APOSTILA_CDI_1_INTEGRAIS_CAP4_DONIZETTI_23maio2012

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PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS DERIVADAS
Nesta tabela, f, g, u e v são funções deriváveis de x, e k, a e n são constantes
[ k ] ’ = 0
[ x ] ’ = 1
[ k . f ] ’ = k. f ’
[ f ( g] ’ = f ’ ( g ’ (sendo válida para mais de duas funções)
[ f . g] ’ = f ’ . g + f . g ’
[ x n ] ’ = n . x n -1
[ u n ] ’ = n . u n – 1 . u ’
[ a u ] ’ = a u . ln a . u ' (para a > 0 e a ( 1)
 [ e u ] ’ = u ' . eu 
 [ 
 ] ’ = 
 (para a > 0 e a ( 1e u > 0)
 [
] ’ = 
 (para u > 0)
 [ 
] ’ = 
(para u > 0)
 [ sen u ] ’ = u ’ . cos u
 [ cos u ] ’ = - u ’ . sen u
 [ tg u ] ’ = u ’ . sec2 u 
 [ cotg u ] ’ = - u ’ . cossec2 u
 [ sec u ] ’ = u ’ . sec u . tg u 
 [ cossec u ] ’ = - u ’ . cossec u . cotg u
 [ arc sen u ] ’ = 
 
 [ arc tg u ] ’ = 
 [ arc cos u ] ’ = 
 [ arc cotg u ] ’ = 
 [ arc sec u ] ’ = 
25) [ arc cossec u ] ’ = 
�
PRINCIPAIS REGRAS DE DERIVAÇÃO
(Neste quadro, u e v são funções deriváveis de x. Por outro lado, k, a, m e n são constantes.)
	FUNÇÃO
	DERIVADA
	
 com 
	 
	
	 
	
 com 
	 
	
	 
	
 com 
	 
	
 com 
	 
	
 
	 
	
 com 
	
	
 
	 
	
 com 
	 
	
	 
	 
 com 
	 
	 
 com 
	 
	 
 com 
	 
 
	
	 
	
 
	 
	
 
	 
	
 
	 
	
 
	 
	
	 
	
	 
	
	 
	
	 
Definição de Derivada geral: 
Definição de Derivada em um ponto p: 
 
Velocidade Instantânea: 
 
Aceleração Instantânea: 
Equação da reta tangente: 
 Normal: 
 
�
FÓRMULAS E PROPRIEDADES DE INTEGRAIS
 (sendo válida para mais de duas funções)
 (para 
)
 (para 
)
 (resumindo as fórmulas (3) e (4))
 (caso particular da fórmula (3))
 (extensão da fórmula (4) 
)
 ou 
 (consequência da fórmula (8))
( caso geral da fórmula (8))
 (extensão da fórmula (8))
 
 (extensão da fórmula (20))
(extensão da fórmula (22))
	 26) 
=
 		
27) Fórmulas de recorrência: Guidorizzi (2005) vol.1, pág 387, ex.4. 
�
PRINCIPAIS FÓRMULAS E PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS
 (sendo válida para mais de duas funções)
 (para 
)
 (para 
)
 (resumindo as fórmulas (3) e (4))
 e 
 e 
 e 
 (integração por partes)
Algumas aplicações das integrais: 
 
 
 
�
DEFINIÇÕES E FORMULÁRIO DE REVISÃO
Definição de Derivada geral: 
Definição de Derivada em um ponto p: 
 
Equação da Reta Tangente: 
Equação da Reta Normal: 
Velocidade Instantânea: 
Aceleração Instantânea: 
Variação da Função: 
Concavidade da Função: 
Ponto de máximo local: 
Ponto de mínimo local: 
Ponto de inflexão: 
Regra da Cadeia: 
Regra de L’Hospital: 
Derivada da função inversa: 
Derivação Implícita: 
Primitivas ou Antiderivadas: 
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC): 
 onde 
A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície limitada pelo gráfico da curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b. 
Integrais aplicações:
 
Aplicação Física: 
Nota: As constantes serão determinadas pelas condições iniciais.
Integrais por partes:
Integração por frações parciais: Seja 
, com 
 e P(x) um polinômio. Então:
Se o grau de P for estritamente menor que o grau do denominador (grau de P < 2), então: 
 e, assim, 
= 
Resumindo: Com 
, temos: 
Se o grau de P for maior ou igual ao do denominador, precisamos antes fazer a divisão.
 
ALGUMAS FÓRMULAS ÚTEIS EM CIRCUITOS E MEDIDAS:
	
	TENSÃO
	CORRENTE
	POTÊNCIA
	
RESISTÊNCIA
	
	
	
	
INDUTÂNCIA
	
	
	
	
CAPACITÂNCIA
	
	
	
POTÊNCIA MÉDIA: 
 onde T é o período e 
ENERGIA: 
 ou 
ALGUMAS APLICAÇÕES DO CDI-1 À FÍSICA
 e 
Se 
 e em 
 temos 
 então: 
Pesquisar: Trabalho e Resistência dos Materiais: Momento fletor e esforço cortante
- SÉRIE DE TAYLOR: Seja f derivável até a ordem n no intervalo I e seja x0 ( I. O polinômio
 
denomina-se polinômio de Taylor, de ordem n, de f em volta de x0.
Definição de limites: 
Limites especiais: 1) 
 2) 
 
 
 e 
CONTINUIDADE: f é contínua em x = p 
Fourier: Pesquisar
Laplace: Pesquisar
�
FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a ( 0
1) 
2) 
 
3) 
4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: 
e 
5) Decomposição de polinômios: 
 
6) Fatorações especiais: 
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO: 
SOMATÓRIO: 
GEOMETRIA ESPACIAL
Prisma: 
Cilindro: 
Cone: 
 
Esfera: 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL: 
Propriedades das potências: 
1) 
		2) 
 			3) 
4) 
			5) 
			6) 
7) 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
 
Propriedades logarítmicas: 
1) 
		2) 
2) 
		 4) 
5) 
 e por consequência 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA:
Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem iguais, isto é: 
Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes angulares for igual a menos um, isto é: 
 ou 
 
	
A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é dado por: 
. 
Considerando a circunferência com centro na origem, temos:
 
�� EMBED Equation.3 .
	
Equação fundamental da reta: 
, onde 
�
TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências:
1) 
		 2) 
 
3) 
 ou 
 4) 
 ou 
	
5) 
					 6)
7) 
		 			 8) 
9) 
				
10) Soma de arcos: 
 
11) Arcos duplos: 
 
12) Relação fundamental trigonométrica e consequências: 
 
13) Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos: 
 
14) Transformação de soma em produto: 
 
15) Lei dos Senos e Lei do Cossenos: 
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PRIMITIVAS
1. INTRODUÇÃO
Em muitos problemas, embora a derivada de uma função seja conhecida, torna-se necessário determinar a própria função.
É o caso dos seguintes exemplos:
Um sociólogo que, conhecendo a taxa de crescimento da população, poderá usar tal dado para prever futuras taxas de crescimento daquela população;
Um físico que, conhecendo a velocidade de um corpo, será capaz de determinar a posição futura do corpo;
Um economista que, conhecendo a taxa de inflação, poderá fazer estimativas de preço, no futuro;
Entre outros.
Ao processo de determinação de uma função a partir de sua derivada dá-se o nome de cálculo das primitivas ou integração.
2. DEFINIÇÃO
Uma função F(x) para a qual F ’ (x) = f(x) para todo x pertencente ao domínio de f é uma primitiva (ou integral indefinida) de f.
Exemplo:
1) Mostre que F(x) = 
 é uma primitiva de f(x) = x2 + 5
Solução: F(x) é uma primitiva de f(x) 
F ’ (x) = f(x). Assim, derivando F(x), temos:
 F ’ (x) = x2 + 5 = f(x)
3. PRIMITIVA GENÉRICA DE UMA FUNÇÃO
Uma função possui mais de uma primitiva. Por exemplo, F(x) = x3 é uma primitiva da função f(x) = 3x2, pois F ’ (x) = 3x2 = f(x). Da mesma forma, G(x) = x3 + 12 também é uma primitiva de f(x), pois a derivada da constante 12 é zero e G ’ (x) = 3x2 = f(x).
Em geral, se F for uma primitiva de f, qualquer função obtida ao acrescentarmos uma constante a F também será uma primitiva de f. Na realidade, podemos obter todas as primitivas de f somando constantesa qualquer primitiva de f.
Assim, se F e G forem primitivas de f, existe uma constante k tal que: G(x) = F(x) + k 
4. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Existe uma explicação geométrica simples para o fato de duas primitivas quaisquer de uma função diferirem entre si de um valor constante. Se F for uma primitiva de f, então F ’ (x) = f(x). Isto significa que, para cada valor de x, f(x) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de F(x). Se G for outra primitiva de f, o coeficiente angular de sua reta tangente também é f(x). Logo, o gráfico de G é “paralelo” ao gráfico de F e pode ser obtido transladando-se verticalmente o gráfico de F. Assim, existe uma constante k, tal que G(x) = F(x) + k. A figura a seguir ilustra esta situação para várias primitivas da função f(x) = 3x2.
 Figura: Alguns exemplos das primitivas de 3x2 
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5. NOTAÇÃO DE INTEGRAÇÃO
Costuma-se escrever: 
 para exprimir o fato de toda primitiva de f(x) ser da forma F(x) + k.
Por exemplo, para expressar o fato de toda primitiva de 3x2 ser da forma x3 + k, escrevemos:
O símbolo 
chama-se sinal de integração e indica que queremos encontrar a forma mais genérica da primitiva da função que o segue. O sinal de integração lembra um “S” alongado, que representa “SOMA”. Veremos, uma relação tão importante entre derivadas e somas, que recebe o nome de Teorema Fundamental do Cálculo.
 
Na expressão 
, a função f(x) a ser integrada denomina-se integrando. A constante k (não especificada), acrescentada a F(x) a fim de tornar mais genérica a expressão da primitiva, denomina-se constante de integração.
O símbolo dx que segue o integrando serve para indicar que x é a variável em relação a qual efetuaremos a integração.
Definição da integral indefinida (ou primitiva) utilizando a notação de integral
6. REGRAS DE INTEGRAÇÃO
A integração é a operação inversa da diferenciação. Logo, podemos formular várias regras de integração partindo das correspondentes (porém no sentido inverso) regras de diferenciação (derivadas).
6.1 REGRAS DA POTÊNCIA PARA INTEGRAÇÃO
Segundo a regra de potencia: 
, ou seja, para derivar uma função potência, retiramos uma unidade do expoente e multiplicamos o expoente original pela função elevada ao novo expoente. Enunciando esta regra no sentido inverso, teremos que, para integrar uma função potência, devemos aumentar seu expoente de uma unidade e dividir o resultado pela nova potência.
Segue-se um enunciado mais preciso da regra. Para 
, 
ou seja, para integrar 
 (
), aumenta-se o expoente de uma unidade, e divide-se a função elevada ao novo expoente por este novo expoente.
Para comprovar esta regra, basta observar que: 
Exemplos:
Calcule as integrais
a) 
		 b) 
c) 
 d) 
e) 
A regra da potência vale para todos os valores de n, à exceção de n = - 1 (caso em que 
 é indefinido).
6.1.1. Como determinar uma primitiva de x–1
Precisamos determinar uma função cuja derivada é 
. O logaritmo natural ln x é a tal função, logo 
. Na realidade, isto só é válido quando x for positivo, pois ln x não é definido para valores negativos de x. Quando x é negativo, segue-se que ln |x| é a primitiva de 
, pois, sendo x negativo, |x| = - x e 
.
Quando x é positivo, segue-se que ln |x| é a primitiva de 
, pois sendo x positivo, |x| = x e 
.
Assim, a integral de 
 é dada por: 
.
 INTEGRAL DE ex
A integração da função exponencial ex é trivial, pois ex é sua própria derivada. Assim,
 REGRAS DA CONSTANTE MULTIPLICADA E DA SOMA
É fácil rescrever as regras de derivação para soma e constante multiplicada e transformá-las em regras de integração para estes casos.
6.3.1 Regra da constante multiplicada para integrais
Para qualquer constante k,
ou seja, a integral de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela integral da função.
6.3.2. Regra da soma para integrais
ou seja, a integral da soma é a soma de cada uma das integrais.
Exemplo:
Calcule as integrais
a) 
b) 
c) 
Nota: pelo exemplo c, temos que ao invés de adicionarmos uma constante a cada uma das 3 primitivas, basta adicionar apenas uma constante k ao final do resultado encontrado.
6.4 INTEGRAIS DE PRODUTOS E QUOCIENTES
Não existem regras gerais de integração de produtos e quocientes. Ocasionalmente, conseguiremos exprimir um produto ou um quociente de uma forma integral, com o auxílio das regras já apresentadas.
Exemplos:
Calcule 
Fazendo a divisão indicada, temos: 
Assim, 
Calcule 
Fazendo a divisão indicada, temos :
 
 
, pois 
Assim: 
�
7. APLICAÇÕES
Nos exemplos que se seguem a taxa de variação é conhecida e o objetivo consiste em calcular a expressão da própria grandeza. Como a taxa de variação é a derivada, calculamos sua expressão por integração.
7.1. Crescimento Populacional
Exemplo: Estima-se que, daqui a t meses, a população de uma certa cidade variará segundo a taxa de 
 pessoas por mês. A população atual é de 5.000 pessoas. Qual a população daqui a 9 meses?
Solução:
Seja P(t) a população da cidade daqui a t meses. Então, a derivada de P é a taxa de variação da população em relação ao tempo, ou seja, 
Segue-se que a função população P(t) é uma primitiva de 
, ou seja, 
para alguma constante k.
Para determinar k, usamos a informação de que a população atual (quando t = 0) é de 5.000, ou seja: 
logo 
 e a população daqui a 9 meses será: 
7.2. Economia, administração, ciências contábeis e engenharia de produção
Nas aplicações à economia, se conhecemos a função marginal então podemos usar a integração indefinida para determinar a função custo total, conforme ilustram os exemplos a seguir:
Exemplos:
Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades é de 3q2 – 60q + 400 reais por unidade. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o custo total de produção das cinco primeiras unidades?
Solução:
Vale lembrar que o custo marginal é a derivada da função custo total c(q). Logo,
c’(q) = 3q2 – 60q + 400 
e, portanto, c(q) deve ser a primitiva
para alguma constante k.
O valor de k é determinado com base no fato de que c (2) = 900.
Em particular, 900 = (2)3 – 30(2)2 + 400(2) + k 
 k = 212
Então, c(q) = q3 – 30q2 + 400q + 212
e o custo de produção das 5 primeiras unidades é de:
C(5) = (5)3 – 30(5)2 + 400(5) + 212 = R$ 1.587,00
Um fabricante constata que o custo marginal da produção de x unidades de uma componente de copiadora é dado por 30 – 0,02x. Se o custo da produção de uma unidade é R$ 35,00, determine a função custo e o custo de produção de 100 unidades? 
Solução: Seja C a função custo, então o custo marginal é a taxa de variação de C em relação a x, isto é:
C ’ (x) = 30 – 0,02x
Logo
para algum k.
Com x = 1 e C(1) = 35, obtemos:
35 = 30 – 0,01 + k, ou k = 5,01
Consequentemente
C(x) = 30x – 0,01x2 + 5,01
Em particular, o custo da produção de 100 unidades é
C(100) = 3.000 – 100 + 5,01 = R$ 2.905,01
Um fabricante de bicicletas espera que daqui a x meses os consumidores estarão adquirindo F(x) = 5.000 + 60
 bicicletas por mês ao preço de P(x) = 80 + 3
 u.m. (unidades monetárias) por bicicleta. Qual é a receita total que o fabricante pode esperar da venda das bicicletas durante os próximos 16 meses? Resposta: R’ (x) = F(x).P(x) 
 R (x) = ... assim, R(x) = 7.267.840
Solução: 
R’ (x) = F(x).P(x) 
 R’ (x) = [5000 + 60
] . [80 + 3
]
R’ (x) = 400.000 + 15.000 
 + 4800
 + 180x 
 R’ (x) = 400.000 + 19.800
 + 180x
Assim,
= 400.000x+19.800
+
+k=400.000x + 13.200 x
+ 90x2 + k
R(x) = 400.000 x + 13.200 x
 + 90x2 (produção nula 
 k = 0)
Logo,
R(16) = 400.000 
 (16) + 13.200(16) 
+ 90 
 (16)2 
 R(16) = 6.400.000 + 844.800 + 23.040
R(16) = 7.267.840 unidades monetárias.
�
APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS À ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p.
Foi visto nas aplicações de derivadas que as derivadas da função custo total e da receita total representam, respectivamente, as funções custo marginal (CMg) e receita marginal (RMg). Conhecendo-se o custo marginal e a receita marginal, através da integração dessas funções, podemos obter o custo total e a receita total, ou seja,
Função custo total: 
Função receita total: 
Como a integral indefinida contém uma constante arbitrária, no cálculo do custo total essa constante pode ser calculada conhecendo-se o custo fixo de produção. No caso do cálculo da receita total, como geralmente a receita total é zero quando o número de unidades produzidas é zero, este resultado pode ser usado para calcular a constante de integração.
Exemplos ilustrativos:
Se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 80 - x + x2. Determine a função receita total e a função demanda.
Solução:
Função receita total: 
.
Como, para x = 0, R(0) = 0, então k = 0. 
Portanto,
Função demanda: 
Uma empresa sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 6x2 - 2x + 200 / unidade. O custo para produzir as três primeiras unidades foi R$ 1.200,00. Calcular o custo para produzir as 10 primeiras unidades.
Solução:
Função custo total: 
Para 
Portanto, a função custo total é: 
Custo para produzir 
A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg(x) = 20 + 40x - 6x2. O custo fixo é 60. Determine: (a) a função custo total; (b) a função custo médio; (c) a função custo variável.
Solução:
Para determinado produto, a função receita marginal é RMg(x) = 25 - 5x. Determine: (a) a receita total; (b) a função demanda.
Solução:
Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o custo marginal de produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual 50.
Solução:
Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 0,75x2-20x+10.
Solução:
Teoria e Exemplos - Adaptados de: HARIKI, Seiji; ABDOUNUR, Oscar João. Matemática aplicada: Administração, Economia, Contabilidade. São Paulo: Saraiva, 1999.
Análise Marginal
Frequentemente, é necessário analisar uma variável econômica através do comportamento de sua derivada, procedimento denominado análise marginal. Em seção anterior, discutiu-se questões desta natureza para variáveis econômicas como custo total e receita total gerando respectivamente custo e receita marginais. Reciprocamente, em outros problemas, o que se procura é a recuperação de uma função total a partir de sua derivada, ou seja, de sua função marginal. Enquanto no primeiro caso utiliza-se o cálculo diferencial, no segundo recorre-se ao cálculo integral. 
Embora, anteriormente, tenha enfatizado particularmente custos e receitas marginais, cabe ressaltar que se pode definir variáveis marginais – e, reciprocamente, resgatar as variáveis totais correspondentes – para qualquer variável econômica.
Por exemplo, variáveis marginais como imposto marginal, produtividade marginal, propensão marginal a consumir associam-se respectivamente a 
 onde I representa o imposto total produzido pela venda de x mercadorias, P a produtividade em função do número de trabalhadores ou máquinas x e C o consumo total como função da renda nacional total x. Pode-se ainda pensar em demanda marginal, eficiência marginal de investimentos, etc. Apresentaremos neste item alguns casos envolvendo variáveis econômicas marginais e totais e como proceder para resolver problemas deste tipo.
Exemplos: 
Supondo que a produtividade marginal (PMg) de uma fábrica em relação à produção diária de automóveis P seja dada por 
, onde x representa o número de vendedores. Supondo que a empresa possui 15 vendedores, quantos vendedores são necessários contratar para atingir uma produção de 20 carros por dia? Considere que a produtividade é nula sem empregados vendedores.
Solução: 
Se 
A produtividade é nula sem empregados vendedores.
Se 
Como x representa o número de empregados, a empresa necessita contratar mais 5 vendedores.
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> restart:
> dP_dx:=2-0.1*x;
> P:=Int([dP_dx],x)=int(dP_dx,x);
> solve(2*x-0.05*x^2=20,{x});
�
> plot(2*x-0.05*x^2,x=0..40);
 
Se a produtividade marginal de automóveis (número de automóveis por dia) em relação ao número de empregados é dada por dP/dx = 8 – 0,06x, quantos empregados são necessários para produzir 148 carros por dia? Considere que sem empregados não há produção. Resposta: 20 operários
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> restart:
> dP_dx:=8-0.06*x; 
> P:=Int([dP_dx],x)=int(dP_dx,x); 
> solve(8*x-0.03*x^2=148,{x}); 
> plot(8*x-0.03*x^2,x=0..270);
Sabemos que o lucro (L) é igual a receita (R) menos os custos (C), ou seja: L = R – C. Logo, seu valor será máximo quando a derivada desta diferença anular-se, ou ainda, quando a receita marginal (Rm) igualar-se ao custo marginal (Cm). 
Justificativa matemática: 
 Esta é a condição necessária de otimalidade (anulamento da derivada de primeira ordem). A condição suficiente é que, também 
 no ponto ótimo, o que, em geral pode ser facilmente verificado.
Supondo que o lucro máximo ocorra quando a quantidade for qmáx e tendo em vista que o lucro é nulo se a quantidade é nula (constante de integração é nula, k = 0), temos:
que representa a área abaixo do gráfico referente à receita marginal e acima do gráfico do custo marginal.
Exemplos: 
Suponha que uma empresa deseje aumentar o número de seus vendedores. Assumindo que pesquisas estatísticas em tal empresa revelam que o custo marginal Cm (em mil reais) para empregar vendedores adicionais expressa-se como função do número de vendedores adicionais x segundo o expressão 
 e a receita marginal Rm (em mil reais) propiciada por tais vendedores por 
, calcule o número de vendedores adicionais necessários a maximizar o lucro proveniente de tal contratação, bem como o valor do lucro máximo correspondente.
Solução: 
A situação ótima mencionada ocorre quando Rm= Cm, ou seja,
 Elevando ao quadrado ambos os membros da equação.
Retornando à equação original, verifica-se que 2,76 não é raiz (solução) enquanto 15 sim. Logo, o número de vendedores adicionais que maximiza o lucro associado é x = 15. 
De acordo com a expressão apresentada anteriormente, tal lucro será dado por:
Portanto, a empresa deve contratar 15 vendedores adicionais e terá um lucro máximo de 34,50 mil reais.
Solução: Utilizando a rotina escrita no software de computação algébrica Maple(, temos:
> Receita_marginal:=2+sqrt(4*x+40); 
> Custo_marginal:=sqrt(48*x/5); 
> Solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); 
 
> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); 
> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,x); 
> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max) 
 =evalf(int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max));
 
Se a receita e o custo marginal expressam-se como função da quantidade x respectivamente por Rm = 44 - 9x e Cm = 20 - 7x + 2x2 encontre a quantidade produzida que maximiza o lucro assim como o lucro total correspondente sob condições de competição perfeita. Resposta: x=3 => L=45.
Solução: Utilizando a rotina escrita no software de computação algébrica Maple(, temos:
> restart:
> Receita_marginal:=44-9*x;> Custo_marginal:=20-7*x+2*x^2; 
> Solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); 
> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,{x}); 
> q_max:=solve(Receita_marginal=Custo_marginal,x);
> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max[1])= 
 int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max[1]);
> Lucro_maximo:=Int([Receita_marginal-Custo_marginal],x=0..q_max[2])= 
 int(Receita_marginal-Custo_marginal,x=0..q_max[2]);
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p.
Uma indústria sabe que o custo marginal de produção de x unidades é de R$ 9x2 - 4x + 300 /unidade. O custo para produzir as duas primeiras unidades foi R$ 800,00. Calcular o custo para produzir as 5 primeiras unidades. Resposta: R$ 2.009,00
Determine a função receita total se a função receita marginal é dada por RMg(x) = 0,6x2-10x+50. Resposta: R(x) = 0,2x3 – 5x2 + 50x
Em certa indústria, para um nível de produção de x unidades sabe-se que o custo marginal de produção de cada uma é CMg(x) = 3x2 - 12x + 36 reais. Calcule a função custo total sabendo-se que o custo fixo é igual 50. Resposta: C(x) = x3 – 6x2 + 36x + 50 
Para determinado produto, a função receita marginal é RMg(x) = 40 – 6x. Determine: (a) a receita total; (b) a função demanda. Resposta: (a) R(x) = 40x – 3x2 (b) p = 40 – 3x;
A função custo marginal de determinado produto é dada por CMg(x) = 30 + 90x - 3x2. O custo fixo é 80. Determine: (a) a função custo total; (b) a função custo médio; (c) a função custo médio variável. Resposta: (a) C(x) = 30x + 45x2 – x3 + 80; (b) CM(x) = 30 + 45x – x2 + 80/x; (c) Cv(x) = 45x – x2 + 80/x. 
�
7.3. Equações Diferenciais
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma derivada. Resolver uma equação diferencial significa determinar todas as suas soluções. Em alguns casos, além da equação diferencial, podemos conhecer certos valores da função, chamados de condições iniciais.
Exemplos: 
1) Se 
, determine y. 				Resposta: 
2) Se 
 e se y = 2 quando x = 0, determine y. 		Resposta: 
Determine a função y = y (x), 
, tal que: 
Solução: 
 
Determine a única função y = y (x), definida em 
, tal que: 
Solução: 
 
A condição y(0) = 2 significa que, para x = 0, devemos ter y = 2. Desta forma podemos determinar o valor de k.
Assim, de 
, temos: 
 
 k = 2 e 
Determine a função y = y (x), 
, tal que: 
, y (0) = 1 e y ’(0) = 0
Solução: 
 
 
Mas y ’ (0) = 
, temos 
 
 
Logo 
De 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Mas y (0) =1 
 1 = 0 + 0 + k2 
 k2 = 1
APLICAÇÕES ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS
PROBLEMAS DE CRESCIMENTO E DECAÍMENTO
Seja N(t) a quantidade de substância (ou população) sujeita a crescimento ou decaímento. Admitindo que 
, a taxa de variação da quantidade de substância em relação ao tempo, seja proporcional à quantidade de substância presente, então 
 ou 
, onde k é a constante de proporcionalidade.
Resolução da equação diferencial:
Exemplo:
1) Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se existem inicialmente 50 miligramas de material e se, após duas horas, o material perdeu 10% de sua massa original, determine:
a) A expressão da massa remanescente em um instante arbitrário t.
b) A massa de material após quatro horas.
c) O tempo após o qual o material perde metade de sua massa original.
Solução:
a) Seja N a quantidade de material presente no instante t. Então 
. Esta equação diferencial é linear e separável e sua solução, conforme apresentada anteriormente, é dada por: 
.
Em t = 0, temos N(0) = 50. 
Desta forma,
Portanto, 
.
Em t = 2, houve perda de 10% da massa original de 50 mg, ou seja, 5 mg. Logo, em t = 2, N(2) = 45.
Levando estes valores na equação encontrada, temos:
Resolvendo esta equação encontramos o valor de k 
- 0,0527.
Observação: Para resolver esta equação utilizamos as propriedades dos logaritmos naturais.
Assim, nossa equação com as duas constantes encontradas fica: 
, onde t é medido em horas.
b) Neste item precisamos encontrar o valor de N para t = 4. Basta substituir na equação encontrada e teremos N = 40,50 mg.
c) Neste item devemos encontrar o tempo para N = 25. Substituindo na equação e utilizando as propriedades dos logaritmos naturais encontramos t = 13,16 horas.
�
PROBLEMAS DE TEMPERATURA
A lei do resfriamento de Newton, aplicável igualmente ao aquecimento, afirma que a taxa de variação, no tempo, da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio circundante. Sejam T a temperatura do corpo e Tm a temperatura do meio circundante. Então, a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo é 
, e a lei de resfriamento de Newton pode assim ser formulada:
onde k é uma constante positiva de proporcionalidade.
Resolução da equação diferencial:
Exemplos:
1) Uma barra de metal à temperatura de 100º F é colocada em um quarto à temperatura constante de 0ºF. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50ºF, determine:
a) O tempo necessário para a barra atingir uma temperatura de 25ºF.
b) A temperatura da barra após 10 min.
Solução:
Utilizando a equação 
 e sabendo que 
, teremos:
Como T = 100 em t = 0 , temos: 
.
Assim, teremos a solução 
. 
Por outro lado, temos T = 50 em t = 20 e assim obtemos: 
. 
Utilizando as regras de logaritmos encontramos k = 0,0347.
Desta forma, substituindo na equação, teremos 
a) O tempo necessário para termos T = 25, será: 
, resolvendo esta equação, encontramos t = 40 min.
b) Para encontrar T quando t = 10 basta substituir na equação encontrada e teremos: 
. E, portanto T = 70,71ºF.
�
2) Um corpo à temperatura de 50ºF é colocado ao ar livre onde a temperatura é de 100ºF. Se, após 5 min, a temperatura do corpo é de 60ºF, determine:
a) O tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 75ºF.
b) A temperatura do corpo após 20 minutos.
Solução:
Utilizando a equação 
 e sabendo que Tm = 100 teremos:
cuja solução é: 
Como T = 50 em t = 0, temos 
.
Assim, teremos a solução 
. 
Por outro lado, temos T = 60 em t = 5, e assim obtemos:
Utilizando as regras de logaritmos encontramos k = 0,0446.
Desta forma, substituindo na equação, teremos 
a) Para encontrar t quanto T = 75, basta substituir T = 75 na equação função encontrada. Assim, 
. Utilizando as propriedades de logaritmos encontramos t = 15,53 min.
b) Para encontrar T quando t = 20, basta substituir t = 20 na equação e teremos 
. E, portanto: T = 79,52ºF.
Figura: Tela escrita no Excel para o cálculo do aquecimento ou resfriamento
�
EXEMPLOS COMPLEMENTARES
Uma certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Inicialmente, a quantidade de material é de 80 miligramas e após duas horas perde-se 9% da massa original. Determine:
a) A massa restante após 12 horas.
b) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade (meia-vida = half-life).
Solução: Seja 
 a quantidade de substância presente no instante 
 e como a substância diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente tem-se:
, onde: 
Para 
�� EMBED Equation.3 temos:
Assim,
Por outro lado, para 
horas, 
miligramas, logo:
e portanto:
a) Para 
horas tem-se:
miligramas
b) Para 
 miligramas tem-se:
horas
(ou para ser mais preciso, aproximadamente 14 horas 41 minutos e 57 segundos.)
Solução utilizando a planilha Excel construída para a resolução desse tipo de aplicação, temos:�
Uma barra de metal à temperatura de 60ºC foi colocada em uma sala com temperatura constante e igual a 5ºC. Após 10 minutos mediu-se a temperatura da barra acutilizando 40ºC. Pergunta-se:
a) Qual o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 10ºC?
b) Qual a temperatura da barra após 22 minutos?
Solução: A lei de Newton para a variação da temperatura diz:
“A taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente”
Seja: 
 a temperatura do corpo
 a temperatura do meio ambiente
 a taxa de variação da temperatura do corpo
Assim, a lei de Newton fica: 
 (1)
onde 
 e 
 é uma constante de proporcionalidade, positiva. O sinal negativo na frente de 
 aparece a fim de tornar 
 negativa em um processo de resfriamento.
A expressão (1) pode ser escrita assim: 
cuja solução é: 
Assim, 
a) Para 
 e 
ºC segue-se que: 
ºC
Por outro lado, 
 minutos e 
ºC, onde
e assim
Quando 
ºC tem-se: 
minutos e 3 segundos
b) Após 
 minutos temos:
ºC
Solução utilizando a planilha Excel construída para a resolução desse tipo de aplicação, temos:
�
Um termômetro é removido de uma sala, em que a temperatura é de 70oF, e colocado do lado de fora, em que a temperatura é de 10oF. Após 0,5 minuto, o termômetro marcava 50oF. Qual será a temperatura marcada no termômetro no instante t igual a 1 minuto? Quanto tempo levará para o termômetro marcar 15oF? Resposta: 36,67oT e 3,06 minutos
Certa substância radioativa decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se se observa que, após 1 hora, houve uma redução de 10% da quantidade inicial da substância, determine a “meia-vida” (half-life) da substância. Sugestão: Considere a substância com 100 mg.
Resposta: 6,58 horas
Um termômetro é removido de dentro de uma sala é colocado do lado de fora, em que a temperatura é 5oC. Após 1 minuto, o termômetro marcava 20oC; após 5 minutos, 10oC. Qual a temperatura da sala? Resposta: 24,74oC
�
O Isótopo radioativo de chumbo, Pb-209, decresce a uma taxa proporcional à quantidade presente em qualquer tempo. Sua meia-vida (half-life) é de 3,3 horas. Se 1 grama de chumbo está presente inicialmente, quanto tempo levará par 90% do chumbo desaparecer? 
Resposta: 10,96 horas
Um assado pesando 5 libras, inicialmente a 50oF, é posto em um forno a 375oF às 5 horas da tarde. Depois de 75 minutos a temperatura T(t) do assado é de 125oF. Quando será a temperatura do assado de 150oF (meio mal passado)? Resposta: 105,12 minutos, ou seja: 6 horas 45 minutos e 7 segundos.
Uma esfera de cobre é aquecida a uma temperatura de 100ºC. No instante t = 0 ela é imersa em água que é mantida a uma temperatura de 30ºC. Ao fim de 3 minutos, a temperatura da esfera está reduzida a 70ºC. Determinar o instante em que a temperatura se encontra reduzida a 31ºC.
 Obs. Utilizar a formulação matemática da lei do resfriamento de Newton, ou seja, 
 Resposta: t = 22,78 ( 23 minutos
Certo material radioativo decai a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se inicialmente, há 100 miligramas e se, após dois anos, 5% do material decaíram, determine:
a) A expressão da massa no instante arbitrário t.
b) O tempo necessário para o decaimento de 10% do material.
 Resposta: 
 
( 4 a 1 m 10 d
Um corpo à temperatura de 0ºF é colocado em um quarto em que a temperatura é mantida a 100ºF. Se, após 10 minutos a temperatura do corpo é de 25,7ºF, determine:
a) O tempo necessário para o corpo atingir a temperatura de 50ºF.
b) A temperatura do corpo após 20 minutos.
Resposta: a) 23,9 min ( 24 min b) 43,75ºF ( 44ºF
Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador com uma temperatura constante de 0ºF. Se após 20 minutos, a temperatura do corpo é de 40ºF e após 40 minutos é de 20 ºF, determine a temperatura inicial. Resposta: T0 = 80ºF
Um corpo à temperatura de 50ºF é colocado em um forno cuja temperatura é mantida constante em 150 ºF. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é de 75ºF, determine o tempo necessário para que o corpo atinja a temperatura de 100 ºF. Resposta: t 100 = 23,9 min.
�
7.4. Aplicação Geométrica
A seguir veremos, através de um exemplo, como usar a integração para encontrar a equação da curva cujo coeficiente angular é conhecido.
Exemplo: Determine a equação da função f(x) cujo coeficiente angular da reta tangente, em cada x, é 3x2 + 1 e cujo gráfico passa pelo ponto (2, 6).
Solução: 
O coeficiente angular da reta tangente é a derivada de f. Logo, f ’(x) = 3x2 + 1 e f(x) é a primitiva,
Para determinar a constante k, consideramos o fato de que o gráfico de f passa pelo ponto (2, 6), ou seja, substituímos x = 2 e f(2) = 6 na equação de f(x) e resolvemos a equação em k, obtendo: 
6 = (2)3 + 2 + k 
c = - 4
Assim, a função desejada é:
f(x) = x3 + x – 4
7.5. Aplicações Físicas
Suponhamos um ponto P em movimento em uma reta coordenada, com velocidade v(t) e aceleração a(t) no instante t. Do conceito de derivada, sabemos que: v(t) = s’(t) e a(t) = v’(t) = s’’(t), onde s(t) representa a função posição no instante t.
Assim, 
 
para alguma constante k1.
Analogamente,
para alguma constante k2.
Exemplos:
Uma partícula desloca-se sobre o eixo x e sabe-se que no instante t, 
, a velocidade é v(t) = 2t + 1. Sabe-se, ainda, que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 1. Determine a posição x = x(t) da partícula no instante t.
Solução: 
Equacionando, temos:
De 
 
 x = 
 
 x = t2 + t + k
Mas 1 = x(0) 
 1 = 02 + 0 + k 
 k =1
�
Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = t + 3, 
. Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 2
Qual a posição da partícula em um instante t?
Qual a posição da partícula em um instante t =2?
Determine a aceleração.
Solução: 
�� EMBED Equation.3 
Como x(0) = 2 
 
 m
Como sabemos 
 ou mais precisamente 
Uma partícula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t – 3, t 
 0. Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 5. Determine o instante em que a partícula estará mais próxima da origem.
Solução: v(t) = 2t – 3, t 
 0 e s(0) = 5,
Mas, como s(0) = 5 
 s(0) = 02 – 3. 0 + k = 5 
k = 5
Para determinar o ponto mínimo, basta determinar o vértice da parábola s(t),
 
 
�� EMBED Equation.3 
 
s
Ou, utilizando derivadas,
 
 
Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade 
, 
(a e v0 constantes). Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = x0. Determine a posição x = x(t) da partícula no instante t.
Solução: v(t) = a.t +v0 e x(0) = x0
Assim,
Como x(0) = x0 
 
 
k = x0
Nota: Utilizando esta técnica podemos determinar a função posição (s(t)) para um objeto que se move sob a influência da gravidade. A compreensão do problema exige o conhecimento de um fato da física. Sobre um objeto na superfície da terra ou próximo dela atua uma forca – a gravidade – que produz uma aceleração constante, denotada por g. O valor aproximado de g, usado na maioria dos problemas, é 9,8 m/s2.
5) Joga-se uma pedra verticalmente para cima de um ponto situado a 45 m acima do solo e com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar, determine:
A distância da pedra ao solo após t segundos.	
O intervalo de tempo durante o qual a pedra sobe.
O instante em que a pedra atinge o solo, e a velocidade nesse instante. 
Solução: 
O movimento da pedra pode ser representado por um ponto em uma coordenada vertical s com origem no solo e direção positiva para cimaA distância da pedra ao solo no instante t é s(t) e as condições iniciais são v(0) = 30 e s(0) = 45. Como a velocidade é decrescente, v ’ (t) < 0, isto é, a aceleração é negativa. Logo,
a(t) = v ’ (t) = -9,8 e 
, logo 
, para algum k1.
Substituindo t por 0 e em vista do fato de que v(0) = 30, vem 30 = 0 + k1 = k1 e, consequentemente,
v(t) = -9,8 t + 30
Como s’ (t) = v (t), obtemos:
s’(t) = - 9,8 t + 30 e 
, logo s(t) = -4,9 t2 + 30t + k2, para algum k2
Fazendo t = 0, e como s(0) = 45, temos 45 = 0 + 0 + k2 = k2. Segue-se que a distância do solo à pedra no instante t é dada por:
s(t) = -4,9 t2 + 30 t + 45
A pedra subirá até que v(t) = 0, isto é, até que, 
- 9,8 t + 30 = 0 
s
A pedra atingirá o solo quando s(t) = 0, isto é, quando,
- 4,9 t2 + 30 t + 45 = 0 
 t = - 1, 24 s ou t = 7,36 s
A solução t = - 1,24 s não é adequada, pois t é não negativo. Logo, resta t = 7,36 s, que é o tempo após o qual a pedra atinge o solo. A velocidade nesse instante é:
v(7,36) = - 9,8 (7,36) + 30 
 - 42,13 m/s
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivando-as.
				Resposta: 
				Resposta: 
				Resposta: 
		Resposta: 
		Resposta: 
			Resposta: 
	Resposta: 
			Resposta: 
		Resposta: 
			Resposta: 
Determine a solução geral da equação diferencial dada:
a) 
 		Resposta: 
	
 			Resposta: 
Resolva a equação diferencial sujeita às condições iniciais:
a) f ’ (x) = 12x2 – 6x + 1 e f(2) = 5			Resposta: 4x3 – 3x2 + x - 17
b) 
 e y = 21 se x = 4	Resposta: 
c) f ’’ (x) = 4x – 1 e f ’ (2) = - 2; f(1) = 3	Resposta: 
Esboce o gráfico da função y = y(x), x 
, sabendo que:
			Resposta: y = x2 – x 
> plot(x^2-x,x=-10..10);
	Resposta: y = cos 2x
> plot(cos(2*x),x=0..Pi);
		Resposta: y = e- x – 1
> Limit(exp(-x)-1,x=-infinity)=limit(exp(-x)-1,x=-infinity); 
> Limit(exp(-x)-1,x=infinity)=limit(exp(-x)-1,x=infinity); 
> plot(exp(-x)-1,x=-10..10,y=-10..10);
�
Estima-se que daqui a t meses a população de uma cidade estará variando a uma taxa de 4 + 5t2/3 pessoas por mês. Se a população atual é de 10.000, qual será a população daqui a 8 meses? Resposta: 10.128 pessoas
Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 4x+1 para cada valor de x e cujo gráfico contém o ponto (1, 2). Resposta: f(x) = 2x2 + x – 1 
Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 3x2 + 6x - 2 para cada valor de x e cujo gráfico contém o ponto (0, 6). Resposta: f(x) = x3 + 3x2 - 2x + 6 
Determine a função cuja reta tangente tem uma inclinação de 
 para cada valor de x e cujo gráfico contém o ponto (1, 3). Resposta: 
 Um fabricante de blusas de esporte determina que o custo marginal de fabricação de x unidades é dado por 20 – 0,015x . Se o custo de fabricação de uma unidade é de R$ 25,00, determine a função custo total e o custo de produção de 50 unidades. 
 Resposta: C(x) = 20x – 0,0075x2+5,0075 e C(50) 
 R$ 986,26
 Se a função custo marginal de um produto é dada por 
 e se o custo de produção de 8 unidades é de R$ 20,00, determine a função custo e o custo de produção de 64 unidades
 Resposta: C(x) = 	
 e C(64) 
 R$ 56,00
Um objeto se move de tal forma que sua velocidade após t minutos é V(t) = 1 + 4t + 3t2 metros por minuto. Que distância o objeto percorre durante o terceiro minuto? Resposta: S(t) = t + 2t2 + t3 + k => S(3) – S(2) = 48 – 18 = 30 metros
Um objeto se move de tal forma que sua velocidade após t minutos é V(t) = 3 + 2t + 6t2 metros por minuto. Que distância o objeto percorre durante o segundo minuto? Resposta: S(t) = 3t + t2 + 2t3 => S(2) – S(1) = 26 – 6 = 20 metros
 Se um ponto se move em uma reta coordenada com a aceleração a(t) e as condições iniciais dadas, determine s(t):
a) a(t) = 2 – 6t; v(0) = - 5; s(0) = 4		Resposta.: s(t) = t2 – t3 – 5t + 4
b) a(t) = 3t2; v(0) = 20; s(0) = 5		Resposta.: s(t) = 
 + 20t + 5
Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t) = 2t + 5, t > 0. Sabe-se que, no instante t = 0, a partícula encontra-se na posição x = 6.
Qual a posição da partícula no instante t?			Resposta: 
Determine a posição da partícula no instante t = 2. Resposta: x(2) = 20
Determine a aceleração.						Resposta: a(t) = 2
 Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 500 m/s. Desprezando a resistência do ar, determine:
A sua distância no instante t.	Resposta: S(t) = - 4,9t2 + 500t
A altura máxima atingida.	Resposta: Em t = 51,02 seg acontece hmáx = 12.755,1 m
Joga-se uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 5 m/s. Determine:
A sua distância do solo após t segundos?	Resposta: S(t) = - 4,9t2 + 5t
Quando ela atinge o solo?			Resposta: t = 1,02 seg
A velocidade com que atinge o solo?		Resposta: V(1,02) = - 4,996 m/s = - 5 m/s
 Deixa-se cair um objeto da altura de 300 m. Desprezando a resistência do ar, determine:
A distância percorrida em t segundos		Resposta: S(t) = -4,9t2 + 300
A velocidade ao cabo de 3 segundos		Resposta: V = -29,4 m/s
Quando o objeto atinge o solo			Resposta: ½.9,8.t2 = 300 => t = 7,82 seg
Uma constante gravitacional para objetos próximos da superfície da Lua é 1,62 m/s2.
Se um astronauta na Lua joga uma pedra diretamente para cima com uma velocidade inicial de 20 m/s determine a altura máxima atingida. Resposta: S(t) = - 0,812t2 + 20t
Se, após sua volta à Terra, o astronauta lança a mesma pedra diretamente para cima com a mesma velocidade inicial, determine a altura máxima atingida. Resposta: t = 12,34 seg => s = 20,40 m
Uma bola rola por um plano inclinado com uma aceleração de 61 cm/s2.
Se a bola não tem velocidade inicial, que distância percorrerá em t segundos? 
Resposta: S(t) = 30,50t2
Qual deve ser a velocidade inicial para que a bola percorra 30 metros em 5 segundos? 
Resposta: S(5) = 3000 cm e S = So + vo t + ½ a . t2 => vo = 447,50 cm/s
Uma pedra é atirada diretamente para baixo de um balão estacionário a 3000 metros acima do solo com uma velocidade de -14,4 m/s. Localize a pedra e encontre sua velocidade 20 segundos depois. 
Resposta: Depois de 20 segundos, a pedra está a 712 metros acima do solo e sua velocidade é de
 -214,4 m/s. 
Dica, sugestão ou explicação dos exercícios: 
15) Em t = 0 s, s(0) = 0 m e v(0) = 500 m/s. Use aceleração = 9,8 m/s2. Entendendo os sinais da velocidade e aceleração: 
17) Em t = 0 s, s(0) = 300 m e v(0) = 0 m/s. Use aceleração = - 9,8 m/s2. Entendendo os sinais da velocidade e aceleração: 
 2222
20) No instante que a pedra é atirada do balão, sua aceleração é de a = dv/dt = -10 m/s². Sua velocidade é v = -10t + k1. Quando t = 0, v = -14,4 m/s; onde k1 = -14,4 e v = ds/dt = -10t - 14,4. Ainda, s = -5t² - 14,4t + k2. Quando t = 0, s = 3.000, onde k2 = 3000 e s = -5t² - 14,4t + 3000. Quando t = 20, s = -5(20)² - 14,4(20) + 3.000 = 712 m e v =-10(20) - 14,4 = -214,4 m/s. Portanto, depois de 20 segundos, a pedra está a 712 metros acima do solo e sua velocidade é de -214,4 m/s. Supor vo = -14,4 m/s e v1 = -20,4 m/s => (v = -20,4-(-14,4) = -6. Entendendo os sinais da velocidade e aceleração: 
 2222
Sugestão de atividade: Após resolução manual da lista de exercícios, resolva-a utilizando o software de computação algébrica Maple(.
�
�
 
 
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PROCEDIMENTO DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO SIMPLES
Algumas integrais não têm soluções imediatas, porém, através de uma mudança de variável adequada, muitas dessasintegrais podem ser calculadas com uso das regras conhecidas. Considere a integral
O objetivo desta técnica é transformar o integrando, que é uma função composta, em uma função simples. Entretanto, a técnica só funciona se no integrando aparece uma função (u) e sua derivada (c.u’), onde c ( (*.
Passo 1: Introduza a letra u para substituir alguma expressão em x que seja escolhida para simplificar a integral.
Passo 2: Reescreva a integral em termos de u. Para reescrever dx, calcule 
 e resolva algebricamente como se o símbolo 
 fosse um quociente, lembrando dos diferenciais.
Passo 3: Calcule a integral resultante e então substitua u por sua expressão em termos de x na resposta.
Nota: Se o integrando é um produto ou quociente de dois termos e um termo é múltiplo da derivada de uma expressão que aparece no outro, então esta expressão é provavelmente uma boa escolha para u.
Exemplos:
1) Calcule:
Solução:
Fazendo: u = x +1, temos: 
Logo, 
=
(dica: u = 1 + x2 
 du = 2x dx)
 (dica: u = 1 + x 
u – 1 = x e du = dx)
19)
 (dica: 
)
(dica: 
)
, 
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Prove, utilizando mudança de variável ou o método da substituição, que: 
, 
, 
, 
, 
�
Resolva os exercícios a seguir utilizando o método de substituição:
	Exercício 
	Resposta
	
v) 
	
v) 
INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
Sabemos que:
[ sen x ] ’ = cos x
[ cos x ] ’ = - sen x
[ tg x ] ’ = sec2 x
[ cotg x] ’ = - cossec2 x
[ sec x ] ’ = sec x . tg x
[ cossec x ] ’ = - cossec x . tg x
Assim,
Exemplos:
Mostre, utilizando derivadas, que 
(caso i) cos x > 0
[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (cos x) + k] ’ = 
 
(caso ii) cos < 0
[ - ln | cos x | + k] ’ = [ - ln (- cos x) + k] ’ = 
 
�� EMBED Equation.3 
Nota de revisão: 
 , logo: | x | = x se x 
 0 e | x | = - x se x < 0
Mostre, utilizando derivadas, que 
(caso i) sec x + tg x > 0
[ ln | sec x + tg x | + k]’ = [ ln (sec x + tg x) + k]’ = 
 = 
 = sec x
(caso ii) sec x + tg x < 0
[ln | sec x + tg x | + k]’=[ ln (- (sec x + tg x)) + k]’ =
 = 
= sec x
�� EMBED Equation.3 
Nota de revisão: 
sen 2 x + cos 2 x = 1 e 1 + tg 2 x = sec 2 x , pois: 
Nota de revisão: 
cos 2x = cos (x + x) = cos x . cos x - sen x . sen x = cos2 x - sen2 x = cos2 x - (1 - cos2 x) = 2 cos2 x - 1, logo cos 2x = 2 cos2 x - 1 
 cos2 x = 
... = 
 (Sugestão: 
)
... = 
 
... = 
 
... = - cos 2x + k (Sugestão: 
)
... = 
= 
=
= sec x + k
Nota de revisão: 
;
;
;
 
 Mostre, utilizando mudança de variável, que
Solução: 
* u = cos x 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
 Mostre, utilizando mudança de variável, que 
Solução: 
* u = sen x 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
 (Dica: 
)
 (Dica: 
)
 Resolva a equação diferencial f ’’ (x) = 5 cos x + 2 sen x sujeita às condições iniciais f(0) = 3 e f ’ (0) = 4. Resposta: f(x) = -5 cos x – 2 sen x + 6x + 8
 Resolva a equação diferencial f ’’ (x) = 16 cos 2x – 3 sen x sujeita às condições iniciais f(0) = -2 e f ’ (0) = 4. Resposta: f(x) = 3 sen x – 4 cos 2 x + x + 2.
 Mostre, utilizando o método de substituição, que:
(i)
= 
 (Faça: u = sen x)
(ii) 
= 
 (Faça: u = cos x)
Mostre que 
= 
 (Lembre-se: 
)
Solução: Como sen 2x = 2 sen x cos x 
�� EMBED Equation.3 
Assim, 
=
* u = 2x 
�� EMBED Equation.3 e 
 Prove, utilizando o método da substituição, que 
, 
Solução: 
 * u = 
 
 
 e 
 Prove, utilizando o método da substituição, que 
, 
Solução: 
* u = 
 
 
 e 
�
�
 
 
�
�
�
�
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - INTEGRAÇÃO POR PARTES
Suponhamos f e g funções definidas e deriváveis em um mesmo intervalo I. Temos, pela regra do produto:
[ f(x).g(x)] ' = f ' (x).g(x) + f(x).g ' (x)
ou
f(x).g ' (x) = [ f(x).g(x)] ' – f ' (x).g(x) 
Supondo, então, que f ' (x).g(x) admita primitiva em I e observando que f(x).g(x) é uma primitiva de [f(x).g(x)] ' , então f(x).g ' (x) também admitirá primitiva em I e 
				(1)
que é a regra de integração por partes.
Fazendo u = f(x) e v = g(x), teremos du = f ' (x) dx e dv = g ' (x) dx, o que nos permite escrever a regra (1) na seguinte forma usual:
Suponha, agora, que se tenha que calcular 
. Se você perceber que, multiplicando a derivada de uma das funções do integrando por uma primitiva da outra, chega-se a uma função que possui primitiva imediata, então aplique a regra de integração por partes.
Exemplos: Calcule as seguintes integrais:
 = ... = 
 = ... = 
= ...=
= ...= 
= ... = 
= ... = 
Sabendo que 
, mostre que: 
 = x. (ln x – 1) + k 
Resposta: fazendo: f = ln x e g ’ = 1 
�� EMBED Equation.3 = 
Sabendo que:
, mostre que:
= 
Sabendo que:
, mostre que:
 = x.arc sen x +
 + k
 = ... = 
 = ... = 
Sabendo que 
 e 
 mostre que 
. 
Mostre, por integração por partes, que: 
, com 
.
> Int(exp(a*x)*sin(b*x),x)=int(exp(a*x)*sin(b*x),x)+k;
> Int(exp(a*x)*sin(b*x),x)=simplify(int(exp(a*x)*sin(b*x),x))+k;
Mostre, por integração por partes, que: 
, com 
.
> Int(exp(a*x)*cos(b*x),x)=int(exp(a*x)*cos(b*x),x)+k;
> Int(exp(a*x)*cos(b*x),x)=simplify(int(exp(a*x)*cos(b*x),x))+k;
�
EXEMPLOS DE INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS
Calcule 
.
Solução: 
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> Int((sec(x))^2,x)=int((sec(x))^2,x)+k;
Calcule 
.
Solução: 
Onde:
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> Int((tan(x))^2,x)=int((tan(x))^2,x)+k;
Calcule 
.
Solução: 
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> Int((csc(x))^2,x)=int((csc(x))^2,x)+k;
Calcule 
.
Solução: 
Onde:
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> Int((cot(x))^2,x)=int((cot(x))^2,x)+k;
 
�
Calcule 
.
Solução: Multiplicando e dividindo o integrando por 
 temos:
Considerando a substituição: 
Assim,
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> Int(sec(x),x)=int(sec(x),x)+k;
Calcule 
.
Solução: Multiplicando e dividindo o integrando por 
 temos:
Considerando a substituição: 
Assim,
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> Int(csc(x),x)=int(csc(x),x)+k;
�
Utilizando resultados anteriores, calcule 
.
Solução:
Onde:
Assim,
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> Int((sec(x))^3,x)=int((sec(x))^3,x)+k;
 
Mostre que 
.
Solução: Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> Int((csc(x))^3,x)=int((csc(x))^3,x)+k; 
�
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Calcule as integrais indefinidas:
a) 
 		Resposta: (x – 1) ex + k
b) 
 	Resposta: ex (x2 – 2x + 2) + k
c)
 	Resposta: fazendo u = ln x e dv = xdx => 
d) 
 	Resposta: fazendo: u = ln x e dv = x2dx 
�� EMBED Equation.3 
e) 
 	Resposta: fazendo: u = x e dv = sec 2 x dx 
 x tg x + ln | cos x | + k
f) 
 	Resposta: 
g)Resposta: x (ln x)2 – 2x (ln x – 1) + k
h) 
 	Resposta: 
i) 
 	Resposta: 
j) 
 	Resposta: fazendo: u = x2 e dv 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
k) 
 	Resposta: fazendo: u = x2 e dv = x.cos x2 dx 
�� EMBED Equation.3 
l) 
 	Resposta: fazendo: u = e-x e dv = cos 2x dx 
 
m) 
	 Resposta: 
 (
)
2) Calcule as integrais definidas: Nota: resolva este exercício após a definição de integral definida.
a)
		Resposta: 1
b) 
		Resposta: 2 ln 2 – 1
c) 
	Resposta: 
	
d)
 	Resposta: 
=
e) 
 	Resposta: 
	
Mostre, por integração por partes, que: 
, com 
.
Mostre, por integração por partes, que: 
, com 
.
�
INTEGRAIS INDEFINIDAS DO TIPO: 
Para calcular integrais desse tipo, precisamos do seguinte teorema.
TEOREMA:
Sejam 
 e 
 então existem constantes A e B tais que:
 ( 
Nota: A demonstração decorre da teoria sobre polinômios.
 
 
, onde: 
tem grau menor que 2
Assim, podemos escrever: 
Lembre-se: 
Prova: Fazendo: u = x– a 
 
�� EMBED Equation.3 du = dx e
 
(c. q. d.)
Exemplos:
= ... = 
Solução:
=
=
=
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 e 
Logo
=
= 
= *
Fazendo: u = x –1 
 
�� EMBED Equation.3 du = dx e v = x + 1 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 dv = dx 
Assim, 
* = 
= 
= 
�� EMBED Equation.3 =
�
= ... = 
	Solução:
	
	Assim,
Logo:
= 
=
= ... = 
	Solução:
	
	Assim,
 
Logo:
�� EMBED Equation.3 
* Fazendo: 
 e assim 
Lembre-se : 			
�
NOTA: Para calcular integrais do tipo 
 com 
, é mais interessante fazer a mudança de variável 
 do que utilizar a segunda parte do teorema anterior. Ás vezes, torna-se mais fácil a resolução se for realizada a divisão de 
 por 
 antes de aplicar a mudança de variável.
Exemplos:
= ... = 
Fazendo: 
Assim,
=
= 
=
= ... = 
Fazendo: u = x – 1 
 u + 1 = x e du = dx 
Assim,
=
= 
=
= 
= 
�
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Resolva as integrais do tipo 
	EXERCÍCIO
	RESPOSTA
	
	
Sugestão: Resolva também os exercícios 4, 7, 8, 11, 13 e 14 do Guidorizzi, Vol. 1. 5 ed. pág. 375.
�
INTEGRAIS INDEFINIDAS DO TIPO: 
Para calcular integrais desse tipo, precisamos do seguinte teorema.
TEOREMA:
Sejam 
 e 
 distintos entre si, então existem constantes A, B e C tais que:
 
Nota: A demonstração decorre da teoria sobre polinômios.
Exemplos:
= ... = 
= ...= 
=...= 
Sugestão: Resolva também os exercícios do Guidorizzi, Vol. 1, 5 ed. pág. 378-379.
DIGITAR AQUI A RESOLUÇÃO DA QUESTÃO QUE ESTÁ NA PROVA SUBSTITUTIVA.
�
INTEGRAIS QUE RESULTAM EM FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS:
ARCO TANGENTE E ARCO SENO – MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO SIMPLES
De acordo com as derivadas calculadas no capítulo de derivadas, temos:
	
	
Exemplos:
 = ... = 
Solução: 
=
 
* Fazendo: 
 = ... = 
Solução:
�� EMBED Equation.3 
* Fazendo: 
 = ... = 
Solução: 
* Fazendo: 
** Racionalizando: 
 e 
Sabendo que 
, mostre que: 
, com 
Solução: 
=
�� EMBED Equation.3 
* Fazendo: 
 = ... = 
Solução:
=
+
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 +
 
 
+
 = 
=
 + 
 = 
 
* Fazendo: 
 e * * 
 = ... = 
Solução: 
* Fazendo: 
Utilizando o exercício anterior, mostre que:
 = ... = 
Solução: Comparando com o que provamos anteriormente, nesse caso a = 2, temos:
= 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
Sabendo que 
, mostre que 
, com a>0.
Solução: 
 = 
=
		(c. q. d.)
* Fazendo: 
�
�
 
 
�
�
�
�
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO - SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Objetivo do cálculo: Desenvolver as capacidades de reflexão e de cálculo necessárias para o estudo da engenharia (ou tecnologia).
As principais técnicas de integração são:
Método da substituição;
Integração por partes;
Por decomposição. 
Frações parciais;
Integração de funções racionais;
Integração de funções irracionais;
Substituição trigonométrica;
Integrais impróprios de 1.ª e de 2.ª espécie;
Fórmulas de recorrências.
Sabemos da importância da integração, principalmente as integrais definidas no cálculo da área de uma região compreendida entre a função dada e o eixo das abscissas (eixo x). Desta forma, duas questões nos fazem refletir:
1) Por que integrais envolvendo radicais são importantes?
2) Como calcular a área de um círculo, a área de uma elipse, utilizando integrais definidas? 
Nesse momento, motivados por estas duas questões estudaremos a técnica de integração por substituição trigonométrica.
Pré-requisitos:
Integrais imediatas, primitivas.
Integração por substituição;
Integrais definidas;
Integrais por partes;
Geometria plana;
Geometria analítica;
Trigonometria.
Objetivo específico da mudança de variável trigonométrica: 
Transformar expressões com radicais, em uma expressão trigonométrica sem radicais.
Nota: A ocorrência de raiz no integrando é algo muito desagradável. Se perceber uma mudança de variável que a elimine, não vacile.
Quadro resumo da substituição trigonométrica: (r > 0, e x é a variável)
	Expressão no integrando
	Substituição trigonométrica
	
	
	
	
	
	
Nota: Ao fazer uma substituição trigonométrica, admitimos que 
 esteja no contradomínio da função trigonométrica inversa correspondente. Assim, para a substituição 
, temos
, ou seja, 
, ou ainda, o ângulo está no 1o ou 4o quadrante. Neste caso, 
 e:
Exemplos: 
1) Calcule: 
Solução: Fazendo as mudanças:
Assim,
= 
 = 
= 
 = 
�� EMBED Equation.3 = =
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 = 
�� EMBED Equation.3 
2) Utilizando o resultado anterior, calcule: 
Solução: 
=
= 
= 
=
 
 = 
3) Mostre que as substituições trigonométricas indicadas no quadro anterior, eliminam a raiz.
�
4) Aplicação: Prove, utilizando integral definida, que a área do círculo de raio r é dada por Ao = 
.
Solução: 
Consideremos uma circunferência de raio r e de centro na origem (0, 0). Assim, a sua equação reduzida é dada por: 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 . Isolando y e considerando-o como positivo, temos: 
Geometricamente, temos:
Assim, Ao = 
Fazendo as devidas mudanças:
 
 
Se 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
Se 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
Logo, 
 =
�� EMBED Equation.3 = 
 
=
�� EMBED Equation.3 
Como Ao = 
, temos: Ao = 
	
							(c.q.d.)
5) Fazer da elipse. Falta digitar.
�
6) Sem usar o resultado do exemplo 1, calcule: 
Solução: Fazendo as mudanças:
Se 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
Se 
�� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Logo,
=
=
 
 = 
7) Calcule:
 
Solução:
Lembre-se: 
= 
, fizemos anteriormente quando trabalhamos com integração por partes: 
, revise, se julgar necessário.
Fazendo as mudanças:
 
 
Se 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 
Se 
�� EMBEDEquation.3 �� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
Assim,
�� EMBED Equation.3 = 
 = 
=
= 
= 
= 
= 
�� EMBED Equation.3 =
�
8) Calcule:
Solução:
Lembre-se: 
= 
, fizemos anteriormente quando trabalhamos com integração por partes: 
, revise, se julgar necessário.
Fazendo as mudanças:
 
 
Assim,
�� EMBED Equation.3 = 
 = 
 + k =
= 
= 
�� EMBED Equation.3 = 
9) Calcule: 
Solução:
Fazendo as mudanças:
 
 
Assim,
= 
 = 
= 
 = 
+k = 
= 
+ k = 
+ k = 
= 
+ k = 
+ k
�� EMBED Equation.3 = 
 + k
�
MUDANÇA DE VARIÁVEL EM 
A integração de funções envolvendo radicais do tipo 
 pode simplificar-se fortemente por meio do uso das variáveis 
 ou 
, 
 ou 
, 
 ou 
, uma vez que as substituições referidas transformam os radicandos em quadrados perfeitos. Tais considerações decorrem diretamente da identidade trigonométrica fundamental e consequências dessa.
 
 
Por exemplo, as substituições 
, 
 e 
 transformam os radicais 
, respectivamente, em 
, 
 e 
.
Integração por Substituição Trigonométrica - Adaptado de: Doherty Andrade
Integrar é uma técnica, assim como derivar. Existem muitas técnicas de integração: integração por substituição, integração por partes, integração por frações parciais, integração por substituição trigonométrica. Todas bem simples, é só pegar o jeito.
Continuando veremos a integração por substituição trigonométrica. Usada quando o integrando contém uma das seguintes formas 
Vejamos alguns exemplos:
1) Para 
 faça a substituição 
2) Para 
 faça a substituição 
3) Para 
 faça a substituição 
Fazendo essas substituições obteremos integrais na variável 
. A expressão da integral na variável original 
 pode ser obtida por meio do auxílio de um triângulo retângulo. Como se faz?
Exemplo: Na integral 
 fazendo a substituição 
, eliminamos o radical. Por outro lado, façamos um triângulo indicando a substituição trigonométrica realizada.
Do triangulo observamos que 
 e 
. 
�
ANEXO I - LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Mostre que: 
 = 
2) Mostre que: 
 = 
(interprete geometricamente o resultado)
3) Mostre que: 
 = 
4) Mostre que: 
 = 
(interprete geometricamente o resultado)
5) Mostre que: 
 = 
(interprete geometricamente o resultado)
6) Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando
a) 
 	Resposta: 
b) 
	Resposta: 
c) 
	Resposta: 
d) 
	Resposta: 
e) 
	Resposta: 
Solução: 
, pois: se 
f) 
	Resposta: 
g) 
	Resposta: 
Solução: 
, pois: 
h) 
	Resposta: 
i) 
	Resposta: 
 Solução: 
j) 
	 Resposta: ou 
Assim 
Outra forma: 
.
Assim, 
7) Mostre que: 
8) Mostre que: 
 = 
 Dica: 
= 
�
Referências:
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração, 5a ed. São Paulo: Makrow Books, 1992.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálculo B: Funções de Várias Variáveis, Integrais Duplas e Triplas. São Paulo: Makrow Books, 1999.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, B. G. Cálculo C: Funções Vetoriais, Integrais Curvilíneas, Integrais de Superfície. São Paulo: Makrow Books, 1999.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. I, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. II, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. III, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo, 5a ed. Vol. IV, São Paulo: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., 2001
HOFFMANN, L. D., Cálculo: Um Curso Moderno e suas Aplicações, 7a ed. Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 2004.
RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. I, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982 
RIGHETTO, A.; FERRAUDO, A. S. Cálculo Diferencial e Integral. Vol. II, São Paulo: IBEC – Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda, São Paulo, 1982 
Bibliografia de Apoio:
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, Vol.I, 2000.
ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Trad. Cyro de C. Patarra e Márcia Tamanaha. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, Vol.II, 2000.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. I, São Paulo: Harbra, 1986.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. II, São Paulo: Harbra, 1986.
MUNEN, F. Cálculo. Vol. II, Rio de Janeiro: Editora Guanabara Dois S.A., 1982.
LARSON, H. E. Cálculo com Aplicações. Trad. Alfredo Alves de Farias. Rio de Janeiro: LTC, 1995.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. I, São Paulo: Makrow Books, 1994.
SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. 2. ed. Vol. II, São Paulo: Makrow Books, 1994.
SIMMONS, G. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw-Hill, v. 2, 1987. 
______________________________________
Prof. Dr. Eng. José Donizetti de Lima
�
 
 
�
�
�
�
INTEGRAL DEFINIDA (Adaptado de Guidorizzi, 2005, vol.1, 5 ed. p. 299ss)
Objetivo: Introduzir o conceito de integral de Riemann, suas propriedades e aplicações.
 
1. Partição de um intervalo
Uma partição P de um intervalo [a, b] é um conjunto finito P = {x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn}, onde:
a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b
Uma partição P de [a, b] divide [a , b] em n intervalos [xi-1 , xi], i = 1, 2, ..., n
 
A amplitude do intervalo [xi-1 , xi] será indicada por 
= xi-1 - xi. Assim,
(x1 = x1 – x0 ; (x2 = x2 – x1; (x3 = x3 – x2 ; ... ; (xn = xn - xn-1
Os números (x1 , (x2 , ... , (xn não são necessariamente iguais. O maior deles denomina-se amplitude (ou norma) da partição P e indica-se por máx (xi .
Uma partição P = {x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn} de [a , b] será simplesmente indicada por:
P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b
Exemplo: [a , b] = [0 , 1]
 P = {0, ½ ,1}
P = {0, ¼ , ½ , ¾, 1}
P = {0, 1/10 , 1}
2. Soma de Riemann
Sejam f uma função definida em [a , b] e P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b uma partição de [a , b]. Para cada índice i (i = 1, 2, 3, ... , n) seja ci um número em [xi-1 , xi] escolhido arbitrariamente.
Pois bem, o número:
denomina-se soma de Riemann de f, relativa à partição P e aos números ci.
Observe que, se f(ci) > 0, 
 será então a área do retângulo Ri determinado pelas retas x = xi-1, x = xi, y = 0 e y = f(ci). 
Área de Ri = 
Por outro lado, se f(ci) < 0, a área de tal retângulo será: 
Área de Ri = 
Geometricamente, podemos então interpretar a soma de Riemann 
 como a diferença entre a soma das áreas dos retângulos Ri que estão acima do eixo x e a soma das áreas dos que estão abaixo do eixo x. Uma dessas situações é evidenciada na figura a seguir.
 = soma das áreas dos retângulos acima do eixo Ox menos a soma das áreas dos abaixo do eixo Ox.
�
Exemplo:
Seja F uma função definida em [a, b] e seja P: a = x0 < x1 < x2 < x3 < x4 = b uma partição de [a, b]. O acréscimo F(b) – F(a) que F sofre quando se passa de x = a para x = b é igual à soma dos acréscimos F(xi) – F(xi-1) para i variando de 1 a 4:
F(b) - F(a) = F(x4) – F(x0) = [F(x4) – F(x3)] + [F(x3) – F(x2)] + [F(x2) – F(x1)] + [F(x1) – F(x0)]
Isto é:
De modo geral, se P: a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b for uma partição de [a, b], então:
Teoremas:
Teorema 1: Teorema de Rolle.
Se f for contínua em (a,b) e derivável em (a, b) e f(a) = f(b), então existirá pelo menos um c em (a, b) tal que f ’(c) = 0
Geometricamente:
Teorema 2: Teorema do Valor Médio (TVM). 
Se f for contínua em [a , b] e derivável em ]a , b[, então existirá pelo menos um c em ]a , b[ tal que:
 ou 
Geometricamente, este teorema conta-nos que se s é uma reta passando pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)), então existirá pelo menos um ponto (c, f(c)), com a < c < b, tal que a reta tangente ao gráfico de f, nesse ponto, é paralela à reta s. Como 
 é o coeficiente angular de s e f ’ (c) o de T, 
.
Exemplo do T. V. M.
Seja f (x) = x2 onde 
 e encontremos um ponto (c, f (c)) que satisfaça o T.V.M. Represente geometricamente.
Solução:
Temos f (x) = x2, logo f ’ (x) = 2x
Pelo T. V. M. 
 
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 2 = 2x 
x = 1
 O ponto é (1, 1)
Teorema 3: 
Sejam F e f definidas em [a , b] e tais que: F ’ = f em [a, b], assim F é uma primitiva de f em [a, b]. Seja a partição P: a = x0 < x1 < x2 <...< xn = b de [a, b], escolhendo conveniente
em 
 tem-se:
Prova:
Pelo que vimos anteriormente: 
Pelo TVM, existe 
 em [xi-1 , xi] tal que: 
e como F ’ = f em [a , b] e 
 resulta:
Nota: Se f é contínua em [a , b] e se os 
 são suficientemente pequenos, para qualquer escolha de ci em [xi-1, xi] temos:
Logo
É razoável esperar que a aproximação será tanto melhor quanto menor forem os 
.
�
3. Integral de Riemann: Definição 
Sejam f uma função definida em [a, b] e L um número real. Dizemos que 
 tende a L, quando 
, e escrevemos:
se, para todo 
, existir um 
 que só depende de 
 mas não da particular escolha dos ci, tal que:
para toda partição P em [a , b], com 
Tal número L, que quando existe é único, denomina-se integral (de Riemann) de f em [a , b] e indica-se por 
. Então por definição:
=
Se 
 existe , então diremos que f é integrável (segundo Riemann) em [a , b].
É comum nos referirmos a 
 como integral definida de f em [a , b].
Definimos, ainda:
 
Utilizando o software de computação algébrica Maple(, temos:
> Int(função,x=a..a)=int(função,x=a..a); 
 (com a < b)
�
4. Teorema Fundamental do Cálculo (TFC)
Se f for integrável em [a, b] e se F for uma primitiva de f em [a, b], então: 
.
Prova: Temos pelo teorema 3 que se P : a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn = b é uma partição de [a , b], existem 
em 
 tal que 
.
Assim, 
 = 
= 
Notas:
A integral definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral indefinida, obtidos para x = a e x = b, respectivamente.
É possível provar que toda função contínua em [a, b] é integrável em [a, b]. 
Temos então pelo TFC que, se f é contínua em [a, b] e F é uma primitiva de f em [a , b], então:
É usual denotar a diferença 
 por 
. Assim,
Exemplos: Calcule
1) 
= ... = 
 
Solução: 
 é uma primitiva de f(x) = x2 e f é contínua em [1 , 2]
Assim, 
=
 
 = ... = 28			3) 
= ... = 16
4) 
= ... = 8			5) 
= ... = 
 
 = ... = ln 16 ( 2,77		6) 
= ... = 
 
7) 
= ... = 
 			8) 
 = ... = 2
9) 
= ... = 
 		10) 
 = mudança de variável = ... = 
11) 
 = mudança de variável = ... = 
 = mudança de variável = ... = 
 = mudança de variável = ... = 
 = mudança de variável = ... = 
�
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Calcule as seguintes integrais definidas
 			Resposta: 
 		Resposta: 18
 			Resposta: 4
 			Resposta: - 4
 			Resposta: 0
	Resposta: 
 		Resposta: - 2
 			Resposta: 
 			Resposta: 
 			Resposta: 7
 			Resposta: 36
 			Resposta: 
 			Resposta: 39
 			Resposta: 
 			Resposta: 728
 		Resposta: 20
 	Resposta: 
	Resposta: 
 	 	Resposta: 0
 	 	Resposta: 1
 		Resposta: 1
 		Resposta: 0
 		Resposta: 2
 			Resposta: e - 1
 			Resposta: 
Represente geometricamente e interprete o resultado das seguintes integrais
(i) 
 			Resposta: 
(ii) 
 			Resposta: 0
�
INTEGRAL DEFINIDA
Adaptado de MARQUES, Jair Mendes. Matemática Aplicada para cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. Curitiba: Juruá, 2002. 322p.
Seja a função y = f(x) e consideremos o seguinte problema: calcular a área A limitada pelo gráfico dessa função, pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, conforme a Figura abaixo. Vamos dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos tais que:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi-1 < xi < ... < xn = b
Seja ci um ponto qualquer de um subintervalo e (xi = xi - xi-1 o seu comprimento. Para cada retângulo construído, a sua base é (xi e a sua altura f(ci).
Conforme a Figura anterior, a soma das áreas dos n retângulos é dada por:
sendo conhecida como soma de Riemann da função f sobre o intervalo [a, b].
Note que, à medida que n cresce, o valor de (xi decresce fazendo que a área An se aproxime da área sob a curva.
Assim, podemos dizer que a área limitada pela curva y = f(x), pelo eixo x, de a até b, é dada pelo limite
 ou equivalentemente 
Este limite recebe o nome de integral definida da função f sobre o intervalo [a, b], sendo indicada pela notação 
, ou seja,
�� EMBED Equation.3 
onde: a = limite inferior de integração e b = limite superior de integração.
Como o cálculo do limite anterior é muito trabalhoso, a integral definida poderá ser calculada através do Teorema Fundamental do Cálculo.
INTEGRAL DEFINIDA (Adaptado de: RIGHETTO e FERRADAUTO, 1982)
Introdução: Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo fechado [a, b]. Tomemos nesse intervalo os pontos:
x0 , x1 , x2 , x3 , ... , xn-1, xn
tais que: 
a = x0 < x1 < x2 < x3 < ... < xn-1 < xn = b
Esses pontos estabelecem uma partição do intervalo fechado [a , b], decompondo-o nos subintervalos
[x0 , x1], [x1 , x2], [x2 , x3], ..., [xi-1 , xi], ..., [xn-2 , xn-1], [xn-1 , xn]
cujos comprimentos:
x1 – x0 = (x1 , x2 – x1 = (x2 , xi – xi-1 = (xi , ... , xn-1 – xn-2 = (xn-1 , xn - xn-1= (xn
Portanto, de modo geral: 
(xi = xi – xi-1 , i = 1, 2, ..., n
O maior dos comprimentos: (x1 , (x2 , ..., (xn-1, (xn é chamado amplitude ou norma da partição.
Tomemos, para cada índice i um ponto (i ( [xi-1 , xi] e consideremos o valor yi​ = f((i) da função neste ponto.
Se multiplicarmos cada valor de f((i) pelo comprimento do correspondente subintervalo teremos as áreas dos retângulos de base (xi e altura f((i).
A1 = (x1 . f((1) , A2 = (x2 . f((2) , ... , An = (xn . f((n)
Somemos estas áreas:
A soma 
 aproxima-se de um número real L, tal que:
 ,
sendo 
 um número positivo arbitrário, tão pequeno quanto se desejar, então:
O número L diz-se integral definida da função f(x) no intervalo [a, b].
Esta integral é indicada pelo símbolo 
. Temos, assim: 
 = 
A integral definida significa, geometricamente, a medida da área da superfície limitada pelo gráfico da curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b.
No nosso caso: 
= Área da superfície AabB
Teorema Fundamental do Cálculo
Habitualmente, indicamos: 
que é a expressão do teorema fundamental do cálculo.
A integral definida é igual à diferença entre os valores numéricos da integral indefinida, obtidos para x = a e x = b, respectivamente.
Exemplos:
 = ... = 28	2) 
 = ... = ln 16 ( 2,77		3) 
 = ... = 2
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Nas aulas sobre derivadas resolvemos problemas do tipo: Dada uma função f, determinar a sua derivada, ou seja, determinar f'. Estudaremos agora um problema relacionado: Dada uma função f, achar uma função F tal que F' = f.
Este relevante teorema possibilita achar valores exatos de integrais