02_alg_linear_07_08_2012

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Álgebra Linear Matrizes e Sistemas Lineares Operações com Matrizes
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3a Etapa: 03/12/2012 - Prova Institucional
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Álgebra Linear Matrizes e Sistemas Lineares Operações com Matrizes
Álgebra Linear
Ementa
Matrizes. Determinantes. Sistemas Lineares. Espaços
Vetoriais e Subespaços Vetoriais. Base e Dimensão. Produto
Interno. Transformações Lineares. Diagonalização. Vetores no
Rn: Definição, operações e interpretação geométrica; Estudo
da reta; Estudo do plano; Distâncias; Sistemas e mudanças de
coordenadas; Funções vetoriais de uma variável: operações,
limite, continuidade; Derivada de funções vetoriais de uma
variável; Representação paramétrica de curvas; Reta tangente,
vetores tangente, normal e binormal.
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Álgebra Linear Matrizes e Sistemas Lineares Operações com Matrizes
Matriz
Uma matriz A,mxn, é uma tabela com número dispostos
em m linhas e n colunas.
A=


a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... · · ·
...
am1 am2 ... amn


A i-ésima linha de A é:
[
ai1 ai2 ... ain
]
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Matriz
para i = 1, ...,m. A j-ésima coluna de A é:


a1j
a2j
...
amj


para j = 1, ..., n.
Usamos também a notação A = (aij)mxn. Dizemos que ai j
ou [A]ij é o elemento ou a entrada de posição i , j da matriz A.
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Matriz
Se m = n, dizemos que A é uma matriz quadrada de
ordem n e os elementos a11, a22, ..., ann formam a diagonal
(principal) de A.
Exemplo: Considere as seguintes matrizes:
A=
[
1 2
3 4
]
, B=
[
−2 1
7 0
]
, C=
[
1 3 0
2 4 −5
]
,
D=
[
1 3 −2
]
, E=

 13
−4

 e F=[ 1 ]
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Álgebra Linear Matrizes e Sistemas Lineares Operações com Matrizes
Matriz
As matrizes A e B são 2x2;
A matriz C é 2x3;
D é 1x3;
E é 3x1; e
F é 1x1.
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Álgebra Linear Matrizes e Sistemas Lineares Operações com Matrizes
Matriz
Uma matriz que só possui uma linha é chamada matriz
linha, e uma matriz que possui uma coluna é chamada
matriz coluna.
Duas matrizes são iguais se elas tiverem o mesmo
tamanho e os elementos correspondentes são iguais, ou
seja, A = (aij)mxn e B = (bij)pxq são iguais se m = p, n = q
e aij = bij , para i = 1, ...,m e j = 1, ..., n.
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Soma de matrizes
Definição: A soma de duas matrizes de mesmo tamanho
A = (aij)mxn e B = (bij)mxn é definida como sendo uma matriz
mxn:
C = A+ B
obtida somando-se os elementos correspondentes a A e B, ou
seja, aij + bij .
Exemplo: Considere as matrizes:
A=
[
1 2 3
3 4 0
]
, B=
[
−2 1 5
0 3 −4
]
Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, então:
C =?
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Multiplicação de matrizes
Definição: A multiplicação de uma matriz A = (aij)mxn por um
escalar (número) α é definida pela matriz m x n
B = αA
obtida multiplicando-se cada elemento da matriz A pelo escalar
α, ou seja,
bij = αaij ,
para i = 1, ...,m e j = 1, ..., n.
Podemos dizer que a matriz B é múltiplo escalar da matriz A.
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Multiplicação de matrizes
Exemplo: O produto da matriz A =

 −2 10 3
5 −4

 pelo escalar
−3 é dado por:
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Multiplicação de matrizes
Definição: O produto de duas matrizes, tais que o número de
colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da
segunda matriz, A = (aij)mxp e B = (bij)pxn é definido pela
matriz m x n
C = AB
obtida da seguinte forma:
cij = ai1b1j + ai2b2j + ...+ aipbpj (1)
para i = 1, ...,m e j = 1, ..., n.
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Multiplicação de matrizes
A equação 1 está dizendo que o elemento (i , j) do
produto é igual à soma da i-ésima linha de A pelos elementos
correspondentes da j-ésima coluna de B.
Exemplo: Considere as matrizes:
A=
[
1 2 −3
3 4 0
]
, B=

 −2 1 00 3 0
5 −4 0


Se chamamos C o produto das duas matrizes A e B, então:
C =?
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Multiplicação de matrizes
No exemplo anterior, o produto BA não está definido. Por
quê?
Entretanto, ainda que este produto fosse definido, BA
pode não ser igual a AB, ou seja, o produto de matrizes não é
comutativo, como mostra o exemplo seguinte.
Exemplo: Considere as matrizes:
A=
[
1 2
3 4
]
e B=
[
−2 1
0 3
]
Calcule AB e BA.
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