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UCS - CCET: CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA
MAT0356 - PRÉ-CÁLCULO
Função polinomial do 2º grau
ADAMI, A. M. et al. Pré-cálculo: capítulo 5 - p. 79.
DEMANA, F. D. et al. Pré-cálculo: capítulo 8 - p. 88
Função do 2º grau
Uma função polinomial do 2º grau é da forma
fx = ax2 + bx + c
com a, b e c números reais e a ≠ 0.
O domínio da função do 2º grau é R e o conjunto imagem depende da equação que a define.
Veja alguns exemplos de função do 2º grau: fx = x2, gx = 2x2 − x + 1, hx = −x2 − 32 .
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Revisão rápida: PARÁBOLAS
Uma equação do 2º grau com duas variáveis define uma parábola. Assim, a equação
Ax2 + By + C = 0 define uma parábola. Se isolamos y na equação, obtemos a forma mais
comum de escrever a equação da parábola, que fica y = ax2 + bx + c. Os coeficientes a, b e
c são números reais e a ≠ 0.
O coeficiente de x, o número real diferente de zero, a, é o coeficiente principal da equação
do 2º grau. Ele nos diz se a parábola é côncava para cima (a > 0) ou côncava para baixo
(a < 0).
Um ponto importante do gráfico de uma parábola é o vértice. Ele é o ponto em que a
parábola muda de comportamento, entre ser crescente e ser decrescente.
Se o ponto xv, yv é o vértice da parábola que é gráfico da equação y = ax2 + bx + c, então:
xv =
−b
2a e yv = a
−b
2a
2
+ b −b2a + c =
−b2 − 4. a. c
4. a
Se a parábola é côncava para cima, xv, yv é seu ponto mínimo e yv é o valor mínimo de y.
Se a parábola é côncava para baixo, xv, yv é seu ponto máximo e yv é o valor máximo de y.
Para uma parábola côncava para cima ou para baixo há uma reta vertical que parece "dividir
a parábola ao meio ". Trata-se da reta vertival que passa pelo vértice. É o eixo de simetria
da parábola e sua equação é x = xv.
É importante determinar a(s) raiz(es) da equação y = ax2 + bx + c pois ela(s) nos permitem
saber o(s) ponto(s) de intersecção da parábola com o eixo dos x. Caso a equação não
tenha raízes reais, a parábola não vai interseptar esse eixo. Para determinar as raízes
usamos a Fórmula de Báskara: x = −b ± b
2 − 4ac
2a
1
Outro ponto a considerar em uma parábola é a intersecção com o eixo dos y. Para isso
fazemos x = 0 e, consequentemente, obtemos o ponto 0, c, observando que c é o termo
independente da equação que define a parábola.
 Vamos construir o gráfico da parábola cuja equação é y = −x2 − x + 2, analisando suas
características.
1) a = −1 e, portanto, a parábola é côncava para baixo.
2) xv = −b2a =
−−1
2−1 = −
1
2  yv = − −
1
2
2
− − 12 + 2 =
9
4
Portanto, o vértice da parábola é o ponto − 12 ,
9
4 . Assim, y tem seu valor máximo em
x = − 12 e esse valor máximo é
9
4 . Além disso, a parábola é crescente para x < −
1
2 e
decrescente para x > − 12 .
3) O eixo de simetria é a reta vertical de equação x = − 12 .
4) Fazendo y = 0 obtemos a equação −x2 − x + 2 = 0 cujas raízes são x = −2 e x = 1.
Portanto, os pontos de intersecção do gráfico com o eixo dos x são −2, 0 e 1, 0.
5) Fazendo x = 0 obtemos y = 2. Portanto, o ponto de intersecção do gráfico com o eixo dos y
é 0, 2.
Marcando os pontos determinados e considerando as demais informações obtidas,
construímos a parábola. Também traçamos o eixo de simetria (pontilhado).
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
x
y
Qualquer equação do 2º grau, y = ax2 + bx + c, pode ser escrita na forma canônica:
y = ax − h2 + k. Nesse caso, o ponto h, k é o vértice da parábola que é gráfico da equação.
Para reescrever uma equação do 2º grau na sua forma canônica, usamos a técnica para
"completar quadrados". Veja exemplo:
y = 3x2 + 12x + 11
= 3x2 + 4x + 11 fatoramos o 3 nos termos que possuem x
= 3x2 + 4x + 4 − 4 + 11 somamos e subtraímos − b2a
2
= − 42. 1
2
= 4
= 3x2 + 4x + 4 − 12 + 11 separamos o termo que contém o quadrado perfeito 3x2 + 4x + 4
= 3x + 22 − 1 escrevemos o quadrado perfeito e reduzimos as constantes
Dessa forma, podemos concluir que a parábola de equação y = 3x2 + 12x + 11 = 3x + 22 − 1
tem vértice −2,−1.
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Observe que a equação que define a função do 2º grau (y = ax2 + bx + c) é a equação de
uma parábola. Portanto, o gráfico de uma função do 2∘ grau é sempre uma parábola.
2
Consideremos, por exemplo, a função do 2º grau mais simples: fx = x2 e, para construir
seu gráfico, vamos considerar alguns de seus pontos, atribuindo a x valores quaisquer. Veja a
tabela com as coordenadas de alguns pontos escolhidos:
x −2 −1 0 1 2 3
y = x2 4 1 0 1 4 9
Marcando esses pontos e, passando por eles,
uma curva suave,obtemos a parábola que é gráfico da função.
-4 -2 0 2 4 6
2
4
6
8
10
12
x
y
Sabendo que o gráfico de uma função do 2º grau é uma parábola poderíamos ter
construído o gráfico acima (da função fx = x2), apenas considerando as características
peculiares a uma parábola. Vejamos.
1) a = 1 > 0. Portanto o gráfico deve ser côncavo para cima.
2) xv = −b2a =
−0
2. 1 = 0  yv = f0 = 0
2 = 0. Portanto, o vértice da parábola é o ponto 0, 0.
De fato, no ponto 0, 0 o gráfico da fx = x2 muda de comportamento: passa de decrescente
para crescente. Como a parábola é côncava para cima, 0, 0 é o ponto de mínimo da f e
y = f0 = 0 é o valor mínimo da função. Além disso, o conjunto imagem da função é o
intervalo 0;+∞.
3) O gráfico da função fx = x2 é simétrico em relação ao eixo dos y, cuja equação é x = 0.
Essa reta é o eixo de simetria do gráfico da f.
4) O gráfico de fx = x2 intersepta o eixo Ox em um único ponto, o 0, 0, que, nesse caso,
também é vértice da parábola. Veja que a única raiz da equação x2 = 0 é x = 0.
5) O gráfico de fx = x2 intersepta o eixo Oy em um único ponto, o 0, 0, que, nesse caso,
também é vértice da parábola. Veja que o termo independente de fx = x2 é c = 0.
Exercícios de aula 2
1) Construa o gráfico da função Fx = −2x2 + 2x + 4. Determine o domínio e a imagem da F,
os intervalos em que F é crescente ou decrescente.
2) Construa o gráfico da função gx = −2x2 − 2. Determine o eixo de simetria do gráfico da g,
o ponto extremo da g e o valor extremo da g,dizendo se ele é máximo ou mínimo.
3) Escreva a forma canônica da função fx = −3x2 + 6x − 5 e, com base nela, determine o
vértice da parábola que é gráfico da f.
Importante: Também é possível construir os gráficos de funções do 2º grau relacionando-as
a outras funções do 2º grau que diferem entre si apenas por operações simples, fazendo
”deslocamentos” do gráfico conhecido no plano. Vejamos alguns exemplos:
1. Vamos considerar a função fx = x2 e as funções gx = x2 + 2 e hx = x2 − 1.
3
Primeiro, verifique que gx = fx + 2 e hx = fx − 1, isto é, g e h são obtidas da f ”somando”
2 unidades ou ”tirando” 1 unidade, respectivamente.
Veja os gráficos da f (linha contínua) e da g (linha descontínua) em um mesmo sistema
coordenado:
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
2
4
6
8
10
x
y
O gráfico da g é igual ao gráfico da f,
apenas deslocado para ”cima” 2 unidades.
Veja agora os gráficos da f (linha contínua) e da h (linha descontínua) em um mesmo sistema
coordenado:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
2
4
6
x
y
O gráfico da h é igual ao gráfico da f,
apenas deslocado para ”baixo” 1 unidade.
★ De modo geral:
O gráfico de y = fx + k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k
unidades para cima o gráfico da f.
O gráfico de y = fx − k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k
unidades para baixo o gráfico da f.
2. Vamos considerar a função fx = x2 e as funções gx = x − 22 e hx = x + 22.
Primeiro, verifique que gx é obtida da fx ”tirando” 2 unidades de x;e hx é obtida da fx
”somando” 2 unidades a x, isto é, gx = fx − 2 e hx = fx + 2.
Veja agora os gráficos da f (linha contínua) e da g (linha descontínua) em um mesmo sistema
coordenado:
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
2
4
6
x
y
O gráfico da g é igual ao gráfico da f,
apenas deslocado para ”a direita” 2 unidades.
Veja agora os gráficos da f (linha contínua) e da h (linha descontínua) em um mesmo sistema
coordenado:
4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
2
4
6
x
y
O gráfico da h é igual ao gráfico da f,
apenas deslocado para ”a esquerda” 2 unidades.
★ De modo geral:
O gráfico de y = fx − k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k
unidades para a direita o gráfico da f.
O gráfico de y = fx + k, onde k é um número real positivo, é obtido deslocando k
unidades para a esquerda o gráfico da f.
Exercícios de aula 3:
1) Analise as equações que definem cada função, comparando-as à função fx = −x2 + 2x,
cujo gráfico é apresentado a seguir e, então, sobre o mesmo sistema de eixos, desenhe o
gráfico de cada função. Dê também o domínio e a imagem das funções g e h.
-4 -2 2 4 6
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
gx = −x2 + 2x + 3
-4 -2 2 4 6
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
hx = −x + 12 + 2x + 1
2) Escreva a equação que define a função do 2º grau, Fx, obtida pelo deslocamento do
gráfico de fx = 2x2 − 3x, 1 unidade para a direita e, em seguida, 2 unidades para cima.
Exercícios extraclasse 2
1) Faça uma análise das funções dadas a seguir, identificando concavidade, vértice, pontos
de intersecção com os eixos coordenados e, com base nisso, construa os gráficos. Dê o
domínio e a imagem de cada função.
a) fx = 2x2 − 3x
b) gx = −x2 + 10x − 25
c) hx = x2 − 2x + 2
2) O lucro de uma empresa pode ser modelado pela função Lx = −x2 + 8x − 7, em que x é a
5
quantidade vendida do produto fabricado (em milhares de unidades) e L é o lucro (em
milhares de reais).
a) Construa o gráfico da função L e determine os valores de x para que a empresa,
realmente, obtenha lucro com a venda.
b) Calcule a quantidade de produtos que deve ser vendida para que a empresa obtenha lucro
máximo.
c) Determine o lucro máximo dessa empresa.
3) Para cada função polinomial de grau 2, escreva a forma canônica e, com base nela,
determine o vértice da parábola que é gráfico da função.
a) fx = x2 − 4x + 3
b) Gx = 12 x2 + x + 1
c) hx = −2x2 + 3x + 2
4) Para cada função definida a seguir, faça o seguinte:
4.1) Analise as equações que definem cada função, comparando-as com a função
lx = 3x2, cujo gráfico pode ser mais facilmente construído.
4.2) Identifique os deslocamentos que devem ser efetuados sobre o gráfico da função lx
para obter o gráfico da função dada.
4.3) Em um mesmo sistema de eixos, desenhe o gráfico da função lx e o gráfico da
função dada, de acordo com a descrição feita em (4.2).
a) fx = 3x2 + 0. 5
b) gx = 3x − 22
c) hx = 3x + 22 − 3
5) Nos itens a seguir apresentamos a descrição de como o gráfico de uma determinada
função é obtido a partir do gráfico da função fx = − 13 x
2 + x. Em cada caso, apresente a
equação que define a função descrita.
a) Gx é a função cujo gráfico é obtido através do deslocamento do gráfico da função f, 2
unidades para cima.
b) Hx é a função cujo gráfico é obtido através do deslocamento do gráfico da função f, 1, 5
unidades para baixo.
c) Fx é a função cujo gráfico é obtido através do deslocamento do gráfico da função f,
2 unidades para a direita.
d) Lx é a função cujo gráfico é obtido através do deslocamento do gráfico da função f, 1
unidade para a esquerda.
e) Tx é a função cujo gráfico é obtido através do deslocamento do gráfico da função f, 1
unidade para a direita e, em seguida, 2 unidades para baixo.
f) Em cada sistema coordenado a seguir, apresentamos o gráfico da fx. Sobre cada um
deles, construa o gráfico das funções G, H, F, L e T, respectivamente, de acordo com a
descrição feita anteriormente.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
2
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
2
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
2
x
y
6
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
2
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
2
x
y
6) (retirado de ADAMI, A. M. et al. Pré-cálculo, p. 99)
Da Física, sabemos que a altura h, acima do solo, de um objeto lançado em queda livre (sob
ação exclusiva da força gravitacional) é dada pela equação ht = h0 + v0t − 12 gt2, onde h0 é a
altura inicial (em metros por segundo) e g ≈ 10m/s2 é a aceleração gravitacional. Considere
um tomate sendo jogado verticalmente para cima, a partir do solo, com velocidade inicial de
15m/s.
a) Substitua os valores na função apresentada e determine uma expressão para ht.
b) Determine os zeros de h. O que eles representam?
c) Determine o domínio de h e desenhe o seu gráfico.
d) Qual é a altura máxima alcançada pelo tomate? Em que instante isso ocorre?
Atenção: Você pode encontrar mais alguns exercícios que envolvem função do 2º grau no
livro indicado na Bibliografia Básica (Demana), páginas 92 e 93.
Algumas respostas:
(1) (a) f é côncava para cima; seu vértice é 34 ,− 98 ; 0, 0 e 32 , 0 são os pontos de
intersecção com o eixo x; 0, 0 é o ponto de intersecção com o eixo y. Df = R e
Imf = − 98 ;+∞ . (b) g é côncava para baixo; seu vértice é 5, 0; 5, 0 é o único ponto de
intersecção com o eixo x; 0,−25 é o ponto de intersecção com o eixo y. Dg = R e
Img = −∞; 0. (c) h é côncava para cima; seu vértice é 1, 1; h não tem ponto de
intersecção com o eixo x; 0, 2 é o ponto de intersecção com o eixo y. Dh = R e
Imh = 1;+∞. Gráficos a seguir.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-40
-30
-20
-10
10
20
30
x
y
(2) (a) A empresa obterá lucro para valores de x entre 1. 000 e 7. 000, isto é, se vender mais
que 1. 000 e menos que 7. 000 unidades do produto. Gráfico a seguir. (b) Devem ser vendidas
4. 000 unidades do produto para que a empresa obtenha lucro máximo. (c) O lucro máximo
dessa empresa é de R$9. 000, 00.
7
-2 2 4 6 8 10
-10
-5
5
10
x
y
(3) (a) fx = x − 22 − 1; vértice: 2,−1; (b) Gx = 12 x + 12 + 12 ; vértice: −1, 12 ; (c)
hx = −2 x − 34
2
+ 258 ; vértice: 34 , 258
(4) (a) Somou-se 0. 5 ao valor de lx (em y). O gráfico de lx deve ser deslocado para cima
meia unidade. (b) Subtraiu-se 2 unidades do valor de x. O gráfico de lx deve ser deslocado
para a direita duas unidades. (c) Somou-se 2 unidades no valor de x e subtraiu-se 3 unidades
do valor de lx. O gráfico de lx deve ser deslocado para a esquerda duas unidades e, em
seguida, três unidades para baixo. Gráficos a seguir.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
(5) (a) Gx = − 13 x2 + x + 2;
(b) Hx = − 13 x2 + x − 1, 5;
(c) Fx = − 13 x − 2
2 + x − 2 = − 13 x
2 + 73 x −
10
3 ;
(d) Lx = − 13 x + 1
2 + x + 1 = − 13 x
2 + 13 x +
2
3 ;
(e) Tx = − 13 x − 1
2 + x − 1 − 2 = − 13 x
2 + 53 x −
10
3 ;
(f) gráficos a seguir.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
2
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
2
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
2
x
y
8
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
2
x
y
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-4
-2
2
x
y
(6) (a) ht = 15t − 5t2; (b) Zeros: 0, 3. Representam, respectivamente, o instante em que o
tomate é jogado para cima e o instante em que ele retorna ao solo.; (c)
Dh = t ∈ ℝ : 0 ≤ t ≤ 3. Gráfico a seguir. (d) hmáx = 11, 25m, t = 1, 5s.
0 1 2 3
0
5
10
x
y
9