Lista XI ALGA

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Pelotas - UFPEL
ALGA - LISTA XI
1. Consideremos a transformação linear T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (3x−2y, x+4y).
Utilizar os vetores u = (1, 2) e v = (3,−1) para mostrar que T (3u+4v) = 3T (u)+ 4T (v).
2. Dada a transformação linear T : V → W , tal que T (u) = 3u e T (v) = u− v, calcular em
função de u e v:
a) T (u+ v) R.: 4u− v
b) T (3v) R.: 3u− 3v
c) T (4u− 5v) R.: 7u+ 5v
3. Dentre as transformações T : R2 → R2 definidas pelas seguintes leis, verificar quais são
lineares:
a) T (x, y) = (x− 3y, 2x+ 5y)
b) T (x, y) = (y, x)
c) T (x, y) = (x2, y2)
d) T (x, y) = (x+ 1, y)
e) T (x, y) = (y − x, 0)
f) T (x, y) = (|x|, 2y)
g) T (x, y) = (senx, y)
h) T (x, y) = (xy, x− y)
i) T (x, y) = (3y,−2x)
R.: São lineares: a), b), e) e i)
4. Seja V = R2. Fazer um gráfico de um vetor genérico v = (x, y) do domínio e de sua
imagem T (v) sob a transformação linear T : R2 → R2 dada por:
a) T (x, y) = (2x, 0)
b) T (x, y) = (2x, y)
5. Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
a) T : R2 → R3; T (x, y) = (x− y, 3x,−2y) R.: É
b) T : R3 → R3; T (x, y, z) = (x+ y, x− y, 0) R.: É
c) T : R2 → R2; T (x, y) = (x2 + y2, x) R.: Não é
d) T : R2 → R2; T (x, y) = (|x|, y) R.: Não é
1
6. Seja a aplicação T : R2 → R3, T (x, y) = (x+ ky, x+ k, y):
Verificar em que caso(s) T é linear:
a) k = x R.: Não é
b) k = 1 R.: Não é
c) k = 0 R.: É
7. a) Determinar a transformação linear T : R2 → R3 tal que T (1,−1) = (3, 2, 1) e T (0, 1) =
(1, 1, 0). R.: T (x, y) = (−2x+ y,−x+ y,−x)
b) Encontrar v ∈ R2 tal que T (v) = (−2, 1,−3). R.: v = (3, 4)
8. a) Determinar a transformação linear T : R3 → R2 tal que T (1,−1, 0) = (1, 1), T (0, 1, 1) =
(2, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 3). R.: T (x, y, z) = (−y + 3z,−y + 3z)
b) Achar T (1, 0, 0) e T (0, 1, 0). R.: T (1, 0, 0) = (0, 0) e T (0, 1, 0) = (−1,−1)
9. Seja T : R3 → R2 uma transformação linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) =
(2, 3) e T (1, 0, 0) = (3, 4).
a) Determinar T (x, y, z). R.: T (x, y, z) = (3x− y − z, 4x− y − z)
b) Determinar v ∈ R3 tal que T (v) = (−3,−2). R.: v = (1, 6− z, z)
c) Determinar v ∈ R3 tal que T (v) = (0, 0). R.: v = (0,−z, z)
10. Seja T o operador linear no R3 tal que T (1, 0, 0) = (0, 2, 0), T (0, 1, 0) = (0, 0,−2) e
T (0, 0, 1) = (−1, 0, 3). Determinar T (x, y, z) e o vetor v ∈ R3 tal que T (v) = (5, 4,−9).
R.: T (x, y, z) = (−z, 2x,−2y + 3z); v = (2,−3,−5)
11. Seja o operador linear T : R2 → R2, T (x, y) = (2x + y, 4x + 2y). Quais dos seguintes
vetores pertencem a N(T )?
a) (1,−2) b) (2,−3) c) (−3, 6). R.: a) e c)
12. Para o mesmo operador linear do exercício anterior, verificar quais dos vetores pertencem
a Im(T ):
a) (2, 4) b) (−1
2
,−1) c) (−1, 3). R.: a) e b)
13. Para as transformações lineares abaixo:
• Determinar o núcleo, uma base para esses subespaço e sua dimensão. T é injetora?
Justificar.
• Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensão. T é sobreje-
tora? Justificar.
2
a) T : R2 → R2, T (x, y) = (3x − y,−3x + y). R.: N(T ) = {(x, 3x);x ∈ R},
dimN(T ) = 1, T não é injetora pois N(T ) 6= {(0, 0)}; Im(T ) = {(−y, y); y ∈ R},
dimIm(T ) = 1, T não é sobrejetora pois Im(T ) 6= R2
b) T : R2 → R3, T (x, y) = (x+ y, x, 2y). R.: N(T ) = {(0, 0)}, dimN(T ) = 0, T é inje-
tora pois N(T ) = {(0, 0)}; Im(T ) = {(x, y, z) ∈ R3; 2x−2y−z = 0}, dimIm(T ) = 2,
T não é sobrejetora pois Im(T ) 6= R3
c) T : R2 → R2, T (x, y) = (x − 2y, x + y). R.: N(T ) = {(0, 0)}, dimN(T ) = 0, T
é injetora pois N(T ) = {(0, 0)}; Im(T ) = R2, dimIm(T ) = 2, T é sobrejetora pois
Im(T ) = R2
d) T : R3 → R2, T (x, y, z) = (x+2y− z, 2x− y+ z). R.: N(T ) = {(x,−3x,−5x);x ∈
R}, dimN(T ) = 1, T não é injetora poisN(T ) 6= {(0, 0, 0)}; Im(T ) = R2, dimIm(T ) =
2, T é sobrejetora pois Im(T ) = R2
e) T : R3 → R3, T (x, y, z) = (x−y−2z,−x+2y+z, x−3z). R.: N(T ) = {(3z, z, z); z ∈
R}, dimN(T ) = 1, T não é injetora pois N(T ) 6= {(0, 0, 0)}; Im(T ) = {(x, y, z) ∈
R3; 2x+ y − z = 0}, dimIm(T ) = 2, T não é sobrejetora pois Im(T ) 6= R3
f) T : R3 → R3, T (x−3y, x−z, z−x). R.: N(T ) = {(3x, x, 3x);x ∈ R}, dimN(T ) = 1,
T não é injetora pois N(T ) 6= {(0, 0, 0)}; Im(T ) = {(x, y, z) ∈ R3; y = −z},
dimIm(T ) = 2, T não é sobrejetora pois Im(T ) 6= R3
14. Seja a transformação linear T : R2 → R2 tal que T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1,−2) =
(0,−1, 0).
a) Determinar T (x, y). R.: T (x, y) = (2x+ y, 3x+ 2y,−2x− y)
b) Determinar N(T ) e Im(T ). R.: N(T ) = {(0, 0)} e Im(T ) = {(x, y,−x);x, y ∈ R}
c) T é injetora? E sobrejetora? R.: T é injetora mas não é sobrejetora.
15. Encontrar um operador linear T : R3 → R3 cujo núcleo é gerado por (1, 2,−1) e (1,−1, 0).
R.: Um deles é T (x, y, z) = (0, 0, x+ y + 3z)
16. Consideremos a transformação linear T : R3 → R2 definida por T (x, y, z) = (2x + y −
z, x+2y) e as bases A = {(1, 0, 0), (2,−1, 0), (0, 1, 1)} do R3 e B = {(−1, 1), (0, 1)} do R2.
Determinar a matriz [T ]AB. R.:
( −2 −3 0
3 3 2
)
17. Seja a transformação linear T : R2 → R3, T (x, y) = (2x − y, x + 3y,−2y) e as bases
A = {(−1, 1), (2, 1)} e B = {(0, 0, 1), (0, 1,−1), (1, 1, 0)}. Determinar [T ]AB. Qual a matriz
[T ]AC , onde C é a base canônica do R3. R.:
 3 05 2
−3 3
 e
 −3 32 5
−2 −2

3
Observação: Seja T : V → W . Denominamos por [T ] a matriz da transformação em
relação às bases canônicas de V e W e chamamos [T ] de matriz canônica de T .
18. Sabendo que a matriz de uma transformação linear T : R2 → R3 nas basesA = {(−1, 1), (1, 0)}
do R2 e B = {(1, 1,−1), (2, 1, 0), (3, 0, 1)} do R3 é: 3 12 5
1 −1

encontrar a expressão de T (x, y) e a matriz [T ]. R.: T (x, y) = (8x+18y, 6x+11y,−2x−
4y); [T ] =
 8 186 11
−2 −4

19. Seja [T ] =
 1 −22 0
−1 3
 a matriz canônica de uma transformação linear T : R2 → R3.
Se T (v) = 2, 4,−2, calcular v. R.: v = (2, 0)
20. Seja T : R2 → R3 uma transformação çinear com matriz [T ]BB′ =
 1 −10 1
−2 2
 para
B = {(1, 0), (0, 1)} base do R2 e B′ = {(1, 0, 1), (−2, 0, 1), (0, 1, 0)} base do R3. Qual a
imagem do vetor (2,−3) pela T? R.: (11,−13, 2)
21. Seja T : R3 → R2 tal que [T ]B1B2 =
(
1 0 −1
−1 1 1
)
sendo B1 = {(0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1)}
e B2 = {(−1, 0), (0,−1)} bases do R3 e do R2, respectivamente.
a) Encontrar a expressão de T (x, y, z). R.: T (x, y, z) = (−2y + z,−x+ y)
b) Determinar Im(T ) e uma base para esse subespaço. R.: Im(T ) = R2
c) Determinar N(T ) e uma base para esse subespaço. R.:N(T ) = {(x, x, 2x);x ∈ R}
d) T é injetora? T é sobrejetora? Justificar. R.: T não é injetora pois N(T ) 6=
{(0, 0, 0)} mas é sobrejetora pois Im(T ) = R2.
22. Consideremos o operador linear T : R2 → R2 onde T (x, y) = (x + 2y, x − y) e as bases
A = {(−1, 1), (1, 0)}, B = {(2,−1), (−1, 1)} e C canônica. Determinar [T ]AA, [T ]BB e [T ]CC .
R.: [T ]AA =
( −2 1
−1 2
)
, [T ]BB =
(
3 −1
6 −3
)
e [T ]CC = [T ] =
(
1 2
1 −1
)
4
23. A matriz de T : R2 → R2 relativa a base B = {v1, v2}, sendo v1 = (1, 1) e v2 = (3, 2), é:(
2 1
−1 −3
)
a) Determinar T (v1)B e T (v2)B. R.: T (v1)B = (2,−1), T (v2)B = (1,−3)
b) Determinar T (v1) e T (v2). R.: T (v1) = (−1, 0) e T (v2) = (−8,−5)
c) Calcular T (x, y). R.: T (x, y) = (−6x+ 5y,−5x+ 5y)
24. Seja T : R2 → R2 definida por [T ] =
(
1 3
−1 5
)
. Determinar os vetores u, v e w tais que:
a) T (u) = u. R.: (0, 0)
b) T (v) = 2v. R.: y(3, 1)
c) T (w) = (4, 4). R.: 1, 1
25. Sejam as transformações lineares T1 : R2 → R3, T1(x, y) = (x−y, 2x+y,−2x) e T : R2 →
R3, T2(2x− y, x− 3y, y). Determinar as seguintes transformações lineares de R2 em R3:
a) T1 − T2. R.: T (x, y) = (−x, x+ 4y,−2x− y)
b) 3T1 − 2T2. R.: T (x, y) = (−x− y, 4x+ 9y,−6x− 2y)
26. Consideremos as transformações lineares S e T de R3 em R2 definidas por S(x, y, z) =
(2x− y, 3x− 2y + z) e T (x, y, z) = (x+ y − z, y − 2z).
a) Determinar o núcleoda transformação linear S + T . R.: {(x, 0, 3x);x ∈ R}
b) Encontrar a matriz canônica de 3S − 4T . R.:
(
2 −7 4
9 −10 11
)
27. Sejam S e T operadores lineares de R2 definidos por S(x, y) = (x − 2y, y) e T (x, y) =
(2x,−y). Determinar:
a) S + T . R.: (S + T )(x, y) = (3x− 2y, 0)
b) T − S. R.: (T − S)(x, y) = (x+ 2y,−2y)
c) 2S + 4T . R.: (2S + 4T )(x, y) = (10x− 4y,−2y)
d) S ◦ T . R.: (S ◦ T )(x, y) = (2x+ 2y,−y)
e) T ◦ S. R.: (T ◦ S)(x, y) = (2x− 4y,−y)
f) S ◦ S. R.: (S ◦ S)(x, y) = (x− 4y, y)
28. As transformações S : R2 → R3 e T : R3 → R2 são tais que S(x, y) = (y, x− y, 2x+ 2y) e
T (x, y, z) = (x, y).
5
a) Sendo B = {(1, 0,−1), (1, 1, 1), (1, 0, 0)} uma base do R3, determinar a matriz [S ◦T ]BB.
R.:
 −1 −4 −11 0 1
0 5 0

b) Determinar [T ◦ S]B′B′ e [T ◦ S]B′′B′′ , sendo B′ = {(1, 1), (0,−1)} e B′′ base canônica.
R.:
(
1 −1
1 −2
)
e
(
0 1
1 −1
)
29. Sendo S e T operadores lineares do R3 definidos por S(x, y, z) = (x, 2y, x−y) e T (x, y, z) =
(x− z, y, z), determinar:
a) [S ◦ T ]. R.:
 1 0 −10 2 0
1 −1 −1

b) [T ◦ S]. R.:
 0 1 00 2 0
1 −1 0

6