em x = 2 possuindo ass´ıntota logo e´ impro´pria. c)A integral diverge. 4. a)16/3 b)pi ∫ 4 0 (4−√y)2 − y dy = 64pi/3 5. a)37/6 b)pi ∫ 3 0 (4− (x− 2)2)2 − x2 dx = 108pi/5 6. a)8− 4 ln 3 b)16pi
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