A Álgebra Abstrata na Graduação

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X Encontro Nacional de Educação Matemática 
 Educação Matemática, Cultura e Diversidade 
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010 
 
 
 
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Comunicação Científica 
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A RESPEITO DO ENSINO E APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA ABSTRATA NA 
GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA 
 
Vânia Cristina da Silva Rodrigues 
Universidade Metodista de São Paulo 
vania_csr@yahoo.com.br 
 
Resumo: Em muitas graduações a Álgebra Abstrata é o primeiro curso em que os estudantes 
devem ir além de aprender a "reprodução de padrões de comportamento". Nestes cursos os 
alunos devem lidar com conceitos abstratos, trabalhar com princípios matemáticos 
importantes, e aprender a escrever provas. O presente trabalho através de uma revisão da 
literatura examina pesquisas relacionadas ao ensino e aprendizagem de Álgebra Abstrata, com 
o intuito de verificar como está sendo trabalhado a Álgebra Abstrata na graduação em 
Matemática. 
Palavras-chave: DTP; Ensino Investigativo; Aprendizagem de Álgebra Abstrata. 
 
 
1. Introdução 
 
A Álgebra é um campo propicio para a investigação matemática, pois permite o 
desenvolvimento das habilidades de conjeturar, generalizar, concluir e demonstrar. 
Ao investigar as concepções de Álgebra presentes na escola média americana 
USISKIN (1995) compara o estudo de álgebra nos cursos superiores, que envolve estruturas 
como grupos, anéis e outros, com a álgebra da escola média. Nessa comparação considera que 
embora essas estruturas não estejam explicitas nos conteúdos da escola média, são importantes 
para que se possa explicitar aos alunos porque certas equações podem ou não ser resolvidas. 
Afirma que, pelo fato de que os alunos desse segmento de ensino não trabalharem com essas 
propriedades explicitamente e nem com a estrutura que está por trás dela, tendem a tratar as 
variáveis como sinais no papel, sem atribui-lhes significado. 
Em muitas graduações em matemática, Álgebra Abstrata é o primeiro curso em que os 
estudantes devem ir além de aprender a "reprodução de padrões de comportamento". Nestes 
cursos os alunos devem lidar com conceitos abstratos, trabalhar com princípios matemáticos 
importantes, e aprender a escrever provas. 
 
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Os problemas relacionados ao ensino e à aprendizagem da Álgebra Abstrata estão 
sendo identificados e a área está propondo curas sem um acordo sobre a causa desses 
problemas ou mesmo uma descrição exata da prática atual. Antes de uma reestruturação do 
ensino de Álgebra Abstrata se faz necessário compreender o que está ocorrendo no que diz 
respeito às práticas atuais de ensino e aprendizagem da Álgebra Abstrata. 
 
2. Álgebra Abstrata e o Currículo de Matemática da Graduação 
 
A Álgebra é uma das disciplinas que ocupam um lugar de destaque nas ciências 
matemáticas. Em quase todas as graduações em Matemática exige-se que o aluno cumpra pelo 
menos um semestre de Álgebra Abstrata ou de uma disciplina equivalente. Além disso, 
matemáticos e educadores matemáticos acreditam que o curso é importante, haja visto que o 
relatório da Conference Board of Mathematical Sciences (CBMS, 2001)
1
 sobre Mathematical 
Education of Teachers (MET) discutiu explicitamente a respeito da disciplina, optando por 
mantê-la nos cursos de Licenciatura em Matemática dos Estados Unidos. 
Atualmente, “a maioria de tais de cursos (Álgebra Abstrata) na graduação têm um 
duplo objetivo. Além de dominar o conteúdo do curso, espera-se que os estudantes aprendam 
a escrever provas que eles mesmos tenham criado” (EDWARDS e BRETON, 1999, p.122). 
Alguns pesquisadores como CUOCO, GOLDENBERG e MARK (1996) têm discutido 
que existe um terceiro objetivo muitas vezes implícito, associado aos cursos de Álgebra 
Abstrata - que os estudantes devem melhorar suas habilidades no que se refere ao pensamento 
algébrico. Outros pesquisadores têm sugerido que o curso de Álgebra Abstrata é o “lugar onde 
os estudantes podem extrair características comuns dos vários sistemas matemáticos que eles 
utilizaram em cursos anteriores de matemática” (FINDELL, 2000, p.12). Mas o CBMS 
(2001) relatou que muitos estudantes não conseguem fazer conexões eficazes entre a Álgebra 
Abstrata e outras áreas da matemática. 
 
1
 Conference Board of Mathematical Sciences. (2001). The mathematical education of teachers: Vol. II. Issues in 
mathematics education. Providence, RI: The American Mathematical Society. 
 
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Os relatórios consultivos emitidos pelo National Science Foundation (NSF, 1992)
2
 e 
Mathematical Sciences Education Board (MSEB, 1991)
3
 sugerem que os professores 
abandonem a aula no formato tradicional e adotem aulas baseadas em investigações, nos 
cursos de matemática da graduação, como uma forma de melhorar a compreensão do 
estudante. As vantagens destas recomendações para Álgebra Abstrata em particular têm sido 
difundidas por diversos pesquisadores como BURTON (1999), EDWARDS e BRENTON, 
(1999) e HIBBARD e MAYCOCK (2001). 
Os estudantes têm muita dificuldade com Álgebra Abstrata e freqüentemente falham 
no desenvolvimento dos objetivos traçados para o curso conforme DREYFUS (1999); 
DUBINSKY et. al, (1994); HAZZAN (1994, 1999); HAZZAN e LERON (1996); LERON, 
HAZZAN e ZAZKIS (1995) e WEBER (2001). Contudo, há igualmente aqueles que sugerem 
que as crenças em relação às falhas do estudante é um fator que contribui para seu fracasso, 
esta opinião tem certamente um efeito sobre o que o professor acredita serem os objetivos 
razoáveis para o curso. “Esta conspiração de expectativas pode conduzir a uma redução dos 
objetivos e realizações do estudante, e pode ser um fator de contribuição na discrepância entre 
o currículo “pretendido” e o “executado” (FRANCIS, 1992, p. 27-28). 
Em resumo, o curso Álgebra Abstrata carrega expectativas substanciais relacionadas 
com a aprendizagem dos estudantes, tem como objetivo desenvolver nos estudantes a 
compreensão e a habilidade de trabalhar com estruturas matemáticas tais como grupos, anéis e 
corpos. Mas também, espera-se que os estudantes desenvolvam a habilidade de analisar e 
construir provas matemáticas, para desenvolver hábitos gerais do pensamento algébrico e para 
evidenciar as estruturas que são à base da álgebra do currículo escolar. Infelizmente, algumas 
pesquisas sugerem que vários estudantes não estão desenvolvendo muitos destes objetivos 
conforme FINDELL (2000), HAZZAN e LERON (1996) e LERONJ e DUBINSKY (1995). 
 
3. Ensino e Aprendizagem de Matemática Avançada 
 
2
 National Science Foundation. (1992). America’s academic future: A report of the Presidential Young 
Investigator Colloquium on U.S. engineering, mathematics, and science education for the year 1010 and beyond. 
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 Mathematical Sciences Education Board (MSEB). (1991). Moving beyond myths: Revitalizing undergraduate 
mathematics. Washington DC: National Academies Press. 
 
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Existem poucos estudos que descrevem o ensino tradicionalda álgebra abstrata. As 
descrições mais minuciosas caracterizam o ensino tradicional, principalmente como uma 
recitação de conteúdos apresentados no formato “definição – teorema – prova – corolário –
exemplo - aplicação” segundo EDWARDS e BRENTON (1999, p. 122). 
Muito do ensino baseado neste formato envolve o professor escrevendo no quadro 
definições, teoremas, demonstrações, soluções passo a passo dos exercícios, ou seja, o 
professor recitando o que está sendo escrito. Além disso, cabe ao professor com base na 
bibliografia adotada determinar quais problemas irão compor os trabalhos de casa, a criação 
dos exames, e a classificação dos trabalhos. A responsabilidade do estudante se restringe a 
copiar tudo o que está escrito no quadro e a passar algum tempo fora do horário da disciplina 
tentando compreender as anotações e o material. 
O formato definição – teorema - prova (DTP) é o modelo de aprendizagem dominante 
nos cursos de graduação em matemática e é igualmente criticado por desenvolver concepções 
erradas sobre a natureza da matemática conforme THURSTON (1986) e CUOCO, 
GOLDENBERG e MARK (1996), escondendo muito do processo usado no pensamento 
matemático segundo DREYFUS (1991) e ignorando o importante papel que os matemáticos 
atribuem a idéias como elegância, intuição e cooperação de acordo com BURTON (1999), 
DREYFUS (1991) e FISCHBEIN (1987). A principal crítica em relação ao DTP é a de que 
este modelo não é uma maneira eficaz de promover a aprendizagem do estudante no que se 
refere ao conteúdo de matemática segundo LERON e DUBINSKY (1995), MSEB (1991) e 
NSF (1992). 
No modelo de aprendizagem DTP os estudantes aprendem a matemática de uma 
maneira invertida, ou seja, parte-se do caso geral para o exemplo concreto. As definições 
matemáticas abstratas e aos teoremas gerais são introduzidos primeiro e os exemplos 
relacionados com estes conceitos e princípios são desenvolvidos depois. 
KOZULIN (1998) sugere que a crença na habilidade de aprender partindo do geral 
para o particular ou para uma situação concreta pode estar associada à teoria de aprendizagem 
proposta por Lev Vygotsky. Segundo a teoria de Vygotsky a sala de aula é o único lugar em 
que o aluno “ao invés de aprender uma tarefa ou uma operação particular adquire um princípio 
 
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mais geral aplicável às tarefas diferentes” KOZULIN (1998, p. 47). Isto é, deve-se dar aos 
alunos uma teoria ou um modelo geral para depois ensinar a aplicá-los a uma variedade de 
situações mais particulares. 
Os professores que apóiam a opinião de que os estudantes aprendem de uma maneira 
vygotskiana, provavelmente estão fortemente influenciados por suas experiências ou pela 
recordação idealizada de sua experiência como aluno de graduação em matemática. Assim, 
eles têm a convicção de que a forma tradicional de aprendizagem que experimentaram como 
estudantes é eficaz. Acrescente-se a isso, o fato de que esses professores comumente 
desconhecem outro estilo de ensino que julguem eficaz, pois em geral as pesquisas 
educacionais são ainda pouco lidas e/ou consultadas pela comunidade de matemáticos e de 
professores de matemática do ensino superior. 
No modelo de aprendizagem DTP os exercícios são executados para reforçar o 
conhecimento e praticar a sua aplicação, começando com o caso geral e movendo-se para os 
exemplos específicos, isto é, contrariamente aos métodos de ensino investigativo. 
O estilo de ensino investigativo ideal, provavelmente inclui um acentuado aumento na 
conversação e interação do estudante durante a aula, com uma diminuição correspondente na 
quantidade de tempo que o professor gasta fazendo observações expositivas conforme 
descrevem DAVIDSON e GULICK (1976). Em classes investigativas, de certa maneira, os 
estudantes usam o tempo da aula trabalhando em tarefas matemáticas e compartilhando seus 
resultados. 
Uma segunda teoria sobre o ensino de matemática avançada é definida por 
FREUDENTHAL (1973) quando destaca que a aprendizagem deve se dar do particular para o 
geral, alinhada com o desenvolvimento histórico. Freudenthal notou que, historicamente, as 
definições formais em matemática aparecem somente no fim de um longo período de 
exploração matemática com exemplos específicos. Ele argumenta que o ensino de matemática 
deve se espelhar neste processo. Assim, ao se introduzir conceitos como o de grupos a ordem a 
ser seguida é exemplo - definição. 
O trabalho de Freudenthal baseou-se na teoria de Piaget, que acreditava que os 
estudantes progridem da “ação para a reflexão” conforme escreve KOZULIN (1998, p. 52). A 
 
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sala de aula ideal para Piaget é um ambiente rico para os estudantes, é o lugar onde eles 
entram em contato e fazem experiências com uma variedade de expressões concretas de uma 
idéia. É através da interação dos estudantes com estas idéias (ação) que eles adquirem 
gradualmente a compreensão abstrata (reflexão). 
A teoria de Freudenthal (ibidem) originou-se de suas opiniões sobre aprendizagem. Ele 
assume que a matemática se move do particular para o geral, tanto no desenvolvimento 
histórico quanto na mente dos indivíduos. Freudenthal foi ainda mais especifico no que se 
refere ao ensino da teoria de grupos, destacando que essa teoria deve ser introduzida através da 
exploração de exemplos concretos dos sistemas de automorfismos em estruturas. 
Freudenthal acredita que este enfoque tem dois benefícios principais, o primeiro é o de 
que a exploração da uma coleção de automorfismos é uma atividade similar a aquelas que os 
estudantes tinham empreendido ao explorar funções anteriormente. O segundo benefício é que 
quando introduzidas desta maneira, todas estas coleções exibem propriedades de grupo
4
. 
Outros teóricos como BURN (1996), DUBINSKY e LERON (1994) têm difundido 
teorias similares de ensino que iniciam suas atividades com a exploração de exemplos 
concretos. BURN (1996) escreveu que iniciou seu curso de álgebra com atividades 
relacionadas à simetria antes de introduzir os axiomas do grupo. Ele afirma que estes axiomas 
“foram então imediatamente valorizados pelos estudantes” (p. 377). Esta perspectiva é 
espelhada por uma passagem na declaração de DUBINSKY e LERON para professores sobre 
a maneira apropriada de usar seu texto: 
Deve-se notar que embora seja assumido que cada ciclo de aprendizagem inicia 
com as atividades, não se espera que os estudantes descubram toda a matemática 
por eles mesmos. Na verdade, a finalidade principal das atividades é a de 
estabelecer uma base experimental para a aprendizagem subseqüente, qualquer um 
 
4
 Dado um conjunto G munido de uma operação *, dizemos que (G,*) é um grupo se satisfaz as seguintes 
propriedades: 
a) Associativa: 
cbacbaAcba ,,,
 
b) Elemento Neutro: 
cbacbaAcba ,,,
 
c) Todo elemento é simetrizável: 
eaaaaAaAa '',',
. 
Como exemplo podemos citar 
),(,, *RZ
. 
 
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que gaste um tempo considerável e esforço trabalhando nelas, colherá os 
benefícios se descobrirem àsrespostas “direitas” ou “não”. (1994, p. xvii). 
O ensino baseado no trabalho de FREUDENTHAL (1973) exige que os estudantes se 
dediquem ao processo na tentativa de produzir significado para a exploração matemática e que 
utilizem esse processo para imbuir as declarações posteriores de definições com significado. 
Em contraste com o modelo DTP de ensino, que insiste no fato de que os estudantes, quando 
apresentados a uma definição abstrata, podem obter ou produzir significado para a exploração 
subseqüente de exemplos, propriedades e declarações logicamente deriváveis desta definição. 
 
4. Considerações Finais 
A literatura sobre ensino mencionado acima aborda trabalhos significativos 
relacionados a teoria da aprendizagem, contudo, existem poucos estudos que ofereçam uma 
descrição completa do que acontece em uma sala de aula da graduação em matemática 
conforme WEBER (1999). Assim, existe uma necessidade significativa, dentro da área, de 
estudos que descrevam o ensino de Álgebra Abstrata na graduação. 
Em seu primeiro estudo sobre a aprendizagem de estudantes em relação à teoria de 
grupos, DUBINSKY et all (1994) apresentou uma perspectiva teórica é denominada Ação-
Processo-Objeto-Esquema (APOS). A teoria APOS estuda as construções mentais dos alunos, 
correspondentes a matemática avançada. Para isso, DUBINSKY (1991) utilizou-se das 
mesmas idéias que Piaget introduziu para descrever o pensamento de crianças. 
Assim, como trabalho de Dubinsky, os trabalhos já realizados geralmente estão 
focados na compreensão conceitual dos estudantes no que se refere a grupos e grupos 
quociente com alguns trabalhos igualmente feitos para isomorfismo. Ao mesmo tempo em que 
estes tópicos são importantes em um curso introdutório de álgebra, eles não são os únicos 
conceitos matemáticos importantes, e a compreensão conceitual destes conteúdos não é a 
única faceta importante da proficiência matemática. 
 As disciplinas que tratam dos conteúdos matemáticos têm um papel importante na 
formação do professor de matemática, pois não se pode esquecer que se pretende formar 
alguém que terá como tarefa educar através da matemática. Assim, no processo de formação 
 
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inicial do professor de matemática, precisa-se problematizar a constituição, o papel e 
contribuição, de cada uma dessas disciplinas. 
 Segundo COELHO, MACHADO e MARANHÃO (2003) há uma escassez de 
trabalhos que buscam estabelecer inter-relações entre disciplinas teóricas e práticas na 
Licenciatura em Matemática, como também de estudos que relacionem a matemática ensinada 
na licenciatura e praticada nas escolas de educação infantil e básica. Deste modo, apontam 
para a relevância de estudos que procurem clarear o papel da Álgebra na formação, diante das 
novas demandas - sociais, educacionais, científicas, incluindo uma nova postura sobre a 
construção do conhecimento científico. 
Assim, investigar as disciplinas que compõem o currículo dos cursos de licenciatura, 
tendo em vista a formação do professor para a escola básica, é algo necessário e fundamental 
na conjuntura atual de reformas, de novas diretrizes, de re-elaboração dos projetos 
pedagógicos das licenciaturas. Mas conforme exposto não existem publicações teóricas que 
destaquem as conexões entre o conteúdo de Álgebra Abstrato, o conhecimento dos professores 
do ensino médio e a instrução oferecida para estes professores. 
Desde a publicação do trabalho de DUBINSKY et all (1994), muitos estudos 
relacionados com o ensino ou a aprendizagem da teoria de grupos têm sido escritos em 
resposta ou construídos com base neste trabalho. Quando os autores empregaram esta 
perspectiva teórica para explicar como os estudantes aprendem os conceitos dos grupos, 
subgrupos, classes laterais, normalidade, os autores deixaram claro no artigo que consideram 
importante que a idéia básica de grupo e de seus subgrupos, incluindo a compreensão de 
conjunto e função (operação binária), em que estes conceitos são baseados, é um lugar 
razoável para iniciar um curso de Álgebra Abstrata. 
 
5. Referências 
 
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