Integral_definido

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Matemática 1 Anatolie Sochirca ACM DEETC ISEL 
 
 1 
Integral definido 
 
 
1) Definição do integral definido. 
 
 
 
 
 
∑∫
=
→∆
∞→
∆=
n
i
ii
ix
n
b
a
xufdxxf
1
0
)()( lim , 1−−=∆ iii xxx , ( )iii xxu ,1−∈ . 
 
 
2) Funções integráveis. 
 
► A função )(xf continua em [ ]ba, é integrável em [ ]ba, . 
 
► A função elementar )(xf é integrável em [ ] fDba ⊂, . 
 
► A função )(xf com um número finito de pontos de descontinuidade de a1 espécie 
em [ ]ba, é integrável em [ ]ba, . 
 
► A função )(xf monótona em [ ]ba, é integrável em [ ]ba, . 
 
 
3) Propriedades do integral definido. 
 
► 0)( =∫
a
a
dxxf ; 
 
► ∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ; 
 
► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, e R∈βα , , então a função 
)()( xgxf ⋅+⋅ βα é integrável em [ ]ba, e 
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 2 
 
[ ] ∫∫∫ +=⋅+⋅
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( βαβα ; 
 
► Se )(xf é integrável em [ ]ba, , então a função )(xf é integrável em [ ]ba, e 
 
∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxfdxxf )()( , ba < ; 
 
► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, , então a função )()( xgxf ⋅ é integrável 
em [ ]ba, ; 
 
► Se )(xf é integrável em [ ]ba, , então ela é integrável em [ ] [ ]badc ,, ⊂ ; 
 
 
► Se )(xf é integrável em [ ]ca, e [ ]bc, , então ela é integrável em [ ]ba, e 
 
∫∫∫ =+
b
a
b
c
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()( ; 
 
► Se )(xf é integrável em [ ]ba, e 0)( ≥xf , então 0)( ≥∫
b
a
dxxf , ba < ; 
 
► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, e [ ]baxxgxf ,)()( ∈∀≥ , então 
∫∫ ≥
b
a
b
a
dxxgdxxf )()( , ba < ; 
 
4) Teorema do valor médio. 
 
► Sejam: 
a) )(xf integrável e continua em [ ]ba, , 
b) )(xg integrável em [ ]ba, , 
c) 0)( ≥xg (ou 0)( ≤xg ) [ ]bax ,∈∀ , 
então [ ]ba,∈∃λ tal que 
 
∫∫ =⋅
b
a
b
a
dxxgfdxxgxf )()()()( λ . 
 
Corolário: Se 1)( =xg , então 
))(()( abfdxxf
b
a
−=∫ λ . 
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O valor ∫
−
=
b
a
dxxf
ab
f )(1)(λ chama-se valor médio da função )(xf em [ ]ba, . 
 
 
5) Teorema fundamental do calculo integral. 
 
Seja )(xf integrável em [ ]ba, . Porque no integral ∫
b
a
dxxf )( a variável de 
integração é muda para qualquer [ ]bax ,∈ consideremos ∫=
x
a
dttfxF )()( . 
► Se )(xf é integrável em [ ]ba, , então a função ∫=
x
a
dttfxF )()( é continua em 
[ ]ba, . 
 
► Se )(xf é continua em [ ]ba, , então a função ∫=
x
a
dttfxF )()( é derivável em 
[ ]ba, e 
)()()( xfdttfxF
x
a
=
′








=′ ∫ . 
Daqui concluímos que qualquer função continua em [ ]ba, admite primitiva em 
[ ]ba, e uma das primitivas é a função ∫=
x
a
dttfxF )()( . 
 
 
6) Regra de Barrow. 
 
 
► Se )(xf é continua em [ ]ba, e )(xF é uma primitiva de )(xf então: 
 
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫ . 
 
► Com ∫=
)(
)(
)()(
xb
xa
dttfxF e )(tf continua em [ ])(),( xbxa tem-se: 
 
[ ]
.)())(()())(( 
)())(()())(())(())(()()(
)(
)(
xaxafxbxbf
xaxaFxbxbFxaFxbFdttfxF
xb
xa
′⋅−′⋅=
=′⋅′−′⋅′=
′
−=
′








=′ ∫
 
 
 
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7) Integração por partes. 
 
► Se )(xuu = e )(xvv = têm derivadas continuas no segmento [ ]ba, , então 
( ) ∫∫ ⋅′−⋅=′⋅
b
a
b
a
b
a
dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()()( , 
isto é, 
( ) ∫∫ −⋅=
b
a
b
a
b
a
xduxvxvxuxdvxu )()()()()()( . 
 
8) Integração por substituição. 
 
► Se a função )(xf é continua em [ ]ba, e a função [ ] [ ]batg ,,:)( →βα tem 
derivada continua em [ ]βα , e bgag == )(,)( βα então 
 
)())(()())(()( tdgtgfdttgtgfdxxf
b
a
∫∫∫ =′⋅=
β
α
β
α
. 
 
9) Aplicações do integral definido. 
 
 
a) A área duma região plana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
► Se )(xf e )(xg são integráveis em [ ]ba, e 
{ })()(:),( xfyxgbxaOxyyxA ≤≤∧≤≤∈= , 
então 
[ ]∫ −=
b
a
dxxgxfS )()( . 
 
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b) Comprimento duma linha no plano. 
 
 
► Se AB é um arco da linha plana dada por )(xfy = com [ ]bax ,∈ e )(xf 
continua em [ ]ba, , então o comprimento l do arco é: 
[ ]∫ ′+=
b
a
dxxfl 2)(1 . 
 
► Se AB é um arco da linha plana dada por )( ygx = com [ ]dcy ,∈ e )( yg 
continua em [ ]dc, , então o comprimento l do arco é: 
 
[ ]∫ ′+=
d
c
dyygl 2)(1 . 
 
 
c) Volume do sólido de revolução em torno do eixo xO . 
 
 
 
 
 
 
 
 
► Com 0)()( ≥≥ xgxf e [ ]bax ,∈ tem-se: 
 
[ ]∫ −⋅=
b
a
dxxgxfV )()( 22pi . 
 
 
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d) Volume do sólido de revolução em torno do eixo yO . 
 
 
 
 
► Com 0)()( ≥≥ yy ψϕ e [ ]dcy ,∈ tem-se: 
 
[ ]∫ −⋅=
d
c
dyyyV )()( 22 ψϕpi .