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AD1 - GABARITO DA QUESTA˜O 1 - 2016–1 − Coloque seu nome e nu´mero de matr´ıcula na folha de resposta em PDF que sera´ enviada para correc¸a˜o. − Esta questa˜o possui treˆs itens. a) (0.8 pt) Vamos chamar de E(x), leˆ-se “E de x”, a expressa˜o −x2 + 3x 2 − 5 x , representamos isso escrevendo E(x) = −x2 + 3x 2 − 5 x . Assim, fornecendo um valor para x, podemos determinar o valor da expressa˜o E(x). Por exemplo, para x = 1, temos que E(1) = −(1)2 + 3(1) 2 − 5 1 = −1 + 3 2 − 5 = −2 + 3− 10 2 = − 9 2 Ou seja, E(1) = − 9 2 , isso significa que o valor da expressa˜o para x = 1 e´ − 9 2 . Sabendo disso, determine o valor da expressa˜o E(x) para x = −1 e x = 3 2 . Isto e´, determine E(−1) e E ( 2 3 ) . Soluc¸a˜o: Temos que: E(−1) = −(−1)2 + 3(−1) 2 − 5 (−1) = −1 − 3 2 + 5 = −2− 3 + 10 2 = 5 2 E ( 2 3 ) = − ( 2 3 )2 + 3 · ( 2 3 ) 2 − 5 2 3 = − 4 9 + 2 2 − 5 1 · 3 2 = − 4 9 +1− 15 2 = −8 + 18− 135 18 = − 125 18 b) (0.9) Um levantamento realizado entre 500 pessoas mostrou que muitas delas leeˆm dois tipos de revistas, A e B, conforme quadro a seguir Revista A Revista B Na˜o leeˆm nenhuma das duas revistas 350 160 60 Quantas pessoas leeˆm as duas revistas? Soluc¸a˜o: Sabemos que: • neste tipo de problema devemos comec¸ar com o nu´mero de pessoas na intersec¸a˜o dos conjuntos envolvidos. Assim, vamos representar pela letra x o nu´mero de pessoas que leeˆm as duas revistas. Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2 • 350 pessoas leeˆm a revista A, logo, 350− x leeˆm somente a revista A • 160 pessoas leeˆm a revista B, logo, 160− x leeˆm somente a revista B Representando essas informac¸o˜es no Diagrama de Venn, temos: A B x 350− x 160− x Assim, segue que a soma do nu´mero de pessoas que leeˆm somente a revista A, com o nu´mero de pessoas que leeˆm somente a revista B, com o nu´mero de pessoas que leeˆm as duas revistas e com o nu´mero de pessoas que na˜o leeˆm nenhuma das duas revistas deve ser igual a quantidade de pessoas entrevistadas. Ou seja, 350− x+ 160− x+ x+ 60 = 500. Resolvendo esta equac¸a˜o, obtemos: 570− x = 500 =⇒ −x = 500− 570 =⇒ −x = −70 =⇒ x = 70. Portanto, 70 pessoas leeˆm as duas revistas. c) (0.8) Neste item, o valor de b e´ o nu´mero formado pelos dois u´ltimos d´ıgitos da sua matr´ıcula. Joaquim disse a Manoela: “Pense em um nu´mero, triplique esse nu´mero, some b ao resultado; divida o novo resultado por 2. Quanto deu?” Manoela respondeu: ”30” Qual foi o nu´mero que Manoela pensou? Soluc¸a˜o: Os dois u´ltimos d´ıgitos da minha matr´ıcula sa˜o ⋆⋆. Logo, b = ⋆⋆. Vamos representar por x o nu´mero pensado. De “Pense em um nu´mero, triplique esse nu´mero, some b ao resultado; divida o novo resultado por 2. Quanto deu? ”, segue a expressa˜o 3x+ ⋆⋆ 2 . Como, o resultado dessa conta e´ igual a 30, segundo a resposta de Manoela, temos a equac¸a˜o 3x+ ⋆⋆ 2 = 30. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 3 Resolvendo, essa equac¸a˜o em x, obtemos 3x+ ⋆⋆ 2 = 30⇐⇒ 3x+ ⋆⋆ = 60⇐⇒ 3x = 60− ⋆⋆⇐⇒ x = 60− ⋆⋆ 3 . Portanto, o nu´mero pensado foi 60− ⋆⋆ 3 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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