Aula 31: Rotacional e divergência

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Rotacional
Se
−→
F (x, y, z) = P (x, y, z)
−→
i + Q(x, y, z)
−→
j + R(x, y, z)
−→
k é um campo vetorial sobre R3 e
as derivadas parciais de P,Q e R existem, então o rotacional de
−→
F é o campo vetorial do R3
definido por
rot
−→
F =
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)−→
i +
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)−→
j +
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)−→
k
Exemplo 1. Calcule o rotacional do campo vetorial
−→
F (x, y, z) = xy
−→
i + xyz
−→
j − y2 −→k
Nesse caso,
P (x, y, z) = xy, Q(x, y, z) = xyz e R(x, y, z) = −y2
e P,Q e R possuem derivadas parciais. Logo, podemos calcular o rotacional de
−→
F e
rot
−→
F =
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)−→
i +
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)−→
j +
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)−→
k = (−2y − xy)−→i +(yz − x)−→k
Observe que se
−→
F é um campo vetorial conservativo, então existe uma função f de três
variáveis tal que
−→
F (x, y, z) = ∇f(x, y, z) = fx(x, y, z) −→i + fy(x, y, z) −→j + fz(x, y, z) −→k . Se
P,Q,R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então f tem derivadas parciais de
segunda ordem contínuas e, pelo teorema de Clairaut,
rot
−→
F = rot (∇f) = (fzy − fyz)−→i + (fxz − fzx)−→j + (fyx − fxy)−→k = −→0
Com isso concluímos o seguinte teorema:
Teorema 1. Se
−→
F é um campo vetorial conservativo cujas funções componentes P,Q e R têm
derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então
rot
−→
F =
−→
0
Observação 1. Com esse teorema garantimos que, se
−→
F é um campo vetorial do R3 cu-
jas funções componentes P,Q e R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, e se
rot
−→
F 6= 0, então −→F não é conservativo.
Exemplo 2. Determine se o campo vetorial
−→
F (x, y, z) = xy
−→
i + xyz
−→
j − y2 −→k
é ou não conservativo.
Como as funções componentes de
−→
F têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas e
rot
−→
F = (−2y − xy)−→i + (yz − x)−→k 6= −→0
então
−→
F não é conservativo.
Teorema 2. Se
−→
F é um campo vetorial definido sobre todo R3 cujas funções componentes
têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas e se rot
−→
F = 0, então
−→
F é um campo
conservativo (ou seja, existe alguma função de três variáveis f(x, y, z) tal que
−→
F = ∇f).
1
Observação 2. Não se esqueça que, para aplicar o teorema acima, exigimos que Dom(
−→
F ) = R3
e que P,Q e R tenham derivadas parciais de SEGUNDA ordem contínuas.
Exemplo 3. Mostre que o campo vetorial
−→
F (x, y, z) = y2z3
−→
i + 2xyz3
−→
j + 3xy2z2
−→
k
é conservativo e determine uma função f tal que
−→
F = ∇f .
Como Dom(
−→
F ) = R3, como as funções componentes de
−→
F têm derivadas parciais de todas
as ordens contínuas (uma vez que elas são funções polinomiais) e como
rot
−→
F =
(
∂R
∂y
− ∂Q
∂z
)−→
i +
(
∂P
∂z
− ∂R
∂x
)−→
j +
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)−→
k
=
(
6xyz2 − 6xyz2)−→i + (3y2z2 − 3y2z2)−→j + (2yz3 − 2yz3)−→k = −→0
então
−→
F é um campo conservativo. Logo, existe uma função de três variáveis f(x, y, z) tal
que
−→
F = ∇f . Vamos determinar uma função satisfazendo esta relação. Queremos determinar
f(x, y, z) satisfazendo
fx(x, y, z) = y
2z3
fy(x, y, z) = 2xyz
3 (∗)
fz(x, y, z) = 3xy
2z2 (∗∗)
Integrando fx com relação à x obtemos
f(x, y, z) =
∫
fx(x, y, z) dx =
∫
y2z3 dx = xy2z3 + g(y, z)
Derivando o resultado com relação à y obtemos
fy(x, y, z) = 2xyz
3 + gy(y, z)
Comparando o resultado com (∗) obtemos que
2xyz3 = 2xyz3 + gy(y, z) ⇒ gy(y, z) = 0
Integrando gy(y, z) com relação à y:
g(y, z) =
∫
gy(y, z) dy =
∫
0 dy = h(z)
Logo,
f(x, y, z) = xy2z3 + h(z)
Derivado a relação acima com relação à z:
fz(x, y, z) = 3xy
2z2 + h′(z)
Comparando o resultado com (∗∗) obtemos que
3xy2z2 = 3xy2z2 + h′(z) ⇒ h′(z) = 0
Logo, h(z) = k e temos que
f(x, y, z) = 3xy2z2 + k
Para cada constante real k temos uma função que satisfaz
−→
F = ∇f .
2
Divergência
Se
−→
F (x, y, z) = P (x, y, z)
−→
i +Q(x, y, z)
−→
j +R(x, y, z)
−→
k é um campo vetorial sobre R3 e as
derivadas parciais
∂P
∂x
,
∂Q
∂y
,
∂R
∂z
existem, então a divergência de
−→
F é a função de três variáveis definida por
div
−→
F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
Exemplo 4. Calcule a divergência do campo vetorial
−→
F (x, y, z) = xy
−→
i + xyz
−→
j − y2 −→k
Nesse caso,
P (x, y, z) = xy, Q(x, y, z) = xyz e R(x, y, z) = −y2
e P,Q e R possuem derivadas parciais com relação à x, y e z, respectivamente. Logo, podemos
calcular a divergência de
−→
F e
div
−→
F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
= y + xz
Observe que o rotacional de um campo vetorial também é um campo vetorial e, portanto,
podemos calcular sua divergência. O seguinte resultado nos diz que, em certas condições, a
divergência do campo rotacional de um campo vetorial é a função constante igual a zero.
Teorema 3. Se
−→
F é um campo vetorial do R3 cujas funções componentes têm derivadas parciais
de segunda ordem contínuas, então
div
(
rot
−→
F
)
= 0
Observação 3. Com esse teorema garantimos que, se
−→
F é um campo vetorial do R3 cujas fun-
ções componentes P,Q e R têm derivadas parciais de segunda ordem contínuas, e se div
−→
F 6= 0,
então
−→
F não pode ser escrito como um campo rotacional de outro campo vetorial.
Exemplo 5. Determine se o campo vetorial
−→
F (x, y, z) = xy
−→
i + xyz
−→
j − y2 −→k
pode ou não ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
Como as funções componentes de
−→
F têm derivadas parciais de todas as ordens contínuas e
div
−→
F =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
= y + xz 6= 0
Logo,
−→
F não ser escrito como o rotacional de outro campo vetorial.
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